Transcript chap00

Scilab で学ぶ
わかりやすい
数値計算法
舞鶴高専 電子制御工学科
川田 昌克
本書
で何を学ぶのか？
非線形方程式は解けるのか？
非線形方程式
の解
曲線
軸が交わる点
と
線形方程式（1 次方程式）
直線
解ける！
と
軸が交わる点
解析的に解ける（解析解）
または
厳密に解ける
（厳密解）
非線形方程式（2 次方程式）
曲線
解の公式
と
により
解ける！
軸が交わる点
非線形方程式（3 次方程式）
カルダノの公式
解ける！
により
非線形方程式（4 次方程式）
フェラーリの公式
解ける！
により
非線形方程式（5 次方程式）
残念ながら，5 次以上の場合
解析的 (厳密) には
解けない
アーベル
(19世紀)
•
2 次方程式の解の公式（虚数解を除く）：
古代バビロニア（数千年前）
• 3 次方程式の解の公式：
最初に見つけたのは，スキピオーネ・
フェロ（イタリア 1465～1526）だった
といわれているが，フェロの解法は現在
伝わっていない．
当時，数学者同士が難問を出し合う一種の試合が流行し
ており，数学者は見つけた事実をすぐに発表せず，次の試
合に備えて多くの問題を予め解いて，秘密にしておくのが
普通であった．フェロも，解法を秘密にしているうちに死
んでしまったのだと考えられる．
http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/CubicEquation/
現在，カルダノの公式と呼ばれ
ている解法は，フォンタナが発見
したものである．当時の慣習通り，
フォンタナもこの解法を秘密にし
ていたが，カルダノに懇願され，
他には公表しないという約束で，
二コロ・フォンタナ
（イタリア 1506～1557） カルダノに解法を教えた．ところ
が，カルダノは 1545 年に出版し
た書物の中で，まるで自分の手柄
であるかのように，フォンタナの
ジローラモ・カルダノ
（イタリア 1501～1576）
方法を開示してしまったため，以
後，カルダノの方法と呼ばれるよ
うになった．フォンタナは抗議し
たが，後の祭りであった．
• 4 次方程式の解の公式：
カルダノの書物に，自分の手柄のように発表されているが，
発見したのは，弟子のフェラーリであるといわれている．
• 5 次以上の方程式の解の公式：
アーベルにより存在しないことが証明された．
ロドヴィーコ・フェラーリ
（イタリア 1522～1565）
ニールス・アーベル
（ノルウェー 1802 ～1829 ）
ほとんどの場合，非線形方程式
は解析的
(厳密) に解くことはできない
計算機（コンピュータ）
を駆使して，数値的 (近似的) に解こう！
本書
で何を学ぶのか？
解析的 (厳密) には解けない数学の問題
を計算機（コンピュータ）を駆使して，
数値的 (近似的) に解くための
手法 (アルゴリズム) を学ぶ
本書
で何を学ぶのか？
• 数値解析
• 数値計算
さらに・・・
Scilab (サイラボ) を利用した
プログラミングを行う
Scilab とは・・・
INRIA (フランス国立コンピュータ科学・制御
研究所) で開発された数値計算用ソフトウェア
フリーウェアでかつ高機能
市販のソフトウェア MATLAB (圧倒的なシェアを
誇るが，高価である) のクローン
グラフを描くのが容易
行列の取り扱いが容易
for, while, if などの制御文も利用可能
インタプリタであるため，コンパイルの必要がない
様々な便利な関数があらかじめ用意されている
Scilab とは・・・
--> x = 0:0.01:10;
--> plot(x,exp(-x).*sin(10*x));
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
それでは，
本書で取り扱う
数学の問題
の概要を説明します
取り扱う数学の問題（その１）
非線形方程式を解く問題
2 分法
ニュートン法
ベアストウ法
アイザック・ニュートン
（イギリス 1642～1727 ）
• 運動 3 法則
• 万有引力の法則を確立
取り扱う数学の問題（その２）
連立 1 次方程式を解く問題
の場合，クラーメルの公式を利用して，
計算機で厳密解を求めと，約3,000年の時間を要する
ガウスの消去法
ヤコビ法
ヨハン・カール・
フリードリヒ・ガウス
（ドイツ 1777～1855 ）
• 最小二乗法
• ガウスの定理（電磁気）
カール・グスタフ・
ヤコブ・ヤコビ
（ドイツ 1804～1851 ）
• ヤコビ行列（ヤコビアン）
取り扱う数学の問題（その３）
データを関数で近似する問題
ラグランジュ補間
スプライン補間
最小二乗法
ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ
（イタリア 1736～1813 ）
• ラグランジュ力学
取り扱う数学の問題（その４）
定積分を求める問題
台形公式
シンプソンの公式
取り扱う数学の問題（その５）
（非線形）微分方程式を解く問題
オイラー法
ルンゲ・クッタ法
レオンハルト・オイラー
（スイス 1707～1783 ）
• オイラーの公式