Transcript SAMMANFATTNING OM GRADIENT, DIVERGENS, ROTATION

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nablaoperator
SAMMANFATTNING OM GRADIENT, DIVERGENS, ROTATION,
NABLAOPERATOR
Ofta förekomande uttryck och operatorer i R3:
GRADIENT, DIVERGENS, ROTATION
Vi betraktar funktioner med rektangulära koordinater x,y,z.
Låt f ( x, y , z ) vara en deriverbar skalärfunktion (eller skalärfält) och
r
F = ( P( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y , z )) en deriverbar vektorfunktion (eller vektorfält) .
Nedan definierar vi gradient, divergens och rotation som är ofta förekommande uttryck inom
matematiken och dess tillämpningar.
GRADIENT
Gradienten av f ( x, y , z ) är vektorfunktion (=vektorfält) som betecknas grad ( f ) och
definieras enligt följande:
grad ( f ) = (
∂f ∂f ∂f
, , )
∂x ∂y ∂z
Anmärkning: Om f ( x1 , x 2 ,..., x n ) så definieras grad ( f ) = (
∂f ∂f
∂f
,
,...,
)
∂x1 ∂x 2
∂x n
DIVERGENS
r
Divergensen av F = ( P ( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y , z )) är en skalärfunktion som betecknas
r
div (F ) och definieras av
r
∂P ∂Q ∂R
div( F ) =
+
+
∂x ∂y ∂z
Anmärkning: På liknande sätt använder vi divergensen på n-dimensionella vektorfält.
ROTATION
r
Rotationen av F = ( P ( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y , z )) är en vektorfunktion som betecknas
r
r
rot (F ) ( eller curl (F ) ) och definieras av
1 av 6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
r
i
r
∂
rot ( F ) =
∂x
P
=(
r
j
∂
∂y
Q
Nablaoperator
r
k
∂
∂R ∂Q r ∂P ∂R r ∂Q ∂P r
=( −
)i + ( − ) j + (
− )k
∂z
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
R
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
−
,
−
,
− )
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Anmärkning: Till skillnad från divergensen är rotationen definierad endast på
tredimensionella vektorfält. Om vi vill använda rotationen på tvådimensionella problem i
xy planet, måste vi skriva om fältet som tredimensionellt genom att lägga till 0 som den
tredje koordinaten.
=================================================================
Vi sammanfattar standardtillämpning av grad div och rot i R3:
Gradienten tillämpas på ett skalärfält, resultat är ett vektor fält.
Divergensen tillämpas på ett vektorfält, resultat är ett skalärfält fält;
Rotationen tillämpas på ett vektorfält, resultat är ett vektor fält
Anmärkning: Inom strömningslära ( och andra tekniska tillämpningar) används divergensen
även på matrisfunktioner genom att tillämpa div på varje kolonnvektor.
DEL (NABLA) OPERATOR
Följande symboliska vektor ( vektoriell differential operator)
r ∂ r ∂ r ∂
∂ ∂ ∂
∇=i
+ j
+k
=( , , )
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
kallas nablaoperatorn ( eller deloperator)
Med hjälp av nablaoperatorn kan vi beskriva grad , div och rot på följande sätt:
grad ( f ) = ∇f
r
r
div ( F ) = ∇ ⋅ F
r
r
rot ( F ) = ∇ × F
2 av 6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
LAPLACEOPERATORN Δ =
Nablaoperator
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(= div(grad) ) kan också skrivas med hjälp
av nablaoperatorn, Δ = ∇ 2 .
Laplaceoperatorn tillämpad på ett skalärfält ger
Δf = ∇ 2 f =
∂2 f ∂2 f ∂2 f
+
+
,
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
r
och kan också tillämpas på ett vektorfält F = ( P( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y , z )) genom att
tillämpa Δ =
∂2
∂2
∂2
+
+
på varje koordinatfunktion,
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
r
r
Δ F = ∇ 2 F = ( ΔP , Δ Q , Δ R ) .
===================================================================
Uppgift 1. Bestäm a) ∇f och b) Δf om f = xe y + z 2 .
