Transcript Apresentação do PowerPoint
Slide 1
Questão 1: Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros
de lados 4 e 6, respectivamente.
D
E
A
C
B
A área do quadrilátero ACDE é
(A) 1 9
3
2
(B) 1 9
(C) 1 9
3
2
(D) 1 9 2
(E) 1 9 3
Slide 2
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
60o
L
60o
a
L
A =
L
2
4
h
60o
h=
3
L
L
a=
h
3
3
2
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
h
b
h
h
b
b
ÁREA = BASE x ALTURA = b xh
2
2
a
b
Á R E A = a . b . sen
2
Slide 3
D
E
60o
4
60o
6
6
4
60o
60o
60o
A
A ABE = 4
ABCD = 6
ABDE
2
4
2
4
4
3
60o
B
60o
6
C
A ABE = 4 3
+
3
4 .6 .se n 6 0
2
ABCD = 9 3
0
+
ABDE = 6 3
A ACDE 1 9 3
Slide 4
Questão 1: Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros
de lados 4 e 6, respectivamente.
D
E
A
C
B
A área do quadrilátero ACDE é
(A) 1 9
3
2
(B) 1 9
(C) 1 9
3
2
(D) 1 9 2
(E) 1 9 3
Slide 5
Questão 2: Determine a área (ou o perímetro) de um
dodecágono regular inscrito num círculo de raio unitário.
Slide 6
Observe o dodecágono regular inscrito no círculo de raio unitário.
Esse dodecágono regular é composto por 12 triângulos isósceles
congruentes cujos lados são iguais ao raio do círculo.
1
1
0
30
Podemos calcular a medida do
ângulo :
0
360
0
30 .
12
Assim, podemos calcular a área
de cada um desses triângulos:
A T ri
1 . 1 . se n 30
0
2
Em seguida, a área desse
dodecágono regular:
A Dod 1 2 .
1
4
3.
1
4
.
Slide 7
Por outro lado, se fosse necessário calcular o perímetro desse dodecágono regular, teríamos que calcular a medida do seu lado L.
L
2 lados + 1 ângulo
1
1
300
LEI DOS COSSENOS
L 1 1 2 . 1 . 1 . co s 30
2
2
L 2
2
L
2
2
3
3
Depois disso, podemos
calcular o perímetro desse
dodecágono regular.
2p D o d 12 .L
2p D o d 12 .
2
3
0
Slide 8
Questão 3: As circunferências que se interceptam
são tangentes entre si. Se o raio das circunferências de centro A e B mede 8 e se as menores
têm o mesmo raio, calcule o valor da área
sombreada.
Slide 9
8
8
x+8
4x
4x - 8
4x - 8
x
x
x
x
2
2
8 4x 8 x
2
Resolvendo a equação,
temos como solução x = 5.
Dessa forma, as
circunferências menores têm
raio 5 e a maior tem raio 20.
= 20
2
-4 5
2
-2 8
2
= 172
Slide 10
Questão 4: Marque a alternativa que apresenta coerência
entre as formas das taças e seus respectivos volumes.
(A) 1 litro,
2 litros,
3 litros
(B) 1 litro,
2,5 litros,
3 litros
(C)
1 litro,
2 litros,
4 litros
(D)
2 litros,
3 litros,
4 litros
(E) 2 litros,
3 litros,
6 litros
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VOLUMES DE PRISMAS E CILINDROS
h
VOLUME = ÁREA DA BASE x ALTURA
Slide 12
VOLUMES DE PIRÂMIDES E CONES
h
VOLUM E = ÁREA DA BASE x ALTURA
3
Slide 13
ESFERAS E SEMIESFERAS
V
ESFERA
3
4
R
3
V
S E M IE S F E R A
A ESFERA 4 R
2
V
ESFERA
2
Slide 14
1
1
1
1
1
2
V = R .h
3
V CONE =
3
1
V=
R
3
2
V =
3
V S E M IE S F E R A 2 . V C O N E
2
V = R .h
V=
=
3
3
V C IL IN D R O 3 . V C O N E
Slide 15
Questão 4: Marque a alternativa que apresenta coerência
entre as formas das taças e seus respectivos volumes.
