Transcript x`, y`, z`

1. Zadano je stanje naprezanja u točki tijela:
𝝈𝒊𝒋
𝟏𝟎 𝟐
= 𝟐 𝟗
𝟎 𝟐
𝟎
𝟐
𝟖
𝑴𝑷𝒂
te ravnina Rn koja prolazi zadanom točkom i određena je normalom koja sa
koordinatnim osima xi (x, y, z) zatvara kutove čiji su kosinusi:
𝟏
𝟐
𝒏= 𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
Treba odrediti :
a) vektor punog vanjskog naprezanja na zadanu ravninu
b) iznos vektora punog vanjskog naprezanja na zadanu ravninu
c) kosinuse pravaca vektora punog naprezanja u odnosu na koordinatni sustav xyz
d) normalno i posmično naprezanje
e) glavna normalna naprezanja i pravce glavnih naprezanja
f) pravce normale ravnine u kojoj djeluje najveće posmično naprezanje
g) oktaedarsko naprezanje
h) sferni i devijatorski dio tenzora naprezanja
i) tenzor naprezanja za novi koordinatni sustav (x’, y’, z’) čije su osi
zadane kosinusima smjera u odnosu na k.s. (x, y, z)
x
y
z
x’ 𝟏 𝟒
𝟕 −𝟒
⋅ 𝟏
y’
𝟒
𝟖
𝟗
z’
𝟖 −𝟒
𝟏
a) vektor punog vanjskog naprezanja na zadanu ravninu
𝝈𝒙𝒙
𝝆𝒏𝒙
𝝆𝒏 = 𝝆𝒏𝒚 = 𝝈𝒙𝒚
𝝈𝒙𝒛
𝝆𝒏𝒛
10
= 2
0
𝝈𝒚𝒙
𝝈𝒚𝒚
𝝈𝒚𝒛
2
9
2
𝝈𝒛𝒙
𝑛1
𝝈𝒛𝒚 ∙ 𝑛2
𝝈𝒛𝒛
𝑛3
1 2
0
6
2 ⋅ 1 2 = 6.914
8
6.656
2 2
𝑀𝑃𝑎
b) iznos vektora punog vanjskog naprezanja na zadanu ravninu
𝟐
𝟐
𝝆𝒏 = 𝝆𝒏𝒙 + 𝝆𝒏𝒚 + 𝝆𝒏𝒛
𝟐
= 62 + 6.9142 + 6.6562
= 11.318 𝑀𝑃𝑎
c) kosinusi pravaca vektora punog naprezanja u odnosu na koordinatni sustav xyz
cos 𝑥, 𝜎𝑛 =
𝜎𝑛𝑥
6
=
= 0.53
𝜎𝑛
11.318
cos 𝑦, 𝜎𝑛 =
𝜎𝑛𝑦
6.914
=
= 0.61
𝜎𝑛
11.318
cos 𝑧, 𝜎𝑛
𝜎𝑛𝑧
6.656
=
=
= 0.588
𝜎𝑛
11.318
d) normalno i posmično naprezanje
𝟏𝟎 𝟐
2/2 ∙ 𝟐 𝟗
𝟎 𝟐
𝝈𝒗 = 1/2 1/2
ili
1/2
𝟎
𝟐 ∙ 1/2 = 11.16 𝑀𝑃𝑎
𝟖
2/2
𝝈𝒗 = 𝝈𝒏𝒙 cos 𝑥, 𝑣 + 𝝈𝒏𝒚 cos 𝑦, 𝑣 + 𝝈𝒏𝒛 cos 𝑧, 𝑣
1
1
= 6 ⋅ 2 + 6.914 ⋅ 2 + 6.656 ⋅
= 11.16 𝑀𝑃𝑎
2
2
𝝈𝒏𝒕 =
σ𝑛 2 − 𝝈𝒏𝒏 𝟐
σ𝑛𝑡 =
11.3182 − 11.162
= 1.864 𝑀𝑃𝑎
e) glavna normalna naprezanja i pravci glavnih naprezanja
𝝈𝟑𝒎 − 𝑰𝟏 𝝈𝟐𝒎 + 𝑰𝟐 𝝈𝒎 − 𝑰𝟑 = 𝟎
𝑰𝟏 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = 27
2
2
2
𝑰𝟐 = 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑥 − 𝜏𝑥𝑦
− 𝜏𝑦𝑧
− 𝜏𝑧𝑥
= 234
2
2
2
𝑰𝟑 = 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 + 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑧
− 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑧𝑥
− 𝜎𝑧𝑧 𝜏𝑥𝑦
= 648
σ3 − 27 σ2 + 234 σ − 648 = 0
σ = 12, 9, 6
𝑀𝑃𝑎
(1)
𝑛1
2
9 − 12
=
2
9 − 12
(1)
𝑛2
0
2
2
10 − 12
2
0
2
2
+
2
(10 − 12)
=
2
9 − 12
0
2
2
+ 10 − 12
2
0
2
10 − 12
2
(1)
𝑛3 =
2
9 − 12
0
2
2
+ 10 − 12
2
(2)
2
9−9
0
2
2
10 − 9
+
2
10 − 12
2
2
9 − 12
2
0
2
2
10 − 12
+
2
2
9 − 12
2
0
2
2
+
10 − 12
2
2
9 − 12
2
2
9−9
0
2
2
+ 10 − 9
2
10 − 9
2
(2)
𝑛3 =
2
9−9
0
2
2
+ 10 − 9
2
3
2
=
3
1
3
0
2
0
2
2
10 − 9
+
2
2
9−9
2
2
2
(10 − 9) 0
=
2
2
9 − 12
2
9−9
𝑛1 =
(2)
𝑛2
+
0
2
0
2
2
2
10 − 9
2
2
9−9
2
10 − 9
+
2
2
9−9
2
+
2
9−9
0
2
2
3
−1
=
3
−2
3
2
9−6
(3)
𝑛1 =
2
9−6
(3)
𝑛2
0
2
2
+
10 − 6
2
0
2
0
