Transcript Напряжением

Введение в физические
свойства твёрдых тел
Лекция 2. Механические свойства
твёрдых тел
1
Структура раздела





Классификация механических свойств
Основные понятия
Закон Гука
Симметрийные характеристики
механических свойств
Распространение упругих волн в
кристаллах
2
Классификация механических свойств




Различные свойства более или менее
непосредственно обусловлены структурой
материала
С другой стороны, для их определения
требуются технические процедуры различной
сложности
Имеются инструкции, регламентирующие
порядок измерения механических свойств
(ГОСТы и др.)
Условно различают три группы механических
свойств
3
Классификация механических свойств
1.
Характеристики, определяемые при
однократном кратковременном
нагружении: модули упругости и сдвига,
коэффициент Пуассона, пределы
упругости, пропорциональности и
текучести, предел прочности,
сопротивления сдвигу и срезу, твёрдость
вдавливанием и царапанием и др.
4
Классификация механических свойств
2.
3.
Характеристики, описывающие отклик на
переменные и длительные статические
нагрузки: малоцикловая и многоцикловая
усталости, пределы ползучести и
длительной прочности и др.
Характеристики разрушения: вязкость
разрушения, скорость роста трещины
усталости и др.
5
Основные понятия




Механические свойства твёрдых тел
определяются их реакцией на механическое
воздействие: сжатие, растяжение, изгиб, удар
Упругость – способность твёрдого тела
обратимо восстанавливать свою форму и
размеры после механического воздействия
Пластичность – способность твёрдого тела
необратимо изменять свою форму и размеры
после механического воздействия
Прочность – способность твёрдого тела
сохранять сплошность после механического
воздействия
6
Основные понятия



Только упругие свойства металлических
материалов считаются структурно
нечувствительными (не зависящими от режимов
термомеханической обработки). Во многих
случаях они изотропны
Остальные свойства в большей или меньшей
мере структурно чувствительны и анизотропны
Между некоторыми свойствами и структурой т.т.
можно установить теоретические и
экспериментальные зависимости, что имеет
отношение к задачам ХТТ
7
Основные понятия



Объёмные силы. Их величина
пропорциональна объёму элемента.
Например, сила тяжести
Силы, действующие на поверхность
элемента твёрдого тела со стороны
окружающих частей тела. Они
пропорциональны площади поверхности
элемента
Напряжением называется отношение
поверхностной силы к площади элемента
8
Основные понятия

Деформация –
изменение объёма
или формы твёрдого
тела под действием
внешней силы без
изменения его массы




Растяжение – сжатие
Сдвиг
Деформация кручения
Однородная неоднородная
L0
L1
DL
a
h
9
Напряжение

Напряжение
разделяют на:


Нормальное, когда сила
приложена
перпендикулярно
поверхности
Тангенциальное, когда
сила приложена вдоль
поверхности
F
Fn
dS
Fs
 n  lim
Fn
 S0
  lim
S0
dS
Fs
dS
10
Напряжение




Нормальные компоненты
напряжения: σ11, σ22, σ33
Сдвиговые компоненты:
σ12, σ21, σ13 и т.д.
Величины σik образуют
симметричный тензор (при
определённых условиях)
второго ранга
Тензор напряжения –
полевой. Он может иметь
любую ориентацию в
твёрдом теле
11
Напряжение


Симметричный тензор напряжений можно
привести к главным осям. В такой
ориентации сдвиговые напряжения
исчезают
Т.к. напряжения могут иметь произвольный
знак, х. поверхность может быть
действительным или мнимым
эллипсоидом, а так же гиперболоидом
12
Напряжение


Однородное линейнонапряжённое состояние
(одноосное напряжение)
возникает в длинном
стержне вдоль оси
которого действует сила
приложенная к его торцу
Под действием чистого
изгиба или продольной
объёмной силы возникает
неоднородное одноосное
напряжение


0
0

0
0
0
0

0
0 
13
Напряжение

Плоско-напряжённое
состояние (двуосное
напряжение) возникает в
пластине, нагруженной
силами и моментами сил,
приложенными к её
периметру
 1

