Transcript Marquinhos – Revisao Final SemiTarde – UFRGS 2013

Questão 1: Seja M uma matriz quadrada de ordem 3. Sabendo
que det(M) = 10, calcule:
a) det(Mt)  d e t(M t )= d e t(M )= 1 0
b)
det(M-1)
 d e t(M
-1
)=  d e t(M ) 
2a
2b
2c
c) det(B)  3 d
3e
3f
-5h
-5i
-5g
4a
4b
4c
d) det(4M)  4 d
4e
4f
4g
4h
-1
=
1
d e t(M )
=
1
10
 d e t(B )= d e t(M )× 2 × 3 × (- 5 )=
= d e t(M )× (- 3 0 ) = - 3 0 0
 d e t(4 M )= d e t(M )× 4 × 4 × 4 =
3
4 i = 4 × d e t(M )= 6 4 × 1 0 = 6 4 0
Questão 2: Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros
de lados 4 e 6, respectivamente.
D
E
A
C
B
A área do quadrilátero ACDE é
(A) 1 9
3
2
(B) 1 9
(C) 1 9
3
2
(D) 1 9 2
(E) 1 9 3
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
60o
L
60o
a
L
A =
L
2
4
h
60o
h=
3
L
L
a=
h
3
3
2
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
h
b
h
h
b
b
ÁREA = BASE x ALTURA = b xh
2
2
a

b
Á R E A = a . b . sen 
2
D
E
60o
4
60o
6
6
4
60o
60o
60o
A
A ABE = 4
ABCD = 6
ABDE

2
4
2
4
4
3
60o
B
60o
6
C
A ABE = 4 3
+
3
4 .6 .se n 6 0
2
ABCD = 9 3
0
+
ABDE = 6 3
A ACDE  1 9 3
Questão 3: Determine o número de soluções para a
-x 2
equação
4
+ 1 = c o s 2 x  .
x
2
4
 1  co s  2 x 
f(x)
f x  =
-x
2
4
 Suas raízes são 2 e –2.
 Seu vértice é o ponto (0, 1).
xV 
2a
'
ou
yV  f xV  
g(x)
g(x) = cos(2x)
+1
 Tem concavidade voltada
para baixo (a < 0).
b
k
xV 

4a
x  x
2
"
 Sua imagem é [-1, 1].
 Seu período é  .
P =
2
k
P =
2
2
= 
f x  =
-x
4
2
+1
g(x) = cos(2x)
x
4
2
 1  co s  2 x 
f(x)
=
g(x)
As soluções da equação correspondem às abscissas
das intersecções entre os dois gráficos.
Assim, a equação possui 3 soluções.
Questão 4: Marque a alternativa que apresenta coerência
entre as formas das taças e seus respectivos volumes.
(A) 1 litro,
2 litros,
3 litros
(B) 1 litro,
2,5 litros,
3 litros
(C)
1 litro,
2 litros,
4 litros
(D)
2 litros,
3 litros,
4 litros
(E) 2 litros,
3 litros,
6 litros
VOLUMES DE PRISMAS E CILINDROS
h
VOLUME = ÁREA DA BASE x ALTURA
VOLUMES DE PIRÂMIDES E CONES
h
VOLUM E = ÁREA DA BASE x ALTURA
3
ESFERAS E SEMIESFERAS
V
ESFERA
3
4
 R
3
V
S E M IE S F E R A
A ESFERA  4  R
2
V

ESFERA
2
1
1
1
1
1
2
V =  R .h
3
V CONE = 
3
1

V= 
R
3
2
V = 
3
V S E M IE S F E R A  2 . V C O N E
2
V =  R .h
V=
=
3
3
V C IL IN D R O  3 . V C O N E
Questão 5: As circunferências que se interceptam
são tangentes entre si. Se o raio das circunferências de centro A e B mede 8 e se as menores
têm o mesmo raio, calcule o valor da área
sombreada.
8
8
x+8
4x
4x - 8
4x - 8
x
x
x
x
2
2
 8    4x  8   x
2
Resolvendo a equação,
temos como solução x = 5.
Dessa forma, as
circunferências menores têm
raio 5 e a maior tem raio 20.
=   20
2
-4  5
2
-2  8
2
= 172
Questão 6: Calcule o volume do maior cubo que pode ser inscrito em uma
pirâmide quadrangular regular de aresta da base 3 e altura 6.
ALTURA
a ltu ra

