рівняння адіабати
Download
Report
Transcript рівняння адіабати
• Перший закон термодинаміки є законом
збереження енергії, який сформульований у вигляді,
зручному для розгляду теплових процесів: кількість
теплоти, надана системі, йде на зміну внутрішньої
енергії системи і здійснення системою роботи:
dQ dU dA
i
dQ RdT pdV
2
Застосування І закону
термодинаміки до ізопроцесів
i
dQ RdT pdV
2
p const
1 ізобарний процес
i
i2
i2
Q RT pV
RT
pV
2
2
2
dQ
i2
Cp
R
dT
2
T const
dT 0 dU 0
V
m
Q
RT
ln
dQ dA pdV
M
V
2 ізотермічний процес
2
CT
1
V const
3 ізохорний процес
dV 0 dA 0
i m
dQ dU
RdT
2M
i
Q U RT
2
i
CV R
2
Рівняння Маєра
C p CV R
Адіабатним називається процес, який протікає без
теплообміну із зовнішнім середовищем dQ 0
Сp
R
1
С p СV R
Рівняння Маєра
СV
СV
R
Сp
1
- показник Пуассона
СV
С
V
І Закон термодинаміки
i m
m
dQ
RdT pdV CV
dT pdV 0
2M
M
m
1
p
RT
M
V
рівняння Мендєлєєва – Клапейрона
m
m RT
RT
СV dT
dV 0 СV dT
dV 0 : TCV
M
M V
V
dT R dV
0
T CV V
ln T
або
R
lnV const
СV
R
d ln T
ln V 0
СV
ln T 1lnV const,
lnT lnV 1 const ln T V 1 const T V 1 const
T V 1 const - рівняння адіабати
M pV
З рівняння Менделєєва Клапейрона
T
m R
M pV 1
mRconst
1
V const pV V
pV const
m R
M
p
Рівняння адіабати
Адіабата
T V
Ізотерма
1
const
pV const
V
Сp
i2
СV
i
Для одноатомного газу
Для двохатомного газу
Для трьохатомного газу
- показник адіабати
5
1, 67
3
7
1, 4
5
8
1,33
6
ПОЛІТРОПНІ ПРОЦЕСИ
Політропними називають процеси, в яких теплоємність
тіла залишається сталою C const
Запишемо рівняння І закону термодинаміки для одного моля газу
m
1
M
та врахуємо, що
dQ CdT
CdT СV dT pdV
Рівняння Менделєєва – Клапейрона для одного моля має вигляд
pV RT
Продиференціюємо це рівняння
pdV Vdp RdT
pdV Vdp
dT
R
C
pdV Vdp
pdV Vdp
СV
pdV C pdV Vdp СV pdV Vdp RpdV
R
R
C СV R pdV C СV Vdp 0
Виконаємо заміну
С p СV R
dV
dp
C C p C СV 0
V
p
Розділимо це співвідношення на
C Cp
n
C Cp
C CV
C CV
та розділимо рівняння на
pV
C C lnV C С ln p const
p
V
C СV Це можливо за умови
C СV
lnV ln p const ln pV n const
- показник політропи
pV n const
- рівняння політропного процесу
Усі ізопроцеси та адіабатний процес – це політропні процеси з
різними показниками політропи.
Для ізобарного процесу
C Cp n 0
Для ізотермічного процесу
n 1
Для ізохорного процесу
C CV n
n
Для адіабатного процесу
Теплоємність ідеального газу для політропного процесу
C
nCV C p
n 1
Робота при політ ропному процесі
для n 1
n 1
V1
p1V1
1
A
n 1 V2
Теорія, яка ґрунтується на статистичному методі дослідження
називається кінетичною теорією.
Кінетична теорія ґрунтується на наступних загальних
положеннях класичної статистичної фізики:
1. В системі частинок виконуються закони збереження імпульсу,
моменту імпульсу, енергії, електричного заряду (для систем
заряджених частинок) і числа частинок;
2. Всі частинки системи вважаються міченими, тобто
передбачається можливість відрізняти одну від одної тотожні
частинки;
3. Всі фізичні процеси в системі протікають у просторі і часі
неперервно;
4. Кожна частинка системи може мати довільні значення
координат (в межах об’єму системи) та компонент швидкості
незалежно від того, які значення цих характеристик у інших
частинок системи.
