Transcript Questions Anderson

MMVN01 Aerodynamik och kompressibel str¨
omning — Repetitionsfr˚
agor
(med f¨
orslag till svar, endast n˚
agra figurer; C. Norberg, 25 februari 2014)
Kapitel 1 — Aerodynamik, inledning
1.1 Betrakta en omstr¨
ommad kropp som anstr¨ommas med konstant lufthastighet V∞ vid inkompressibla
f¨orh˚
allanden. Definiera
(a) luftens dynamiska tryck q∞ relativt kroppen
2 /2, d¨
ar ρ∞ ¨
ar luftens densitet l˚
angt fr˚
an kroppen p˚
a samma lodr¨
ata h¨
ojd.
q ∞ = ρ ∞ V∞
(b) tryckkoefficienten Cp lokalt p˚
a kroppens yta
Cp = (p − p∞ )/q∞ , d¨
ar p a
a yttan; p∞ a
angt fr˚
an kroppen
¨r statiska trycket p˚
¨r statiska trycket l˚
p˚
a samma lodr¨
ata h¨
ojd; q∞ ¨
ar motsvarande dynamiska tryck.
(c) friktionskoefficienten cf lokalt p˚
a kroppens yta
cf = τ /q∞ , d¨
ar τ ¨
ar v¨
aggskjuvsp¨
anningen och q∞ ¨
ar dynamiska trycket i fristr¨
ommen.
Ing˚
aende storheter ska klarl¨
aggas.
1.2 Beskriv skillnaden mellan en ¨
andlig vinge och en vingprofil.
En vingprofil ¨
ar ett tv¨
arsnitt genom en ¨
andlig vinge, vinkelr¨
att mot vingens framkant.
1.3 Betrakta en ¨
andlig vinge med planarea S och vingbredd b som anstr¨ommas med konstant lufthastighet V∞ vid inkompressibla f¨
orh˚
allanden.
Definiera eller f¨
orklara kortfattat
(a) lokal kordalinje (vingprofil)
= den r¨
ata linjen mellan profilens fram- och bakkant.
(b) lokal anfallsvinkel α (vingprofil)
= vinkel mellan lokal kordalinje och fristr¨
ommen (fristr¨
omshastighet V∞ ); Fig. 1.17.
(c) vingens medelkorda c
c = S/b, d¨
ar S a
andet mellan vingspetsarna (vingbredden).
¨r vingens planarea, b avst˚
(d) vingens lyftkraftskoefficient CL
CL = L/(q∞ S), d¨
ar L ¨
ar resulterande aerodynamisk lyftkraft, vinkelr¨
at mot fristr¨
ommen; q∞ ¨
ar
fristr¨
ommens dynamiska tryck och S vingens planarea.
(e) vingens momentkoefficient CM
CM = M/(q∞ Sc), d¨
ar M ¨
ar resulterande vridande moment kring n˚
agon vingbaserad axel; q∞ ¨
ar
fristr¨
ommens dynamiska tryck, S vingens planarea och c vingens medelkorda.
(f) tryckcentrum (l¨
angs lokal kordalinje)
Tryckcentrum ¨
ar den punkt l¨
angs kordalinjen kring vilken det aerodynamiska vridande momentet ¨
ar
noll; verkansposition f¨
or resulterande aerodynamiska kraft vinkelr¨
att mot kordalinjen (Fig. 1.26).
(g) vingens effektiva vingspann/korda-f¨orh˚
allande AR
AR = b2 /S.
Vid definition via matematiskt uttryck skall ing˚
aende storheter klarl¨aggas.
1.4 Lyftkraften L p˚
a en flygplansvinge kan vid station¨ara f¨orh˚
allanden antas bero endast av f¨
oljande oberoende storheter: vingbredden (vingspannet) b, vingens medelkorda c, planets hastighet V∞
gentemot omgivande luft, luftens densitet ρ∞ , viskositet µ∞ och ljudhastighet a∞ vid planets konstanta h¨
ojd ¨
over havsniv˚
an, samt vingens (medel-)anfallsvinkel α, L = f (b, c, V∞ , ρ∞ , µ∞ , a∞ , α).
Visa att CL = φ(AR, Re, M∞ , α); AR = b/c (= b2 /S, d¨ar S ¨ar vingarnas planarea).
Antalet oberoende storheter, n = 8; enheter (dimensioner) i MLT-systemet: {L} = MLT−2 (1 N =
1 kg m s−2 ); {b} = {c} = L; {V∞ } = {a∞ } = LT−1 ; {ρ∞ } = ML−3 ; {µ∞ } = ML−1 T−1 (1 Pa s =
1
1 Nm−2 s−1 = 1 kg m−1 s−1 ); {α} = 1 (dimensionsl¨
os); tre prim¨
ara dimensioner (M, L och T);
aller tillreduktionen r ¨
ar lika med antalet prim¨
ara dimensioner, r = 3, ty (ρ∞ , V∞ , c) inneh˚
sammans de 3 prim¨
ara dimensionerna men kan tillsammans inte bilda en Π-grupp, endast ρ∞
inneh˚
aller M, endast V∞ inneh˚
aller T; (ρ∞ , V∞ , c) kan d¨
arf¨
or anv¨
andas f¨
or att g¨
ora resterande
b cc ⇒ a = −1, b = −2,
n − r = 5 variabler dimensionsl¨
osa; Π1 = g(Π2 , Π3 , Π4 , Π5 ). Π1 = Lρa∞ V∞
2 c2 ). Π = b/c. Π = µ−1 ρa V b cc ⇒ Π = ρ V c/µ
c = −2, Π1 = L/(ρ∞ V∞
2
3
3
∞ ∞
∞ = Re; Π4 =
∞ ∞ ∞
−1
a∞ /V∞ = M∞ ; Π5 = α.
2 S). Eftersom S = bc = AR c2 ∝ c2 , alt. Π = C b/(2c) =
Lyftkraftskoefficient, CL = 2L/(ρ∞ V∞
1
L
CL AR/2 = CL Π2 /2 f˚
as CL = φ(AR, Re, M∞ , α).
1.5 Betrakta ett flygplan i planflykt med konstant hastighet V∞ . Planets tyngd (netto) ¨ar W och
motorernas dragkraft T . Vingarnas totala planarea ¨ar S; luftens densitet vid aktuell flygh¨
ojd ρ∞ .
(a) Ange hur W och T ¨
ar relaterade till planets lyftkraft L och str¨omningsmotst˚
and D.
Vid planflykt balanseras planets dragkraft T av planets str¨
omningsmotst˚
and D och planets tyngd
W av planets lyftkraft L; T = D och W = L (Fig. 1.31).
(b) Ange hur planets hastighet beror av aktuell lyftkraftskoefficient CL samt definiera planets s.k.
stallhastighet Vstall .
2 /2 och L = W f˚
agsta
as V∞ =q 2W/(ρ∞ SCL ). Planets l¨
Med CL = L/(q∞ S), d¨
ar q∞ = ρ∞ V∞
hastighet, stallhastighet, motsvarar d¨
arf¨
or maximal CL , Vstall = 2W/(ρ∞ SCL,max ).
p
(c) Beskriv schematiskt hur lyftkrafts- och motst˚
andskoefficienten samt kvoten mellan lyftkraft
och str¨omningsmotst˚
and varierar med anfallsvinkeln.
Se Fig. 1.32 och Fig. 1.36.
1.6 Definiera vad som avses med (a) subsonisk, (b) transsonisk, och (c) supersonisk str¨omning f¨
or en
omstr¨ommad kropp. Diskutera speciellt avgr¨ansningar avseende Machtal f¨or slanka kroppar (eng.
slender bodies).
(a) Vid subsonisk str¨
omning ¨
ar M < 1 ¨
overallt; f¨
or en slank kropp, ex. tunn vinge, g¨
aller approximativt att M∞ < 0.8 ger subsoniska f¨
orh˚
allanden. (b) Vid transsonisk str¨
omning finns omr˚
aden
i str¨
omningsf¨
alet med b˚
ade M < 1 och M > 1; f¨
or en slank kropp f˚
as transsoniska f¨
orh˚
allanden
approximativt i intervallet 0.8 < M∞ < 1.2. (c) Vid supersonisk str¨
omning ¨
ar M > 1 ¨
overallt
(utom allra n¨
armast ytan); f¨
or en slank kropp g¨
aller approximativt att M∞ > 1.2 ger supersoniska f¨
orh˚
allanden (str¨
omning vid mycket h¨
oga Machtal, approximativt M∞ > 5, brukar ben¨
amnas
hypersonisk str¨
omning).
1.7 Illustrera schematiskt hur den sektionsvisa motst˚
andskoefficienten p.g.a. ytfriktion Cf varierar med
Reynolds tal f¨
or en plan och sl¨
at platta i tangentiell anstr¨omning (inkompressibel str¨omning).
Se Fig. 1.56; c = plattans l¨
angd, korda. F¨
or lamin¨
art gr¨
ansskikt l¨
angs hela plattan, upp till ca.
−0.5
5
Re = ρ∞ V∞ c/µ∞ = 5 × 10 , g¨
aller Cf ∝ Re
(Ch. 18.2); vid h¨
ogre Re sker omslag till
turbulent gr¨
ansskikt, med start i bakkant, vilket ¨
okar Cf ; med successivt ¨
okande Re flyttas positionen f¨
or omslag alltmer mot framkanten och vid mycket h¨
oga Re, approximativt f¨
or Re > 107 ,
−0.2
avtar Cf approximativt som Cf ∝ Re
(Ch. 19.2).
1.8 Beskriv aerodynamiskt skillnaden mellan en trubbig kropp (eng. blunt or bluff body) och en slank
kropp (eng. slender or streamlined body).
F¨
or en aerodynamiskt trubbig kropp och h¨
ogt Reynolds tal dominerar tryckkrafternas bidrag till
det totala str¨
omningsmotst˚
andet, ofta beroende p˚
a ett f¨
orh˚
allandevis stort avl¨
ost omr˚
ade bakom
kroppen; sf¨
aren och den vinkelr¨
att anstr¨
ommade cylindern med cirkul¨
art tv¨
arsnitt ¨
ar exempel p˚
a
trubbiga kroppar. F¨
or en aerodynamiskt slank kropp och h¨
ogt Reynolds tal dominerar ytfriktion,
d.v.s. de visk¨
osa yttangentiella krafterna; oftast endast ett f¨
orh˚
allandevis litet avl¨
ost omr˚
ade bakom
kroppen; (tunna) vingar a
r
typiska
slanka
kroppar.
(Vid
extremt
h¨
o
ga
Re,
a
ven
f¨
o
r
slanka
kroppar,
¨
¨
kommer till slut tryckkrafterna att dominera str¨
omningsmotst˚
andet).
2
1.9 Beskriv vad som avses med en s.k. bakkantsklaff p˚
a en vinge (eng. trailing edge flap) samt illustrera
schematiskt hur lyftkraftskoefficienten varierar med anfallsvinkeln vid olika inst¨allningar p˚
a denna
typ av klaff.
Se Fig. 1.62, ¨
aven Fig. 4.54. M.h.a. en bakkantsklaff, en r¨
orlig klaff i bakkant p˚
a vingen, kan
karakteristiken f¨
or CL (α) varieras genom att variera klaffvinkeln. Om klaffen vinklas ned˚
at f˚
as
okad CL vid given anfallsvinkel α (om inte α ¨
ar alltf¨
or h¨
og); ofta f˚
as ¨
aven att CL,max ¨
okar. (Att
¨
anv¨
anda bakkantsklaff verkar enbart gynnsamt men med klaffen i vinklat l¨
age ¨
okar CD vilket ¨
ar
ogynnsamt vid t.ex. planflykt; bakkantsklaff utnyttjas mest vid start och landning.)
Kapitel 2 — Grundl¨
aggande samband
2.1 Vad beskriver divergensen av hastighetsvektorn fysikaliskt? Skriv ut denna skal¨ara funktion i
Cartesiska koordinater (r¨
atvinkliga koordinater x, y, z).
