Transcript Общая теория относительности

Теория
относительности
Релятивистская механика
Физика до теории
относительности


Аристотель: движение – переход
вещества в форму. Поведение тел
определяется соотношением их составе
«земли» и «огня».
Галилей: принцип относительности:
в инерциальных системах отсчета все
механические явления проистекают
одинаково.
Механика и теория
тяготения Ньютона




Первый закон – закон инерции.
Второй закон – закон движения:
ma=F
Третий закон – закон действия и
противодействия
Закон всемирного тяготения
F G
m1 m 2
r
2
Теория электромагнитных
явлений Максвелла




Связь напряженности магнитного поля с
движением электрических зарядов
Поле статического электрического заряда
Связь напряженности электрического
поля с изменением магнитного поля
Магнитных зарядов нет
Концепция эфира


Электромагнитные волны в эфире
Скорость распространения
электромагнитных волн постоянная
величина, не зависящая от
взаимной скорости приемника и
получателя!
«Световые часы»
Опыт Майкельсона
Другие эксперименты, лежащие в
основе специальной теории
относительности




Астрономическая аберрация света
Эффект Допплера
Опыт Физо
Измерение времени жизни
μ-мезонов
Специальная теория
относительности
Область применимости –
инерциальные системы отсчета
Преобразования
Галилея
Z' Z' Z'
Z
X
X' X' X'
Y
Y' Y' Y'
x '  x  Vt
y '  y;
t' t
z' z
dx  dy  dz  const
2
2
v  v ' V
2
Преобразования Лоренца
x'
x  Vt
1
y '  y;
t x
t'
1
V
2
c
2
z' z
V
c
2
V
2
c
2
Инвариантный интервал
c dt  dx  dy  dz  const
2
2
2
ct
2
2
ct’
x’
x
Преобразования Лоренца
x  x ' ch   ct ' sh 
ct
ct’
ct  x ' sh   ct ' ch 
x’
th   V / c
x
Специальный принцип
относительности
Основные законы физики для двух
наблюдателей, находящихся в
движущихся равномерно и
прямолинейно друг друга
инерциальных системах отсчета,
имеют одинаковую форму.
1905 г.
Конус Минковского
Мировая линия


x, y, z
ct
( ct )  x  y  z  0
2
2
2
2
Некоторые следствия СТО

Релятивистское
сокращение
длины
l  l0
1
v
2
c
2

Релятивистское
замедление
времени
T 
 T0
1
v
2
c
2
Некоторые следствия СТО
Закон сложения скоростей
v 
v ' V
1
v 'V
c
2
Некоторые следствия СТО
Эффект Доплера
1
  0
1
u
u
2
c
2
cos 
1
  0
1
u
,u
cos 
c
c
  0
cu
cu
  0 1 u
2
c
2
c
Некоторые следствия СТО
Эффект Доплера
Некоторые следствия СТО
Аберрация света
sin  
 
1 u
2
c  sin  
2
1  u c cos  
u
c
sin 
Изменение массы

Масса движущегося, относительно
наблюдателя, тела увеличивается
согласно формуле:
m 
m0
1
v
2
c
2
Связь массы и энергии
E  m c  m0c 
2
2
m0v
E0  m0c
2
2
2
 ...
Связь энергии и испульса
E p c  m c ,
2
2
2
2
4
p
E
c
2
u
4-векторы

x  ( ct , x , x , x )  ( ct , r )
p

1
2
3
 (E c , px , py , pz )  (E c , p)
4-скорость
u 
i
dx
i
dt
где t — «собственное время», равное интервалу,
измеренному вдоль мировой линии.
Геометрически 4-скорость является единичным
вектором, касательным к мировой линии частицы.
Общая теория
относительности
Релятивистская теория
гравитации
Основы общей теории
относительности

Законы физики должны быть
составлены так, чтобы они были
справедливы для произвольно
движущихся координатных систем.
Общий принцип
относительности
Основные законы физики для двух
наблюдателей, движущихся
произвольным образом и
использующих произвольные,
непрерывно преобразуемые одна в
другую системы координат, имеют
одинаковый вид.
Тайна тяготения



