Transcript Finit–elementmetod — MHA021 Examinator Information på www

Institutionen för tillämpad mekanik
Finit–elementmetod — MHA021
Kursinformation, läsperiod II 2014/15
Examinator
Peter W Möller, Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers.
Information på www
Deltagare som är registrerade har tillgång till kursens Ping Pong–sida där den viktigaste informationen finns att tillgå. Det finns även en extern, öppen, kurshemensida med mer fyllig information om
vad som gås igenom på de olika föreläsningarna m.m. Sidan hittar du via en länk i Ping Pong eller
genom att gå direkt till http://www.am.chalmers.se/~moller/index_fem_m3_gk.html
Innehåll
Finita–elementmetoder används för att approximativt lösa randvärdesproblem, dvs partiella differentialekvationer med givna randvillkor. I denna kurs behandlas finita–elementmetoder för några av de
vanligaste typerna av problem inom maskintekniken; hit hör t.ex stationär värmeledning, balkböjning, elasticitetsproblem (spänningsberäkningar) i 2– och 3D. För varje problemtyp som tas upp, ges
en kortfattad härledning av den styrande differentialekvationen (modellering); randvillkor och deras
fysikaliska innebörd gås också igenom. Vi visar hur problemet (differentialekvation(erna)+randvillkor) kan formuleras som ett variationsproblem eller ett minimeringsproblem med samma lösning som
det randvärdesproblemet samt hur en finit–elementmetod approximerar lösningen till något av de
senare. Vikt läggs vid hur den approximativa lösningen ansätts över geometrier i 2– och 3D problem
samt hur olika typer av randvillkor hanteras. Speciellt studerar vi hur man med hjälp av s.k isoparametriska avbildningar kan ansätta en approximation över godtyckligt formade områden. Vi går också
igenom villkoren för konvergens och konvergenshastighet, samt den approximativa lösningens karaktär i termer av Galerkin ortogonalitet och minimeringsegenskaper. Felkällor, feluppskattningar och
adaptiv teknik för att förbättra noggrannheten beskrivs översiktligt. Vidare behandlas vissa numeriska metoder som är av central betydelse vid implementering av en finit–elementmetod; hit hör t.ex
numerisk integration och lösning av stora ekvationssystem med iterativ metod eller genom matrisfaktorisering.
Datorövningar, där MATLAB och ‘toolboxen’ CALFEM utnyttjas, används för att lösa praktiska problem
med finita elementprogram som vi själva konstruerar. Fyra övningar är utformade som inlämningsuppgifter som löses individuellt eller i grupper om 2 kursdeltagare.
Mål och syfte
Efter examination ska deltagaren
• veta hur en finit–elementmetod approximerar lösningen till partiella differentialekvationer och
hur randvillkor hanteras, samt ha grundläggande kunskaper i hur felet i approximationen kan
uppskattas och reduceras m h a adaptiv teknik
• kunna använda finita–elementmetoden för att lösa några av de vanligaste problemtyperna inom
maskintekniken som t.ex värmeledningsproblem, balkböjning och spänningsberäkning vid 2– och
3D elasticitetsproblem.
• kunna redogöra för metodens grundläggande egenskaper i termer av kompatibilitet, konvergens,
felkällor och feluppskattningar, ortogonalitet och minimeringsegenskaper.
• vara bekant med några av de vanligaste numeriska metoder som förekommer inom finita–element analyser: numerisk integration, isoparametriska avbildningar och elementapproximationer, lösning av stora ekvationssystem med direkt och iterativ metod
• ha tillräckligt bred och ingåeende kunskap för att följa och ha utbyte av studier i finita–elementmetoder för mer avancerade tillämpningar, såsom olineära problem, strömningsmekanik, mm.)
• ha en solid bakgrund vid fördjupade studier i hållfasthetslära och andra ämnen där modellering
resulterar i partiella differentialekvationer
— 1 (4) —
Institutionen för tillämpad mekanik
Lärandemål
• Härleda ett variationsproblem som har samma lösning som det ursprungliga randvärdesproblemet, samt från variationsproblemet härleda en FE–formulering med testfunktioner enligt Galerkins metod.
• Förklara hur olika typer av randvillkor påverkar variations– respektive FE–formuleringen.
• Visa hur FE–approximationen konstrueras då ett problem innehåller en eller flera obekanta funktioner samt visa hur
man får tillräckligt många ekvationer för att lösa de obekanta variablerna.
• Kunna härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser och elementlastvektorer utifrån en formell FE–formulering samt
visa hur dessa kan assembleras till strukturstyvhetsmatriser respektive strukturlaster.
• Kunna härleda uttryck för integrationsvikter och integrationspunkter i gausskvadratur, samt redogöra för noggrannheten i ett integrationsschema med N punkter.
