Transcript 7. Nagy Mihály: A függvény()

Készítette: Nagy Mihály tanár
Perecsen, 2006.
Halmazok Descartes-szorzata
A halmazok Descartes-szorzata:
Tehát a Descartes-szorzat rendezett
elempárok halmaza.
Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor
AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}.
Általában: AXB≠ BXA .
A derékszögű koordinátarendszer
A valós számok halmazának geometriai
ábrázolása egy egyenes (számegyenes).
Két egymásra merőleges számegyenes
egy Descartes-féle koordináta-rendszert
alkot. Az RXR={(x,y)|xR, y  R}
szorzat minden elempárja ábrázolható
ebben a rendszerben. Az OX az
abszcissza, OY az ordináta tengely. O
a kezdőpont (origó).
Az egyenesek négy negyedet
határoznak meg: I., II., III., IV.
negyed. A számozás az óra
járásával ellenkező irányban
történik.
II
I
III
IV
y
M(2;3)
O
N(-3;-1)
x
Az M pont koordinátái 2 és 3. A
2 az abszcissza, a 3 az ordináta.
Az N pont koordinátái a -3 illetve
a -1. Az RXR szorzat bármely
elemének megfelel egy pont a
síkban. Vagyis bármely számpár
ábrázolható a koordinátarendszerben.
A függvény fogalma
Tekintsük az A(-2,-4), B(-1,-2),
C(0,0), D(1,2), E(2,4). Készítsünk
táblázatot:
x
-2 -1 0
1
2
y
-4 -2 0
2
4
Megfigyelhetjük, hogy y = 2x.
Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben
a pontokat:
y
(2,4)
(1,2)
O
(-1,-2)
(-2,-4)
(0,0)
x
Adott az A{-2, -1, 0, 1, 2} és
B={0, 1, 4} halmaz. A két halmaz
alapján az alábbi táblázatot
készíthetjük:
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Észrevesszük, hogy y = x2.
Ábrázoljuk a koordinátarendszerben:
y
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
O
(0,0)
x
Készítsünk diagramokat és
nyílakkal ábrázoljuk az elelemek
közötti kapcsolatokat
(relációkat):
1.
2.
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
-4
-2
1
0
0
4
1
2
2
4
Más relációkat kifejező
diagramok:
3.
A
B
1
2
a
3
4
5
Vizsgáljunk meg még egy
diagramot:
4.
C
D
1
a
2
3
b
4
5
c
6
Tanulmányozzuk egy kicsít az
előbbi relációkat:
Az 1., 2. és 3. ábrán az első halmaz bármely
elemének a második halmazból egy és csak egy
elem felel meg.
Ezek függvényszerű relációk. A negyedik ábrán
a C halmaz a elemének a D halmazban több
elem felel meg. Ez a reláció nem
függvényszerű.
Mondhatjuk, hogy az első három reláció
függvény, az utolsó viszont nem függvény.
Értelmezés:
Adott az A és B halmaz. Ha valamilyen
eljárással (f) az A halmaz bármely x elemének
megfeltetünk egy és csak egy y elemet a B
halmazból úgy, hogy y = f(x), azt mondjuk,
hogy egy f :A B függvény értelmeztünk.
Az A halmazt értelmezési tartománynak, a B
halmazt értéktartománynak nevezzük.
Az f a megfeleltetési szabály, törvény, eljárás
ami lehet képlet vagy egyéb összefüggés.
Az előbbiek alapján látható, hogy
a függvényeket háromféleképpen
határozhatjuk meg:
•táblázattal:
x
y
•diagrammal:
1
1
1
2
•képlettel
f(x) = x2
3
9
4
16
1
4
3
4
2
4
9
16
A függvény grafikus képe
A Gf={(x,y)|x  A,y=f(x)} halmazt az f:A B
függvény grafikus képének nevezzük, ahol
GfAXB. A Gf számossága mindig egyenlő az A
halmaz számosságával.
Például: Legyen A={-1, 0, 1, 2}. Tekintsük az
f: A
B , f(x) = 2x + 1 függvényt. Akkor a Gf
= {(-1,-1), ( 0,1), (1,3), (2,5)}. Az A és B halmaz
lehet éppen az R.Ebben az esetben
Gf 
RXR.
Az elsőfokú függvény
Az f::A
B, f(x) = ax + b, a, bR alakú
függvényeket elsőfokú függvényeknek
nevezzük. Amint előbb láttuk ennek a
függvénynek a grafikonja egy egyenesbe eső
pontok. Ezért tévesen egyes tankönyvekben
lineáris függvényként emlegetik. Ha A  R,
akkor a grafikon egy szakasz, félegyenes vagy
egyenes. Az f : R
R, f(x) = ax + b az
elsőfokú függvény általános alakja.
Példák: 1. Adott az f:{-1, 0, 1, 2}
f(x) = 2x+1 függvény.
y
R,
(2,5)
(1,3)
(0,1)
(-1,-1)
O
x
2. Legyen az f: R R, f(x) = 4x-3
függvény. Ábrázoljuk:
x
0
-1
y
-3
1
y
f(x)
(-1,1)
O
x
(0,-3)
3. Tekintsük az f:R
R, f(x)=3 és a
g:R
R, g(x)=-2 függvényeket.
y
Ábrázoljuk:
f(x)
O
g(x)
x
4. Ábrázoljuk az f:R
függvényt!
R, f(x) = -2x
y
O
x
f(x)
A tengelyekkel való
metszéspontok meghatározása
Legyen f:R
R, f(x)=ax+b az elsőfokú
függvény általános alakja.
Ha x=0, akkor f(0)=b, tehát A(0,b) az OY
tengellyel való metszéspont.
b
Ha f(x)=0, akkor ax+b=0, vagyis x= 
a
b
tehát B(  ,0), az OX tengellyel való
a
metszéspont. A két ponton áthaladó egyenes a
függvény grafikonja.
Példa: Tekintsük az f:R
R, f(x)=2x-6
függvényt. Keressük meg a tengelyekkel való
metszéspontokat és ábrázoljuk.
Ha x=0, akkor f(0)=-6, tehát A(0,-6) pontban
metszi az OY tengelyt.
Ha f(x)=0, akkor 2x-6=0, azaz x=3, tehát a
B(3,0) pontban metszi az OX tengelyt.
Mivel az elsőfokú függvény grafikonja egy
egyenes és két pont mindig meghatároz egy
egyenest, ezért a két ponton átmenő egyenes a
függvény grafikonja.
Készítsük el a grafikont:
y
f(x)
B(3,0)
O
x
A(0,-6)
Függvény meghatározása két pontja
segítségével
Példa: Határozzuk meg az A(-2,3) és B(4,-1)
pontokon áthaladó függvényt!
Megoldás: Az elsőfokú függvény általános
alakja f(x)=ax+b. Kiszámítjuk az f(-2) és f(4)
értékeket, azután pedig megoldjuk az f(-2)=3 és
f(4)=-1 egyenletekből álló egyenletrendszert.
2
 2a  b  3 Innen kapjuk, hogy a =  3 és
5