Divergensen av hastighetsvektorn, ∇ · V, beskriver relativ volymsf¨
or¨
andring per tidsenhet av ett
fluidelement. Med ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) och V = (u, v, w) f˚
as ∇ · V = ∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z.
2.2 H¨arled den differentiella formen av kontinuitetsekvationen. Specialisera sedan till inkompressibel
str¨omning.
Divergensteoremet:
R
S
A · dS =
R
V (∇
· A)dV
Betrakta en liten r¨
atvinklig kontrollvolym (CV) runt en viss punkt, sidl¨
angder dx, dy, och dz;
volym dV = dx dy dz. Massbalans kr¨
aver att nettomassfl¨
odet ut ur CV genom dess kontrollytor CS
balanseras av minskningen av massa per tidsenhet inom CV,
(m
˙ net,out )CS = −
∂
∂t
Z
CV
ρ dV = −
Z
CV
∂ρ
dV
∂t
D˚
a CV ¨
ar pytteliten beh¨
ovs ingen volymsintegrering i h¨
ogerledet, kan ers¨
attas med −(∂ρ/∂t) dV.
Nettomassfl¨
ode ut ur CS i x-riktningen: (∂ m
˙ x /∂x) dx. Variationer ¨
over tv¨
arsnitt kan f¨
orsummas,
d.v.s. m
˙ x = (ρu)dy dz. P.s.s. i ¨
ovriga riktningar ger
(m
˙ net,out )CS
∂
∂
∂
(ρu) +
(ρv) +
(ρw) dx dy dz = [∇·(ρV)] dV
=
∂x
∂y
∂z
Omstuvning och division med dV ger
∂ρ
∂
∂
∂
∂ρ
+
(ρu) +
(ρv) +
(ρw) =
+ ∇·(ρV) = 0
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
OBS! Samma resultat kan f˚
as via divergensteoremet eftersom
(m
˙ net,out )CS =
Z
(ρV)·dS =
CS
Z
CV
∇·(ρV) dV
Inkompressibel str¨
omning inneb¨
ar konstant densitet ρ, d.v.s.
∂u ∂v ∂w
+
+
=∇·V =0
∂x ∂y
∂z
2.3 Newtons andra lag uttryckt f¨
or en kontrollvolym V med kontrollytor S lyder:
∂
∂t
Z
ρV dV +
Z
S
V
(ρV · dS)V = −
Z
S
p dS +
Z
V
ρ f dV + Fviscous
d¨ar f representerar volymskraft per massenhet.
Skriv ut x-komposanten av impulsekvationen p˚
a differentiell form i Cartesiska koordinater.
Divergensteoremet:
R
S
A · dS =
R
V (∇
· A) dV; gradientteoremet:
3
R
S
p dS =
R
V
∇p dV.
R
R
attas med
M.h.a. gradientteoremet kan S p dS ers¨
kan andra integralen via divergensteoremet skrivas
Z
S
(ρV · dS)u =
Z
S
V
∇p dV. I x-riktningen och med V = (u, v, w)
Z
(ρuV · dS) =
∇·(ρuV) dV
V
I f¨
orsta integralen kan ordning p˚
a tidsderivering och integration kastas om,
∂
∂t
Z
ρV dV =
V
Z
V
∂(ρV)
dV
∂t
ˆ viscous dV, d¨
ˆ viscous ¨
ar F
ar lokal visk¨
os kraft per volymsenhet, ¨
ar nu alla
Eftersom Fviscous = V F
termer en volymsintegral o
ver
samma
volym.
Med
f
=
(f
,
f
,
f
)
och
∇p
=
(∂p/∂x,
∂p/∂y,
∂p/∂z)
¨
x y z
ˆ
f˚
as d¨
arf¨
or i x-riktningen, (Fviscous )x = (Fx )viscous :
R
∂(ρu)
∂p
+ ∇·(ρuV) = −
+ ρfx + (Fx )viscous
∂t
∂x
2.4 Betrakta str¨
omningen kring en symmetrisk tv˚
adimensionell kropp (ett symmetriskt tv¨arsnitt av
en l˚
angstr¨
ackt cylindrisk kropp) vid station¨ara inkompressibla f¨orh˚
allanden, speciellt en kontrollvolym som omsluter kroppens tv¨
arsnitt men exkluderar sj¨alva tv¨arsnittet. Den str¨omningskraft R
som str¨omningen utverkar p˚
a kroppen kan via impulsekvationen skrivas:
R=−
Z
Souter
(ρV · dS)V −
Z
p dS
Souter
d¨ar Souter a
¨r kontrollvolymens yttre begr¨ansningsytor. Kroppens anstr¨ommas med en konstant
hastighet U ; kroppens tv¨
arsnitt vinkelr¨att anstr¨omningen ¨ar d.
(a) Visa att kroppens str¨
omningsmotst˚
and per breddenhet kan skrivas:
Z
D′ = ρ
∞
−∞
u(U − u) dy
d¨ar u(y) ¨
ar hastighetskomposanten i anstr¨omningsriktningen i utloppstv¨arsnittet.
Om kontrollvolymen (Fig. 2.20a) antas vara i ett horisontellt plan och att dess yttre begr¨
ansningsytor ¨
ar tillr¨
ackligt l˚
angt fr˚
an kroppen ¨
ar dessa ytor vid ett konstant tryck (omgivningstryck). Den
andra integralen ¨
ar d¨
arf¨
or noll. Med U i x-riktningen ¨
ar str¨
omningskraftens komposant i denna
′
riktning lika med kroppens str¨
omningsmotst˚
and, Rx = bD , d¨
ar b ¨
ar kroppens bredd. Med dS =
b dS′ och inkompressibla f¨
orh˚
allanden f˚
as
′
D = −ρ
Z
outer
u(V · dS′ )
L˚
at nu (som i Fig. 2.20a, se ¨
aven Lab-PM-2) kontrollvolymens begr¨
ansningsytor i y-led vara
l¨
angs str¨
omlinjer (str¨
omytor) p˚
a¨
omse sidor om kroppen; uppstr¨
oms vid y = ±H1 , nedstr¨
oms vid
y = ±H2 . L¨
angs str¨
omytorna f˚
as inget bidrag till integralen eftersom ytnormalen ¨
ar vinkelr¨
at mot
hastigheten, V · dS′ = 0. Vid inloppet ¨
ar u = U och V · dS′ = −U dy, vid utloppet V · dS′ = u dy,
d.v.s.
D ′ /ρ =
Z
H1
−H1
U 2 dy −
Z
H2
−H2
u2 dy = 2H1 U 2 −
Z
H2
u2 dy
−H2
Str¨
omytor p˚
ao
ode vid in- och utlopp, 2U H1 =
¨mse sidor; samma volymfl¨
′
D /ρ =
Z
H2
−H2
uU dy −
Z
H2
−H2
4
2
u dy =
Z
H2
−H2
R H2
−H2
u(U − u) dy
u dy ⇒
Med H2 → ∞ f˚
as det s¨
okta sambandet.
(b) Visa ur (a) att kroppens motst˚
andskoefficient kan ber¨aknas fr˚
an
CD = 4
Z
η∞
0
u
ˆ(1 − u
ˆ) dη, u
ˆ = u/U, η = y/d, |η| > η∞ ⇒ u
ˆ = 1.
Med u
ˆ = u/U och η = y/d och utnyttjad symmetri f˚
as
D ′ = 2ρU 2 d
Z
η∞
0
u
ˆ(1 − u
ˆ) dη
CD = 2D ′ /(ρU 2 d) och inget bidrag f¨
or η > η∞ ger det s¨
okta sambandet.
2.5 Ett hastighetsf¨
alt ¨
ar beskrivet i ett Cartesiskt koordinatsystem, V = (u, v, w). Anv¨and kedjeregeln
f¨or att uttrycka den materiella accelerationen i x-led (ax ) i en lokal och en konvektiv del. F¨
orklara
fysikaliskt vad de b˚
ada delarna betyder.
Accelerationen i x-led f¨
or ett fluidelement a
or¨
andring per tidsenhet, ax =
¨r lika med dess hastighetsf¨
du/dt. Eftersom elementet f¨
oruts¨
atts i r¨
orelse varierar dess koordinater med tiden; hastigheten kan
dessutom ha ett rent tidsberoende, d.v.s.
ax =
d
∂u
∂u
∂u
∂u
du
= u [x(t), y(t), z(t), t] =
(dx/dt) +
(dy/dt) +
(dz/dt) +
dt
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
Eftersom dx/dt = u, dy/dt = v, dz/dt = w f˚
as
ax =
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
+u
+v
+w
=
+ (V · ∇)u
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
d¨
ar ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) ¨
ar gradientoperatorn. Den f¨
orsta termen ¨
ar acceleration p.g.a. lokal
tidsvariation. Den andra termen (med bidrag i alla riktningar) uttrycker partikelns acceleration
p.g.a. att den r¨
or sig (konvekteras) i hastighetsf¨
altet.
2.6 Definiera alt. beskriv kortfattat (a) partikelbana, (b) str¨omlinje, (c) str˚
aklinje.
(a) En partikelbana ¨
ar ett fluidelements (en fluidpartikels) faktiska r¨
orelsebana i rummet.
(b) l¨
angs en str¨
omlinje ¨
ar hastighetsvektorn parallell med en f¨
orflyttningsvektor l¨
angs linjen (i varje
punkt).
(c) En str˚
aklinje den t¨
ankta linje som motsvarar sammanbundna positioner f¨
or en strid str¨
om (i
t¨
at f¨
oljd) av fluidpartiklar som tidigare passerat en viss punkt.
2.7 Visa att f¨
oljande (tre) differentiella relationer g¨aller f¨or en str¨omlinje:
dy
dz
dx
=
=
u
v
w
F¨
or en str¨
omlinje ¨
ar hastighetsvektorn parallell med en f¨
orflyttningsvektor l¨
angs linjen, vilket inneb¨
ar att kryssprodukten mellan dessa vektorer ¨
ar noll, dx × V = 0. Via uppst¨
allning med determinant f˚
as
(w dy − v dz, −w dx + u dz, v dx − u dy) = (0, 0, 0)
d.v.s. dy/v = dz/w, dz/w = dx/u och dx/u = dv/v, vilket kan uttryckas p˚
a den angivna formen.
5
2.8 Skriv ut rotationen av ett hastighetsf¨alt V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater. Vad kallas denna vektor och vad beskriver den fysikaliskt? Verifiera att vektorn endast har en komposant vid
tv˚
adimensionell plan str¨
omning, V = (u, v, 0).
ξ = ∇ × V kallas vorticitetsvektorn och representerar dubbla momentana vridningshastigheten f¨
or
ett (initialt kubiskt) fluidelement, moturs. ξ kan uttryckas m.h.a. en determinant,
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u
v
w
=
∂w ∂v
−
∂y
∂z
i+
∂u ∂w
−
∂z
∂x
j+
∂u
∂v
−
∂x ∂y
k
Om V = (u, v, 0), d¨
ar u(x, y) och v(x, y), f˚
as ξx = ξy = 0, ξz = ∂v/∂x − ∂u/∂y.
2.9 Betrakta ett fr˚
an b¨
orjan kvadratiskt infinitesimalt fluidelement vid plan str¨omning, V = (u, v, 0).
(a) Ange vorticitetvektorns enda komposant samt visa att denna motsvarar den dubbla momentana
vridningshastigheten (moturs) f¨
or diagonalen av elementet.
