Transcript Svängande magnetisk dipol

Institutionen för fysik
Ú
2014–08–11
Kjell Rönnmark
Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetf¨alt
Syfte
Magnetisk dipol och harmonisk oscillator ¨ar tv˚
a mycket viktiga modeller inom
fysiken. Laborationens syfte ¨ar att ge en djupare f¨orst˚
aelse av dessa modeller, de approximationer som leder fram till dem, och hur approximationerna
begr¨ansar modellernas till¨ampning p˚
a praktiska problem.
I laborationen best¨ams f¨orst en permanentmagnets magnetiska moment genom
att m¨ata hur magnetf¨altets styrka varierar med avst˚
andet. Sedan unders¨oks
vid vilken amplitud magnetens sv¨angningar i f¨altet fr˚
an en kort spole inte
l¨angre kan betraktas som harmoniska. Slutligen best¨ams det magnetiska momentet genom m¨atning av med vilken frekvens magneten sv¨anger i det inhomogena magnetf¨altet.
Utrustning
•
•
•
•
•
•
•
Permanentmagnet
Spole med glidbana och ryttare
Str¨omk¨alla, GPR 3060 (kan leverera 5A, 30V)
Amperemeter (→ 5A, uppl¨osning 0.01 A)
Magnetometer (Hallprob) med m¨atbord
V˚
ag
Stoppur
1
Fig. 1. Magnetiskt dipolf¨
alt
Teori
Om man unders¨oker f¨altet kring en liten magnet liknar m˚
anga av dess egenskaper en magnetisk dipol. En magnetisk dipol ¨ar helt enkelt en str¨omslinga
vars radie r ¨ar myckt liten i f¨orh˚
allande till alla andra avst˚
and. Den kan
fullst¨andigt beskivas av sitt magnetiska moment µ
ˆ
µ = NIA n
(1)
d¨ar I ¨ar str¨ommen som g˚
ar N varv runt kanten p˚
a en yta med area A
ˆ . Magnetf¨altet fr˚
och normalvektor n
an en dipol kan, efter ganska besv¨arliga
r¨akningar, skrivas
µ (2)
B(r) = 0 3 3(µ · ˆr)ˆr − µ ,
4πr
och f¨altlinjernas form visas i Fig 1.
ˆ och bara betraktar punkter
Om vi inf¨or pol¨ara koordinater med z-axeln l¨angs n
ˆ , ges magnetf¨altets styrka av
l¨angs axeln, r = z n
µ µ
Bz (z) = 0 3
(3)
2πz
En permanentmagnet ¨ar uppbyggd av en stor m¨angd mikroskopiska dipoler,
som a¨r mer eller mindre parallella. Det ¨ar om¨ojligt att m¨ata I och A p˚
a atom¨ar
niv˚
a, men om man inte kommer f¨or n¨ara sj¨alva magneten kan den beskrivas av
ett enda magnetiskt moment µP , som ¨ar vektorsumman av de m˚
anga ing˚
aende
atomenas magnetiska moment. Genom att m¨ata Bz (z) och avst˚
andet z till
magnetens mitt kan vi med hj¨alp av (3) ber¨akna dess magnetiska momentet
µP .
I laborationen anv¨ands ocks˚
a en st¨orre spole. P˚
a n˚
agra meters avst˚
and skulle
ocks˚
a den kunna betraktas som en dipol, men vi ¨ar h¨ar intresserade av magnetf¨altet i spolens centrum, och d˚
a kan vi inte f¨orsumma spolens radie R.
2
Med hj¨alp av Biot-Savarts lag kan magnetf¨altet l¨angs axeln i en punkt p˚
a
avst˚
andet z fr˚
an centrum p˚
a en spole med magnetiska moment µR = πR2 NI
skrivas (Benson, Ex. 30.3, sid 610)
Bz (z) =
µ0 NIR2
µ0 µR
=
,
2(R2 + z 2 )3/2
2π(R2 + z 2 )3/2
(4)
Notera att d˚
a R → 0 f˚
ar (4) samma form som (3). Magnetf¨altet a¨r maximalt
i spolens mitt (z = 0) d¨ar de magnetiska f¨altlinjerna ligger t¨atast. Det magnetiska fl¨odet Φr = πr 2 Bz genom de skuggade ytorna i Fig 2. a¨r oberoende av
z om r(z) ¨ar avst˚
andet fr˚
an z-axeln till en viss f¨altlinje. Genom Taylorutveckling av Φr (z + ∆z) f˚
ar vi
Br
B
I
Bz
r (z)
z
R
Fig. 2. Magnetf¨
altet fr˚
an en cirkul¨
ar spole.
dΦr (z)
d 2
πr (z)Bz (z)
= Φr (z) + ∆z
# dz
"dz
dBz
dr
,
= Φr (z) + ∆z π 2r Bz + r 2
dz
dz
Φr (z + ∆z) = Φr (z) + ∆z
(5)
som eftersom Φr ¨ar konstant m˚
aste vara oberoende av ∆z. D˚
a m˚
aste uttrycket
inom [ ] vara noll, vilket ger
Bz
dr r dBz
+
= 0.
dz 2 dz
(6)
Att f¨altlinjerna alltid ¨ar parallella med B betyder att (se Fig. 2)
dr
Br
=
,
dz
Bz
3
(7)
och med hj¨alp av detta kan vi ur (6) l¨osa ut det radiella magnetf¨altet
Br = −
r dBz
.