 0
 0

0
2
0
0

0
0 
14
Напряжение


Гидростатическое давление
Напряжение чистого сдвига
 p

 0
 0

0
 p
0
0 

0 
 p 


 0
 0

0


0

0

0

0
0
0

0
0 
0

0
0 
15
Напряжение


Неоднородное напряжение чистого сдвига
возникает в стержне, подвергнутом
чистому кручению
Объёмно-напряжённое состояние
(трёхосное напряжение) – наиболее
общая система напряжений с тремя
отличными от нуля компонентами
16
Напряжение


Если на твёрдое тело
действуют неоднородные
напряжения и объёмная
сила f, пропорциональная
массе, то можно написать
следующее уравнение
движения участков тела
плотности ρ:
В условиях равновесия:
  ik
xk
  ik
xk
  f i   xi
 fi  0
17
Деформация

Одномерная деформация
  lim
Dx  0
O
O
x
x+u
Du
Dx

du
dx
Δx
Δx+Δu
18
Деформация
x2
Q’
Δ
dx2
R
P


P’
R’
dx1

u
 u1 
 x1
du
Δ’
Q
 u1
Δ
x1
u 2 
e11 
u 2
 x1
 u1
 x1
dx 1 
dx 1 
; e12 
 u1
x2
u 2
x2
 u1
x2
dx 2
dx 2
; e 21 
u 2
 x1
; e 22 
Нас интересует как при деформации изменяется малое
смещение Δ
Учитывая, зависимость u(R), получим систему уравнений
Можно показать, что eik образуют тензор
19
u 2
x2
Деформация
x2
dx 2  0
du 1 
dx2
P
Δ
R
dx1

u
Q
P’
R’
Δ’
Q’
du
Δ
x1
du 2 
 u1
 x1
u 2
 x1
 dx1   11  dx1
 dx1   21  dx1
e11 можно интерпретировать как растяжение Δ
вдоль OX1, а e21 – сдвиг (поворот) Δ вдоль OX2,
т.к. мы предполагаем деформации u малыми по
отношению к смещениям Δ
20
Деформация




Тензор eik описывает не только
деформации, но и поворот
Чистая деформация описывается его
симметричной частью, а чистый поворот –
антисимметричной
Т.о. тензор двумерной деформации:
εik=1/2(eik+eki)
Это полевой тензор второго ранга
21
Трёхмерная деформация
e ik 
  11

  21

 31
u i
xk
 12
 22
 32
;  ik 
1
2
( e ik  e ki )

 u1

 x1

 13  

1   u1
 23    

 2  x2

 33  
1  u
  1
 2  x
  3
u 2 

 x1 
u 3 

 x1 
1   u1  u 2 



2   x 2  x1 
u 2
x2
1  u 2 u 3



2  x3 x2




u 3  

 x1  


u 3

 x 2  



x3

1   u1



2  x3
1  u 2



2  x3
u 3
22
Деформация




При однородной трёхмерной деформации
единичного куба с рёбрами вдоль главных осей,
длины этих рёбер становятся равными (1+ε1),
(1+ε2) и (1+ε3)
Надо учитывать, что направления главных осей
при деформации могут меняться, но оси будут
оставаться ортогональными
Объёмное расширение: Δ=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)1≈ε1+ε2+ε3
Т.о. оно равно следу тензора деформации и,
следовательно, не зависит от выбора системы
координат
23
Тепловое расширение




Если кристалл равномерно нагреть, то в нём
происходит однородная деформация,
называемая тепловым расширением
При малом изменении температуры: εik=αikΔT
Величины αik называют коэффициентами
теплового расширения. Они образуют тензор
(теплового расширения)
Коэффициент объёмного теплового расширения
равен следу тензора: α1+α2+α3 и, следовательно,
не зависит от выбора осей координат
24
Тепловое расширение


