Mediciones con el gnomon Cálculo del radio de la Tierra

Actividad seleccionada como Proyecto Emblemático de la red española AIA09

Participan: IES Trassierra. 1º BTO-CT Profesores: E. Gijón – F. Luque

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Presentación

Un gnomon (un objeto vertical que proyecta la sombra sobre un plano horizontal) es un instrumento astronómico antiguo, con el que se pueden realizar diferentes actividades y mediciones astronómicas.

El gnomon permite la realización de muchas actividades, tanto de observación como de medida y cálculo.

Se propone 2009, una además, con motivo del Año Internacional de la Astronomía repetición (y pequeña modificación) de la medida de Eratóstenes, abierta a todos los centros escolares que deseen participar en la experiencia:

Determinar del radio de la Tierra

a partir de las medidas realizadas un mismo participantes.

Nosotros realizaremos

día en todos los centros

también otras medidas trigonométricas.

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Razones de la propuesta

 Dentro de su sencillez,

Medir siempre lo que sea

ES CIENCIA.

medible, y hacer medible lo que no lo es (*)

No se limita a la pura observación. Exige la toma de medidas, su tabulación, la realización de cálculos, el cotejo de resultados y la presentación de conclusiones.

 Instrumental sumamente simple (*) Cita no original. Comentario Bertold Brecht

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Distintas longitudes de la sombra

La forma esférica de la Tierra es la causa de las distintas longitudes de la sombra Algunos griegos adivinar la forma fueron capaces de esférica, observando las diferencias de la longitud de la sombra La bola blanca ver la sombra (Porexpan®) permite más nítida

Eratóstenes (s. II a.C) fue capaz de tomar medidas y hacer la primera estimación del radio de la Tierra Mediciones con el gnomon

Detalle de las distintas longitudes de la sombra

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Problema de Eratóstenes (de Cyrene)

Mediciones con el gnomon

Eratóstenes había oído relatos de viajeros que decían que a mediodía del 21 de junio el sol no arrojaba sombra en un manantial de Syene. Él sabía que en Alejandría (donde residía) el sol siempre arrojaba sombra. Se le ocurrió entonces que si podía medir la longitud de la sombra del sol en Alejandría a la hora en que no había sombra en Syene, podría calcular la circunferencia de la Tierra.

El 21 de junio Eratóstenes midió la sombra de un obelisco de Alejandría y mediante simple geometría calculo que la sombra proyectada correspondía a una desviación de los rayos solares respecto a la vertical de 7º 14'. Esto corresponde a 1/50 de la circunferencia total de la Tierra (360º). La circunferencia de la Tierra era por tanto igual a 50 veces la distancia que mediaba entre Syene y Alejandría.

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Principios matemáticos

La diferencia de alturas del Sol permite medir el valor angular del arco entre dos observatorios De la equivalencia entre este valor y la distancia en kilómetros entre los observatorios se calcula el radio de la Tierra

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Cálculo del radio en otras latitudes

Gnomon verticales (perp. al suelo). Diferente longitud de sombra.

Luz solar. Haces paralelos β Sombras R α β α L β - α Long arco= radio x ángulo (radianes) Pozo en Syene (Assuan) L= R · (β-α);

R=L/( β-α) Mediciones con el gnomon 7

¿Qué mediremos?

 Necesitamos:  Ángulo de la sombra en dos puntos distintos de España ( α y β)  Distancia sobre la Tierra entre los puntos en que medimos (L)

R=L/( β-α)

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Diferentes latitudes en España

Diferente declinación solar 43º 42º

D1

41º

D2

39º 38º 37º

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¿Cómo lo haremos?

 Para calcular L, debemos tomar distancia sobre mapas.

 Todos daremos la distancia al paralelo 40º (Di)  Entre dos puntos (Córdoba y S. Sebastián, p.ej. L= D1+D2)

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¿Cómo medimos el ángulo?

Todo lo que hace falta es...

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...plantar un gnomon...

Barcelona.- Septiembre 07 Alcalà de Guadaira.- Mayo 08

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Castelló de la Plana.- Marzo 08 El gnomon ha de estar estable, en posición vertical La sombra se ha de proyectar en una superficie completamente horizontal Conviene disponer un papel grande (tipo embalaje) para registrar las posiciones de la sombra

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... e ir registrando las posiciones del extremo de la sombra del gnomon, en un intervalo de 3-4 horas centrado en el mediodía local

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¿En qué momento debemos medir el ángulo?