(A) 1 litro,
2 litros,
3 litros
(B) 1 litro,
2,5 litros,
3 litros
(C)
1 litro,
2 litros,
4 litros
(D)
2 litros,
3 litros,
4 litros
(E) 2 litros,
3 litros,
6 litros
Slide 16
Questão 5: Se o prisma abaixo tem 1 de volume, calcule o
volume da pirâmide com vértice no ponto médio de uma aresta
lateral do prisma.
A) 1/2
B) 1/4
C)
1/8
D) 1/12
E) 1/16
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MESMA BASE
MESMA ALTURA
VP IR =
VP R I
3
VP R I
METADE DA BASE
MESMA ALTURA
VP IR = 3
2
=
VP R I
VP R I
METADE DA BASE
METADE DA ALTURA
VP IR = 6
2
=
6
VP R I
12
Slide 18
Questão 5: Se o prisma abaixo tem 1 de volume, calcule o
volume da pirâmide com vértice no ponto médio de uma aresta
lateral do prisma.
A) 1/2
B) 1/4
C)
1/8
D) 1/12
E) 1/16
Slide 19
Questão 6: O volume da esfera inscrita no cone
abaixo é
36 cm3 .
A
8
O
r
B
D
r
ADC AOP
r
P
10
6
8r
10
16 r 48
V esf
r
4
3
4
3
r
3
48
16
C
6
V esf
10 r 48 6 r
V esf
4
3
3
3
27 4 9 36 cm
3
3
Slide 20
Questão 7: Calcule o volume do maior cubo que pode ser inscrito em uma
pirâmide quadrangular regular de aresta da base 3 e altura 6.
ALTURA
a ltu ra
ARESTA
a re sta
6
6L
6L 18 3L 9L 18
L2
V o lu m e L 8
3
3
L
Slide 21
Questão 7: Considere a figura, onde A é a esfera
maior e B a menor. A distância entre os centros
das duas esferas é igual à distância do centro de
B ao vértice do cone.
As esferas são tangentes
entre si e à superfície
lateral do cone. Calcule a
razão entre os volumes
de A e B.
Slide 22
RETA TANGENTE À
CIRCUNFERÊNCIA
R
Perpendicular ao raio no
ponto de tangência
d
r
d
Se a hipotenusa dobrou ...
... o raio também dobrou!
R
r
L o g o,
R
r
2d
d
2 R 2r.
Slide 23
Razão de Semelhança para
polígonos e sólidos semelhantes
(
2
)
C O M PG R A N D E
=
C O M PP E Q U E N O
Á R E A GRANDE
Á R E A PEQUENO
(
)
C O M PG R A N D E
C O M PP E Q U E N O
L o g o,
V o lu m e A
V o lu m e B
3
=
R aio A
R
aio
B
3
V O L U M EGRANDE
V O L U M EPEQUEN O
R
r
3
2
3
8.
Slide 24
Questão 8: Calcule a distância entre os centros das
circunferências de raio 3 e tangentes à reta 4x+3y=0,
sendo os centros pertencentes ao eixo das ordenadas.
PONTO PERTENCENTE AO
EIXO DAS ORDENADAS
P = (0, y)
A distância do centro da
circunferência à reta
tangente é igual ao raio.