2
2
2
(10 − 6)
=
2
9−6
0
2
2
+ 10 − 6
2
10 − 6
2
(3)
𝑛3 =
2
9−6
0
2
2
+ 10 − 6
2
+
10 − 6
2
2
9−6
2
2
0
0
2
2
1
10 − 6
+
2
2
9−6
2
2
9−6
2
2
9−6
0
2
2
+
10 − 6
2
3
−2
=
3
2
3
f) pravci normale ravnine u kojoj djeluje najveće posmično naprezanje
n
n1
R1
0
R2
± 2/2
R3
± 2/2
n2
± 2/2
0
n3
± 2/2
± 2/2
± 2/2
0


𝝈𝟐 − 𝝈𝟑
3
𝝈𝟐 + 𝝈𝟑 15
𝝉𝟏 = ±
=±
𝝈𝟏 =
=
𝟐
2
𝟐
2
𝝈𝟏 + 𝝈𝟑
𝝈𝟑 − 𝝈𝟏
=9
𝝉𝟐 = ±
= ∓3 𝝈𝟐 =
𝟐
𝟐
𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 21
𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
=
𝝉𝟑 = ±
= ±1 𝝈𝟑 =
𝟐
2
𝟐
2
1 = max
max
3 = min
/4
/4
g) oktaedarsko naprezanje
σ𝑜𝑘𝑡 =
=
1
σ + σyy + σzz
3 xx
1
10 + 9 + 8
3
= 9 𝑀𝑃𝑎
τ𝑜𝑘𝑡 =
=
1
3
σ𝑥𝑥 − σ𝑦𝑦
2
+ σ𝑥𝑥 − σ𝑧𝑧
1
1+1+4+6 4+4+0
3
= 2.45 𝑀𝑃𝑎
2
+ σ𝑧𝑧 − σ𝑥𝑥
2
+ 6 τ2𝑥𝑦 + τ2𝑦𝑧 + τ2𝑧𝑥
h) sferni i devijatorski dio tenzora naprezanja
𝝈𝒊𝒋
𝝈𝒙
= 𝝉𝒚𝒙
𝝉𝒛𝒙
σ0 =
𝜎𝑖𝑗
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒚
𝝉𝒛𝒚
σ𝑥 +σ𝑦 +σ𝑧
3
10
= 2
0
2
9
2
𝝉𝒙𝒛
𝝈𝟎
𝝉𝒚𝒛 = 𝟎
𝝈𝒛
𝟎
𝟎
𝝈𝟎
𝟎
𝝈𝒙 − 𝝈𝟎
𝟎
𝝉𝒚𝒙
𝟎 +
𝝉𝒛𝒙
𝝈𝟎
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒚 − 𝝈𝟎
𝝉𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 − 𝝈𝟎
=9
0
9
2 = 0
8
0
0
9
0
0
1
0 + 2
9
0
2
0
2
0
2
−1
i) tenzor naprezanja za novi koordinatni sustav (x’, y’, z’) čije su osi zadane
kosinusima smjera u odnosu na k.s. (x, y, z)
𝝈𝜶𝜷 = 𝑨 𝝈𝒊𝒋 𝑨
σαβ =
1
⋅
9
9
= 2
2
4
1
8
2
10
0
7
4
−4
𝑻
−4
10
8 ⋅ 2
1
0
2
0 𝑀𝑃𝑎
8
2
9
2
0
4
1
2 ⋅9⋅ 7
8
−4
1
4
8
8
−4 =
1
DOMAĆI RAD
1. Zadano je stanje naprezanja u točki tijela:
𝝈𝒊𝒋
𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎 𝟐𝟓
= 𝟓𝟎 𝟓𝟎 𝟐𝟓
𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐𝟓
𝑴𝑷𝒂
te ravnina Rn koja prolazi zadanom točkom i određena je normalom koja sa
koordinatnim osima xi (x, y, z) zatvara kutove čiji su kosinusi:
𝟏
𝒏=
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
Treba odrediti :
a) vektor punog vanjskog naprezanja na zadanu ravninu
b) iznos vektora punog vanjskog naprezanja na zadanu ravninu
c) kosinuse pravaca vektora punog naprezanja u odnosu na koordinatni sustav xyz
d) normalno i posmično naprezanje
e) glavna normalna naprezanja i pravce glavnih naprezanja
f) pravce normale ravnine u kojoj djeluje najveće posmično naprezanje
g) oktaedarsko naprezanje
h) sferni i devijatorski dio tenzora naprezanja
i) tenzor naprezanja za novi koordinatni sustav (x’, y’, z’) čije su osi
zadane kosinusima smjera u odnosu na k.s. (x, y, z)
x
y
z
x’ 𝟏 𝟒
𝟕 −𝟒
⋅ 𝟏
y’
𝟒
𝟖
𝟗
z’
𝟖 −𝟒
𝟏
j) ortogonalnu projekciju glavnog naprezanja 𝝈𝟐 na pravac zadan otrom
𝒆𝟎 =
𝟐
𝒊
𝟐
+
𝟐
𝒋
𝟐
+
𝟐
𝒌
𝟐
2. Za stanje naprezanja u ravnini izvesti
 tenzor naprezanja
 vektor punog vanjskog naprezanja
 jednadžbe transformacija
 diferencijalne jednadžbe ravnoteže
 glavna naprezanja
 Maksimalna posmična naprezanja