 - En el mismo instante solar.

 Mediodía solar de cada punto. (Sombra mínima)

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Diferentes longitudes España

9ºW 6º 5º 3º

0º

3ºE Diferente mediodía

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Longitud mínima de la sombra

 A partir del registro de las posiciones de la sombra se ha de determinar: – – el instante en que la sombra del gnomon es mínima la longitud de la sombra, en este instante, que es el de paso del Sol por el meridiano del lugar  Y a partir de esta longitud mínima de la sombra se determina – la altura del Sol sobre el horizonte, en el momento del paso por el meridiano

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Determinación de la dirección Norte-Sur

Una vez hechas las medidas, la mediatriz del P1P2, puntos de segmento intersección de la trayectoria de la sombra (línea roja) con cada uno de los círculos concéntricos de centro en el pie del gnomon, determina la dirección Norte Sur del lugar de observación

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¿Cómo se hará el cálculo?

El cálculo de Eratóstenes se basa en la determinación de: - Altura del Sol Distancia lineal entre los dos lugares de observación, situados sobre el mismo meridiano Como los centros escolares participantes no cumplen esta última condición, se sustituirá por la distancia, en dirección Norte Sur, al paralelo 40ºN, que es el que pasa por el centro de la Península Estas distancias se medirán sobre un mapa o atlas, con una regla milimetrada. A partir de la escala del mapa se determinará la distancia en kilómetros

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Currículum escolar: Ciencias Naturales

 El instante de sombra de longitud ¿es el mismo en todos los lugares?

mínima,  Para un determinado siempre a la misma hora?

lugar, ¿sucede  Para un determinado lugar, mínima dirección?

marca  ¿Qué es un día?

siempre ¿la sombra la misma  ¿Qué es un año?

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Currículum escolar: Matemáticas

 Trigonometría: determinación de la altura del Sol

altura del Sol

 arctan

longitud longitud del de la gnomon sombra

(

Declinació n

)

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Currículum escolar: Matemáticas

 Semejanza de triángulos Posible determinación de alturas (edificios, farolas, monumentos) y posterior comprobación del resultado.

Hgn



He Sgn Se

 Podemos calcular la altura de cualquier elemento a partir de la proporción.

Sgn Hgn Se He

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Aspectos críticos para el éxito

    Absoluta horizontalidad del suelo sobre el que se proyecta la sombra Tamaño y forma (grosor) del gnomon que diferencie bien las zonas de sombra y penumbra Anotación correcta de las horas: uso de un único reloj, con la hora ajustada poco antes del inicio de la experiencia Fechas de realización de la experiencia: En el dossier se justificará que los resultados más precisos se pueden obtener realizando las medidas en fechas próximas a los equinoccios PRÓXIMOS AL 21 DE MARZO – COMIENZO DE LA PRIMAVERA La medida del radio de la Tierra exige que la medidas se realicen en todos los centros en un mismo día La fecha decidida para la experiencia por la web AIA09 es el:

26 DE MARZO DE 2009, JUEVES.

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   

Comunicación de resultados

Los centros participantes deberán comunicar:  Nombre del centro escolar Población y provincia Altura del Sol, en el momento del tránsito por el meridiano Distancia en Km al meridiano 40ºN (N/S) Persona y dirección e-mail de contacto Con los datos recibidos se realizará un cálculo conjunto del valor del radio de la Tierra ¡¡Hay más de 500 centros inscritos!!

Nosotros compartiremos (y calcularemos) con otro centro voluntario nuestro RADIO TERRESTRE.

Los datos altura del Sol y distancia al meridiano 40ºN se publicarán en las páginas Web de la red AIA09

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MOVIMIENTO DEL SOL EN EL FIRMAMENTO. SOMBRAS DEL GNOMON. DECLINACIÓN.

Zenit Vertical Norte Declinación

Gnomon

W Ocaso Sur

Mediciones con el gnomon Trayectoria solar Este

Amanecer (Orto)

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Sombras y penumbras

 Invierno: sol bajo, sombra y penumbra largas. Mucho error sombra penumbra

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Sombras y penumbras

 Primavera: sol medio, sombra y penumbra medias. Menor error sombra penumbra

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Sombras y penumbras

 Verano: sol alto, sombra y penumbra muy cortas. Mayor error proporcional sombra penumbra

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