RETA TANGENTE À
CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA
Reta na forma geral Ax + By + C = 0 e ponto P = (x0, y0).
d=
A .x 0 + B .y 0 + C
2
A + B
2
Slide 25
A = 4, B = 3, C = 0,
x0 = 0, y0 = y e d = 3
Reta t: 4x + 3y = 0,
ponto P = (0, y) e raio 3
3=
4 .0 + 3 .y + 0
2
4 +3
+
3=
2
3y
3y 1 5
5
3y = 15
y=5
C1 = (0, 5)
3y = -15
y = -5
C2 = (0, -5)
3y 1 5
-
Slide 26
5
C1
10
-5
C2
Reta t
Slide 27
Questão 9: Num trapézio isósceles, as bases medem 2 e 8; a
altura mede 4. Qual é o volume do sólido (ou a área lateral)
obtido(a) ao girarmos esse trapézio em torno de sua base
menor?
Slide 28
Observe o trapézio isósceles abaixo.
A rotação desse quadrilátero em torno de sua base menor produz um
sólido que pode ser analisado a partir do cilindro e cones “formados”.
Há um cilindro cuja altura é 8 e o
raio da base é 4.
4
Há dois cones que estão inseridos
“dentro” do cilindro. Em cada um
3 deles, o raio da base é 4 e a altura
é 3.
8
2
4
Assim, podemos calcular o volume
2
2 desse sólido.
.r .h
V
4
´
S o lid o
.r .h
2
3
V
V
.4 .8 2 .
2
´
S o lido
4
VC ilin d ro 2 .VC o n e 3
´
S o lid o
.4 .3
2
3
1 2 8 3 2 9 6
Slide 29
Da mesma forma, podemos calcular a área lateral desse sólido,
analisando o cilindro e os cones “formados”.
Há o cilindro cuja altura é 8 e o raio da base é 4.
Há os cones que estão inseridos
“dentro” do cilindro. Em cada um
deles, o raio da base é 4 e a altura
é 3.
5
3 A geratriz de cada um desses cones
mede 5.
8
2
4
Assim, podemos calcular a área
lateral desse sólido.
.r.g
A Lat A Lat
3
C ilin dro
2 .A Lat
C on e
2. .r.h
A Lat 2 . . 4 . 8 2 . . 4 . 5
A Lat 64 4 0 10 4
Questão 1: Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros
de lados 4 e 6, respectivamente.
D
E
A
C
B
A área do quadrilátero ACDE é
(A) 1 9
3
2
(B) 1 9
(C) 1 9
3
2
(D) 1 9 2
(E) 1 9 3
Slide 2
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
60o
L
60o
a
L
A =
L
2
4
h
60o
h=
3
L
L
a=
h
3
3
2
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
h
b
h
h
b
b
ÁREA = BASE x ALTURA = b xh
2
2
a
b
Á R E A = a . b . sen
2
Slide 3
D
E
60o
4
60o
6
6
4
60o
60o
60o
A
A ABE = 4
ABCD = 6
ABDE
2
4
2
4
4
3
60o
B
60o
6
C
A ABE = 4 3
+
3
4 .6 .se n 6 0
2
ABCD = 9 3
0
+
ABDE = 6 3
A ACDE 1 9 3
Slide 4
Questão 1: Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros
de lados 4 e 6, respectivamente.
D
E
A
C
B
A área do quadrilátero ACDE é
(A) 1 9
3
2
(B) 1 9
(C) 1 9
3
2
(D) 1 9 2
(E) 1 9 3
Slide 5
Questão 2: Determine a área (ou o perímetro) de um
dodecágono regular inscrito num círculo de raio unitário.
Slide 6
Observe o dodecágono regular inscrito no círculo de raio unitário.
Esse dodecágono regular é composto por 12 triângulos isósceles
congruentes cujos lados são iguais ao raio do círculo.
1
1
0
30
Podemos calcular a medida do
ângulo :
0
360
0
30 .
12
Assim, podemos calcular a área
de cada um desses triângulos:
A T ri
1 . 1 . se n 30
0
2
Em seguida, a área desse
dodecágono regular:
A Dod 1 2 .
1
4
3.
1
4
.
Slide 7
Por outro lado, se fosse necessário calcular o perímetro desse dodecágono regular, teríamos que calcular a medida do seu lado L.