• Beskriva för– och nackdelar med s.k reducerad integration.
• Kunna avgöra vad som är lämpligt antal integrationspunkter för en given elementapproximation.
• Härleda uttryck för elementstyvhetsmatriser vid isoparametriska avbildningar samt ange villkor på elementgeometrier
för att avbildningen ska vara möjlig (entydig).
• Programera en funktion som numeriskt integrerar fram elementstyvhetsmatrisen för ett isoparametriskt element för lösning av stationär värmeledning och för lösning av elasticitetsproblem
• Ange vilka krav som ställs på en elementapproximation för att FE–approximationen säkert ska konvergera mot analytiska lösningen till ett givet randvärdesproblem, samt ange fysikaliska tolkningar till dessa krav; ange vilka av kraven
som ovillkorligen måste vara uppfyllda.
• Redogöra för konvergens och konvergenshastighet samt hur konvergenshastigheten påverkas av olika elementapproximationer och av singulariteter i den analytiska (exakta) lösningen.
• Beskriva olika situationer som ger singulariteter och förstå ut hur en FE–approximation bäst konstrueras med hänsyn
till dessa.
• Formulera ett minimeringsproblem som har samma lösning som ett givet randvärdesproblem och visa att minimeringsproblemet har en entydig lösning.
• Bevisa att FEM minimerar den potentiella energin (eller motsvarande kvadratiska funktional, beroende på problemtyp)
samt bevisa att en konform FE–metod ger högre potentiell energi än den exakta lösningen.
• Bevisa Galerkin ortogonalitet samt att energin i felet är lika med felet i energi.
• Beskriva adaptivitet och då speciellt hur man kan göra en a posteriori feluppskattning samt redogöra för på vilka sätt en
FE–diskretisering kan modifieras för att minska felet.
• Ange olika typer av felkällor, samt exemplifiera dessa, då ett fysiskt problem beskrivs med en matematisk modell vars
lösning sedan approximeras.
• Beskriva direktlösning av stora glesa ekvationssystem samt utifrån detta redogöra för hur nodnumrering påverkar
beräkningstid och nödvändigt lagringsutrymme vid datorberäkningar.
• Beskriva iterativ lösning av stora glesa ekvationssystem samt relatera detta till minimeringsproblemet.
• Skriva datorkod som löser vilket som helst av de behandlade problemen med FEM, samt använda programmet för att lösa
givna exempel.
Förkunskaper
Några formella krav på förkunskaper för att följa kursen finns inte. I praktiken måste man ha kunskaper i högskolematematik och lineär algebra för att kunna tillgodogöra sig kursmaterialet. Från
matematiken utnyttjar vi integrations– och deriveringsregler, samt elementära kunskaper om differentialekvationer och randvillkor; kursdeltagaren förväntas känna till begreppen divergens och gradient, samt ha kunskap om divergensteoremet och Gauss sats. Från lineär algebra utnyttjas
matrisalgebra vid t.ex lösning av ekvationssystem, egenvärdesproblem och liknande.
Vi tillämpar och exemplifierar finita elementmetoden på problem (differentialekvationer) från hållfasthetsläran, varför det också är önskvärt att deltagarna har grundläggande kunskaper inom detta
område.
Programmet MATLAB används i datorövningarna, varför grundläggande kunskaper i dess användning
krävs. Kursdeltagare som inte är bekanta med MATLAB måste räkna med att lägga ner några timmar
extra på att sätta sig in i programmet.
Litteratur
• 1. Niels Ottosen & Hans Petersson: Introduction to the Finite Element Method, Prentice Hall,
New York, 1992.
• 2. CALFEM — A Finite Element Toolbox to MATLAB Version 3.4 (eller 3.3), Division of Structural Mechanics and the Department of Solid Mechanics, Lund University, 1999.
• 3. Peter W Möller: Error Estimation and Adaptivity in the Finite Element Method, Publication
U73, Department of Solid Mechanics, Chalmers, 1998.
All litteratur säljs på Cremona. OBS: CALFEM–manualen finns tillgänglig på www (pdf–fil);
följ länk från kurshemsidan.
— 2 (4) —
Institutionen för tillämpad mekanik
Organisation
Kursen ges i form av en serie föreläsningar och datorövningar under läsperiod 2 (höstterminen 2014)
och avslutas med en skriftlig tentamen. Några av datorövningarna ges i form av uppgifter vars lösning ska redovisas. Examinationen omfattar 4 stycken godkända redovisningar av inlämningsuppgifter samt godkänd tentamen (betygsskala TH). Avklarad examination ger 7,5 högskolepoäng.
Föreläsningar
Föreläsningarna behandlar kortfattat modellering av problem hämtade främst från hållfasthetsläran.