Lösning:
a) ∇f = grad ( f ) = (
∂f ∂f ∂f
, , ) = (e y , xe y ,2 z )
∂x ∂y ∂z
∂2 f ∂2 f ∂2 f
b) Δf = ∇ f = 2 + 2 + 2 = 0 + xe y + 2 = 2 + xe y
∂x
∂y
∂z
2
Uppgift 2. Bestäm
r
a) div (F ) ,
r
b) grad (div ( F )) och
r
r
c) rot (F ) då F = ( y + x 2 , z, x 2 )
Lösning
a)
r
∂P ∂Q ∂R
Eftersom div( F ) =
+
+
har vi
∂x ∂y ∂z
r
r
F = ( y + x 2 , z, x 2 ) ⇒ div ( F ) = 2 x + 0 + 0 = 2 x .
r
Svar a) div ( F ) = 2 x
r
Answer a) div ( F ) = 2 x
r
b) Från grad (ϕ ) = ( ∂ϕ , ∂ϕ , ∂ϕ ) har vi ( för ϕ = div (F ) )
∂x ∂y ∂z
r
grad ( div( F )) = ( 2,0,0)
3 av 6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nablaoperator
r
Svar b) grad ( div( F )) = ( 2,0,0)
r
i
def
c) rot ( Fr ) = ∂
∂x
P
r
j
∂
∂y
Q
r
r
k
i
∂
∂
=
∂z
∂x
R
y + x2
r
j
∂
∂y
z
r
k
r
r r
∂ = −1i − 2 xj − k = ( −1,−2 x,−1)
∂z
x2
r
Svar c) rot ( F ) = ( −1,−2 x,−1)
r
r
Uppgift 3. Bestäm grad (div ( rot ( F ))) om F = ( x + y + z , x 2 + z 2 , x + y )
Lösning
r
F = ( x + y + z, x 2 + z 2 , x + y)
r
r
r
i
j
k
r
r
r
r
∂
∂
∂
rot ( F ) =
= (1 − 2 z )i − (1 − 1) j + ( 2 x − 1) k
∂x
∂y
∂z
2
2
( x + y + z) ( x + z ) ( x + y)
= (1 − 2 z , 0, 2 x − 1)
r
r
r
Alltså div (curl ( F )) = 0 och därmed grad ( div (curl ( F ))) = (0,0,0) = 0
r
r
Svar: grad ( div ( rot ( F ))) = (0,0,0) = 0
r
Uppgift 4. Låt F = ( P, Q, R ) vara ett C1 fält definierat i ett öppet område Ω ⊆ R 3 .
r
Bevisa att div ( rot ( F ) = 0 .
r
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
Lösning: Enligt definitionen är rot (F ) = ( −
,
−
,
− ).
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
r
∂ ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ∂ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ∂ ⎛ ∂Q ∂P ⎞
⎟+ ⎜
⎟=
−
−
−
Därför div(rot ( F ) = ⎜⎜
⎟+ ⎜
∂x ⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ∂y ⎝ ∂z ∂x ⎠ ∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠
=
∂ 2 R ∂ 2Q ∂ 2 P ∂ 2 R ∂ 2Q ∂ 2 P
= 0 , vad skulle bevisas.
−
+
−
+
−
∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
Vi utnyttjade att, eftersom fältet är ett C1-fält ( dvs kontinuerliga partiella derivator ),
∂2R
∂2R
blandade partiella derivator är lika, t ex
=
.
∂x∂y ∂y∂x
Uppgift 5. Bestäm Δf + ∇ ⋅ (∇ × (∇f )))
om f ( x, y, z ) = x 3 + y 2 + z .
