Transcript solution

TMMI09 2013-01-10
TMMI09 2013-01-10.01
(Del I, teori; 1 p.)
1. En balk med kontinuerligt fördelad massa, tillverkad av ett material med densitet
, är fritt upplagd
enligt figuren. Balkens tvärsnitt är rektangulärt
, och dess egenvinkelfrekvens är
. Genom
att öka balkens tvärsnittshöjd till
(utan att tvärsnittsbredden ändras), ökar man både
yttröghetsmoment och massa hos balken, och dess egenvinkelfrekvens ändras till
. Gör en enkel
överslagsberäkning och ange
.
1. A beam with continuously distributed mass, made from a material with density
, is freely
supported at both ends; see figure. It has a rectangular cross section
and has eigenfrequency
. By increasing the cross-section height of the beam to
(without changing the crosssection width ), the area moment of inertia and the mass of the beam are changed, and its
eigenfrequency is changed to
. Find
by a simple computation.
-----------where ,
gives us
and
SOLUTION
------------------------------
are constants of proportionality, the values of which we need not know. This
TMMI09 2013-01-10
TMMI09 2013-01-10.02
(Del I, teori; 1 p.)
2. Förskjutningslösningen för en böjsvängande
balk med kontinuerlig massfördelning kan skrivas
. Ange de fyra (4)
randvillkor som ska uppfyllas av
-funktionen
för balken i figuren
2. The displacement solution of a vibrating beam
with continuous mass distribution can be written
. Give the four (4)
boundary conditions to be applied on the
function for the beam in the figure.
------------
SOLUTION
TMMI09 2013-01-10.03
------------------------------
(Del I, teori; 1 p.)
3. Detaljer som ska dimensioneras mot utmattning innehåller ofta lokala spänningskoncentrationer,
till exempel p.g.a. hålkälar, areaövergångar och liknande. Den maximala spänningen i själva kälen är
, där i extrema fall kan vara
. I utmattningsdimensionering behöver man emellertid
sällan räkna med hela utan kan använda ett reducerat värde
Förklara varför!
3. Components to be designed against fatigue often contains local stress concentrations, for instance
caused by notches, area transitions, ... The maximal stress in the notch is then
, where in
extreme cases can be > . In fatigue design, however, one seldom needs to take this whole
into
account but can use a reduced value
Explain why!
------------
SOLUTION
------------------------------
- The fatigue failure will be the result of a crack starting at a defect in the material, and
- the larger the highly stressed volume is, the more likely is it that there exists an extremely bad
defect.
The fatigue data are always measured on a test specimen which is designed to give the same high
stress over a rather large volume of material. The fatigue risk in an actual component with the same
maximimm stress but over only the small volume surrounding the notch is therefore less, and the use
of a reduced value
instead of is justified.
TMMI09 2013-01-10
TMMI09 2013-01-10.04
(Del I, teori; 1 p.)
4. Lasthistorien i bilden ska användas för att
göra en utmattningsanalys enligt PalmgrenMiner. Med rainflow count kan tre lastcykler
identifieras. Vilka? (Motivera genom att rita in
‘droppvägarna’ i figuren!)
4. The load history in the figure is to be used for
a fatigue analysis by a linear Palmgren-Miner
theory. Using rainflow count, three load cycles
can be identified. Which? (Explain by marking
the drop paths in the figure!)
------------
2
1
4
1
------------------------------
SOLUTION
6
1
3
1
5
1
1
1
’Pairing’ table
Drop table
’Drop’ No.
Range (MPa)
Cycle No.
Drops Nos.
Cycle (MPa)
1
-20 → 80
1
1+4
-20 → 80 → -20
2
60 → 40
2
2+3
60 → 40 → 60
3
40 → 60
3
5+6
10 → 40 → 10
4
80 → -20
↑
5
10 → 40
SVARET
6
40 → 10
TMMI09 2013-01-10
TMHL09 2013-01-10.05
(Del II, problem; 3 p.)
5. En masslös konsolbalk bär i sin spets
en punktformig massa . Balkens vänstra
del
har cirkulärt tvärsnitt
med diameter , medan dess högra del
har diameter
. I balkspetsen angriper också en störkraft
. Bestäm amplituden hos
massans svängningsrörelse stationärt
tillstånd.
5. A massless cantilever beam carries a point mass on its tip. The left part of the beam
has circular cross section with diameter , while the right part
has diameter
.
At the tip of the beam, there is also a periodic force
. Compute the amplitude of the
vibration of the mass in the stationary state.
------------
SOLUTION
Equation of motion
Relation S ↔ u
Superposition of elementary solutions:
-------------- ----------------
TMMI09 2013-01-10
Vibration equation
Stationary solution
TMHL09 2013-01-10.06
(Del II, problem; 3 p.)
6. En balk med kontinuerlig massfördelning är
fast inspänd i båda ändar. Bestäm dess egenvinkelfrekvens i fri svängning.