L
2 lados + 1 ângulo
1
1
300
LEI DOS COSSENOS
L 1 1 2 . 1 . 1 . co s 30
2
2
L 2
2
L
2
2
3
3
Depois disso, podemos
calcular o perímetro desse
dodecágono regular.
2p D o d 12 .L
2p D o d 12 .
2
3
0
Slide 8
Questão 3: As circunferências que se interceptam
são tangentes entre si. Se o raio das circunferências de centro A e B mede 8 e se as menores
têm o mesmo raio, calcule o valor da área
sombreada.
Slide 9
8
8
x+8
4x
4x - 8
4x - 8
x
x
x
x
2
2
8 4x 8 x
2
Resolvendo a equação,
temos como solução x = 5.
Dessa forma, as
circunferências menores têm
raio 5 e a maior tem raio 20.
= 20
2
-4 5
2
-2 8
2
= 172
Slide 10
Questão 4: Marque a alternativa que apresenta coerência
entre as formas das taças e seus respectivos volumes.
(A) 1 litro,
2 litros,
3 litros
(B) 1 litro,
2,5 litros,
3 litros
(C)
1 litro,
2 litros,
4 litros
(D)
2 litros,
3 litros,
4 litros
(E) 2 litros,
3 litros,
6 litros
Slide 11
VOLUMES DE PRISMAS E CILINDROS
h
VOLUME = ÁREA DA BASE x ALTURA
Slide 12
VOLUMES DE PIRÂMIDES E CONES
h
VOLUM E = ÁREA DA BASE x ALTURA
3
Slide 13
ESFERAS E SEMIESFERAS
V
ESFERA
3
4
R
3
V
S E M IE S F E R A
A ESFERA 4 R
2
V
ESFERA
2
Slide 14
1
1
1
1
1
2
V = R .h
3
V CONE =
3
1
V=
R
3
2
V =
3
V S E M IE S F E R A 2 . V C O N E
2
V = R .h
V=
=
3
3
V C IL IN D R O 3 . V C O N E
Slide 15
Questão 4: Marque a alternativa que apresenta coerência
entre as formas das taças e seus respectivos volumes.
(A) 1 litro,
2 litros,
3 litros
(B) 1 litro,
2,5 litros,
3 litros
(C)
1 litro,
2 litros,
4 litros
(D)
2 litros,
3 litros,
4 litros
(E) 2 litros,
3 litros,
6 litros
Slide 16
Questão 5: Se o prisma abaixo tem 1 de volume, calcule o
volume da pirâmide com vértice no ponto médio de uma aresta
lateral do prisma.
A) 1/2
B) 1/4
C)
1/8
D) 1/12
E) 1/16
Slide 17
MESMA BASE
MESMA ALTURA
VP IR =
VP R I
3
VP R I
METADE DA BASE
MESMA ALTURA
VP IR = 3
2
=
VP R I
VP R I
METADE DA BASE
METADE DA ALTURA
VP IR = 6
2
=
6
VP R I
12
Slide 18
Questão 5: Se o prisma abaixo tem 1 de volume, calcule o
volume da pirâmide com vértice no ponto médio de uma aresta
lateral do prisma.
A) 1/2
B) 1/4
C)
1/8
D) 1/12
E) 1/16
Slide 19
Questão 6: O volume da esfera inscrita no cone
abaixo é
36 cm3 .
A
8
O
r
B
D
r
ADC AOP
r
P
10
6
8r
10
16 r 48
V esf
r
4
3
4
3
r
3
48
16
C
6
V esf
10 r 48 6 r
V esf
4
3
3
3
27 4 9 36 cm
3
3
Slide 20
Questão 7: Calcule o volume do maior cubo que pode ser inscrito em uma
pirâmide quadrangular regular de aresta da base 3 e altura 6.