4 av 6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nablaoperator
Svar: Δf + ∇ ⋅ (∇ × (∇f ))) = Δf + div (rot ( gradf ))) = 6 x + 2
Uppgift 6. Låt f = x + y 2 + z 3 . Bestäm vilket (vilka ) av följande uttryck är definierad på
korrekt sätt och beräkna det.
a) grad(grad(f))
b) div(rot(f) )
c) grad( div(grad(f)))
Lösning:
a) Gradient tillämpas på skalärfunktion och resultat är en vektorfunktion. Uttrycket är inte
definierad eftersom grad(f) är vektorfunktion och därmed är grad(grad(f)) INTE definierad.
b) Rotationen tillämpas på vektorfält och inte på skalärfält. Därmed är rot(f) INTE definierad.
c) Uttrycket är korrekt definierad:
grad ( f ) = (1, 2 y, 3z 2 )
div ( grad ( f )) = 2 + 6 z och slutligen
grad ( div ( grad ( f ))) = (0,0,6)
Svar c) grad ( div ( grad ( f ))) = (0,0,6)
r
Definition1. Vi säger att ett vektorfält F , definierad i en öppen mängd Ω, är potentialfält om
r
det finns en skalär funktion U(x,y,z) så att F = grad (U ) .
r
Definition2. Vi säger att ett vektorfält F , definierad i en öppen mängd Ω, är virvelfritt om
r
r
rot ( F ) = 0 .
r
Uppgift 7. Låt F vara ett potentialfält med kontinuerliga partiella derivator (kortare C1 fält).
r
Visa att F är virvelfritt.
r
∂U ∂U ∂U
Lösning: Enligt antagande F = grad (U ) = (
,
,
)
∂x ∂y ∂z
Därför
r
i
r def ∂
rot ( F ) =
∂x
∂U
∂x
r
j
∂
∂y
∂U
∂y
r
k
r ∂ 2U ∂ 2U
r ∂ 2U ∂ 2U
r ∂ 2U ∂ 2U
∂
) − j(
−
) + k(
−
) = (0,0,0)
=i(
−
∂y∂z ∂z∂y
∂x∂z ∂z∂x
∂x∂y ∂y∂x
∂z
∂U
∂z
5 av 6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Nablaoperator
Vi utnyttjade att, eftersom fältet är ett C1-fält ( dvs kontinuerliga partiella derivator ),
blandade partiella derivator är lika, t ex
∂ 2U
∂ 2U
=
.
∂x∂y ∂y∂x
Uppgift 8.
r
A) I nedanstående ekvation ( eq 1) är U = (u , v, w) . Funktioner ρ , ϕ , Γ, S , u, v, w är reella
funktioner av t, x, y and z.
Skriv ekvationen
r
∂ ( ρϕ )
+ ∇ • ( ρϕU ) = ∇ • ( Γ ⋅ (∇ϕ )) + S
∂t
( ekv 1)
utan operatorer div, ∇ , Δ , div, rot or grad.
r
B) Låt ρ = 2 , Γ = 3 , U = (1, 2, 4) .
Bestäm uttrycket S(x,y,z) i (ekv 1) om vi vet att
ϕ ( x, y , z ) = x + y 2 + z 3
satisfierar ekvationen.
Lösning:A)
r
∂ ( ρϕ )
+ ∇ • ( ρϕU ) = ∇ • ( Γ ⋅ (∇ϕ )) + S ⇒
∂t
r
∂ ( ρϕ )
+ div ( ρϕU ) = div ( Γgradϕ ) + S ⇒
∂t
∂( ρϕ )
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
+ div( ρϕu, ρϕv, ρϕw) = div( Γ
,Γ
,Γ
)+S ⇒
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ ( ρϕ ) ∂ ( ρϕu ) ∂ ( ρϕv ) ∂ ( ρϕw)
∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
+
+
+
) = ⎜Γ
⎟+ ⎜ Γ
⎟ + ⎜Γ
⎟+S
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
r
B) Vi substituerar ρ = 2 , Γ = 3 , U = (1, 2, 4) och
0+
ϕ ( x , y , z ) = x + y 2 + z 3 i (ekv2) :
∂ ( 2ϕ ) ∂ ( 4ϕ ) ∂ (8φ )
∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
+
+
) = ⎜ 3 ⎟ + ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + ⎜ 3 ⎟ + S
∂x
∂y
∂z
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
0 + 2 + 8 y + 24 z 2 = 0 + 6 + 18 z + S .
Därför S = −4 + 8 y − 18 z + 24 z 2
Svar: S = −4 + 8 y − 18 z + 24 z 2
6 av 6
(ekv2)