2 dz
(8)
Kraften p˚
a ett str¨omelement I dl ¨ar vinkelr¨at mot B och ges av (Benson, ekv.
29.5)
dF = I dl × B.
(9)
P˚
a en liten str¨omslinga med radie r kommer allts˚
a magnetf¨
altets radiella
R
komponent Br att ge en kraft i z-riktningen. Eftersom dl = 2πr i detta
fall blir kraften p˚
a str¨omslingan, med hj¨alp av (8),
Fz = I2πrBr = −Iπr 2
dBz
dBz
= −µ
dz
dz
(10)
En liten str¨omslinga p˚
a den stora spolens axel p˚
averkas allts˚
a av en kraft som
¨ar proportionell mot dess magnetiska moment. Detta g¨aller ocks˚
a f¨or en permanentmagnet µP , som ju ¨ar uppbyggd av m˚
anga mikroskopiska str¨omslingor.
Uppgift 1: Beskriv, med ekv (9) som utg˚
angspunkt, i ord och bild hur
kraftens riktning beror p˚
a hur str¨ommen i spolen f¨orh˚
aller sig till de atom¨ara
str¨ommarna i permanentmagneten!
4
Uppgift 2: Ber¨akna med hj¨alp av (4) och (10) kraften Fz p˚
a en liten
permanentmagnet med magnetiskt moment µP p˚
a avst˚
andet z fr˚
an spolens
centrum.
Uppgift 3: Om z ≪ R kan Fz f¨orenklas genom att s¨atta (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1.
Hur stort blir maximala felet i Fz om z ≤ R/10?
Om vi linj¨ariserar Fz genom approximationen (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1 f˚
ar vi r¨orelseekvationen
d2 z
3µ µP NI
m 2 = Fz = − 0 3
z
(11)
dt
2R
d¨ar m ¨ar den sv¨angande massan (magnet och ryttare). Denna ekvation beskriver en harmonisk sv¨angningsr¨orelse med frekvens
ω=
s
3µ0 µP NI
2mR3
(12)
Genom att experimentellt best¨amma ω kan vi fr˚
an (12) ber¨akna permanentmagnetens dipolmoment µP .
5
Genomf¨orande av experimenten
Fig. 3. Gaussmeter med axiell Hallprob
Uppgift 4: Best¨am en permanentmagnets magnetiska moment µP genom
att m¨ata magnetf¨altets styrka p˚
a olika avst˚
and l¨angs axeln.
Utf¨orande:
Stavmagneten l¨aggs i m¨atfixturen och magnetiska f¨altstyrkan m¨ats i stavmagnetens axiella riktning f¨or 10 olika avst˚
and (2, 4, 6, 8, . . . , 20 cm). Anv¨and
sedan ekvation (3) f¨or att ber¨akna permanentmagnetens magnetiska moment
µP .
6
Fig. 4. Luftbana med ryttare och magnetspole
Uppgift 5: Best¨am vid vilken sv¨angningsamplitud linj¨ariseringen av r¨orelseekvationen genom approximationen (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1 m¨arkbart p˚
averkar
sv¨angningens vinkelfrekvens ω.
Utf¨orande:
1. Montera stavmagneten med hj¨alp av dubbelh¨aftande tejp (mitt p˚
a och
parallellt med ryttaren).
2. Koppla tryckslang till tryckluftsuttag och skruva upp fl¨odet p˚
a fl¨odesregulatorn s˚
a att ryttaren lyfter.
3. St¨all in str¨ommen genom spolen p˚
a 5.00 A och sl¨app ryttaren med magnetens centrum 1 cm fr˚
an spolens centrum. Klocka 10 sv¨angningar med hj¨alp
av tidtagarur, och best¨am periodtiden. G¨or sedan om samma m¨atning, men
¨oka amplituden i steg om 2 cm s˚
a l˚
angt det g˚
ar.
Anv¨and resultatet f¨or att v¨alja och motivera startamplituden i n¨asta uppgift!
7
Uppgift 6: Best¨am en permanentmagnets magnetiska moment µP genom
att m¨ata sv¨angningsfrekvensen ω i ett inhomogent magnetf¨alt.
Utf¨orande:
1. St¨all in str¨ommen genom spolen p˚
a 1.00 A och sl¨app ryttaren med
magnetens centrum p˚
a l¨ampligt avst˚
and fr˚
an spolens centrum. Klocka 10
sv¨angningar med hj¨alp av tidtagarur och best¨am periodtiden.
G¨or p˚
a samma s¨att f¨or varje 0.50 A upp t.o.m. 5.00 A ( 9 m¨atningar ).
8