ξz = ∂v/∂x − ∂u/∂y. Se Fig. 2.33, fast l˚
at elementet vara kubiskt. Betrakta deformationer under
en f¨
orsvinnande kort tidsrymd dt → 0. Hastighetens f¨
or¨
andring i y-riktningen fr˚
an v vid A till v +
(∂v/∂x) dx vid C inneb¨
ar en vridning moturs av linjen AC med vinkeln dθ1 = (∂v/∂x)dx dt/dx =
(∂v/∂x) dt (Observera att l¨
angdf¨
or¨
andringen av dx kan f¨
orsummas, liksom att vinkeln ¨
ar liten,
tan θ = θ); moturs vridningshastighet dθ1 /dt = ∂v/∂x. P˚
a samma s¨
att, medurs vridningshastighet
av linjen AB: dθ2 /dt = ∂u/∂y. D˚
a dx = dy (och endast d˚
a) representerar (dθ1 /dt − dθ2 /dt)/2 =
(∂v/∂x − ∂u/∂y)/2 = ξz /2 den momentana vridningshastigheten moturs av elementets diagonal
kring z-axeln.1
(b) Tidsf¨
or¨
andringen av den vinkel som fr˚
an b¨orjan var vinkelr¨at i xy-planet ¨ar elementets skjuvt¨ojningshastighet ǫxy . Visa att
ǫxy =
∂u
∂v
+
.
∂x ∂y
Se Fig. 2.33. Beteckna vinkeln mellan linjerna AB och AC med κ. I utg˚
angsl¨
aget ¨
ar denna vinkel
◦
90 . Under en liten tidsrymd dt f¨
or¨
andras denna vinkel; minskning per tidsenhet: dκ/dt = dθ1 /dt+
dθ2 /dt. Eftersom vinkelf¨
or¨
andringarna ¨
ar f¨
orsvinnande sm˚
a och dx och dy ytterst korta med f¨
orsvinnande liten l¨
angdf¨
or¨
andring f˚
as att dθ1 /dt = ∂v/∂x, dθ2 /dt = ∂u/∂y.
2.10 (a) Definiera cirkulation Γ kring en sluten kurva C.
Γ=−
H
C
V · ds, d¨
ar ds ¨
ar en moturs f¨
orflyttningsvektor l¨
angs den slutna linjen C, se Fig. 2.38.
(b) Hur ¨
ar Γ relaterad till vorticitetsvektorn ξ?
Om kurvan C a
¨r extremt liten och kring en punkt representerar −Γ vorticitetsvektorns projicerade v¨
arde per areaenhet utefter den normalvektor som ges av ytan som innefattas av C, uttryckt
matematiskt:
−Γ =
Z
S
ξ · n dS
d¨
ar ξ = ∇ × V ¨
ar vorticitetsvektorn, dS ett areaelement och n dess tillh¨
orande ytnormalvektor.
2.11 Betrakta tv˚
adimensionell inkompressibel str¨omning i ett plan, V = (u, v, 0), d¨ar u(x, y), v(x, y).
(a) Definiera str¨
omfunktionen ψ samt visa att ψ uppfyller Laplaces ekvation ∇2 ψ = 0 om str¨
omningen ¨ar rotationsfri.
ψ definieras s˚
a att kontinuitetsekvationen blir identiskt uppfylld. Vid inkompressibel 2-D str¨
omning
kan denna ekvationen skrivas: ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0, vilken ¨
ar identiskt uppfylld om u = ∂ψ/∂y,
v = −∂ψ/∂x. Rotationsfri str¨
omning inneb¨
ar att ξz = ∂v/∂x − ∂u/∂y = 0, vilket med insatta
2
2
2
2
definitioner ger −∂ ψ/∂x − ∂ ψ/∂y = −∇2 ψ = 0 ⇒ ∇2 ψ = 0.
1
Med dγ = vridningsvinkel och φ = halva den nya diagonalvinkeln g¨
aller: dθ1 + 2φ + dθ2 = 90◦ och dθ1 + φ − dγ = 45◦ ,
vilket kombinerat ger dγ = (dθ1 − dθ2 )/2.
6
(b) Visa att ψ = konst. motsvarar str¨omlinjer samt att skillnaden i str¨omfunktionens v¨
arden
mellan tv˚
a str¨
omlinjer motsvarar volymfl¨odet per breddenhet.
L¨
angs en linje ψ = konst. a
aller dψ = (∂ψ/∂x) dx+(∂ψ/∂y) dy =
¨r dψ = 0. Eftersom ψ = ψ(x, y) g¨
−v dx + u dy. En liten f¨
orflyttningsvektor (dx, dy, 0) l¨
angs str¨
omlinjen ¨
ar parallell med hastighetsvektorn (u, v, 0), d.v.s. v/u = dy/dx eller u dy − v dx = 0 = dψ.
Betrakta nu tv˚
a n¨
arliggande str¨
omlinjer, med differentiell skillnad dψ i str¨
omfunktion (Fig. 2.41).
Eftersom inget kan str¨
omma tv¨
ars en str¨
omlinje s˚
a¨
ar volymfl¨
odet (per breddenhet) konstant mellan
linjerna, och kan uttryckas som u dy − v Rdx = dψ. Detta visar att det volymfl¨
odet mellan tv˚
a
godtyckliga str¨
omlinjer kan uttryckas som dψ = ∆ψ.
2.12 (a) Definiera hastighetspotentialen φ via ett implicit uttryck inneh˚
allande V.
V = ∇φ, d¨
ar ∇ ¨
ar gradientoperatorn.
(b) Ange villkoret f¨
or existens av φ.
Villkoret ¨
ar att str¨
omningen ¨
ar rotationsfri, ∇ × V = 0.
(c) Visa att str¨
omlinjer och ekvipotentiallinjer a¨r vinkelr¨ata mot varandra (plan str¨omning).
L¨
angs str¨
omlinjer vid plan str¨
omning ¨
ar kψ = dy/dx = v/u. L¨
angs en ekvipotentiallinje g¨
aller
φ = konst., d.v.s. dφ = 0. Vid plan str¨
omning g¨
aller dφ = (∂φ/∂x)dx + (∂φ/∂y)dy = u dx + v dy,
vilket ger kφ = dy/dx = −u/v. Eftersom kφ = −1/kψ ¨
ar dessa linjer vinkelr¨
ata.
Kapitel 3 — Inkompressibel potentialstr¨
omning i ett plan
3.1 Visa att tryckkoefficienten Cp kan skrivas som Cp = 1 − (V /V∞ )2 vid inkompressibel potentialstr¨omning med f¨
orsumbara masskrafter.
Under dessa f¨
oruts¨
attningar g¨
aller Bernoullis ekvation mellan varje punkt, speciellt mellan en
2 /2 = p+ρ V 2 /2,
punkt i fristr¨
ommen och n˚
agon annan. Konstant densitet inneb¨
ar att p∞ +ρ∞ V∞
∞
2
2
d.v.s. p − p∞ = q∞ (1 − (V /V∞ ) ), d¨
ar q∞ = ρ∞ V∞ /2. Cp = (p − p∞ )/q∞ ger det s¨
okta uttrycket.
3.2 (a) H¨arled en differentialekvation f¨
or hastighetspotentialen φ vid rotationsfri inkompressibel str¨
omning. Vad kallas ekvationen?
Fr˚
an matematik (vektoranalys) g¨
aller att om ett vektorf¨
alt ¨
ar rotationsfritt kan det uttryckas som
gradienten av en skal¨
ar funktion. I detta fall V = ∇φ, d¨
ar φ ¨
ar hastighetspotentialen. Vid inkompressibel str¨
omning g¨
aller ∇ · V = 0 (kontinuitetsekvationen). Kombinerat med definitionen ger
∇·(∇φ) = ∇2 φ = 0, vilket ¨
ar Laplaces ekvation.
(b) Ange randvillkor f¨
or φ vid str¨
omning kring en fast kropp utan inverkan av fria v¨atskeytor.
Ingen str¨
omning tv¨
ars fasta ytor inneb¨
ar att normalhastigheten ¨
ar noll, d.v.s. ∂φ/∂n = 0, d¨
ar
n a
at mot ytan. P˚
a stora avst˚
and fr˚
an kroppen kan hastighetsf¨
altet antas givet; k¨
and
¨r vinkelr¨
hastighetsvektor, V = ∇φ, inneb¨
ar k¨
anda derivator av φ i de olika koordinatriktningarna.
3.3 H¨arled en ekvation f¨
or str¨
omlinjerna tillh¨orande en dubblett med styrkan κ = 2aΛ placerad i
(omkring) origo utefter x-axeln. Slutekvationen ska vara uttryckt i pol¨ara koordinater (r, θ). Rita
schematiskt ett par str¨
omlinjer.
Ledning: Str¨
omfunktionen f¨
or en linjek¨alla med styrkan Λ i x = −a, y = 0:
ψk =
y
Λ
tan−1
2π
x+a
Dessutom g¨
aller f¨
oljande trigonometriska samband:
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
Linjes¨
ankan i x = a har str¨
omfunktionen ψs = −m tan−1
med linjek¨
alla i x = −a, ψ = ψk + ψs , ger
ψ/m = tan−1
y
x−a ,
d¨
ar m = Λ/(2π). Superposition
y
y
− tan−1
=α−β
x+a
x−a
7
Tangenten av b¨
agge sidor och utnyttjande av ledningen ger
tan(ψ/m) = tan(α − β) =
−2ay
y/(x + a) − y/(x − a)
= 2
2
2
2
1 + y /(x − a )
x − a2 + y 2
N¨
ar nu arcustangent tas p˚
a b¨
agge leden kan det i gr¨
ans¨
overg˚
angen a → 0 utnyttjas att tan−1 ǫ = ǫ
n¨
ar ǫ → 0. Detta ger
ψ=−
2may
x2 + y 2
Med 2ma = κ/(2π) samt x = r cos θ, y = r sin θ, x2 + y 2 = r 2 f˚
as
ψ=−
κ sin θ
2π r
F¨
or skiss av str¨
omlinjer, se Fig. 3.25.
3.4 Den tv˚
adimensionella potentialstr¨
omningen kring en cirkul¨ar cylinder ges av superposition av en
−1
dubblet i origo, ψ1 = −κ(2πr) sin θ, samt en parallellstr¨omning, ψ2 = V∞ r sin θ. Det statiska
trycket p˚
a stort uppstr¨
oms avst˚
and l¨angs x-axeln ¨ar p∞ . Best¨am
∂ψ
ordelningen l¨
angs
(a) hastighetsf¨
altet (vr = r −1 ∂ψ
∂θ , vθ = − ∂r ), (b) cylinderns radie R, (c) tryckf¨
cylinderytan uttryckt som en tryckkoefficient Cp .
(a) Med f¨
orkortning λ = κ/(2π) ger superposition:
h
i
ψ = −λr −1 sin θ + V∞ r sin θ + C = V∞ r sin θ 1 − λ/(V∞ r 2 ) + C ⇒
λ
1 ∂ψ
= 1−
V∞ cos θ
r ∂θ
V∞ r 2
λ
∂ψ
=− 1+
V∞ sin θ
= −
∂r
V∞ r 2
vr =
vθ
(b) P˚
a cylinders yta r = R m˚
aste vr = 0, d.v.s. R =
p
λ/V∞ =
p
κ/(2πV∞ ).
(c) Bernoullis ekvation mellan en punkt i fristr¨
ommen (p = p∞ ) och en punkt p˚
a ytan (p = ps ),
d¨
ar vθ = −2V∞ sin θ ger
p∞ +
2
ρV∞
ρv 2
ps − p∞
= p∞ + q∞ = ps + θ = ps + q∞ 4 sin2 θ ⇒ Cp =
= 1 − 4 sin2 θ
2
2
q∞
3.5 F¨or en linjevirvel placerad i origo a
¨r vθ = C/r, o¨vriga komposanter noll. Best¨am cirkulationen
kring en kurva som omsluter denna virvel.
H
ˆ
ˆ d¨
Γ = − V · ds. L˚
at kurvan vara en cirkel med radie R; V = vθ θˆ = C θ/R,
ds = R dθ θ,
ar θˆ ¨
ar
R 2π
ˆ
ˆ
enhetsvektorn i θ-riktningen. Med θ · θ = 1 f˚
as V · ds = C dθ, d.v.s. Γ = − 0 C dθ = −2πC.
