Transcript рівняння адіабати

• Перший закон термодинаміки є законом
збереження енергії, який сформульований у вигляді,
зручному для розгляду теплових процесів: кількість
теплоти, надана системі, йде на зміну внутрішньої
енергії системи і здійснення системою роботи:
dQ  dU  dA
i
dQ   RdT  pdV
2
Застосування І закону
термодинаміки до ізопроцесів
i
dQ   RdT  pdV
2
p  const
1 ізобарний процес
i
i2
i2
Q   RT  pV 
 RT 
pV
2
2
2
dQ
i2
Cp 

R
  dT
2
T  const
dT  0  dU  0 
V
m
Q

RT
ln
dQ  dA  pdV
M
V
2 ізотермічний процес
2
CT  
1
V  const
3 ізохорний процес
dV  0  dA  0 
i m
dQ  dU 
RdT
2M
i
Q  U   RT
2
i
CV  R
2
Рівняння Маєра
C p  CV  R
Адіабатним називається процес, який протікає без
теплообміну із зовнішнім середовищем dQ  0
Сp
R
1 
С p  СV  R
Рівняння Маєра
СV
СV
R
Сp
  1 

- показник Пуассона
СV
С
V
І Закон термодинаміки
i m
m
dQ 
RdT  pdV  CV
dT  pdV  0
2M
M
m
1
p
RT
M
V
рівняння Мендєлєєва – Клапейрона
m
m RT
RT
СV dT 
dV  0  СV dT 
dV  0 : TCV
M
M V
V
dT R dV

0
T CV V
ln T 
або
R
lnV  const
СV


R
d  ln T 
ln V   0
СV


ln T   1lnV  const,


lnT  lnV  1  const  ln T V  1  const  T V  1  const
T V  1  const - рівняння адіабати
M pV
З рівняння Менделєєва Клапейрона
T
m R
M pV  1
mRconst
 1
V  const  pV V 
 pV   const
m R
M
p
Рівняння адіабати
Адіабата
T V
Ізотерма
 1
 const
pV   const
V
Сp
i2


СV
i
Для одноатомного газу
Для двохатомного газу
Для трьохатомного газу
- показник адіабати
5
   1, 67
3
7
   1, 4
5
8
   1,33
6
ПОЛІТРОПНІ ПРОЦЕСИ
Політропними називають процеси, в яких теплоємність
тіла залишається сталою C  const
Запишемо рівняння І закону термодинаміки для одного моля газу
m

1
M
та врахуємо, що
dQ  CdT
CdT  СV dT  pdV
Рівняння Менделєєва – Клапейрона для одного моля має вигляд
pV  RT
Продиференціюємо це рівняння
pdV  Vdp  RdT
pdV  Vdp
 dT
R
C
pdV  Vdp
pdV  Vdp
 СV
 pdV  C  pdV  Vdp   СV  pdV  Vdp   RpdV
R
R
C  СV  R pdV  C  СV Vdp  0
Виконаємо заміну
С p  СV  R
dV
dp
C  C p   C  СV   0
V
p
Розділимо це співвідношення на
C  Cp
n
C  Cp
C  CV
C  CV
та розділимо рівняння на
pV
C  C lnV  C  С ln p  const
p
V
C  СV  Це можливо за умови
C  СV
lnV  ln p  const  ln pV n  const
- показник політропи
pV n  const
- рівняння політропного процесу
Усі ізопроцеси та адіабатний процес – це політропні процеси з
різними показниками політропи.
Для ізобарного процесу
C  Cp  n  0
Для ізотермічного процесу
n 1
Для ізохорного процесу
C  CV  n  
n
Для адіабатного процесу
Теплоємність ідеального газу для політропного процесу
C
nCV  C p
n 1
Робота при політ ропному процесі
для n  1
n 1

 V1  
p1V1
1    
A
n  1   V2  


Теорія, яка ґрунтується на статистичному методі дослідження
називається кінетичною теорією.
Кінетична теорія ґрунтується на наступних загальних
положеннях класичної статистичної фізики:
1. В системі частинок виконуються закони збереження імпульсу,
моменту імпульсу, енергії, електричного заряду (для систем
заряджених частинок) і числа частинок;
2. Всі частинки системи вважаються міченими, тобто
передбачається можливість відрізняти одну від одної тотожні
частинки;
3. Всі фізичні процеси в системі протікають у просторі і часі
неперервно;
4. Кожна частинка системи може мати довільні значення
координат (в межах об’єму системи) та компонент швидкості
незалежно від того, які значення цих характеристик у інших
частинок системи.
ЗАКОН РОЗПОДІЛУ МОЛЕКУЛ ЗА
ШВИДКОСТЯМИ І ЕНЕРГІЯМИ
(розподіл Максвела 1859 )
dn
Uz
dU
Ux
Uy
-кількість молекул в одиниці об’єму газу,
модулі швидкостей яких знаходяться в
межах від U до U  dU
кінці векторів швидкостей цих молекул
мають лежати у просторі швидкостей
всередині колового шару. Об’єм цього
шару d  4 u 2 du