b= .
4
a

b


1
3

2
5
A függvény: f  x    x 
3
3
Feladat: Határozzuk meg az f:R R,
f(x)=3x+6 függvény grafikonja és a
tengelyek által határolt alakzat területét!
x=0, f(x)=6, tehát A(0,6)
f(x)=0, x= -2, tehát B(-2,0)
A(0,6)
OB  OA 2  6
T

6
2
2
B(-2,0)
O
f(x)
x
Az elsőfokú függvény
tulajdonságai
• Növekvő, ha
a<b, akkor
f(a)<f(b)
y
•Csökkenő, ha
a<b, akkor
f(a)>f(b)
f(b)
y
f(a)
f(a)
f(b)
O
a b
x
• Állandó, ha
a<b, akkor
f(a)=f(b)
y
f(a)
O
a b
x
O
f(b)
a b
x
Intervallumokon értelmezett
elsőfokú függvények
Az f:I
R, f(x)=ax+b függvény a g:R
R,
g(x)=ax+b függvénynek az I intervallumra való
leszűkítése. Az f függvény grafikus képe a g
függvény képének (d) egy része, ami lehet
szakasz vagy félegyenes.
Ahogy az értelmezési tartomány zárt vagy nyílt
intervallum, úgy a grafikon zárt vagy nyílt
szakasz.
Nézzünk egy pár példát:
1. Legyen az f:(-2,3)
y
R, f(x)=x+3.
f(x)
-2
O
3
x
2. Legyen az f:[-2,3]
R, f(x)=x+3.
y
f(x)
-2
O
3
x
3. Legyen az f:[-2,+ )
R, f(x)=x+3.
y
f(x)
-2
O
3
x