Transcript Открытый урок "Наибольшее и наименьшее значение функции"

функция возрастает
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических
и стационарных точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
Тогда она возрастает (рис. 1) или
убывает (рис. 2) на этом отрезке.
a
b
функция убывает
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a
b
Значит,
наибольшее и наименьшее значения
функции f на отрезке [а; b] — это
значения в концах а и b.
Примеры
Пусть теперь функция f имеет на
отрезке [а; b] конечное число
критических точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a c
b
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a c
n b
Наибольшее и наименьшее
значения функция f может
принимать в критических точках
функции или в точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения функции,
имеющей на отрезке конечное
число критических точек, нужно
вычислить значения функции во
всех критических точках и на
концах отрезка, а затем из
полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее.
Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
стационарные
точки, взять те,
которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции
в критических
точках и на концах
отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
3
-3
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
x = 3  [0; 4]
x = –3  [0; 4]
3) y(0) = 0
y(4) = 43– 27  4 = – 44
y(3) = 33– 27  3 = –54
В 14
- 5 4
3
10 х
х
Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку
экстремума.
наименьшее
значение
a
b
Если это точка минимума, то в этой
точке функция будет принимать
наименьшее значение.
наибольшее
значение
Если это точка максимума, то в этой
точке функция будет принимать
наибольшее значение.
a
b
Другой способ решения
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
стационарные точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
3
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
y\
y
+
0
-3
max
3. Вычислить
значения функции в
стационарных точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее и
наибольшее
-3
–
+
3
min
4
x
3)
y(3) = 33– 27  3 = –54
В 14
- 5 4
3
10 х
х
Наименьшее
значение функция
будет принимать в
точке минимума.
Можно сэкономить
на вычислениях
значений функции
в концах отрезка.
Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в
концах отрезка будет сложным.
Найдите наибольшее значение функции y = (8 – x) e x-7
на отрезке [ 3; 10 ]
1) Первое число меньше 1, т.к.
Значения функции
в
знаменатель
e4 > 5.
у (3)  (8  3)e 4
концах
отрезка.
2)
Второе
число – отрицательноe.
3) Значит, наибольшее число 1.
3
(uv)  u/ v  uv/
5
 4
e
у(10)  (8 10)e  2e3
/
Найдем стационарные
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
стационарных точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее
из полученных
значений.
у /  (8  х) / e x 7  (8  х)(e x 7 ) / 
 e x 7  (8  х)e x 7  e x 7 (1  8  х) 
e
x 7
7
(7  х )
x = 7  [ 3; 10]
1
у(7)  (8  7)e77  1e0  1
В 14
1
3
10 х
х
Найдите наибольшее значение функции
y = (8 – x) e x-7 на отрезке [ 3; 10 ]
Второй способ:
Решение задачи с использованием свойств
функции.
Решение: функция y = (8 – x) e x-7
На отрезке[ 3; 10 ] есть число 7,при
котором значение второго
множителя будет равно
1,следовательно,значение
функции, y = (8 – x) e x-7 , 8-7=1
будет наибольшим.
Ответ :1.
(lnx) 
/
Найдите наибольшее значение функции
y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]
1
x
1
5
 5 x  20
у  5
5 
5 

х5
х5
х5
y = 5ln(x+5) – 5x
Запишем функцию
 5( x  4) в удобном

2. Найти
x=
-4  [-4,5; 0]
для дифференцирования
виде
х5
стационарные
1. Найти f /(x)
точки, взять те,
которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
стационарных точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее.
/
y\
y
–
-4,5+ +
-5
-4
max
0
x
0
у(4)  ln15  5  (4) 
 0  20  20
В 14
2 0
3
10 х
х
Наибольшее
значение функция
будет принимать в
точке максимума.
Можно сэкономить
на вычислениях
значений функции
в концах отрезка.
Найдите наибольшее значение функции
y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]
Решение.
D (y): x>-5. На отрезке [-4,5; 0] есть
число -4,при котором значение
выражения ln(x+5)5 равно
нулю, следовательно, разность
ln(x+5)5 – 5x будет принимать
наибольшее значение, то есть
0-5*(-4)=20.
Ответ:20.
(cosx)  – sinx
/
Найдите наибольшее значение функции
 3 
; 0
y = 7cosx +16x – 2 на отрезке 
 2

у  7 sin х  16
1. Найти f /(x)
/
2. Найти
стационарные
точки, взять те,
которые
принадлежат
данному отрезку.
0
 7 sin х  16  0
16
sin х 
7
 т.к. sin х [1;1]
Функция на всей
области определения
возрастает. Нетрудно
догадаться, что у / > 0.
Тогда наибольшее
значение функция будет
иметь в правом конце
отрезка, т.е. в точке х=0.
 3 
 3 
 3 
у    7 cos    16     2  24  2
 2 
 2 
 2 
у(0)  7 cos0  16 0  2  7  2  5
В 14
5
3
10 х
х
Если вы не догадались,
то вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наибольшее.
Найдите наименьшее значение функции
(cosx)  – sinx
 3 
; 0
y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке 
 2

/
у /  5 sin x  6
1. Найти f /(x)
 5 sin x  6  0
2. Найти
стационарные
6
точки, взять те, sin х  
которые
5
принадлежат
т.к. sin х [1;1]
данному отрезку.
 3
у 
 2
0

 3
  5 cos 

 2

 3
  6

 2

  4  9  4

1
у(0)  5 cos0  0  4  9
В 14
9
3
10 х
Функция на всей области
определения убывает.
Нетрудно догадаться,
что у / < 0.
Тогда наименьшее
значение функция будет
иметь в правом конце
отрезка, т.е. в точке х=0.
х
Если вы не догадались,
то вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наименьшее.
(tgx)  cos1 2x
/
1. Найти f /(x)
2. Найти
стационарные точки,
взять те, которые
принадлежат данному
отрезку.
Найдите наименьшее значение функции
y = 4tgx – 4x –
  
+ 5 на отрезке  ; 
 4  4
1
у  4
4
2
cos x
/
4
40
2
cos x
cos2 x  1
 
у    4      5  1
 4
 
у   4      5  9  2
4
у(0)  0  0    5  5  
4
0


4
Нам не нужны ВСЕ
стационарные точки.
Необходимо сделать выбор
тех значений, которые
попадут в заданный
отрезок



3. Вычислим значения
функции

;
 4 4


в стационарных точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений сделаем выбор
наименьшего.
В 14
1
3
10 х
х