Transcript wykład IV - fonon.univ.rzeszow.pl

Mechanika Kwantowa
II. Matematyczne podstawy MK
WYKŁAD 4
Formalizm matematyczny MK – cz. II
Plan wykładu
•
•
•
•
•
operatory liniowe,
zagadnienie własne,
diagonalizacja macierzy,
formalizm hamiltonowski mechaniki
klasycznej,
równania kanoniczne, nawiasy Poissona.
Operatory liniowe
Operator  to odwzorowanie przyporządkowujące
pewnemu wektorowi V inny wektor V  , co
zapisujemy w postaci:
V  V
Operatory mogą także działać na wektory bra:
W   W
UWAGA! Będziemy zajmować się wyłącznie
operatorami, które nie wyprowadzają nas poza
daną przestrzeń wektorową, tzn.:
W
 V    W  V

Operatory liniowe
Operatory liniowe spełniają następujące relacje:
  V   V
  V   W
   V
  W
V   V  
V 
 W     V    W 
Operatory liniowe
Iloczyn dwóch operatorów to odwzorowanie
polegające na działaniu dwóch operatorów
w zadanej kolejności:
 V    V     V
Komutator operatorów  i  definiujemy jako:
 ,      
Bardzo ważna jest kolejność operatorów. Na ogół
komutator nie jest równy zeru!!!
Operatory liniowe
Własności komutatorów:
 ,      ,  
 ,       ,     ,  
 ,      ,     ,  
 ,      ,     ,  
(Slajd nr 22)
Operatory liniowe
Operator odwrotny do operatora  (oznaczany
jako -1) spełnia równanie:

1

1
  I
gdzie I jest macierzą jednostkową.
UWAGA.
Nie każdy operator ma operator odwrotny!
Operatory liniowe
Operator liniowy można przedstawić w pewnej
bazie za pomocą zbioru n2 liczb zapisanych jako
macierz nn, nazywanych jego elementami
macierzowymi w tej bazie:
 ij  i  j
Liczby ij to elementy macierzowe operatora
w bazie i .
Operatory liniowe
Jeśli mamy
V
Przykład
  V to:
v i  i V   i  V



 i    v j j    v j i  j    ij v j
j
j
j


lub, w analogicznej postaci:
 v 1   1  1
v   2  1
 2  
    
v   n  1
 n 
1 2

2 2



n2

1  n   v1 
 
2 n
v2
 

  

n  n   v n 
Operatory liniowe
Przydatne operatory:
- operator jednostkowy: I ij  i I j  i j   ij
- operator rzutowy: Pi  i i
Relacja zupełności:
n
n
i 1
i 1
 Pi   i i  I
Operatory liniowe
Operator sprężony:
Ketowi  V   V odpowiada wektor bra:
V  V 

co stanowi definicję operatora sprzężonego
(czytamy „omega z krzyżem”).
Mamy:
 ij

 i

j  i j  j i

 ij  
*
ji
*
 ji
*
Operatory liniowe
Operator jest hermitowski, gdy:



Operator jest antyhermitowski, gdy:


 
Operator jest unitarny, gdy:



   I
Zagadnienie własne
Dla operatora liniowego  i niezerowego wektora
V możemy napisać tzw. równanie własne:
V V
Wektory spełniające równanie własne nazywamy
wektorami własnymi, natomiast odpowiadające
im wartości  nazywamy wartościami własnymi.
Zagadnienie własne
Warunek istnienia niezerowych wektorów
własnych ma postać:
det     I   0
Z tego warunku obliczamy wartości własne.
Równanie pozwalające przedstawić wektory
własne ma postać:
  ij  
j
ij
v j
0
Diagonalizacja macierzy hermitowskich
Każda macierz hermitowska działająca
w przestrzeni Vn(C) może być zdiagonalizowana
przez unitarną zmianę bazy.
lub w postaci analogicznej:
Dla każdej macierzy hermitowskiej  istnieje
macierz unitarna U (wyrażona przez wektory
własne ), taka że macierz U+U jest macierzą
diagonalną.
Slajd nr 23
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Równania Lagrange’a:
d  L  L


dt   q i   q i
gdzie funkcja L  q i , q i , t  zwana lagranżjanem
zdefiniowana jest jako (dla sił zachowawczych):
L  T V
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Wprowadzając wielkości:
pi 
Fi 
L
 q i
L
qi
pęd kanonicznie sprzężony z qi
siła uogólniona sprzężona z qi
możemy równania Lagrange’a zapisać w postaci:
dp i
dt
 Fi
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
W mechanice hamiltonowskiej zamiast
lagranżjanu L wprowadza się hamiltonian H
(transformacje Legendre’a):
n
H  q , p    p i q i  L  q , q 
i 1
otrzymując równania kanoniczne Hamiltona:
H
pi
 q i
H
qi
  p i
Dla sił zachowawczych mamy: H  T  V
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Jeżeli hamiltonian nie zależy od współrzędnej qi to:
H
 qi
  p i  0
czyli zmiana pędu kanonicznego jest zerowa,
a więc sam pęd kanoniczny jest zachowany.
(Współrzędna qi to tzw. współrzędna cykliczna).
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Załóżmy, że   p , q  jest pewną funkcją stanu
układu, która nie zależy jawnie od czasu t. Jej
zmienność w czasie wyraża się jako:
d
 

  H  H 

 
q i 
p i    


dt
pi
pi qi 
i  qi
i  qi pi

d
  , H 
dt
gdzie nawias Poissona dla wielkości  i :
     
 ,     


pi qi 
i  qi pi
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Równania Hamiltona zapisane przy użyciu
nawiasów Poissona mają postać:
q i  q i , H 
p i   p i , H 
Mamy także:
q i , q j   p i , p j 
q i , p j 
  ij
0
Formalizm Hamiltona w mechanice kl.
Własności nawiasów Poissona:
 ,      ,  
 ,       ,     ,  
 ,     ,      ,  
Porównać z własnościami komutatorów!!!
(slajd nr 6)
Przykłady
• Wyznaczyć wszystkie wartości własne i wektory
własne macierzy
0
  0

 1
0
0
0
1
0

0 
• Czy  jest macierzą hermitowską?
• Sprawdzić, że U+U jest macierzą diagonalną (U
jest macierzą wyrażoną przez wektory własne ).