3.6 (a) Vid plan, inkompressibel potentialstr¨omning kring en cylinder med centrum i origo och med
cirkulation Γ ¨
ar hastigheten l¨
angs kroppsytan (r = R) lika med
vθ = −2 V∞ sin θ −
Γ
2πR
d¨ar V∞ ¨
ar den ost¨
orda hastigheten p˚
a stora avst˚
and (pol¨ara koordinater r och θ). Visa via integrationer av lokala ytkrafter att str¨oR mningsmotst˚
andet D ¨ar noll samt att lyftkraften per breddar lika med ρ V∞ Γ. OBS! 02π (sin θ)2 dθ = π.
enhet L′ ¨
Str¨
omningsmotst˚
and per breddenhet, D ′ = − 02π (ps − p∞ ) cos θ R dθ; lyftkraft per breddenhet, L′ =
R 2π
2 /2 = p + q
2
− 0 (ps − p∞ ) sin θ R dθ. Bernoullis ekvation, p∞ + ρV∞
∞
∞ = ps + ρvθ /2, ger
R
8
Cp =
ps − p∞
= 1 − 4 sin2 θ − 4βs sin θ − βs2
q∞
d¨
ar βs = Γ/(2πV∞ R). Integralen av (sin θ)n cos θ ¨
over intervallet 0 − 2π ¨
ar noll f¨
or alla exponenover
ar av denna typ, d.v.s. D ′ = 0. Integralen av (sin θ)n ¨
ter n. Alla termer i uttrycket f¨
or D ′ ¨
intervallet 0 − 2π ¨
ar noll f¨
or alla udda exponenter n. Den enda term som blir kvar ¨
ar den som
inneh˚
aller sin2 θ = (sin θ)2 . Med ledningen f˚
as
L′ =
2
ρV∞
R(4βs )π = ρV∞ Γ
2
(b) Beskriv grafiskt m.h.a. str¨
omlinjer hur hastighetsf¨altet f¨or¨andras med β = Γ/(2πV∞ R).
Se Fig. 3.33; f¨
or 0 < β < 2 f˚
as tv˚
a symmetriskt placerade stagnationspunkter p˚
a undre ytan; f¨
or
β = 2 har dessa kommit tillsammans l¨
angst ned p˚
a cylindern (x = 0, y = −R) och f¨
or β > 2
vandrar stagnationspunkten vid ¨
okande β ned˚
at l¨
angs y-axeln.
3.7 Formulera Joukowskys (Zhukovskiis) lyftkraftsteorem vid plan, tv˚
adimensionell, inkompressibel
potentialstr¨
omning. Definiera ing˚
aende storheter. Illustrera schematiskt i figur.
Vid plan inkompressibel potentialstr¨
omning g¨
aller att lyftkraften per breddenhet p˚
a en godtycklig
sluten kroppskontur som anstr¨
ommas med en konstant hastighet V∞ ¨
ar lika med ρ∞ V∞ Γ, d¨
ar
Γ ¨
ar nettocirkulationen runt konturen; ρ∞ fluidens densitet. Lyftkraftens riktning ¨
ar 90◦ fr˚
an
fristr¨
ommen, vriden motsatt cirkulationen. En enkel skiss kan t.ex. vara en vingprofil som anstr¨
ommas fr˚
an v¨
anster med positiv cirkulation (ex. Fig. 3.37). Lyftkraften ¨
ar d˚
a upp˚
at.
3.8 Betrakta visk¨
os inkompressibel str¨
omning kring en sl¨at cylinder med cirkul¨art tv¨arsnitt i vinkelr¨
at
anstr¨omning. Medelstr¨
omningen kan betraktas som tv˚
adimensionell.
(a) Beskriv i ett schematiskt log-log-diagram hur motst˚
andskoefficienten f¨or cylindern varierar
med Reynolds tal inom intervallet Re = 0.1 − 107 .
Se Fig. 3.44 (Fig. 3b i Lab-PM-1, Re = 10 − 107 ). Fr˚
an Re = 0.1 upp till ca. Re = 100
3
minskar CD kraftigt; upp till ca. Re = 10 minskar CD ytterligare men inte s˚
a kraftigt, till ett
minimum strax under CD = 1. Vid ca. Re = 104 n˚
ar CD upp till en plat˚
a vid CD ≃ 1.2. Vid ca.
Re = 2 × 105 minskar CD mycket kraftigt, n˚
ar ett minimum p˚
a CD ≃ 0.25 vid ca. Re = 5 × 105 ;
6
vid ca. Re = 4 × 10 n˚
as en ny plat˚
a vid CD ≃ 0.6.
(b) Beskriv kortfattat olika str¨
omningsomr˚
aden avseende intervall i Reynolds tal. Vid vilket ungef¨arligt Reynolds uppst˚
ar turbulent str¨omning i f¨altet? Vid vilket ungef¨arligt Reynolds f˚
as omslag
till turbulent gr¨
ansskikt?
Se Fig. 3.45/6/7/8, text i Lab-PM-2. Upp till ca. Re = 6 sker ingen avl¨
osning, str¨
omningen
ar lamin¨
ar och symmetrisk (Fig. 3.46). Strax ¨
over Re = 6 bildas via avl¨
osning tv˚
a motroterande
¨
virvlar i vakomr˚
adet (Fig. 3.47); med ¨
okande Re v¨
axer virvlarnas storlek och vid ca. Re = 47
sker en vakinstabilitet som ger en periodisk virvelupprullning med karakteristiskt virvelm¨
onster
(von K´
arm´
ans virvelgata, Fig. 3.48); str¨
omningen ¨
ar dock fortfarande lamin¨
ar. Vid ca. Re = 200
utvecklas tredimensionella vakinstabiliteter och efter ca. Re = 300 ¨
ar str¨
omningen i vakomr˚
adet
turbulent, str¨
omningen n¨
ara cylinderns yta dock lamin¨
ar, speciellt vid avl¨
osning. Upp till ca. Re =
2 × 105 sker avl¨
osning under lamin¨
ara fast tidsberoende f¨
orh˚
allanden (Fig. 3.45d). Strax o
¨ver
5
Re = 2 × 10 n˚
ar omslaget till turbulent str¨
omning avl¨
osningsomr˚
adet och ¨
okat Re inneb¨
ar att
str¨
omningen ˚
ateranl¨
agger mot ytan; d˚
a den slutliga avl¨
osningen nu sker efter kr¨
onet p˚
a cylindern
(p˚
a baksidan) och under turbulenta f¨
orh˚
allanden sker detta vid en v¨
asentligt h¨
ogre tryckkoefficient
Cp vilket kraftigt minskar CD d˚
a nu formmotst˚
andet ¨
ar helt dominerande. Vid ¨
annu h¨
ogre Re
f¨
orsvinner ˚
ateranl¨
aggningen mot ytan, och omslag till turbulent str¨
omning sker nu i gr¨
ansskiktet,
avl¨
osning fortfarande p˚
a baksidan men inte lika l˚
angt nedstr¨
oms (Fig. 3.45e).
9
Kapitel 4 — Inkompressibel stro
¨mning o
¨ver vingprofiler
4.1 Definiera eller f¨
orklara kortfattat
(a) v¨alvningslinje (eng. mean camber line)
Se Fig. 4.8. V¨
alvningslinjen definieras av att den lokalt ligger halvv¨
ags mellan profilens ¨
ovre och
undre yta, vinkelr¨
att mot linjen sj¨
alvt.
(b) v¨alvning (eng. camber)
= v¨
alvningslinjens maximala vinkelr¨
ata avst˚
and fr˚
an kordalinjen, Fig. 4.8.
(c) profiltjocklek (eng. thickness)
= maximala avst˚
andet mellan ¨
over- och undersida, vinkelr¨
att mot kordalinjen, Fig. 4.8.
(d) NACA-profil
En NACA-profil ¨
ar en vingprofil med speciell logisk numrering f¨
or att kunna identifiera viss del av
dess geometri och vissa aerodynamiska egenskaper; systemet skapades under 1930-talet i USA. De
tv˚
a sista siffrorna i numreringen ¨
ar oftast profilens tjocklek i procent av kordan.
Vid definition via matematiskt uttryck skall ing˚
aende storheter klarl¨aggas. Illustrera i f¨
orekommande fall (a–c) med enkel figur.
4.2 Betrakta str¨
omning kring en typisk v¨alvd men tunn vingprofil, ex. NACA 2412; Re > 106 .
(a) Illustrera hur den sektionsvisa lyftkraftskoefficienten cℓ varierar med anfallsvinkeln α. Skissera
str¨omningsf¨
orh˚
allanden f¨
or sm˚
a resp. stora anfallsvinklar. Ange typiska v¨arden p˚
a cℓ,max , αL=0
och αstall . Hur inverkar Reynolds tal?
Se Fig. 4.9/10. Typiska v¨
arden: cℓ,max = 1.6, αL=0 = −2◦ , αstall = 16◦ ; Reynolds tal inverkar
endast vid anfallsvinklar kring αstall , ¨
okat Re ¨
okar αstall ; dock relativt liten inverkan.
(b) Definiera eller f¨
orklara kortfattat vad som avses med profilens aerodynamiska centrum (eng.
aerodynamic center).
Den punkt inom profilen kring vilken det aerodynamiska momentet ¨
ar oberoende av anfallsvinkeln
(vid sm˚
a anfallsvinklar) kallas profilens aerodynamiska centrum; ¨
ar vid subsoniska f¨
orh˚
allanden
oftast i eller n¨
ara av en kvarts korda fr˚
an framkanten (l¨
angs kordalinjen).
(c) Illustrera hur den sektionsvisa motst˚
andskoefficienten cd och den sektionsvisa momentkoefficienten cm kring profilens aerodynamiska centrum (cm,ac ) varierar med anfallsvinkeln α.
Se Fig. 4.11. cd,min ≈ 0.006; f¨
or de flesta vingprofiler ¨
ar cm,ac n˚
agot negativ (med ett moturs
vridande moment), cm,ac ≈ −0.05.
4.3 Definiera eller f¨
orklara kortfattat: (a) ytvirvelskikt, (b) ytvirvelstyrka γ.
(a) Ett ytvirvelskikt a
ordelning av linjevirvlar med lokalt varierande virvelstyrka,
¨r en kontinuerlig f¨
l¨
angs en linje i ett plan (en yta), se Fig. 4.13. (b) Ytvirvelstyrka γ ¨
ar lika med cirkulation per
l¨
angdenhet l¨
angs en linje, γ = dΓ/ds; motsvarar det lokala tangentiella hastighetsspr˚
anget som
induceras tv¨
ars ett ytvirvelskikt (Fig. 4.14).
4.4 Hur ¨ar ytvirvelstyrkan γ(x) relaterad till cirkulationen Γ och vad g¨aller fysikaliskt tv¨ars ett ytvirvelskikt?
ar a och b ¨
ar vid ytvirvelskiktets fram- resp. bakkant. Tv¨
ars skiktet sker ett spr˚
ang i
Γ = ab γ ds, d¨
tangentiell hastighet (l¨
angs skiktet), γ ¨
ar ett direkt m˚
att p˚
a detta hastighetsspr˚
ang; med γ > 0 ¨
ar
hastigheten ovanf¨
or h¨
ogre.
R
4.5 (a) Ange det s.k. Kutta-villkoret, dels i ord, dels som ett matematiskt villkor f¨or γ(x). Hur kan
Kuttavillkoret motiveras fysikaliskt?
Kutta-villkoret: str¨
omningen vid den lyftande vingens bakkant ¨
ar j¨
amn och l¨
amnar bakkanten utan
n¨
amnv¨
ard upprullning, se Fig. 4.17b och Fig. 4.18. F¨
or en l¨
att trubbig bakkant eller med ¨
andlig
bakkantsvinkel, se Fig. 4.19 (v¨
anster), utbildas en stagnationspunkt n¨
ara bakkanten. F¨
or en vinge
med mycket skarp bakkant ¨
ar de lokala hastigheterna p˚
a¨
omse sidor om kanten praktiskt taget lika,
se Fig. 4.19 (h¨
oger). Villkoret motiveras fysikaliskt utifr˚
an ren observation; vid h¨
oga Re sker
10
bakkantsstr¨
omningen p˚
a ovan beskrivna s¨
att. Inom vingteorin anv¨
ands villkoret f¨
or att ber¨
akna
det korrekta v¨
ardet p˚
a cirkulationen kring vingen, och kan matematiskt uttryckas som att ytvirvelstyrkans v¨
arde vid bakkanten (TE) ¨
ar noll, γ(TE) = 0.