ARESTA
a re sta

6
6L
6L  18  3L  9L  18 

3
L
L2
L  2  Volume  L3  8
Questão 7: Considere a figura, onde A é a esfera
maior e B a menor. A distância entre os centros
das duas esferas é igual à distância do centro de
B ao vértice do cone.
As esferas são tangentes
entre si e à superfície
lateral do cone. Calcule a
razão entre os volumes
de A e B.
RETA TANGENTE À
CIRCUNFERÊNCIA
R
Perpendicular ao raio no
ponto de tangência
d
r
d
Se a hipotenusa dobrou ...
... o raio também dobrou!
R
r
L o g o,
R
r

2d
d
 2  R  2r.
Razão de Semelhança para
polígonos e sólidos semelhantes
(
2
)
C O M PG R A N D E
=
C O M PP E Q U E N O
Á R E A GRANDE
Á R E A PEQUENO
(
)
C O M PG R A N D E
C O M PP E Q U E N O
L o g o,
V o lu m e A
V o lu m e B
3
=
 R aio A 
 

R
aio
B 

3
V O L U M EGRANDE
V O L U M EPEQUEN O
R 
  
r 
3
 2
3
 8.
Questão 8: Calcule a distância entre os centros das
circunferências de raio 3 e tangentes à reta 4x+3y=0,
sendo os centros pertencentes ao eixo das ordenadas.
PONTO PERTENCENTE AO
EIXO DAS ORDENADAS
P = (0, y)
A distância do centro da
circunferência à reta
tangente é igual ao raio
RETA TANGENTE À
CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA
Reta na forma geral Ax + By + C = 0 e ponto P = (x0, y0).
d=
A .x 0 + B .y 0 + C
2
A + B
2
A = 4, B = 3, C = 0,
x0 = 0, y0 = y e d = 3
Reta t: 4x + 3y = 0,
ponto P = (0, y) e raio 3
3=
4 .0 + 3 .y + 0
2
4 +3
+
3=
2
3y
3y  1 5
5
3y = 15
y=5
C1 = (0, 5)
3y = -15
y = -5
C2 = (0, -5)
3y  1 5
-
5
C1
10
-5
C2
Reta t
Questão 9: Num trapézio isósceles, as bases medem 2 e 8; a
altura mede 4. Qual é o volume do sólido (ou a área lateral)
obtido(a) ao girarmos esse trapézio em torno de sua base
menor?
Observe o trapézio isósceles abaixo.
A rotação desse quadrilátero em torno de sua base menor produz um
sólido que pode ser analisado a partir do cilindro e cones “formados”.
Há um cilindro cuja altura é 8 e o
raio da base é 4.
4
Há dois cones que estão inseridos
“dentro” do cilindro. Em cada um
3 deles, o raio da base é 4 e a altura
é 3.
8
2
4
Assim, podemos calcular o volume
2
2 desse sólido.
 .r .h
V
4
´
S o lid o
 .r .h
2
3
V
V
  .4 .8  2 .
2
´
S o lido
4
 VC ilin d ro  2 .VC o n e 3
´
S o lid o
 .4 .3
2
3
 1 2 8  3 2   9 6 
Da mesma forma, podemos calcular a área lateral desse sólido,
analisando o cilindro e os cones “formados”.
Há o cilindro cuja altura é 8 e o raio da base é 4.
Há os cones que estão inseridos
“dentro” do cilindro. Em cada um
deles, o raio da base é 4 e a altura
é 3.
5
3 A geratriz de cada um desses cones
mede 5.
8
2
4
Assim, podemos calcular a área
lateral desse sólido.
 .r.g
A Lat  A Lat
3
C ilin dro
 2 .A Lat
C on e
2. .r.h
A Lat  2 . . 4 . 8  2 . . 4 . 5
A Lat  64  4 0  10 4