Экранирование телами «ударов»
гипотетических частиц или эфира
Электродинамические модели
Равенство инертной и гравитационной
масс
F  mi a
F G
mg M
r
2
Ускоренная система отсчета и
гравитационное поле
Принцип эквивалентности:
 Никакими экспериментами невозможно
определить покоится ли тело в
однородном гравитационном поле или
движется ускоренно
 Никакими экспериментами невозможно
определить движется ли тело
прямолинейно и равномерно вдали от
гравитирующих масс или свободно
падает в однородном гравитационном
поле
Принцип Маха


Сила инерции возникает в
результате гравитационного
взаимодействия тела с веществом
всей Вселенной.
Абсолютно ли вращение? Будем ли
мы ощущать вращение в абсолютно
пустой Вселенной?
Неевклидовы геометрии


Геометрия Римана
Геометрия Лобачевского
Парадокс
Эренфеста (о длине окружности вращающегося диска)
Метрика пространства
d s  g xx d x  2 g xy d xd y 
2
2
 g xx

g   g yx
g
 zx
g xy
g yy
g zy
g xz 

g yz 
g zz 
 g zz d z
2
Искривленное четырехмерное
пространство-время
4
ds 
2
g
ij
( x ) dx i dx j
i, j
 g 00

g 10

g 
 g 20

 g 30
g 01
g 02
g 11
g 12
g 21
g 22
g 31
g 32
g 03 

g 13
 ,
g 23 

g 33 
g ij  g ji
Плоское пространство-время
специальной теории
относительности
ds  dx 0  dx1  dx 2  dx 3 ,
2
2
1

0

g ij 
0

0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
0
0
0 

0

0 

1
x 0  ct
Уравнение Эйнштейна
R ij 
1
2
Rg ij   Tij
• Rij – тензор Риччи, его компоненты выражаются
через первые и вторые производные от
компонент тензора gij
• gij – метрический тензор
• Tij – тензор энергии-импульса материи,
создающей искривленность пространствавремени.
Тензор энергии-импульса
 c 2

0

Tij 
 0

 0
0
0
p
0
0
p
0
0
0

0
0

p
Малые гравитационные поля
2

1  c 2

g ij   0
 0

 0

0
0
1
0
0
1
0
0

0 

0 
0 

 1 
ds   c  2   dt  d r
2
2
2
2
  G
M
R
Гравитационное замедление времени и
гравитационное красное смещение
dt 
1
c
g 00 dx
0
g 00  1 
2
c
2
 1
2G m
2
c R
Часы в гравитационном поле идут медленнее для удаленного наблюдателя
 

   0 1  2  ,
c 

 
1   2
c
2

Частота света возрастает с увеличением ||, т.е. возрастает при
приближении к создающим поле телам; наоборот, при удалении луча
от этих тел частота света уменьшается.
Решение Шварцшильда
2
r


dr
g
2
2
2
2
2
2
2
ds   1 
 c dt  r  sin  d   d   
rg
r 

1
r
rg 
2G M
c
2
t , r , , 
Наблюдаемые и
координатнозависимые величины


Направления (углы)
Промежутки времени (частоты)
Пространственная метрика
решения Шварцшильда
dl 
2
dr
2
1  rg r
r
2
 sin
2
d   d 
2
2

Расстояние между двумя точками с координатами r1 и r2:
r2

r1
dr
1  rg r
 r2  r1
Замедление времени:
dt 
1
c
g 00 dt
Искривление метрики
пространства-времени
Геодезические линии
Принцип наименьшего действия
b
S   m c  ds  m in
a
b
 S   m c   ds  0
a
du
i
0
ds
Принцип наименьшего действия был сначала
сформулирован Мопертюи в 1746 году и далее
развивался (после 1748 года) математиками Эйлером,
Лагранжем и Гамильтоном.
Совершенство Вселенной требует определенной
экономии в природе и противоречит любым
бесполезным расходам энергии. Естественное
движение должно быть таким, чтобы сделать
некоторую величину минимальной. Нужно было
только найти эту величину, что он и продолжал
делать. Она являлась произведением
продолжительности (время) движения в пределах
системы на удвоенную величину, которую мы теперь
называем кинетической энергией системы.
Орбиты планет в ОТО
незамкнуты
Гравитационные линзы
Гравитационные линзы
Черные дыры
Под черной дырой понимается область
пространства-времени, для которой
вторая космическая скорость равна
скорости света c = 300 000 км/с
В 1783 году существование черных дыр
предсказал английский астроном-любитель,
священник и геолог Джон Митчел
Гравитационный радиус
rg  2
GM
c
2
Для Земли – 9 мм
 Для Солнца – 3 км

