wykład IV - fonon.univ.rzeszow.pl
Download
Report
Transcript wykład IV - fonon.univ.rzeszow.pl
Mechanika Kwantowa
II. Matematyczne podstawy MK
WYKŁAD 4
Formalizm matematyczny MK – cz. II
Plan wykładu
•
•
•
•
•
operatory liniowe,
zagadnienie własne,
diagonalizacja macierzy,
formalizm hamiltonowski mechaniki
klasycznej,
równania kanoniczne, nawiasy Poissona.
Operatory liniowe
Operator to odwzorowanie przyporządkowujące
pewnemu wektorowi V inny wektor V , co
zapisujemy w postaci:
V V
Operatory mogą także działać na wektory bra:
W W
UWAGA! Będziemy zajmować się wyłącznie
operatorami, które nie wyprowadzają nas poza
daną przestrzeń wektorową, tzn.:
W
V W V
Operatory liniowe
Operatory liniowe spełniają następujące relacje:
V V
V W
V
W
V V
V
W V W
Operatory liniowe
Iloczyn dwóch operatorów to odwzorowanie
polegające na działaniu dwóch operatorów
w zadanej kolejności:
V V V
Komutator operatorów i definiujemy jako:
,
Bardzo ważna jest kolejność operatorów. Na ogół
komutator nie jest równy zeru!!!
Operatory liniowe
Własności komutatorów:
, ,
, , ,
, , ,
, , ,
(Slajd nr 22)
Operatory liniowe
Operator odwrotny do operatora (oznaczany
jako -1) spełnia równanie:
1
1
I
gdzie I jest macierzą jednostkową.
UWAGA.
Nie każdy operator ma operator odwrotny!
Operatory liniowe
Operator liniowy można przedstawić w pewnej
bazie za pomocą zbioru n2 liczb zapisanych jako
macierz nn, nazywanych jego elementami
macierzowymi w tej bazie:
ij i j
Liczby ij to elementy macierzowe operatora
w bazie i .
Operatory liniowe
Jeśli mamy
V
Przykład
V to:
v i i V i V
i v j j v j i j ij v j
j
j
j
lub, w analogicznej postaci:
v 1 1 1
v 2 1
2
v n 1
n
1 2
2 2
n2
1 n v1
2 n
v2
n n v n
Operatory liniowe
Przydatne operatory:
- operator jednostkowy: I ij i I j i j ij
- operator rzutowy: Pi i i
Relacja zupełności:
n
n
i 1
i 1
Pi i i I
Operatory liniowe
Operator sprężony:
Ketowi V V odpowiada wektor bra:
V V
co stanowi definicję operatora sprzężonego
(czytamy „omega z krzyżem”).
Mamy:
ij
i
j i j j i
ij
*
ji
*
ji
*
Operatory liniowe
Operator jest hermitowski, gdy:
Operator jest antyhermitowski, gdy:
Operator jest unitarny, gdy:
I
Zagadnienie własne
Dla operatora liniowego i niezerowego wektora
V możemy napisać tzw. równanie własne:
V V
Wektory spełniające równanie własne nazywamy
wektorami własnymi, natomiast odpowiadające
im wartości nazywamy wartościami własnymi.
Zagadnienie własne
Warunek istnienia niezerowych wektorów
własnych ma postać:
det I 0
Z tego warunku obliczamy wartości własne.
Równanie pozwalające przedstawić wektory
własne ma postać:
ij
j
ij
v j
0
Diagonalizacja macierzy hermitowskich
Każda macierz hermitowska działająca
w przestrzeni Vn(C) może być zdiagonalizowana
przez unitarną zmianę bazy.
lub w postaci analogicznej:
Dla każdej macierzy hermitowskiej istnieje
macierz unitarna U (wyrażona przez wektory
własne ), taka że macierz U+U jest macierzą
diagonalną.
Slajd nr 23
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Równania Lagrange’a:
d L L
dt q i q i
gdzie funkcja L q i , q i , t zwana lagranżjanem
zdefiniowana jest jako (dla sił zachowawczych):
L T V
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Wprowadzając wielkości:
pi
Fi
L
q i
L
qi
pęd kanonicznie sprzężony z qi
siła uogólniona sprzężona z qi
możemy równania Lagrange’a zapisać w postaci:
dp i
dt
Fi
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
W mechanice hamiltonowskiej zamiast
lagranżjanu L wprowadza się hamiltonian H
(transformacje Legendre’a):
n
H q , p p i q i L q , q
i 1
otrzymując równania kanoniczne Hamiltona:
H
pi
q i
H
qi
p i
Dla sił zachowawczych mamy: H T V
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Jeżeli hamiltonian nie zależy od współrzędnej qi to:
H
qi
p i 0
czyli zmiana pędu kanonicznego jest zerowa,
a więc sam pęd kanoniczny jest zachowany.
(Współrzędna qi to tzw. współrzędna cykliczna).
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Załóżmy, że p , q jest pewną funkcją stanu
układu, która nie zależy jawnie od czasu t. Jej
zmienność w czasie wyraża się jako:
d
H H
q i
p i
dt
pi
pi qi
i qi
i qi pi
d
, H
dt
gdzie nawias Poissona dla wielkości i :
,
pi qi
i qi pi
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Równania Hamiltona zapisane przy użyciu
nawiasów Poissona mają postać:
q i q i , H
p i p i , H
Mamy także:
q i , q j p i , p j
q i , p j
ij
0
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Własności nawiasów Poissona:
, ,
, , ,
, , ,
Porównać z własnościami komutatorów!!!
(slajd nr 6)
Przykłady
• Wyznaczyć wszystkie wartości własne i wektory
własne macierzy
0
0
1
0
0
0
1
0
0
• Czy jest macierzą hermitowską?
• Sprawdzić, że U+U jest macierzą diagonalną (U
jest macierzą wyrażoną przez wektory własne ).