Transcript y=f(x)
Интегральные исчисления
О мир, пойми! Певцом – во сне открыты Закон звезды и формула цветка.
М. Цветаева
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
b a
f
(
x
)
F
(
x
)
b a
F
(
b
)
F
(
a
) Определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Криволинейная трапеция
Криволинейная трапеция Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), осью ОХ и прямыми х=а; х=в.
Криволинейная трапеция Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), осью ОХ и прямыми х=а; х=в.
Sтрапеции
a
b f
(
x
)
dx
Если f(x)>0 на отрезке [a;b]
y=f(x)
f(x)>0
Если f(x)>0 на отрезке [a;b]
y=f(x)
f(x)>0 x=a x=b y=0
x=a a
y=0
b x=b
y=f(x)
x=a
a
y=0 x=b
b
f(x)>0
y=f(x)
x=a x=b y=0
Sф
a
b f
(
x
)
dx
Если f(x)<0 на отрезке [a;b]
f(x)<0 y=f(x)
Если f(x)<0 на отрезке [a;b]
f(x)<0 x=a x=b y=0
a b
y=0 x=a x=b
x=a
a
y=0 f(x)<0 x=a x=b y=0
b
x=b y=f(x)
Sф
a b
f
(
x
)
dx
a b
f
(
x
)
dx
Если кривая y=f(x) расположена по обе стороны от оси ox y=f(x)
3) Если кривая y=f(x) расположена по обе стороны от оси ox
x=a
a
y=f(x) y=0
c b
x=b y=f(x) x=a x=b y=0
x=a
a
y=0 y=f(x)
c b
x=b y=f(x) x=a x=b y=0
Sф
S
1
S
2
c a
f
(
x
)
dx
b c
f
(
x
)
dx
Найди площадь Золотой Рыбки
Если плоская фигура имеет сложную форму, то прямыми параллельными оси ОУ, её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Пример 1 Найти площадь фигуры, ограниченную параболой у=х ОХ.
2 , прямой х=2 и осью
y
x
2
x=2
Пример 1
Sф
2 0
x
2
dx
x
3 3 0 2 2 3 3 8 3 2 2 3 (
кв
.
ед
.)
y
x
2
x=2
Коротко об интеграле можно сказать так : ИНТЕГРАЛ – ЭТО ПЛОЩАДЬ
Архимед (ок. 287-212 до н.э.) Греческий физик и математик.
Ему принадлежит метод нахождения длин и площадей, предвосхитивший интегральное исчисление
Исаак Ньютон (1643 - 1727) Английский физик и математик. “Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.” И.Ньютон
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) Немецкий математик, физик, философ “Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx, ошибка , которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед.” Г.В.Лейбниц
Записать с помощью интегралов площади фигур, изображённых на рисунках: а) б)
y
x
2
y
g
(
x
) а b
y
f
(
x
)
Записать с помощью интегралов площади фигур, изображённых на рисунках: а) б)
y
x
2
y
g
(
x
)
Sф
1 5
x
3
dx
2 a b
y
f
(
x
)
Sф
b a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
интегралам: Самостоятельная работа Нарисовать фигуры, площади которых равны следующим В 1 a) 2 0
x
2
dx
В 2 a) 1 0
e x dx
б) 0 sin
xdx
б) 4 1
x dx
В 3 a) 5 0 2
dx
б) 2 0 cos
xdx