Для большинства кристаллов главные
коэффициенты теплового расширения
положительны и х. поверхность является
эллипсоидом
У некоторых кристаллов (кальцит, берилл,
йодид серебра) коэффициенты имеют
разные знаки
25
Закон Гука




При малых деформациях напряжение
линейно связано с деформацией
εij=sijklσkl
или σij=cijklεkl (I, j, k, l=1,2,3)
sijkl – (упругие) податливости кристалла
cijkl – константы жёсткости кристалла
sijkl и cijkl – трёхмерные тензоры четвёртого
ранга, содержат 34=81 компоненту
26
Закон Гука



Можно показать, что sijkl=sijlk и sijkl=sjikl. Т.е.
компоненты тензора податливости
симметричны относительно перестановки
в первой и второй парах индексов
Такие же соотношения справедливы и для
констант жёсткости
Это приводит к уменьшению числа
независимых компонент с 81 до 36
27
Закон Гука



Чтобы сделать обозначения более наглядными и
облегчить вычисления вместо тензорной записи
используют матричную запись закона Гука
Эта возможность основана на симметричности
sijkl и сijkl по первым двум и последним двум
индексам
Для перехода к матричной записи у компонент
тензоров напряжения и деформации заменяют
два индекса на один: 11→1, 22→2, 33→3, 2,3 и
3,2→4, 3,1 и 1,3→5, 1,2 и 2,1→6
28
Закон Гука



К значениям компонент тензора податливости
добавляются множители 2 и 4 по правилу:
sijkl= smn когда m и n равны 1, 2, или 3
2sijkl= smn когда или m или n равны 4, 5, или 6
4sijkl= smn когда и m и n равны 4, 5, или 6
Тогда закон Гука можно записать в матричной
форме: εi=sijσj, i,j=1,2,3,4,5,6
К значениям компонент тензора жёсткости
множители 2 и 4 добавлять не нужно
29
Закон Гука




sij и cij уже не тензоры
На основе термодинамических
соотношений можно показать, что sij=sji и
cij=cji
Из этого следует, что число независимых
компонент уменьшается с 36 до 21
Работа, затрачиваемая на деформацию
единичного объёма: А=1/2сijεiεj
30
Влияние симметрии на упругие
константы

У кристаллов
обладающих
некоторыми
 c11 c12 c12

элементами
c12 c11 c12

симметрии число
c
независимых
c12 c11
12
компонентов тензоров  0 0 0

податливости и
жёсткости может быть  0 0 0

ещё уменьшено. У
0 0 0

кубических
кристаллов до 3
0
0
0
0
0
c 44
0
0
0
c 44
0
0


0 
0 

0 
0 

c 44 
0
31
Влияние симметрии на упругие
константы
Количество независимых компонент в тензоре упругой жесткости
для кристаллов с различной точечной симметрией.
Триклинная
- 21
Моноклинная 2/m - 13
Ромбическая mmm - 9
Тетрагональная
4/m
-7
4/mmm
-6
Гексагональная
-5
Тригональная
3
-7
3m
-6
Кубическая m3m
-3
32
Влияние симметрии на упругие
константы
 Изотропное тело
  E 
имеет два
независимых
параметра



E – модуль Юнга
G – модуль сдвига
ν - коэффициент
Пуассона (0.25-0.35)
  G 
G 
E
2(1   )
33
Упругие волны в кристаллах
  ik


Уравнение движения
элемента кристалла в
отсутствие объёмной
силы
Перейдём к
матричным
обозначениям
индексов
  xi
xk
  i1
 x1