Rätt uppställd ekvation plus beskrivning av hur
dess lösning ska efterbehandlas för att ge egenvinkelfrekvensen ger 2 poäng; har du dessutom
genomfört den numeriska lösningen av ekvationen samt slutfört beräkningen av egenvinkelfrekvensen får du 3 poäng.
6. A beam with a continuous mass distribution is clamped in both ends. Compute its eigenfrequency
in free vibration.
A correct equation plus description of how its solution must be postprocessed in order to give the
eigenfrequency gives 2 points. Numerical solution of the equation together with a successful postprocessing to find the eigenfrequency gives 3 points
-----------Use the general solution
where
Boundary conditions:
SOLUTION
------------------------------
TMMI09 2013-01-10
or, in matrix form (and with abbreviations
, ... introduced)
Linear homogeneous equation system; has nontrivial solutions only if
The equation to solve is therefore
The function
is plotted below.
is obviously
for
Accurate solution gives
ANSWER
.
TMMI09 2013-01-10
TMHL09 2013-01-10.07
(Del II, problem; 3 p.)
7. En I-profilbalk (se fig. 1) utsätts för ett böjmoment
. Balkens övre fläns blir därigenom utsatt för en tidvarierande längsspänning och kan ur utmattningssynpunkt behandlas som en
drag/tryckbelastad plåt.
Materialdata:
;
volymsberoende behöver beaktas .
a) Bestäm max. tillåtet
. Inget ytjämnhets- eller
i detta grundutförande.
b) På ett ställe i balken blir man tvungen att borra upp ett par hål i övre flänsen enligt figur 2,
som visar ett längdavsnitt av balken, sett uppifrån. Anta att vardera flänshalvan kan betraktas
som en drag/tryckbelastad plåt med hål, beräkna
och beräkna vilket max.
som nu kan
tillåtas.
7. A beam with an I-shaped cross section (Fig. 1) is subjected to a bending moment
.
The upper flange will by this be subjected to a time-varying axial stress and can in a fatigue analysis
context be treated as a tension/compression-loaded metal sheet.
Data:
;
dependence corrections are necessary.
a) Compute the maximum allowed
. No surface condition or volume
in this basic case.
b) At a particular position along the beam two holes must be drilled in the upper flange (see Fig.
2, which shows a short section of the beam as seen from above). Assuming that each of the
halves of the flange can be considered as a sheet with a tension/compression load, compute
and the maximum moment
that can now be allowed.
Fig. 2
Fig. 1
TMMI09 2013-01-10
------------
SOLUTION
------------------------------
Case (a)
The nominal stress cycle in the flange can be computed by beam theory:
a
a
The requirement that
gives
a
a
With
a
and
we get:
Case (b)
The hole in the flange (case on top of page 65 in the compendium;
a
) gives
a
Further,
Pa
no
The requirement
a
therefore gives
a
N
TMMI09 2013-01-10
TMHL09 2013-01-10.08
(Del II, problem; 3 p.)
8. En konstruktionsdetalj, som kan förenklas till en plattstav med rektangulärt tvärsnitt, har en
areaövergång med hålkälsgeometri enligt fig. 1. Belastningen är en tidvarierande jämnfördelad
spänning
, som är så hög att det finns risk för LCF. Komponenten ska dimensioneras för en LCF-livslängd om 3000 cykler. Bestäm den spänningsamplitud som då kan tillåtas!
Gör på följande sätt:
1. Använd orrow’s ekvation för att ur krävd LCF-livslängd bestämma tillåten lokal
töjningsamplitud .
2. Använd materialets Ramberg-Osgood-kurva (fig. 2) för att bestämma motsvarande lokala
spänningsamplitud .
3. Använd Neubers ekvation för att med kännedom om
hos den utifrån pålagda spänningen.
och
beräkna tillåten amplitud
8. A component, which for simplicity can be treated as a flat specimen with a rectangular cross
section, has an area reduction with notch geometry; see Fig. 1. The load is a time-varying, evenly
distributed stress
, which is high enough that there is a risk of LCF. The component
is to be designed for an LCF life of 3000 cycles. Compute the stress amplitude that can be allowed!
Instructions:
1. Knowing the required LCF life, use the Morrow equation to find the allowable local strain
amplitude .
2. Use the Ramberg-Osgood curve diagram (Fig. 2) to find the corresponding local stress amplitude .
3. Use the Neuber equation with the and
tude of the externally applied stress.
Fig. 1
known from above to compute the allowed ampli-
TMMI09 2013-01-10
Morrow data:
Pa
Fig. 2
-----------Morrow’s equation
SOLUTION
------------------------------
Ramberg-Osgood
Reading in the diagram of Fig. 2 gives
(Accurate numerical solution would have given
MPa)
Neuber
We need
Accurate reading in the table on top left of p. 64 gives
Since we have no
information on the tensile strength of the material, we cannot compute any notch sensitivity factor
but will, instead, assume that
so that
The Neuber equation then gives