ЗАКОН РОЗПОДІЛУ МОЛЕКУЛ ЗА
ШВИДКОСТЯМИ І ЕНЕРГІЯМИ
(розподіл Максвела 1859 )
dn
Uz
dU
Ux
Uy
-кількість молекул в одиниці об’єму газу,
модулі швидкостей яких знаходяться в
межах від U до U dU
кінці векторів швидкостей цих молекул
мають лежати у просторі швидкостей
всередині колового шару. Об’єм цього
шару d 4 u 2 du
Під час теплового руху з причини його безладності всі
напрямки швидкостей молекул рівно вірогідні. Тому число
dn n0 f u 4u 2 du n0 F u du
dn
F u
f u 4 u 2
n0 du
- функція розподілу
dn -це вірогідність того, що модуль швидкості молекули
F u du
n0 знаходиться в інтервалі від u до u du - функція
розподілу молекул за модулями швидкостей
Розрахунки дають
3
m0
f u
e
2kT
2
m0u 2
2 kT
Закон розподілу молекул за швидкостями (закон Максвела)
3
F u T1
m0
dn n0
e
2kT
T2
2
m0u 2
2 kT
T3
u
2kT
2 RT
2
uB
vкв
m0
M
3
де
vкв
4u 2 du
Найбільш вірогідна
швидкість відповідає
максимуму функції
розподілу
d m0u2 2kT
2
4 u
0
e
du
u uB
3kT
m
Розподіл Максвелла
(дошка Гамільтона)
Росподіл Максвела дозволяє визначити середню арифметичну
швидкість поступального руху молекул ідеального газу
n0
u uF u du
0
Середнє значення будь-якої фізичної величини з урахуванням закону
розподілу молекул за швидкостями в класичній статистичній фізиці
визначається за формулою n0
x xF u du
0
m
u n0 4 0
2kT
3
2
3
u e
m0u 2
2 kT
u 2 du
0
Після інтегрування отримаємо
8kT
8RT
4
8
u
uB
vкв
m0
M
3
ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА
ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ
МОЛЕКУЛ ЗА ШВИДКОСТЯМИ
BM l
Дослід Штерна (1920)
N М
Схема приладу Штерна для визначення
швидкості молекул парів металу. Якщо
прилад обертається за годинниковою
стрілкою, то наліт срібла опиниться в
точці N.
С Обчислимо довжину дуги MN. Вона
дорівнює шляху, який проходить точка
циліндру за час польоту молекули від B
до циліндра, тобто s ut
u
B
А
t l
v
ul
ul
s
v
v
s
v 650 м с
За допомогою закону розподілу молекул за швидкостями можна
знайти розподіл молекул ідеального газу за кінетичними
енергіями їх теплового руху. Цей розподіл встановлює частку
dnWK
2
1
m0 u яких знаходяться в
молекул
, кінетичні енергії WK
2
n
інтервалі від0 WK до WK dWK В законі
3
m
dn n0 0 e
2kT
2
m0u 2
2 kT
4u 2 du
Перейдемо від швидкості до енергії за формулами
2
W
K
u
du
m0
dnWK n0
2
kT
3
2
e
W
K
1
2
K
W
kT
dWK
2m0
WK dWK
dnWK
F2 WK
2
kT
3
2
e
W
K
n0
kT
F2 WK dW K
WK
- функція розподілу молекул
ідеального газу за кінетичними
енергіями
Середня кінетична енергія молекули ідеального газу:
WK
WK F2 WK dW K
0
0
2
kT
WK
3
2
WK e
0
3
kT
2
W
K
kT
3
WK dW K kT
2
БАРОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА
Знайдемо закон зміни тиску ідеального газу з висотою в
однорідному полі тяжіння. Будемо вважати, що газ знаходиться в
стані термодинамічної рівноваги, так що його температура всюди
однакова. Виділимо на висоті
стовп abcd газу висотою dh і
площею основи, яка дорівнює одиниці. Різниця тисків p i p dp
h
на нижню і верхню основи виділеного стовпа, тобто на висотах
h i h dh
h
дорівнює гідростатичному тиску
h dh
h
dp gdh
Знайдемо густину із рівняння Менделєєва –
Клапейрона:
pV
m
m
pM
RT p
RT RT
M
VM
M
RT
pM
dp
gM
dp
gdh,
dh
RT
p
RT
gMh
p
gMh
ln p ln p0
, ln
,
RT
p0
RT
Інтегрування дає
звідки
p p0 e
p
gMh
RT
p0
Барометр
спеціально
градуйований для вимірювання
висоти над рівнем моря,
називається альтиметром. Він
використовується в авіації, під
час підйомів на гори і т.п.
h
Розподіл Больцмана
p p0 e
gMh
RT
Барометрична формула дозволяє отримати співвідношення між
концентрацією газу на різній висоті. Візьмемо рівняння стану
ідеального газу у вигляді p nkT
n n0 e
gMh
RT
mgh WП
n n0 e
Врахуємо, що
R
k
M m0
тоді
n n0 e
m0 gh
kT
- потенціальна енергія молекули в однорідному полі
тяжіння поблизу поверхні Землі
WK
kT
ЗАКОН БОЛЬЦМАНА ДЛЯ РОЗПОДІЛУ ЧАСТИНОК
У ЗОВНІШНЬОМУ ПОТЕНЦІАЛЬНОМУ ПОЛІ
Закон Больцмана є справедливим для будь-якого потенціального
поля незалежно від його фізичної природи.
Розподіл Больцмана