Detta innebär att styrande differentialekvationer och randvillkor härleds utifrån antaganden om hur
verkligheten är beskaffad. Givet en differentialekvation med randvillkor visas hur problemet kan
skrivas som ett variationsproblem eller ett minimeringsproblem, och hur lösningen till dessa approximeras med hjälp av finita–elementmetoder. Viss vikt läggs vid begrepp och numeriska metoder som är
vanliga i sammanhanget: element approximationer och avbildningar, numerisk integration, assemblering, lösning av ekvationssystem, konvergens, feluppskattningar, adaptivitet, etc.
Vi börjar med enkla 2a ordningens problem i 1D (värmeledning, stänger och axlar), men kommer
snart in på skalära problem i 2– och 3D (stationär värmeledning och vridning av allmänna balktvärsnitt). Vidare behandlas problem med flera obekanta (system av partiella differentialekvationer) med
tilllämpning på 2– och 3D elasticitetsteori, samt differentialekvationer av högre ordning (elastiska
linjens ekvation).
Mer detaljerad information om vad som tas upp vid respektive föreläsningstillfälle ges på kurshemsidan.
Datorövningar och inlämningsuppgifter
Vid datorövningarna används MATLAB samt toolboxen CALFEM för att tillämpa, illustrera samt öva på
valda delar av det material som gås igenom vid föreläsningarna. CALFEM består av en uppsättning
MATLAB–funktioner i form av vanliga textfiler (s.k m–filer i MATLAB–terminologi).
Datorövningarna kan genomföras enskilt och efter eget tycke, men det ges också 4 timmar handledning per vecka:
• Onsdagar 13–17 i ED2480, ED5352 och E–studion läsvecka 1–3, 5–7
• Tisdag 13–17 i ED2480, ED5352 och E–studion läsvecka 4
Sista veckan före juluppehållet (läsvecka 7), har vi inte tillgång till E–studion fr.o.m kl 15; vi använder
då mt0 och mt14.
Under kursens gång delas 4 problem ut. Dessa ska lösas enskilt eller i grupper om högst 2 teknologer.
Lösningen redovisas skriftligt eller muntligt (enligt vad som uppges på respektive uppgiftslapp).
Skriftliga redovisningar ska utformas enligt särskild mall som delas ut samtidigt med uppgiften och
lämnas in för rättning senast angivet datum; ofullständiga eller felaktiga lösningar lämnas tillbaka
för komplettering och/eller korrigering.
Schema Läsvecka 1–7
Mån 9–12
Fö HB3 Lv1: 13–16 i HB4; Lv2: 9–12 i FB
Ons 10–12
Fö HC4 Ej lv 4
Ons 13–17
Handledd datorövning
Tors 10–12
Fö HB1
Läsvecka 8: Torsdag 8/1 10–12 i HB1
— 3 (4) —
Institutionen för tillämpad mekanik
Examination
Godkänd tentamen och godkända redovisningar av de 4 inlämningsuppgifterna ger betyget 3, 4 eller 5
på kursen. Lösning av inlämningsuppgifterna är obligatoriska moment. Betyget sätts i enlighet med
tentamensresultatet, men först efter det att samtliga 4 redovisningarna är godkända.
Tentamen
Skriftlig tentamen ges vid kursens slut samt, vid ytterligare två tillfällen innan kursen ges nästa gång
(läsåret 2015/16).
Tentamen omfattar 2 – 5 uppgifter som är indelade i mindre deluppgifter. Uppgifterna behandlar
främst teori och förståelse men uppgifter av problemlösningskaraktär förkommer också. Maximal
poäng på tentamen är 20 och det krävs minst 8p för godkänt (betyg 3); 12p ger betyg 4 och 16p ger
betyget 5. Observera dock att godkända redovisningar av inlämningsuppgifterna krävs för att slutbetyg ska ges. Tentamenstiden är 4 timmar.
Hjälpmedel vid tentamen
Ordböcker, lexikon och typgodkänd räknare.
Tentamensdatum
Lördag 17/1 2015, 14.00–18.00 — OBS: detta är dagen efter tentamensdatum för reglerteknik (som
många läser parallellt med FEM). Programledningen arbetar för att få tentamensdatumet flyttat.
Torsdag 16/4 2015, 8.30–12.30
Onsdag 26/8 2015, 14.00–18.00
Lärare
Föreläsningar:
Peter Möller ............................. 772 15 05
[email protected]
Datorövningar:
Rebecka Brommesson.............. 772 19 82
[email protected]
Britta Källman ........................
[email protected]
Xin Li........................................ 772 38 25
[email protected]
Linda Pipkorn ..........................
[email protected]
Senad Razanica ....................... 772 1499
[email protected]
— 4 (4) —