Transcript Ajnštajnove jednačine za gravitaciono polje, 2. deo

семинар:
Класична и квантна космологија
Ајнштајнове једначине за
гравитационо поље
2. део
Љубиша Нешић
20.6.2008
Класична и квантна космологија
1
Диференцирање у закривљеном
простору
• први извод коваријантног вектора
A  ; 
 A
x




A
• други извод коваријантног вектора – први извод
тензора
• да ли је поредак диференцирања битан?
A  ; ;  
20.6.2008
 A  ;
x






A ;   A ;
Класична и квантна космологија
2
• да ли је поредак диференцирања битан?
A  ; ;  
 A  ;
x



   A ;   A  ; 

   A


   A






A




A




  




 


x  x
 x


A  ;  ; 
 A ; 
x


   A ;     A  ; 
   A




 A
 

x  x
20.6.2008

  A


     A 
 x



   

 A

  A


 

    A          A 
 x

 x

Класична и квантна космологија
3
Риман Кристофелов тензор
A  ; ;   A  ;  ;


   
  







         

 x
x

A ;  ;  A ; ;   R


R  
20.6.2008
 
x




 A


A


 
x





       
Класична и квантна космологија
4
Риман Кристофелов тензор особине


R  
 
x



 
x





       
• ако је тензор кривине једнак нули
коваријантни изводи комутирају
• потребан и довољан услов да би метрика
неког простора била равна јесте да је РК
тензор једнак нули
20.6.2008
Класична и квантна космологија
5
Риман Кристофелов тензор особине
• антисиметричност по последња два индекса


R    R 
• коваријатна верзија
R   g  R
20.6.2008


Класична и квантна космологија
6
Риман Кристофелов тензор особине
• антисиметричност по другом пару индекса
R    R 
• антисиметричност по првом пару индекса
R    R 
• симетрија
R  R  ,
R  R 
• Ричијев идентитет
R  R  R  0
20.6.2008
Класична и квантна космологија
7
Риман Кристофелов тензор особине
• Бјанкијев идентитет
R

 ;
R

 ; 
R

 ; 
0
• Контракција РК тензора до тензора другог ранга
– Ричијев тензор
R   g

R   R


• Још једна контракција-Ричијев скалар –
скаларна кривина
R  g
20.6.2008

R   g

g

Класична и квантна космологија
R 
8
Једначине гравитационог поља
• Њутнова гравитација:
– Гравитациона сила која делује од стране материјалне тачке масе М
на тело масе m које се налази на растојању r од тела је

mM 
mM 
F  G
r  G
er
3
2
r
r

F   ( m  ),
  G
M
r
• Потенцијал гравитационог поља –  (x,y,z)
   4  G  Поaсонова једначина
20.6.2008
Класична и квантна космологија
9
Ајнштајнове једначине
гравитационог поља
• како треба да изгледају?
– у одговарајућој апроксимацији прелазе у
Поасонову једначину
– морају бити парцијалне једначине другог реда
– мора да буду у складу са чињеницом да се
гравитација не преноси тренутно – нова теорија
мора да буде теорија поља
– улогу потенцијала преузимају компоненте
метричког тензора – 10 независних
20.6.2008
Класична и квантна космологија
10
Ајнштајнове једначине
гравитационог поља
• геометрија
материја
• како треба да изгледају?
– закривљеност простора је зависна од густине
материје у простору
– закони одржања треба да буду задовољени
• треба да буду тензорске
– облик леве стране који задовољава захтеве
G   R  
20.6.2008
1
2
Класична и квантна космологија
g  R
11
Ајнштајнове једначине
• геометрија
материја
• десна страна?
– симетрични тензор другог ранга који карактерише
расподелу маса – тензор енергије импулса T
• Ајнштајнове једначине
G    T 
• константа – доводи у склад димензије. избор
треба да буде такав да у апроксимацији слабог
поља добијамо Њутнов закон гравитације
20.6.2008
Класична и квантна космологија
12
Ајнштајнове једначине
R  
R 
1
2
g  R   T 
1


   T   g  T 
2


• вакуум – тензор енергије импулса је нула
R   0
• то не значи да је празан простор раван!!!
20.6.2008
Класична и квантна космологија
13
Слаба поља - претпоставке
1. гравитационо поље слабо-компоненте
метричког тензора се мало разликују од
галилејевских вредности (за раван простор)
2. поље је стационарно, ∂g/ ∂x0=0. gi0=0, g00=1/g00
3. квадратни чланови који улазе у једначине поља су
мали у односу на чланове са другим изводима
4. брзина кретања честица које чине материју (стварају
поље) је мала у односу на брзину светлости.
R
20.6.2008
0
0
?
Класична и квантна космологија
14
Слаба поља
g 00  1 
2
c
T
2
0
0
 c  T
2
•  – сума сопствених маса честица у јединици запремине
R



  T





  T 
2

1
R
20.6.2008
0
0
R
0
0

c
2
2
?
Класична и квантна космологија
15
Слаба поља

  
R  
x



 0 i
x

i
00

20.6.2008
1
2
x
0
g
ik


 


i
R 00 

  