(b) Skissera str¨
omningsf¨
altet runt en vingprofil f¨or Γ < ΓKutta och Γ = ΓKutta
Se Fig. 4.17.
4.6 En v¨alvd vingprofil vid α = 0 bibringas pl¨otsligt en translationsr¨orelse (hastighet). Beskriv hur
str¨omningsf¨
altet utvecklas med s¨
arskild betoning p˚
a str¨omningen kring vingens bakkant samt uppkomsten av cirkulation och d¨
armed lyftkraft. Om visk¨osa effekter f¨orsummas, hur ¨ar d˚
a den slutliga
cirkulationen kring profilen relaterad till motsvarande f¨or startvirveln?
Se f¨
orel¨
asningsunderlag, Ch. 4. Profilen i figuren nedan ¨
ar symmetrisk men dras ig˚
ang med viss
anfallsvinkel; med en v¨
alvd vinge kan resonemanget genomf¨
oras om den dras ig˚
ang horisontellt;
det viktigaste ¨
ar att profilen ger lyftkraft.
Alldeles efter start ¨
ar de visk¨
osa effekterna extremt sm˚
a och str¨
omningen ¨
ar n¨
astintill rotationsfri; f¨
orsumbar cirkulation; f¨
orsumbar impuls¨
andring; f¨
orsumbar lyftkraft (a). Eftersom v¨
aggfriktionen inte hunnit att utvecklas kan str¨
omningen
komma runt bakkanten, hastigheten minskar mot
en stagnationspunkt en bit uppstr¨
oms p˚
a ovansidan. N¨
ar friktionen utvecklas kommer hastigheten
successivt att ¨
oka under passagen runt bakkanten
liksom den positiva tryckgradienten vid str¨
omningen mot stagnationspunkten; detta leder till avl¨
osning som mycket snart f¨
orflyttas till bakkanten,
en bakkantsvirvel utvecklas. (b). D˚
a det fortfarande
finns tendens till ¨
overstr¨
omning runt bakkanten har
denna virvel en moturs rotation (cirkulation).
Eftersom str¨
omningsf¨
altets totala cirkulation var noll i fr˚
an b¨
orjan f¨
oruts¨
ager Kelvins teorem2 att
den f¨
orblir s˚
a, och eftersom bakkantsvirveln har en moturs cirkulation byggs det successivt upp en lika stor fast motriktad (medurs) cirkulation runt vingen. Denna cirkulation inneb¨
ar en nettoimpulsandring ned˚
at f¨
or str¨
omningen kring profilen vilket resulterar i en upp˚
atriktad kraft p˚
a densamma
¨
(lyftkraft). Allt eftersom profilen r¨
or sig fram˚
at byggs det upp en vingbunden cirkulation som ¨
ar
proportionell mot denna lyftkraft. Bakkantsvirveln stannar successivt upp. (c) Efterhand byggs det
inte p˚
a mer cirkulation och profilen l¨
amnar bakkantsvirveln bakom sig. Bakkantsstr¨
omningen l¨
amnar nu profilen p˚
a ett mjukt och j¨
amnt s¨
att utan vare sig n¨
amnv¨
ard avl¨
osning eller upprullning. (d)
Den profilbundna cirkulationen ¨
ar nu fullt utvecklad, liksom lyftkraften. Eftersom visk¨
osa effekter
f¨
oruts¨
atts sm˚
a (h¨
ogt Reynolds tal) ¨
ar den profilbundna cirkulationen lika stor fast motriktad den
f¨
or bakkantsvirveln (startvirveln).
4.7 Betrakta ett virvelskikt l¨
angs en kordalinje i x-led, lagd f¨or att representera den verkliga str¨
omningen kring en mycket tunn men svagt v¨alvd vingprofil vid liten anfallsvinkel α, korda c och
anstr¨omningshastighet V∞ . V¨
alvningslinjens lokala lutning gentemot kordalinjen ¨ar dz/dx och
den lokalt inducerade hastigheten vinkelr¨att mot kordalinjen vid avst˚
andet x fr˚
an framkanten fr˚
an
ett infinitesimalt virvelelement med styrkan γ dξ vid x = ξ kan skrivas
dw = −
γ(ξ) dξ
.
2π(x − ξ)
(a) Visa att nedanst˚
aende ekvation f¨oljer ur att v¨alvningslinjen ¨ar en str¨omlinje (eng. the fundamental equation of thin airfoil theory). OBS! Sm˚
a vinklar.
2
Kelvins teorem g¨
aller strikt endast f¨
or potentialstr¨
omning; avvikelser mycket sm˚
a vid tillr¨
ackligt h¨
oga Reynolds tal.
11
Z
c
0
dz
γ(ξ) dξ
= 2πV∞ α −
.
x−ξ
dx
Se Fig. 4.23. Fristr¨
omshastighetens komposant vinkelr¨
att mot v¨
alvningslinjen ges geometriskt av
(illustreras!)
h
i
V∞,n = V∞ sin α + tan−1 (−dz/dx)
vilket f¨
or sm˚
a anfallsvinklar α och liten v¨
alvning kan skrivas
V∞,n = V∞ (α − dz/dx)
Vid sm˚
a vinklar ¨
ar den totalt inducerade lokala hastigheten vinkelr¨
att mot v¨
alvningslinjen lika med
′
motsvarande vinkelr¨
att mot kordalinjen, w (s) = w(x), d¨
ar
w(x) =
Z
0
c
dw = −
Z
0
c
γ(ξ) dξ
2π(x − ξ)
Eftersom villkoret ¨
ar att inget str¨
ommar genom v¨
alvningslinjen, V∞,n + w′ (s) = 0, f˚
as det s¨
okta
sambandet.
(b) Ange uttrycket p˚
a cℓ som f¨
oljer ur ekvationen ovan med givet αL=0 . Ange v¨ardet p˚
a αL=0 om
v¨alvningslinjen ¨
ar parabolisk och symmetrisk kring x = c/2 med maximal v¨alvning h. Vid vilken
position l¨
angs kordalinjen (teoretiskt s¨att) ligger profilens aerodynamiska centrum?
Vid givet αL=0 f˚
as cℓ = 2π(α − αL=0 ). Vid parabolisk, symmetrisk v¨
alvningslinje g¨
aller αL=0 =
−2h/c. Tryckcentrum ligger vid x/c = 1/4 (cm,c/4 = 0), oberoende av α, vilket d¨
arf¨
or ocks˚
a ¨
ar
positionen f¨
or aerodynamiskt centrum, xac /c = 1/4.
4.8 Betrakta en verklig men tunn och v¨alvd vingprofil. F¨oruts¨att att momentkoefficienten (medurs)
kring profilens kvartskordapunkt (vid x/c = 1/4) har en konstant lutning dcm,c/4 /dα = m0 vid
sm˚
a anfallsvinklar, d¨
ar samtidigt dcℓ /dα = a0 .
Best¨am positionen f¨
or profilens aerodynamiska centrum, xac = xac /c.
Villkoret f¨
or aerodynamiskt centrum a
¨r att (det vridande) momentet kring denna punkt a
¨r oberoende av α. L˚
at lyftkraft per breddenhet verkade i och d:o moment kring x/c = 1/4 vara L′ resp.
′
Mc/4 , se Fig. 4.30. Momentet (medurs) kring aerodynamiskt centrum blir
′
′
Mac
= L′ (xac − c/4) + Mc/4
ar
vilket dimensionsl¨
ost kan skrivas, cm,ac = cℓ (xac − 1/4) + cm,c/4 . Villkoret dcm,ac /dα = 0 inneb¨
a0 (xac − 1/4) + m0 = 0, vilket ger xac = xac /c = 1/4 − m0 /a0 .
4.9 Beskriv fysikaliskt vad som avses med leading-edge stall och trailing-edge stall f¨or en vingprofil.
Illustrera schematiskt str¨
omningen och beskriv skillnader avseende den sektionsvisa lyftkraftskoefficienten cℓ (α).
Se Fig. 4.49 (leading-edge stall), tunna profiler, och Fig. 4.50 (trailing-edge stall), tjockare profiler. Med ¨
okad anfallsvinkel α och f¨
or tunna profiler initieras avl¨
osning oftast n¨
ara framkanten (och
givetvis p˚
a¨
oversidan); vid lite ¨
okad anfallsvinkel s¨
oker sig d˚
a avl¨
osningen snabbt till den relativt
skarpa framkanten vilket g¨
or att lyftkraften minskar dramatiskt (stall). F¨
or lite tjockare profiler
initieras ofta avl¨
osning lite l¨
angre nedstr¨
oms p˚
a ovansidan, n¨
armare bakkanten. Vid ¨
okad anfallsvinkel flyttas avl¨
osningen bak˚
at (uppstr¨
oms) men s¨
oker sig inte s˚
a direkt till framkanten, lyftkraften
minskar d¨
arf¨
or mer l˚
angsamt med ¨
okande α. F¨
or profiler med samma v¨
alvning ger tunnare profiler
lite h¨
ogre cℓ,max (vid αstall ) fast brantare minskning av cℓ f¨
or α > αstall , se Fig. 4.51.
12
Kapitel 5 — Inkompressibel stro
andliga vingar
¨mning o
¨ver ¨
5.1 Vid str¨omning kring en b¨
arande, a
¨ndlig vinge, diskutera kortfattat och illustrera schematiskt
uppkomsten av och hastighetseffekterna fr˚
an s.k. vingspetsvirvlar, samt hur dessa virvlar kan
associeras till ett lyftkraftsinducerat str¨omningsmotst˚
and.
F¨
or en b¨
arande vinge, en vinge med lyftkraft, finns tendens till ¨
overstr¨
omning fr˚
an vingens undersida (trycksida) till vingens ¨
oversida (sugsida). F¨
or en ¨
andlig vinge finns m¨
ojlighet till ¨
overstr¨
omning
vid vingspetsarna, se Fig. 5.3. Tendensen till o
verstr¨
o
mning
i
kombination
med
anstr¨
o
mningen
¨
genererar virvelsystem med utg˚
angspunkt i respektive vingspets och som konvekteras nedstr¨
oms
(vingspetsvirvlar). Virvelsystemen (Fig. 5.4/5) har motsatt rotation och inducerar (bidrar till) en
ned˚
atstr¨
omning i omr˚
adet mellan vingspetsarna, speciellt ¨
over sj¨
alva vingen (eng. downwash). F¨
or
str¨
omningen relativt vingen inneb¨
ar detta att anstr¨
omningen verkar komma lite uppifr˚
an, d.v.s. att
vingens effektiva anfallsvinkel a
agre a
att
¨r l¨
¨n den rent geometriska, se Fig. 5.6. En lyftkraft vinkelr¨
mot den effektiva anstr¨
omningsriktningen fr˚
an vingteorin inneb¨
ar d˚
a en kraftkomposant som ligger
i den faktiska anstr¨
omningsriktningen, ett lyftkraftsinducerat str¨
omningsmotst˚
and.
5.2 (a) Ange teoretiska uttryck f¨
or lyftkraftskoefficienten CL och den inducerade motst˚
andskoefficienten
CD,i f¨or en ¨
andlig vinge vid sm˚
a anfallsvinklar, elliptisk planform och givet vingspann/kordaf¨orh˚
allande AR (tunn vinge med liten v¨alvning, h¨ogt Reynolds tal, AR > 4).