 1
 x1
 6
 x1
 5
 x1
 i2



x2
 6
x2
 2
x2
 4
x2




 i3
 x3
 5
 x3
 4
 x3
 3
 x3
 xi
2
 
t
2
 x1
2
 
t
2
 x2
2
 
t
2
 x3
2
 
t
2
34
Упругие волны в кристаллах

Используя закон Гука в форме: σi=cikεk и связь
между εik и смещениями ui, можно получить:
  2u1  2u1
 C 44 

 x1
 x3
 x2
 u1
2
C 11
2

  2u 2
 u3
  C 12  C 44 

 x x  x x

 1 3
1
3
2

 u1
 
2


t

и т .д . для u 2 и u 3
35
Упругие волны в кристаллах


Решения этих уравнений
ищутся в виде плоских волн:
В случае кубических
кристаллов, рассмотрев
распространение волн в
направлении [100], можно
найти связь между частотой
ω и волновым вектором k
(закон дисперсии), а так же
скорость звука v для двух
типов волн: продольных и
поперечных

 
u  u 0 exp i k r   t

 ||  k ||
  k
c11

c 44

v || 
v 

c11

c

36
Упругие волны в кристаллах



Для других направлений распространения
упругих волн в кубическом кристалле
можно получить более сложные
дисперсионные зависимости и выражения
для скорости звука, содержащие значения
различных коэффициентов жёсткости
Измеряя скорость звука, можно находить
их значения
В общем случае упругие колебания нельзя
разделить на продольные и поперечные
37
Заключение



Напряжение и деформация описываются
полевыми тензорами второго ранга
В приближении закона Гука они связаны
между собой тензорами четвёртого ранга:
упругой податливостью и жёсткостью
Деформация тела при нагреве
описывается тензором (второго ранга)
теплового расширения
38
Заключение



Для облегчения вычислений вместо
тензорной записи применяют матричную
запись закона Гука. Используются
матрицы (6х6)
Число независимых компонентов матриц
податливости и жёсткости зависит от
симметрии кристаллической решётки
Решая уравнения движения для
элементов среды, можно найти закон
дисперсии звуковых волн
39
Контрольные задания







Что описывают механические свойства
твёрдых тел?
Что такое упругость?
Что такое пластичность?
Что такое прочность?
Что такое напряжение?
Что такое деформация?
Какие типы сил рассматриваются в теории
упругости?
40
Контрольные задания





Каковы порядок и размерность тензоров
напряжения и деформации?
Какие различают виды тензора напряжения?
Какого вида напряжение возникает в стержне,
подвергнутом кручению?
Какого вида напряжение возникает в образце,
при изгибе?
При какой конфигурации образца и приложенных
к нему сил возникает одноосное напряжение?
41
Контрольные задания



Сколько независимых компонент содержит
тензор напряжения кристалла? Записать
его в произвольных осях координат с
учётом симметрии его компонентов
Записать тензор одноосного напряжения
общего вида, приведённый к главным
осям
Как выглядит тензор двуосного
напряжения, приведённый к главным
осям?
42
Контрольные задания




Как влияет симметрия кристалла на вид
тензора напряжения?
Написать выражение для компоненты ε13
тензора деформации через функцию,
описывающую смещения в образце
Написать развёрнутое выражение для
компоненты тензора деформации ε11 через
податливость и напряжение
Что такое объёмное расширение? Как оно
зависит от ориентации осей координат?
43
Контрольные задания




Что такое тепловое расширение и тензор
теплового расширения?
Какова размерность и ранг тензора
теплового расширения?
Что такое коэффициент теплового
расширения? Как он зависит от
ориентации осей координат?
Какие типы характеристических
поверхностей описывают тепловое
расширение реальных кристаллов?
44
Контрольные задания





В чём заключается закон Гука?
Что описывают тензоры упругой податливости и
жёсткости кристалла?
Каковы размерность и ранг тензоров
податливости и жёсткости кристалла? Сколько
элементов они содержат?
Сколько независимых элементов содержат
тензоры податливости и жёсткости в общем
случае? Почему?
В чём особенности матричной записи закона
Гука?
45
Контрольные задания




Какова размерность матрицы, описывающей
закон Гука для кристаллов?
Сколько независимых компонент содержат
матрицы упругой податливости и жёсткости
кубического кристалла?
Сколько независимых величин описывают
упругие свойства изотропного твёрдого тела? Как
они называются?
Как зависит скорость звука от коэффициента
жёсткости и плотности материала?
46
47