Transcript ПРЕЗЕНТАЦИЯx

МБОУ “Средняя общеобразовательная школа №21 с. Семеновка
г. Йошкар-Олы”
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И
НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА
ПРОМЕЖУТКЕ
Учитель математики
высшей квалификационной категории
Тимофеева Светлана Владимировна
г. Йошкар-Ола
апрель 2012 г.
Русский математик 19 века
Пафнутий Львович
Чебышев
говорил, что “особенную
важность имеют те
методы науки, которые
позволяют решать задачу,
общую для всей
практической
деятельности человека:
как располагать своими
средствами для
достижения
наибольшей выгоды ”
14 мая 1821 г. - 26 ноября 1894 г.
Ответьте на вопросы:
1. Что значит исследовать функцию на
монотонность?
2. Сформулируйте теорему о монотонности
функции.
3. Какие точки называют точками экстремума?
4. Сформулируйте теорему о экстремумах.
5. Каков алгоритм исследования функции на
монотонность и экстремумы.
График функции
y = f(x)
1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 5
2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
6
3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
y = 2 или совпадает с ней.
4. Найдите количество точек максимума функции f(x).
5. Найдите количество точек минимума функции f(x).
6. Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
7. Найдите наибольшее значение функции. В какой точке оно достигается?
8. Найдите наименьшее значение функции. В какой точке оно достигается?
График функции
y = f(x)
max
2
min
min
1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
5
2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
6
3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
3
y = 2 или совпадает с ней.
4. Найдите количество точек максимума функции f(x). 1
5. Найдите количество точек минимума функции f(x).
2
6. Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
7. Найдите наибольшее значение функции. В какой точке оно достигается?
8. Найдите наименьшее значение функции. В какой точке оно достигается?
График функции
y = f(x)
наибол
3
4
наим
-5,3
1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 5
2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
6
3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
y = 2 или совпадает с ней.
3
4. Найдите количество точек максимума функции f(x). 1
5. Найдите количество точек минимума функции f(x).
2
6. Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них. 4
7. Найдите наибольшее значение функции. В какой точке оно достигается? 3
- 5,3
8. Найдите наименьшее значение функции. В какой точке оно достигается?
График производной
y = f '(x)
+
6
-
min
1. Найдите количество точек экстремума функции f(x). 1
2. Найдите количество точек минимума функции f(x). 1
3. Найдите количество точек максимума функции f(x). 0
4. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите их количество. 1
5. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
6. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой у = 2х + 5 или совпадает с ней.
7. В какой точке функция принимает наименьшее значение.
6
График производной
y = f '(x)
f ‘(x) = 2
2
1. Найдите количество точек экстремума функции f(x). 1
2. Найдите количество точек минимума функции f(x). 1
3. Найдите количество точек максимума функции f(x). 0
4. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите их количество. 1
5. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
6. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой у = 2х + 5 или совпадает с ней. 4
6
Исследуйте функцию на монотонность,
найдите точки экстремума и
определите их характер.
1 вариант:
f ( x)  3x  8x  6 x  1
2 вариант:
f ( x)  4x 3  8x 2  x 4  3
4
3
2
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Если функция f не имеет на отрезке [а; b] точек экстремума.
Тогда она возрастает или убывает на этом отрезке.
функция убывает
функция возрастает
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a
b
a
b
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b]
конечное число точек экстремума.
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a c
n b
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a
b
наименьшее
значение
c
n
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Алгоритм
нахождения наименьшего и наибольшего значений
непрерывной функции y=f(x) на отрезке [а;b].
1. найти производную f '(x) функции,
2. найти стационарные и критические точки,
расположенные внутри отрезка,
3. вычислить значения функции в выбранных точках,
4. вычислить значения функции на концах отрезка,
5. из полученных значений выбрать наименьшее
и наибольшее значения.
Этапы
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1. Найти f /(x)
1) y / = 3x2 – 27
2. Найти
стационарные точки,
взять те, которые
принадлежат данному
отрезку.
3x2 – 27 = 0
3
-3
x2 – 9 = 0
(x – 3)(x + 3)=0
x = 3  [0; 4]
x = –3  [0; 4]
3. Вычислить
значения функции в
выбранных точках.
y(3) = 33– 27  3 = –54
4. Вычислить
значения функции на
концах отрезка.
y(0) = 0
5. Из полученных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее
y(4) = 43– 27  4 = – 44
В 14
- 5 4
3
10 х
х
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Пусть, функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.
наименьшее
значение
Если это точка минимума, то в этой точке
функция будет принимать наименьшее
значение.
min
a
b
Если это точка максимума, то в этой
точке функция будет принимать
наибольшее значение.
max
наибольшее
значение
a
b
Другой способ решения
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
стационарные точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
выбранных точках
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
y / = 3x2 – 27
3
y / = 3x2 – 27, 3(x2 – 9) =0, 3(x – 3)(x + 3)
y\
y
+
y(3) =
0
-3
33–
–
+
3
min
4
x
27 · 3 = –54
4.Вычислить
значения функции на
концах отрезка.
5. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее и
наибольшее
-3
В 14
- 5 4
3
10 х
х
Наименьшее значение
функция будет
принимать в точке
минимума.
Можно сэкономить на
вычислениях значений
функции в концах
отрезка.
Этот способ будет удобно вспомнить, когда
вычисления значений функции в концах отрезка
будет сложным.
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Алгоритм
нахождения наименьшего и наибольшего значений
непрерывной функции y=f(x) на отрезке [а;b].
1. найти производную f '(x) функции,
2. найти стационарные и критические точки,
расположенные внутри отрезка,
3. вычислить значения функции в выбранных точках,
4. вычислить значения функции на концах отрезка,
5. из полученных значений выбрать наименьшее
и наибольшее значения.
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Задание на дом.
• Учебник §32, п.1., выучить алгоритм
• Задачник №№ 32.10(а,б), 32.11(в,г), 32.12(а).
Продолжите фразы:
Сегодня я узнал…
Теперь я могу…
Я научился…
Мне захотелось…