Sm˚
a anfallsvinklar α, tunn vinge med liten v¨
alvning: CL = a0 (αeff − αL=0 ), αeff = α − αi ; elliptisk
planform, tillr¨
ackligt h¨
ogt AR: αi = CL /(πAR); h¨
oga Reynolds tal: a0 = 2π, vilket ger
CL =
2π(α − αL=0 )
1 + 2/AR
Vinkeln som ger CL = 0, αL=0 ≤ 0, beror av vingens v¨
alvning. F¨
or elliptisk planform g¨
aller
CD,i =
CL2
πAR
(b) Skissera hur AR inverkar p˚
a CD och CL som funktion av anfallsvinkeln α.
F¨
or CL , se Fig. 5.23. F¨
or b˚
ade CL och CD , se figur nedan (parabolisk, symmetrisk v¨
alvning:
αL=0 = −2h/c; CD,∞ = cd ).
5.3 Om dCL /dα = a0 f¨
or en o¨
andligt bred vinge (AR → ∞), diskutera kortfattat hur planformens
utseende p˚
averkar dCL /dα = a och CD,i f¨or en ¨andlig (men tunn) vinge vid sm˚
a anfallsvinklar.
F¨
or en ¨
andlig vinge reduceras lutningen a med minskad AR. Vid givet AR (och otvistad vinge) f˚
as
h¨
ogst a om planformen ¨
ar elliptisk; a = a0 /(1+ǫ), ǫ ∝ (1+τ )/AR, d¨
ar τ = 0 f¨
or elliptisk planform.
CD,i minskar med o
an elliptisk planform o
¨kat AR, avvikelser fr˚
¨kar CD,i ; CD,i ∝ (1 + δ)/AR; δ = 0
f¨
or elliptisk planform.
13
Kapitel 6 — Tredimensionell potentialstro
¨mning
6.1 Motst˚
andskoefficienten f¨
or ett flygplan kan vid inkompressibla f¨orh˚
allanden skrivas p˚
a f¨
oljande
form:
CD = CD,0 +
CL2
πeAR
d¨ar CD,0 ¨
ar planets totala CD d˚
a L = 0 (typiskt, CD,0 ≈ 0.015); e ¨ar Oswalds effektivitetsfaktor
(typiskt, e ≈ 0.8).
(a) Visa att f¨
orh˚
allandet CL /CD ¨
ar maximalt d˚
a CL =
p
πe AR CD,0 .
S¨
att x = CL , c1 = CD,0 , c2 = πeAR, d.v.s. D/L = CD /CL = φ(x) = c1 /x + x/c2 ; p
s¨
ok minimum
√
−2
f¨
or φ. Derivation m.a.p. x ger dφ/dx = −c1 x + 1/c2 , som ¨
ar noll d˚
a x = c2 c1 = πe AR CD,0 ;
ett minimum d˚
a d2 φ/dx2 = 2c1 x−3 > 0 f¨
or alla x.
(b) F¨orklara varf¨
or planflykt vid (CL /CD )max ger maximal flygstr¨acka vid given tyngd W . Planet
f¨oruts¨atts motordrivet.
Vid planflykt g¨
aller D = T och L = W , d¨
ar T ¨
ar planets dragkraft, d.v.s. CL /CD = L/D = W/T .
Planets motor f¨
orbrukar br¨
ansle. Det arbete som planet utf¨
or vid planflykt ¨
ar dragkraften multiplicerat med flygstr¨
ackan. Omvandlingen av br¨
anslets bundna energi till detta arbete antas ske med
en konstant (h¨
og) verkningsgrad. Vid given br¨
anslem¨
angd (vilket ocks˚
a f˚
ar f¨
oruts¨
attas) och given
tyngd blir s˚
aledes flygstr¨
ackan maximal vid minimal dragkraft, d.v.s. vid (L/D)max = (CL /CD )max .
(c) Antag att planets motorer stannar alt. att planet ¨ar ett segelflygplan. Visa att den anfallsvinkel
α som ger (CL /CD )max inneb¨
ar minsta m¨ojliga glidvinkel f¨or planet.
Planet kommer efter mycket kort tid att glida ned˚
at med konstant hastighet och konstant glidvinkel. Vid r¨
atlinjig r¨
orelse ¨
ar alla krafter i balans d.v.s. planets tyngd (lodr¨
att ned˚
at!) m˚
aste balanseras av de resulterande aerodynamiska krafterna. Eftersom str¨
omningsmotst˚
andet ¨
ar motsatt
r¨
orelseriktningen och lyftkraften vinkelr¨
att d¨
aremot inses av ren geometri att glidvinkeln gentemot
horisontalen ¨
ar θglide = tan−1 (D/L) = tan−1 (CD /CL ). Denna vinkel blir s˚
aledes minimal vid
(CL /CD )max .
Kapitel 7 — Kompressibel str¨
omning, grunder
7.1 Definiera stagnationsentalpi, stagnationstemperatur och stagnationstryck.
Stagnationsentalpi ¨
ar den entalpi per massenhet som en fluid uppn˚
ar d˚
a den bromsas ned till
stillast˚
aende under adiabatiska f¨
orh˚
allanden. Stagnationstemperatur ¨
ar motsvarande temperatur.
Stagnationstryck ¨
ar det tryck som en fluid uppn˚
ar d˚
a den bromsas ned till stillast˚
aende under
isentropa f¨
orh˚
allanden, adiabatiskt och f¨
orlustfritt.
7.2 F¨orklara kortfattat vad som avses med de st¨otfronter (st¨otar) som kan upptr¨ada vid supersonisk
str¨omning. Beskriv schematiskt hur str¨omningsf¨altet f¨or¨andras ¨over en sned st¨ot.
Vid supersonisk str¨
omning saknas m¨
ojligheter till gradvis anpassning mot de f¨
orh˚
allanden som kan
kr¨
avas nedstr¨
oms, de tryckst¨
orningar (tryckv˚
agor) som vid subsoniska f¨
orh˚
allanden kan propagera
uppstr¨
oms och p˚
averka anpassningen kan inte g¨
ora det vid supersoniska hastigheter. Speciellt om
str¨
omningen kr¨
aver anpassning till en tryck¨
okning (kompression) kan v˚
agbildningen som sker samverka till att en extremt tunn v˚
agfront (st¨
otfront, st¨
ot) utbildas ¨
over vilken n¨
odv¨
andig tryck¨
okning
och ev. riktningsf¨
or¨
andring sker. St¨
otfronter ¨
ar extremt tunna, av samma storleksordning som gasens fria medelv¨
agl¨
angd, normalt ca. 0.1 µm. Om st¨
oten sker utan riktningsf¨
or¨
andring kallas st¨
oten
rak, om st¨
oten inneb¨
ar (pl¨
otslig) riktningsf¨
or¨
andring kallas st¨
oten sned, se Fig. 7.5a.
Kapitel 8 — Raka st¨
otar
8.1 H¨arled, via mass- och impulsbalans, ett uttryck f¨or hastigheten C f¨or en tryckpuls med ¨
andlig
styrka som r¨
or sig i ett stillast˚
aende kompressibelt medium. V˚
agfrontens utstr¨ackning i str¨
omningsriktningen ¨
ar s˚
a liten att str¨
omningen kan betraktas som endimensionell. Specialisera till
infinitesimalt liten amplitud och adiabatiska f¨orh˚
allanden (C = a = ljudhastighet).
14
Antag att fronten r¨
or sig till v¨
anster med konstant hastighet C. L˚
at tryckpulsens amplitud vara ∆p,
till h¨
oger om fronten ¨
ar d˚
a trycket p + ∆p, d¨
ar p ¨
ar det ost¨
orda trycket framf¨
or, p.s.s. avseende
fluidens densitet, till h¨
oger ρ + ∆ρ, till v¨
anster ρ. L˚
at fluidens absoluta hastighet till h¨
oger om
fronten vara ∆V , stillst˚
aende d.v.s. V = 0 till v¨
anster. Med en kontrollvolym fixerad till fronten
kommer hastigheten in i kontrollvolymen (till v¨
anster) vara C, utg˚
aende hastighet (till h¨
oger)
C − ∆V (j¨
amf¨
or Fig. 8.3). Station¨
ara f¨
orh˚
allanden kr¨
aver att massfl¨
odet in a
r
lika
med
mass¨
fl¨
odet ut, m
˙ = ρAC = (ρ + ∆ρ)A(C − ∆V ), d¨
ar A ¨
ar arean p˚
a¨
omse sidor. Detta ger
∆V = C
∆ρ/ρ
1 + ∆ρ/ρ
Nettoimpulsfl¨
odet ut m˚
aste vid station¨
ara f¨
orh˚
allanden balansera krafterna p˚
a kontrollvolymen. De
enda krafter som verkar i st¨
otens normalriktning ¨
ar tryckkrafter, visk¨
osa normalsp¨
anningar kan
f¨
orsummas. Impulsbalans (till h¨
oger): m(V
˙ out − Vin ) = ρAC(−∆V ) = pA − (p + ∆p)A, d.v.s.
∆p = ρ C∆V . Tillsammans med uttrycket f¨
or ∆V f˚
as
C=
s
∆p
∆ρ
1+
∆ρ
ρ
I gr¨
ansen d˚
a ∆ρ/ρ → 0 och ∆p/p → 0 ¨
ar detta utbredningshastigheten f¨
or infinitesimala tryckst¨
orningar, ljudhastigheten a. F¨
orsumbara temperatur- och hastighetsgradienter inneb¨
ar att processen i denna gr¨
ans¨
overg˚
ang kan betraktas som adiabatisk och friktionsfri, isentrop, vilket ger
a=
s
∂p
∂ρ
s
8.2 H¨arled sambandet mellan stagnationstryck p0 , statiskt tryck p, γ = cp /cv och Machtal M vid
kompressibel str¨
omning av en perfekt gas. Isentropsamband: p/T γ/(γ−1) = konst.
Betrakta en kontrollvolym kring ett str¨
omr¨
or i vilken fluidens hastighet minskar. F¨
oruts¨
att adiabatiska endimensionella f¨
orh˚
allanden med f¨
orsumbara ¨
andringar i potentiell energi (och givetvis
inget tekniskt arbete). Energibalans inneb¨
ar att summan av fluidens entalpi¨
andring och ¨
andring
2
i kinetisk energi ¨
ar noll, ∆h + ∆(V /2) = 0. Perfekt gas inneb¨
ar att ∆h = cp ∆T . Utan index
vid inlopp och index e vid utlopp f˚
as cp (Te − T ) + (Ve2 − V 2 )/2 = 0. Ve → 0 ⇒ Te → T0 , enligt
definition, d.v.s. T0 /T = 1 + V 2 /(2cp T ). Eftersom cp = R + cv och a2 = γRT f¨
or en ideal gas
2
g¨
aller cp T = γRT /(γ − 1) = a /(γ − 1). Med M = V /a f˚
as
p0
=
p
T0
T
γ/(γ−1)
γ−1 2
M
= 1+
2
γ/(γ−1)
8.3 Visa att M 2 ≪ 1 ¨
ar ett n¨
odv¨
andigt villkor f¨or approximationen inkompressibel str¨
omning.
Betrakta specialfallet med endimensionell station¨
ar str¨
omning l¨
angs en horisontell str¨
omlinje, V =
(V (x), 0, 0). Kontinuitetsekvationen p˚
a differentiell form, ∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0, ger
d
dV
dρ
(ρV ) = ρ
+V
=0
dx
dx
dx
Konstant densitet ρ, inkompressibel str¨
omning, inneb¨
ar att |V (dρ/dx)| ≪ |ρ dV /dx|, d.v.s. |δρ/ρ| ≪
|δV /V |. Om visk¨
osa effekter f¨
orsummas g¨
aller enligt impulsbalans (Bernoullis ekvation p˚
a differentiell form) att dp + ρV dV = 0. F¨
orsumma ¨
aven ev. v¨
armeutbyte, d.v.s. isentrop str¨
omning
(adiabatisk och friktionsfri str¨
omning). D˚
a g¨
aller dp = a2 dρ, d¨
ar a ¨
ar ljudhastigheten. Kombinerat
med Bernoullis ekvation, dp = −ρV dV , och efter division med ρa2 , ger
dV
dV
dρ
dρ
+ (V /a)2
=
+ M2
= 0 ⇒ |δρ/ρ| = M 2 |δV /V |
ρ
V
ρ
V
som kombinerat med |δρ/ρ| ≪ |δV /V | ger M 2 ≪ 1, som allts˚
a a
odv¨
andigt (men inte
¨r ett n¨
tillr¨
ackligt) villkor f¨
or inkompressibel str¨
omning. [Ingenj¨
orsm¨
assigt g¨
aller att str¨
omningen m˚
aste
betraktas som kompressibel om M > 0.3.]
