Transcript Stokes sats

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokes sats
STOKES’ SATS
N
Y
, ,
vara ett vektorfält definierad i ett öppet område Ω. Låt Y vara ett
orienterad ytstycke i Ω med randen ∂Y som består av en eller flera kurvor .
Låt
Då gäller
r r
r
∫ Fdr = ∫∫ rot ( F ) ⋅ nˆ dS
∂Y
(*)
Y
r
N
där nˆ = r är ytans enhetsnormalvektor orienterad i enlighet med randkurvans orientation
|N|
r
i
r
r
∂
och rot ( F ) = ∇ × F =
∂x
P
r
j
∂
∂y
Q
r
k
∂
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
=( −
,
−
,
− )
∂z
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
R
r
Alternativ beteckning för Stokes formel (*) : I några böcker betecknas nˆ dS som dS och
därmed
r
r r
r
∫ Fdr = ∫∫ rot ( F ) ⋅ dS
∂Y
(**)
Y
Anmärkning: Med hjälp av Stokes formel ka vi beräkna en kurvintegral med hjälp av en
r r
flödesintegral. I de flesta fall är det enklastatt beräkna kurvintegralen ∫ Fdr direkt genom att
C
parametrisera kurvan C . Stokes formel kan vara användbar om kurvan definieras som
r
skärningskurvan mellan två ytor och dessutom rot ( F ) ⋅ nˆ dS ger ett enkelt uttryck, som i
nedanstående exempel.
1 av 3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokes sats
Uppgift 1. Låt C vara skärningskurvan mellan planet z = 10 − x − y och cylindern x 2 + y 2 = 1
orienterad så att kurvans projektion i xy-planet är positivt orienterade. Bestäm det arbete som
r
kraftfältet F = ( x, x 3 , z 3 ) uträttar vid cirkulation runt kurvan C.
Lösning: Vi ska använda Stokes formel
r r
r
F
d
r
=
rot
(
F
) ⋅ nˆ dS .
∫
∫∫
∂Y
Y
r
Först beräknar vi rotationen av fältet F .
r
i
r
r
∂
rot ( F ) = ∇ × F =
∂x
P
r
j
∂
∂y
Q
r
r
k
i
∂
∂
=
∂z
∂x
R
x
r
k
r
r
r
r
∂
= i (0 − 0) − j (0 − 0) + k (3 x 2 − 0) = 3 x 2 k
∂z
z3
r
j
∂
∂y
x3
r
Alltså rot ( F ) = (0,0,3 x 2 ) .
N
Y
Eftersom kurvan ligger på ytan z = 10 − x − y
k
D
som är given på explicit form beräknar vi
r
N = (− z ′x ,− z ′y , 1) = (1,1,1) .
r
r
(Vi riktar N uppåt som enhetsvektorn k för att få samma orientation för slutna kurvor på ytan Y
och kurvor i xy planet)
Eftersom, för ytor på explicit form gäller
r
r
N r
nˆ dS = r | N | dxdy = Ndxdy , har vi att
|N|
r
r r
rot ( F ) ⋅ nˆ dS = rot ( F ) ⋅ Ndxdy .
r
r
Vi beräknar rot ( F ) ⋅ N = 3 x 2 och därefter
r r
r
F
d
r
=
rot
(
F
) ⋅ nˆ dS
∫
∫∫
C
( flödesintegral)
Y
r r
= ∫∫ rot ( F ) ⋅ N dxdy =
( vanlig dubbelintegral, där domän D är cirkeln x 2 + y 2 ≤ 1 )
D
2π
1
0
0
2
2
2
∫∫ 3x dxdy = ∫ dθ ∫ 3r cos θ ⋅ rdr =
D
Svar:
2π
1 + cos 2θ
3 3
3
∫0 2 dθ ∫0 3r dr = π 4 = 4 π
1
3
π joule (joule = newtonmeter = wattsekund om kraftfält är given i N och längden i m)
4
2 av 3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokes sats
Uppgift 2. Låt C vara skärningskurvan mellan planet z = 5 och cylindern x 2 + y 2 = 4 orienterad
så att kurvans projektion i xy-planet är positivt orienterade. Bestäm det arbete som kraftfältet
r
F = ( x 4 ,3 x + y 2 , z 3 + x 2 + y 5 ) uträttar vid cirkulation runt kurvan C.
Lösning:
r
Först beräknar vi rotationen av fältet F .
r
i
r
r
∂
rot ( F ) = ∇ × F =
∂x
P
r
j
∂
∂y
Q
r
r
k
i
∂
∂
=
∂z
∂x
R
x4
r
j
∂
∂y
3x + y 2
r
k
r
r
r
∂
= 5 y 4 i − 2 xj + 3k
∂z
z3 + x2 + y5
r
Alltså rot ( F ) = (5 y 4 ,−2 x, 3) .
r
Vi beräknar N = (− z ′x ,− z ′y , 1) = (0,0,1) .
r
r
(Vi riktar N uppåt som enhetsvektorn k för att få
samma orientation för slutna kurvor på ytan Y och kurvor i xy planet)
Eftersom, för ytor på explicit form gäller
r
r
N r
nˆ dS = r | N | dxdy = Ndxdy , har vi att
|N|
r
r r
rot ( F ) ⋅ nˆ dS = rot ( F ) ⋅ Ndxdy .
r
r
Vi beräknar skalärprodukten rot ( F ) ⋅ N = 3 och därefter
r r
r
∫ Fdr = ∫∫ rot ( F ) ⋅ nˆ dS
C
( flödesintegral)
Y
r r
= ∫∫ rot ( F ) ⋅ N dxdy =
( vanlig dubbelintegral, där domän D är cirkeln x 2 + y 2 ≤ 1 )
D
∫∫ 3 dxdy = 3arean(D) = 3 ⋅ 2
2
π = 12π
D
Svar: 12π joule (joule = newtonmeter = wattsekund om kraftfält är given i N och längden i m)
Uppgift 3. Låt C vara skärningskurvan mellan planet z = 5 + x 2 + 2 y 2 och cylindern x 2 + y 2 = 4
orienterad så att kurvans projektion i xy-planet är positivt orienterade. Bestäm det arbete som
r
kraftfältet F = ( x 4 , y 2 , z 3 ) uträttar vid cirkulation runt kurvan C.
r
Svar 0 ( eftersom rot ( F ) = (0,0,0) )
3 av 3