Гравитационное красное смещение
вблизи черной дыры
Обнаружение черных дыр
Линзирование
Выброс (jet) из ядра М87
Выброс из ядра галактики имеет длину 7500 световых лет!
Термодинамика черных
дыр
T 
S 
c
3
Температура черной дыры
8  kG M
A kc
3
Энтропия черной дыры
A – площадь горизонта событий
4 G
5120  G M
2
t
c
4
3
Время жизни черной дыры
1000 т испаряется за 84 секунды
Падение в черную дыру
Гравитационные волны
Гравитационную волну излучает любая движущаяся ускоренно
материя. Для возникновения волны существенной амплитуды
необходимы чрезвычайно большая масса излучателя или/и
огромные ускорения, амплитуда гравитационной волны прямо
пропорциональна ускорению и массе генератора, то есть ~ma.
Два объекта излучают гравитационные волны только в паре,
причём в результате интерференции они существенно взаимно
гасятся.
Для Солнечной системы, например, наибольшее гравитационное
излучение производит подсистема Солнца и Юпитера. Мощность
этого излучения — примерно 5 киловатт!
Гравитационные волны

dE
G
dt
5
c
64 G m 1 m 2  m 1  m 2 
3
,
r 
5
5c r
3
Гравитационные волны
Гравитационные волны
Проект LIGO
LIGO (англ. Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) —
лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория.
LIGO состоит из двух обсерваторий, удалённых друг от друга на 3002 километра.
Поскольку скорость распространения гравитационных волн, как ожидают, равна
скорости света, это расстояние даёт разницу в 10 миллисекунд, которая позволит
определить направление на источник зарегистрированного сигнала.
Проект LISA
LISA — это совместный эксперимент
НАСА и Европейского космического
агентства по исследованию
гравитационных волн. Его название
расшифровывается как Laser
Interferometer Space Antenna
(Космическая антенна,
использующая принцип лазерного
интерферометра). В настоящее
время эксперимент находится в
стадии проектирования,
предполагаемое время запуска —
2020 год. Расчётная
продолжительность эксперимента —
5 лет, с возможностью продления до
10 лет.
Скорость распространения
гравитации



В теории гравитации Ньютона скорость гравитации не входит
ни в одну формулу, считаясь бесконечно большой.
В общей теории относительности потенциалами
гравитационного поля выступают компоненты метрического
тензора, так что гравитационное поле отождествляется в
сущности с метрическим полем.
Во многих альтернативных теориях гравитации скорость её
распространения может существенно отличаться от скорости
света, так что непосредственное измерение скорости
гравитации представляет собой тест на работоспособность
этих теорий.
Космология



Решение Фридмана
Большой взрыв
Нестационарная Вселенная
R ij 
1
2
R g ij 
8k
c
4
Tij   g ik
Расширение Вселенной

Закон Хаббла
V  Hr,

H  70 km/s  K pc
Критическая плотность
0 
3H
2
8k
 10
 29
g/cm
3
-1
Эффекты ОТО






Гравитационное замедление времени
Поправки к классическим теориям
движения тел в гравитационном поле
Гравитационное красное смещение
Гравитационные волны
Чёрные дыры
Космология
Экспериментальные
подтверждения ОТО




Движение перигелия Меркурия
Искривления путей световых лучей
Смещение частот спектральных линий
Задержка радиолокационных сигналов
Развитие теории
гравитации
Новые проблемы
Проблемы в ОТО




Выполнение закона сохранения
энергии и импульса
Наличие сингулярностей
Квантовая гравитация (на
масштабах 10-33 см)
Большее число измерений (5, 6, 10)
Литература
(http://URSS.RU)






Бергман – Введение в теорию
относительности
Ландау, Лифшиц – Теория поля (т. 2)
Мизнер, Торн, Уилер – Гравитация
Пенроуз – Структура пространствавремени
Синг – Общая теория относительности
Вайнберг – Гравитация и космология