15
8.4 (a) St¨all upp ett komplett ekvationssystem som beskriver det termodynamiska tillst˚
andet alldeles
nedstr¨oms en stillast˚
aende st¨
ot i ett munstycke vid endimensionell adiabatisk str¨omning av en
perfekt gas.
Se Fig. 8.3, med index 1 alldeles innan st¨
oten, index 2 alldeles efter; eftersom st¨
oten (st¨
otfronten)
ar s˚
a tunn g¨
aller A1 = A2 . Massbalans vid station¨
ara f¨
orh˚
allanden ger ρ1 V1 = ρ2 V2 ; impulsbalans:
¨
p1 − p2 = ρ1 V1 (V2 − V1 ); energibalans (perfekt gas): T1 + V12 /(2cp ) = T2 + V22 /(2cp ); ideal gas:
p1 /(ρ1 T1 ) = p2 /(ρ2 T2 ). K¨
anda f¨
orh˚
allanden uppstr¨
oms (index 1) och givet cp = γR/(γ −1) inneb¨
ar
fyra (oberoende) ekationer och fyra obekanta (p2 , T2 , V2 , ρ2 ), l¨
osbart. P.g.a. kvadratiska hastighetstermer f˚
as tv˚
a l¨
osningsupps¨
attningar; en d¨
ar s2 < s1 , en d¨
ar s2 > s1 , vilken ¨
ar den enda t¨
ankbara
eftersom entropin m˚
aste ¨
oka vid adiabatiska f¨
orh˚
allanden.
(b) Hur f¨
or¨
andras Machtal, tryck, temperatur, densitet, entropi, stagnationstemperatur och stagnationstryck ¨
over en rak st¨
ot enligt (a)?
Eftersom str¨
omningen ¨
ar adiabatisk ¨
ar stagnationstemperaturen konstant; ¨
ovriga storheter ¨
okar,
utom stagnationstrycket och machtalet; se Fig. 7.5b och Fig. 8.8.
8.5 Illustrera str¨
omningsf¨
altet kring ett Pitotr¨or vid kompressibla f¨orh˚
allanden, speciellt uppstr¨
oms
mynningen och avseende ev. v˚
agbildning. Klarg¨or utan ekvationer hur anstr¨omningens Machtal
(M∞ ) kan ber¨
aknas vid uppm¨
att stagnationstryck fr˚
an Pitotr¨oret och k¨ant eller uppm¨att statiskt
tryck i fristr¨
ommen. Hur kan det enkelt fr˚
an dessa b˚
ada tryck avg¨oras huruvida anstr¨omningshastigheten ¨
ar h¨
ogre eller l¨
agre ¨
an lokal ljudhastighet?
Se Fig. 8.10. F¨
oruts¨
att perfekt gas med k¨
ant γ. Vid subsonisk str¨
omning ¨
ar uppm¨
att stagnationstryck samma som i fristr¨
ommen. Isentropsamband som relaterar kvoten mellan stagnationstryck och statiskt tryck till Machtalet kan d¨
arf¨
or anv¨
andas direkt (explicit formel). Vid supersonisk
str¨
omning bildas en st¨
otfront framf¨
or Pitotr¨
oret. L¨
angs stagnationslinjen ¨
ar st¨
oten rak. Kvoten
mellan uppm¨
att stagnationstryck och statiskt tryck i fristr¨
ommen kan d˚
a via isentrop- och st¨
otsamband skrivas som en implicit formel f¨
or Machtalet, Rayleigh-Pitots formel. Kvoten mellan
uppm¨
att stagnationstryck fr˚
an Pitotr¨
oret och statiskt tryck i fristr¨
ommen ¨
okar med ¨
okat M∞ och
passerar ett kritiskt v¨
arde vid M∞ = 1 (ca. 1.9 vid γ = 1.4).
Kapitel 9 — Sneda st¨
otar och expansionsfanor
9.1 En t¨ankt liten partikel som regelbundet s¨ander ut ljudpulser f¨ardas med konstant hastighet i ett
stillast˚
aende kompressibelt medium (t.ex. luft). Illustrera utbredningen av dessa ljudpulser vid
underljuds- och ¨
overljudshastighet. Visa f¨or ¨overljudsfallet att den s.k. Machkonens (halva) vinkel
¨ar µ = sin−1 (1/M ).
Se Fig. 9.4. Om partikelns hastighet a
agre a
¨r l¨
¨n ljudets kommer partikeln aldrig ifatt sina egna
ljudpulser (v¨
anster i figuren). Om partikeln r¨
or sig med ¨
overljudshastighet kommer den att ˚
aka
ifatt och f¨
orbi sina ljudpulser. Betrakta partikeln under viss tidsrymd δt. Str¨
ackan som partikeln
f¨
ardats ¨
ar V δt; samtidigt har ljudpulsen utbrett sig radiellt ut˚
at med ljudhastigheten, radie a δt.
Med hypotenusa V δt och motst˚
aende katet a δt f˚
as (halva) konvinkeln µ = sin−1 (a δt/V δt) =
sin−1 (1/M ).
9.2 (a) Beskriv geometriskt oml¨
ankningen som sker vid en sned st¨ot. Markera speciellt st¨otvinkel β
och oml¨ankningsvinkel θ.
Se Fig. 9.8.
(b) Skissera sambandet mellan oml¨ankningsvinkel och st¨otvinkel i ett diagram med Machtalet
M1 som parameter (perfekt gas). Markera omr˚
aden f¨or rak st¨ot, svaga och starka st¨otar samt
Machv˚
agor. Hur p˚
averkar Machtalet M1 maximal oml¨ankningsvinkel? Markera ¨aven linjen d¨
ar
M2 = 1.
Se Fig. 9.9. Machv˚
agor representeras av sk¨
arningspunkterna med θ = 0 (ingen oml¨
ankning, β =
µ = Machvinkel). Linjen som motsvarar maximal oml¨
ankningsvinkel θ f¨
or olika M1 a
¨r skiljelinje
mellan starka och svaga st¨
ota, svaga med l¨
agre st¨
otvinkel β j¨
amf¨
ort med vid maximalt θ. Linjen
d¨
ar M2 = 1 ligger i n¨
ara anslutning till skiljelinjen mellan starka och svaga st¨
otar, f¨
orskjuten mot
l¨
agre st¨
otvinklar. Maximal oml¨
ankningsvinkel θmax ¨
okar med ¨
okande M1 , dock inneb¨
ar M1 → ∞
16
ett begr¨
ansat v¨
arde p˚
a θmax (f¨
or γ = 1.4 ¨
ar θmax < 46◦ ). Den raka st¨
oten motsvarar punkten med
◦
θ = 0 , β = 90 ; alla linjer str˚
alar samman i denna punkt.
9.3 Illustrera tv˚
a olika fall av st¨
otformation kring nosen p˚
a en kilformad (bred) kropp vid supersonisk
anstr¨omning.
Se Fig. 9.10 (¨
ovre delen), anliggande sned st¨
ot till v¨
anster (θ < θmax ), frilagd kr¨
okt (b¨
ojd) st¨
ot
till h¨
oger (θ > θmax ); θmax ¨
okar med ¨
okande Machtal, fast begr¨
ansad d˚
a M → ∞.
9.4 Betrakta en vingformad bred kropp med trubbig framkant. Illustrera str¨omningsbilden i omr˚
adet
kring framkanten vid supersonisk anstr¨omning. Markera speciellt omr˚
aden med M < 1 och M > 1,
samt vilka delar av st¨
otfronten d¨
ar st¨otformeringen ¨ar av den starka typen.
Se Fig. 9.23. Gr¨
ansen mellan stark och svag st¨
ot ligger strax innanf¨
or linjen som markerar M = 1
(punkt c); rak (och stark) st¨
ot i punkt a.
9.5 Under vilka omst¨
andigheter upptr¨ader s.k. expansionsfanor kring en anstr¨ommad kropp? Givet
hur stor oml¨
ankning som sker ¨
over fanan och Machtalet uppstr¨oms, hur kan d˚
a Machtalet efter en
expansionsfana enkelt best¨
ammas via Prandtl-Meyers funktion? Hur f¨or¨andras det statiska trycket
ankningen?
¨over oml¨
Se Fig. 9.26. Expansionsfanor upptr¨
ader vid supersonisk str¨
omning, vid oml¨
ankningar som inneb¨
ar expansion fr˚
an utg˚
angsriktningen. Oml¨
ankningen sker gradvis och eftersom varje liten expansion (med tillh¨
orande uts¨
and Machv˚
ag) kan s¨
agas ske isentropt kan hela oml¨
ankningen (expansionsfanan) ocks˚
a betraktas som isentrop. Skillnaden i Prandtl-Meyers funktion g¨
allande Machtal
efter och f¨
ore fanan ¨
ar d˚
a lika med oml¨
ankningsvinkeln, θ = ν(M2 ) − ν(M1 ). Under givna f¨
oruts¨
attningar kan d¨
arf¨
or M2 ber¨
aknas. Statiska trycket minskar o
ver
fanan
(expansion).
¨
Kapitel 10 — Kompressibel str¨
omning i munstycken och diffusorer
10.1 Betrakta isentrop station¨
ar str¨
omning av en perfekt gas genom ett munstycke. Variationer ¨
over
tv¨arsnitt kan f¨
orsummas, liksom effekter av gravitation.
(a) Anv¨and massbalans, definition av ljudhastighet, samt Bernoullis ekvation p˚
a differentiell form,
dp + ρu du = 0, f¨
or att visa f¨
oljande samband:
du
dA
= (M 2 − 1)
A
u
d¨ar A(x) a
arsnittsarea och u(x) lokal hastighet.
¨r lokal tv¨
Massbalans vid station¨
ara f¨
orh˚
allanden, m
˙ = ρuA = konst., vilket differentierat inneb¨
ar dρ/ρ +
du/u + dA/A = 0. Med 1/ρ = −u(du/dp) fr˚
an Bernoullis ekvation f˚
as
h
i
1 − u2 /(dp/dρ) (du/u) + dA/A = 0
Vid isentropa f¨
orh˚
allanden ¨
ar dp/dρ = a2 , d¨
ar a = ljudhastighet. Med M = u/a f˚
as det s¨
okta
sambandet.
(b) F¨orklara m.h.a. ekv. ovan hur ¨
overljudshastighet kan ˚
astadkommas i ett Lavalmunstycke.
Eftersom den relativa hastighetsf¨
or¨
andringen du/u m˚
aste vara ¨
andlig visar ekvationen att ljudhastighet M = 1 enbart kan ske d¨
ar dA/A = 0, d.v.s. i en minsta eller en st¨
orsta sektion. Om
o
verljudshastighet
M
>
1
ska
˚
astadkommas
fr˚
an
stillast˚
aende
m˚
aste
f¨
o
rst
str¨
o
mningen
accelereras
¨
subsoniskt (M < 1) genom en konvergerande del (dA/A < 0), n˚
a M = 1 i en minsta sektion, f¨
or
att sedan accelereras ytterligare supersoniskt (M > 1) i en efterf¨
oljande divergent del (dA/A > 0),
d.v.s. genom ett Lavalmunstycke, se Fig. 10.10.
10.2 Ett Lavalmunstycke ¨
ar ansluten till en stor beh˚
allare med konstant tryck pr . Trycket utanf¨
or beh˚
allaren (mottrycket) ¨
ar pB (< pr ), det str¨ommande mediet ¨ar en perfekt gas. Str¨omningen kan
betraktas som endimensionell, adiabatisk och friktionsfri.