ALTURA
a ltu ra
ARESTA
a re sta
6
6L
6L 18 3L 9L 18
L2
V o lu m e L 8
3
3
L
Slide 21
Questão 7: Considere a figura, onde A é a esfera
maior e B a menor. A distância entre os centros
das duas esferas é igual à distância do centro de
B ao vértice do cone.
As esferas são tangentes
entre si e à superfície
lateral do cone. Calcule a
razão entre os volumes
de A e B.
Slide 22
RETA TANGENTE À
CIRCUNFERÊNCIA
R
Perpendicular ao raio no
ponto de tangência
d
r
d
Se a hipotenusa dobrou ...
... o raio também dobrou!
R
r
L o g o,
R
r
2d
d
2 R 2r.
Slide 23
Razão de Semelhança para
polígonos e sólidos semelhantes
(
2
)
C O M PG R A N D E
=
C O M PP E Q U E N O
Á R E A GRANDE
Á R E A PEQUENO
(
)
C O M PG R A N D E
C O M PP E Q U E N O
L o g o,
V o lu m e A
V o lu m e B
3
=
R aio A
R
aio
B
3
V O L U M EGRANDE
V O L U M EPEQUEN O
R
r
3
2
3
8.
Slide 24
Questão 8: Calcule a distância entre os centros das
circunferências de raio 3 e tangentes à reta 4x+3y=0,
sendo os centros pertencentes ao eixo das ordenadas.
PONTO PERTENCENTE AO
EIXO DAS ORDENADAS
P = (0, y)
A distância do centro da
circunferência à reta
tangente é igual ao raio.
RETA TANGENTE À
CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA
Reta na forma geral Ax + By + C = 0 e ponto P = (x0, y0).
d=
A .x 0 + B .y 0 + C
2
A + B
2
Slide 25
A = 4, B = 3, C = 0,
x0 = 0, y0 = y e d = 3
Reta t: 4x + 3y = 0,
ponto P = (0, y) e raio 3
3=
4 .0 + 3 .y + 0
2
4 +3
+
3=
2
3y
3y 1 5
5
3y = 15
y=5
C1 = (0, 5)
3y = -15
y = -5
C2 = (0, -5)
3y 1 5
-
Slide 26
5
C1
10
-5
C2
Reta t
Slide 27
Questão 9: Num trapézio isósceles, as bases medem 2 e 8; a
altura mede 4. Qual é o volume do sólido (ou a área lateral)
obtido(a) ao girarmos esse trapézio em torno de sua base
menor?
Slide 28
Observe o trapézio isósceles abaixo.
A rotação desse quadrilátero em torno de sua base menor produz um
sólido que pode ser analisado a partir do cilindro e cones “formados”.
Há um cilindro cuja altura é 8 e o
raio da base é 4.
4
Há dois cones que estão inseridos
“dentro” do cilindro. Em cada um
3 deles, o raio da base é 4 e a altura
é 3.
8
2
4
Assim, podemos calcular o volume
2
2 desse sólido.
.r .h
V
4
´
S o lid o
.r .h
2
3
V
V
.4 .8 2 .
2
´
S o lido
4
VC ilin d ro 2 .VC o n e 3
´
S o lid o
.4 .3
2
3
1 2 8 3 2 9 6
Slide 29
Da mesma forma, podemos calcular a área lateral desse sólido,
analisando o cilindro e os cones “formados”.
Há o cilindro cuja altura é 8 e o raio da base é 4.
Há os cones que estão inseridos
“dentro” do cilindro. Em cada um
deles, o raio da base é 4 e a altura
é 3.
5
3 A geratriz de cada um desses cones
mede 5.
8
2
4
Assim, podemos calcular a área
lateral desse sólido.
.r.g
A Lat A Lat
3
C ilin dro
2 .A Lat
C on e
2. .r.h
A Lat 2 . . 4 . 8 2 . . 4 . 5
A Lat 64 4 0 10 4