 00
x

 g 00
x
k
 0 i


i


x
1
2
0


 
 00
0

x
0


 00

i

x
 g 00
Класична и квантна космологија
i
R

  
x


  
x

 00
i

0
0

x
1
2
i
 g 00
2
16
Слаба поља
g 00  1 
2
c
  
2
R
2
0

R
0
0

c
1
2
2
 g 00
2
4

2
   4 G 
20.6.2008
0
c
2
 
Класична и квантна космологија
8 G
c
4
17
Резиме
G 
8 G
c
4
T
– Ајнштајнов тензор кривине “G” је математички објекат
који описује кривину 4-D простор-времена.
– Тензор енергије-импулса “T” је математички објекат који
описује расподелу масе/енергије.
– Њутнова констатна универзалне гравитације “G” и
брзина светлости “c” су фундаменталне константе које се
појављују у овој једначини.
– Реч је о 10 куплованих нелинеарних парцијалних
диференцијалних једначина!!
– нелинеарне = не важи принцип суперпозиције
• За слаба гравитациона поља добија се Њутнова
једначина за универзалну гравитацију.
20.6.2008
Класична и квантна космологија
18
Потврде ОТР
• Ајнштајнов предлог
– прецесија перихела Меркура
– скретање светлосних зрака при проласку
близу Сунца
– гравитациони црвени помак спектралних
линија
20.6.2008
Класична и квантна космологија
19
Прецесија перихела
• Мали ефекат – орбита се помери 5600 лучних
секунди (1.56 степени) за век
– Њутнова гравитација објашњава 5557 секунди. разлози
• гравитациони утицај осталих планета,
• деформација Сунца,
• неинерцијалност СР Земље
– Остале су необјашњене 43 секунде…
• На основу ОТР, Ајнштајн је предвидео додатне 43
секунде по веку!
20.6.2008
Класична и квантна космологија
20
20.6.2008
Класична и квантна космологија
21
Скретање светлости у
гравитационом пољу
20.6.2008
Класична и квантна космологија
22
Скретање светлости
у гравитационом
пољу
20.6.2008
Класична и квантна космологија
23
Гравитациона сочива
• Звезде се понашају као гравитациона
сочива.
• Претпоставимо да …
– гледамо далеку звезду у нашој галаксији
– друга масивна (али тамна) звезда пролази
испред ње…
20.6.2008
Класична и квантна космологија
24
20.6.2008
Класична и квантна космологија
25
Ајнштајнов торањ
Ласерска светлост мора да утроши
енергију да се попне
– дакле…фреквенција мора да
опадне а таласна дужина порасте
– другим речима, дошло је до
црвеног помака.
– гравитационог црвеног помака
• Замислимо сата који ради на
бази фреквенције ласерске
светлости…
– 1 “откуцај” = време потребно да
прође одређен број брегова
таласа
– гравитациони “црвени помак”
успорава сат.
– Часовници у гравитационом
пољу раде спорије
20.6.2008
Класична и квантна космологија
26
Ајнштајнов торањ или ракета која
се креће са убрзањем
20.6.2008
Класична и квантна космологија
27
Ајнштајнов торањ и принцип
еквиваленције
• Извор који се налази на
врху торња висине h
емитује светлосне пулсеве
у интервалима ts
• пријемник на Земљи прима
пулсеве у интервалу tp
• Ракета дужине h се убрзава
убрзањем Земљине теже.
Извор светлости који се
налази на њеном предњем
крају емитује светлосне
пулсеве у интервалима ts
• пријемник на њеном крају
их региструје у интервалу
tp
20.6.2008
Класична и квантна космологија
28
Ајнштајнов торањ и принцип
еквиваленције
• Систем S је у тренутку t=0 везан
за ракету. Ракета након тога
одлази убрзањем g
• Извор почиње од t=0 да емитује
серију брзих пулсева.
• пут који ракета прелази за време
t гледано из S износи gt2/2
• ако је временски интервал
између пулсева мали, ракета
неће прећи велики пут пре него
што се емитује велики број
пулсева
• брзина ракете v=gt ће такође
бити релативно мала у односу на
систем S
• светлости је потребно време t=h/c
да стигне до пријемника чија је
брзина у том моменту v=gh/c
20.6.2008
Класична и квантна космологија
29
Ајнштајнов торањ и принцип
еквиваленције
• број пулсева који стижу у
јединици времена у пријемник је

p
v

  s 1  
c


p

1
t p
v

 ts   t p 1  
c

20.6.2008

p
gh 

  s 1  2 
c 

s 
1
ts
gh 

 t s   t p 1  2 
c 

Класична и квантна космологија
30
20.6.2008
Класична и квантна космологија
31
Како живети 1000 година?
• Посматрач са Земље види да сат у
свемирском броду ради веома споро када
је близу црне рупе.
20.6.2008
Класична и квантна космологија
32
Гравитациони таласи
• Мрешкање простор времена…
• Простиру се брзином светлости кроз
простор
20.6.2008
Класична и квантна космологија
33
20.6.2008
Класична и квантна космологија
34
Бинарни пулсар (PSR1913+16)
• Russell Hulse & Joseph Taylor (1974)
– Открили су двојни звездани систем и
– добили Нобелову награду 1993
20.6.2008
Класична и квантна космологија
35