Під час теплового руху з причини його безладності всі
напрямки швидкостей молекул рівно вірогідні. Тому число
dn  n0 f u  4u 2 du  n0 F u du
dn
F u  
 f  u   4 u 2
n0 du
- функція розподілу
dn -це вірогідність того, що модуль швидкості молекули
F u du 
n0 знаходиться в інтервалі від u до u  du - функція
розподілу молекул за модулями швидкостей
Розрахунки дають
3
 m0  
f u   
 e
 2kT 
2
m0u 2
2 kT 
Закон розподілу молекул за швидкостями (закон Максвела)
3
F u  T1
 m0 
dn  n0 
 e
 2kT 
T2
2

m0u 2
2 kT 
T3
u
2kT
2 RT
2
uB 

 vкв 
m0
M
3
де
 vкв 
4u 2 du
Найбільш вірогідна
швидкість відповідає
максимуму функції
розподілу
 d  m0u2  2kT 

2
4 u 
0
 e


 du 
u uB
3kT
m
Розподіл Максвелла
(дошка Гамільтона)
Росподіл Максвела дозволяє визначити середню арифметичну
швидкість поступального руху молекул ідеального газу
n0
u   uF u du
0
Середнє значення будь-якої фізичної величини з урахуванням закону
розподілу молекул за швидкостями в класичній статистичній фізиці
визначається за формулою n0
x   xF u du
0
 m 
u  n0 4  0 
 2kT 
3 
2
3 
u e
m0u 2
2 kT 
u 2 du
0
Після інтегрування отримаємо
8kT
8RT
4
8
u 

 uB 
 vкв 
 m0
M

3
ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА
ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ
МОЛЕКУЛ ЗА ШВИДКОСТЯМИ
BM  l
Дослід Штерна (1920)
N М
Схема приладу Штерна для визначення
швидкості молекул парів металу. Якщо
прилад обертається за годинниковою
стрілкою, то наліт срібла опиниться в
точці N.
С Обчислимо довжину дуги MN. Вона
дорівнює шляху, який проходить точка
циліндру за час польоту молекули від B
до циліндра, тобто s  ut
u
B
А
t l
v

ul
ul
s
 v
v
s
v  650 м с
За допомогою закону розподілу молекул за швидкостями можна
знайти розподіл молекул ідеального газу за кінетичними
енергіями їх теплового руху. Цей розподіл встановлює частку
dnWK
2
1
m0 u яких знаходяться в
молекул
, кінетичні енергії WK 
2
n
інтервалі від0 WK до WK  dWK В законі
3
 m 
dn  n0  0  e
 2kT 
2

m0u 2
 2 kT 
4u 2 du
Перейдемо від швидкості до енергії за формулами
2
W
K
u
du 
m0
dnWK  n0
2

kT 
3
2
e
W
 K
1
2
K
W
kT
dWK
2m0
WK dWK
dnWK
F2 WK  
2

kT 
3
2
e
W
 K
n0
kT
 F2 WK dW K
WK
- функція розподілу молекул
ідеального газу за кінетичними
енергіями
Середня кінетична енергія молекули ідеального газу:

WK
  WK F2 WK dW K
0
0

2
 kT 
WK
3
2
  WK e
0
3
 kT
2
W
 K
kT
3
WK dW K  kT
2
БАРОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА
Знайдемо закон зміни тиску ідеального газу з висотою в
однорідному полі тяжіння. Будемо вважати, що газ знаходиться в
стані термодинамічної рівноваги, так що його температура всюди
однакова. Виділимо на висоті
стовп abcd газу висотою dh і
площею основи, яка дорівнює одиниці. Різниця тисків p i p  dp
h
на нижню і верхню основи виділеного стовпа, тобто на висотах
h i h  dh
h
дорівнює гідростатичному тиску
h  dh
h
 dp  gdh
Знайдемо густину із рівняння Менделєєва –
Клапейрона:
pV 
m
m

pM
RT  p 
RT  RT   
M
VM
M
RT
pM
dp
gM
dp  
gdh, 

dh
RT
p
RT
gMh
p
gMh
ln p  ln p0  
,  ln
 ,
RT
p0
RT
Інтегрування дає
звідки
p  p0 e
p
gMh

RT
p0
Барометр
спеціально
градуйований для вимірювання
висоти над рівнем моря,
називається альтиметром. Він
використовується в авіації, під
час підйомів на гори і т.п.
h
Розподіл Больцмана
p  p0 e

gMh
RT
Барометрична формула дозволяє отримати співвідношення між
концентрацією газу на різній висоті. Візьмемо рівняння стану
ідеального газу у вигляді p  nkT
n  n0 e

gMh
RT
mgh WП
n  n0 e

Врахуємо, що
R
k

M m0
тоді
n  n0 e

m0 gh
kT
- потенціальна енергія молекули в однорідному полі
тяжіння поблизу поверхні Землі
WK
kT
ЗАКОН БОЛЬЦМАНА ДЛЯ РОЗПОДІЛУ ЧАСТИНОК
У ЗОВНІШНЬОМУ ПОТЕНЦІАЛЬНОМУ ПОЛІ
Закон Больцмана є справедливим для будь-якого потенціального
поля незалежно від його фізичної природи.
Розподіл Больцмана