17
(a) Skissera tryckvariationen genom munstycket (samt strax utanf¨or densamma) vid olika tryckf¨orh˚
allanden pB /pr . Markera speciellt var st¨otar resp. expansionsv˚
agor kan t¨ankas upptr¨ada.
Se Fig. 10.13/15/16. Se ¨
aven f¨
orel¨
asningsmaterial.
(b) Hur varierar massfl¨
odet med tryckf¨orh˚
allandet?
Se Fig. 10.14. Vid isentropa f¨
orh˚
allanden ¨
ar pr = p0 . Om pr = p0 ¨
ar konstant och pB t¨
anks s¨
ankt
fr˚
an pB = pr kommer massfl¨
odet vid subsoniska f¨
orh˚
allanden genom munstycket att successivt ¨
oka,
liksom Machtalet i minsta sektion. Till slut n˚
as M = 1 i minsta sektion och ytterligare s¨
ankning av
pB kan d˚
a inte p˚
averka tillst˚
andet i denna sektion eller uppstr¨
oms densamma; massfl¨
odet f¨
orblir
konstant (strypt str¨
omning). Precis n¨
ar M = 1 n˚
as i minsta sektion ¨
okar trycket i den divergerande
delen (samtidigt som Machtalet minskar). Tryckf¨
orh˚
allandet pB /pr n¨
ar detta sker a
aledes h¨
ogre
¨r s˚
∗
an det kritiska, p /p0 (som f¨
or γ = 1.4 ¨
ar ca. 0.53).
¨
10.3 Vad a¨r en diffusors huvudsakliga uppgift? Illustrera utseendet p˚
a en ideal resp. en verklig supersonisk diffusor. Markera eventuell v˚
agbildning.
En diffusors huvudsakliga uppgift ¨
ar att minska hastigheten p˚
a inkommande fl¨
ode med s˚
a l˚
aga
f¨
orluster som m¨
ojligt, d.v.s. utan att tappa s˚
a mycket i stagnationstryck. I en supersonisk diffusor
minskas hastigheten fr˚
an M1 > 1 till M2 < 1. En ideal (isentrop) supersonisk diffusor ¨
ar utformad
som ett Lavalmunstycke, se Fig. 10.17a, d¨
ar M = 1 m˚
aste uppn˚
as i minsta sektion utan st¨
otformation (f¨
or att uppr¨
atth˚
alla isentropa f¨
orh˚
allanden) och slutligen erh˚
alla M2 < 1. Detta g˚
ar
inte att ˚
astadkomma praktiskt, st¨
otformation g˚
ar inte att undvika, ¨
aven visk¨
osa effekter kommer
att inverka. En verklig supersonisk diffusor har en utstr¨
ackt minsta sektion, i ¨
ovrigt ganska likt
ett Lavalmunstycke fast med plana v¨
aggar i fr¨
amst den konvergerande delen, se Fig. 10.17b. Den
konvergerande delen utformas s˚
a att de sneda st¨
otar som upptr¨
ader h¨
ar a
a mycket
¨r svaga och s˚
som m¨
ojligt reflekteras in i sektionen med konstant area. P˚
a s˚
a s¨
att kan ¨
overg˚
angen fr˚
an M > 1
till M < 1 ske via en rak st¨
ot vid relativt l˚
agt Machtal, vilket minimerar f¨
orlusterna.
Kapitel 11 — Subsonisk kompressibel str¨
omning ¨
over vingprofiler
11.1 (a) Visa att tryckkoefficienten Cp kan skrivas
Cp =
2
2
γM∞
p
−1
p∞
2 /2. Ideal gas: ρ
Enligt definition: Cp = (p − p∞ )/q∞ , d¨
ar q∞ = ρ∞ V∞
∞ = p∞ /(RT∞ ), vilket ger
2
2
as sambandet.
Cp = 2(p/p∞ − 1)RT∞ /V∞ . Med a∞ = γRT∞ och M∞ = V∞ /a∞ f˚
(b) Prandtl-Glauerts korrektion:
Cp,0
Cp = p
2
1 − M∞
Vad st˚
ar Cp,0 f¨
or och under vilka f¨
oruts¨attningar g¨aller korrektionen?
Cp,0 st˚
ar f¨
or yttryckkoefficienten i en punkt p˚
a en omstr¨
ommad kropp vid strikt inkompressibla
f¨
orh˚
allanden, M∞ → 0. Korrektionen (eller regeln) g¨
aller vid subsonisk isentrop gasstr¨
omning
med sm˚
a hastighetsst¨
orningar j¨
amf¨
ort med fristr¨
ommmen (vid M∞ ), ex. subsonisk luftstr¨
omning
kring tunna vingprofiler.
11.2 (a) Vad menas med kritiskt Machtal (Mcr ) f¨or en vingprofil? Illustrera schematiskt i figur. Hur
inverkar profilens tjocklek?
Kritiskt Machtal f¨
or en vingprofil a
ommas vid, d˚
a det strax
¨r det Machtal M∞ som profilen anstr¨
ovanf¨
or en enda punkt p˚
a ytan g¨
aller att hastigheten ¨
ar lika med lokal ljudhastighet, lokalt Machtal
lika med ett; upptr¨
ader normalt sett n¨
ara framkanten p˚
a profilens ¨
oversida, se Fig. 11.5. Minskad
tjocklek leder till h¨
ogre Mcr (vid motsvarande lyftkraftskoefficient).
(b) Skissera hur en profilmotst˚
andskoefficienten cd varierar med Machtalet f¨or en vingprofil (M ≈
0 − 1.2). Vad avses med Mdrag−divergence ?
18
Se Fig. 11.11. Mdrag−divergence a
ogre a
ar cd vid
¨r det Machtal, alltid h¨
¨n kritiskt Machtal Mcr , d¨
ytterligare ¨
okat Machtal ¨
okar kraftigt, beroende p˚
a¨
okad och kraftigare st¨
otformation.
(c) Varf¨or ¨
ar svepta (tunna) vingar att f¨oredra vid h¨oga subsoniska hastigheter?
En svept vinge (oftast bak˚
at, se Fig. 11.15) ¨
okar vingens kritiska Machtal. Svepningen (vinklingen)
inneb¨
ar att str¨
omningen ¨
over vingen i planets l¨
angdriktning effektivt sett blir ¨
over en tunnare vinge
an den faktiska, se Fig. 11.14. Eftersom en tunnare profil ¨
okar det kritiska Machtalet ¨
ar d¨
arf¨
or
¨
svepta vingar att f¨
oredra om planet ¨
ar t¨
ankt att anv¨
andas vid s˚
a h¨
oga subsoniska hastigheter som
m¨
ojligt med bibeh˚
allen l˚
ag motst˚
andskoefficient.
Kapitel 12 — Supersonisk kompressibel str¨
omning ¨
over vingprofiler (linj¨
ar teori)
12.1 Vid tillr¨
ackligt sm˚
a oml¨
ankningar θ och supersonisk tv˚
adimensionell str¨omning vid M∞ g¨
aller:
2θ
Cp = p 2
M∞ − 1
H¨arled h¨
arur approximativa uttryck p˚
a cℓ och cd f¨or en tunn vingprofil vid sm˚
a anfallsvinklar α
och supersonisk str¨
omning med Machtalet M∞ .
Approximera profilen med en tunn platta, Fig. 12.4. Vid plattans undre framkant st˚
ar en sned st¨
ot,
oml¨
ankning θℓ = α (kompression, trycket ¨
okar); vid den ¨
ovre en expansionsfana, oml¨
ankning θu =
−α (expansion, trycket minskar); konstant tryck p˚
a resp. under- och o
¨versida. Tryckskillnaden
mellan under- och ¨
oversida multiplicerat med plattans korda, (pℓ − pu )c = (Cp,ℓ − Cp,u )c q∞ , ¨
ar
lika med aerodynamisk kraft per breddenhet vinkelr¨
att mot plattan, N ′ . Via N ′ = cn c q∞ f˚
as
4α
cn = Cp,ℓ − Cp,u = p 2
M∞ − 1
Ytfriktion f¨
orsummas och utan resulterande tryckkraft l¨
angs plattan (t/c → 0) g¨
aller d˚
a cℓ =
cn cos α och cd = cn sin α, som vid sm˚
a vinklar inneb¨
ar cℓ = cn , cd = cn α, d.v.s.
4α
4α2
cℓ = p 2
, cd = p 2
M∞ − 1
M∞ − 1
Kapitel 15 — Visk¨
os str¨
omning, grundl¨
aggande principer, m.m.
15.1 (a) Illustrera schematiskt str¨
omningen kring en vingprofil d¨ar det sker avl¨osning p˚
a profilens
ovansida. Illustrera speciellt hastighetsprofilers schematiska utseende n¨ara ytan, uppstr¨oms samt
precis vid avl¨
osning.
Se Fig. 15.2.
(b) Kan avl¨
osning ske i omr˚
aden d¨ar trycket minskar i str¨omningsriktningen? Varf¨or?
Nej, endast om trycket ¨
okar, dp/ds > 0. Trycket ¨
ar konstant genom ett gr¨
ansskikt och tryckgradienten dp/ds a
r
proportionell
mot
hastighetsprofilens
kurvatur
(kr¨
o
kning)
vid
v¨
aggen, dp/ds ∝
¨
2
2
(∂ u/∂n )w . Om dp/ds < 0 finns d¨
arf¨
or ingen tendens till att hastigheten ska minska alldeles
invid v¨
aggen och d¨
arf¨
or ingen risk f¨
or avl¨
osning.
(c) Illustrera schematiskt tryckf¨
ordelningen p˚
a ovansidan av en vingprofil, dels f¨or ett fall med
avl¨osning, dels utan avl¨
osning. F¨
oruts¨att h¨ogt Reynolds tal (tunna gr¨ansskikt). Vad ¨ar det f¨
or
hastighet (grovt sett) som best¨
ammer tryckniv˚
an i det avl¨osta omr˚
adet?
Se Fig. 15.4. Hastigheten kring (precis innan) avl¨
osning avg¨
or tryckniv˚
an i det avl¨
osta omr˚
adet
(vaken); innan avl¨
osning ligger str¨
omningen an mot ytan (gr¨
ansskikt) och trycket a
r
d˚
a
direkt
¨
relaterat till hastigheten via Bernoullis ekvation, ¨
okad hastighet ger l¨
agre tryck.
15.2 (a) Varf¨
or kan ett turbulent gr¨
ansskikt s¨agas vara mer resistent mot avl¨osning gentemot ett lamin¨art gr¨ansskikt?
Vid motsvarande tryckgradient f˚
as h¨
ogre hastighet alldeles invid v¨
aggen om gr¨
ansskiktet ¨
ar turbulent (Fig. 15.6), vilket sker p.g.a. ett h¨
ogre impulsutbyte via turbulenta hastighetsfluktuationer.
19
Det turbulenta gr¨
ansskiktet kan d¨
arf¨
or uts¨
attas f¨
or en h¨
ogre positiv tryckgradient, st¨
orre hastighetsminskning utanf¨
or gr¨
ansskiktet, innan avl¨
osning sker; det turbulenta gr¨
ansskiktet kan s¨
agas ha en
st¨
orre vidh¨
aftningsf¨
orm˚
aga (j¨
amf¨
ort med ett lamin¨
art d:o).
(b) Ange fyra faktorer som har betydelse f¨or var omslag fr˚
an lamin¨art till turbulent gr¨
ansskikt
sker f¨or en omstr¨
ommad kropp. Diskutera kortfattat hur dessa faktorer inverkar.
¨
Ytr˚
ahet, fristr¨
omsturbulens, yttryckgradient, v¨
armeutbyte. Okad
ytr˚
ahet liksom ¨
okad fristr¨
omsturbulens destabiliserar d.v.s. ger tidigare omslag till turbulent gr¨
ansskikt, detta p.g.a. ¨
okade st¨
orningar som skyndar p˚
a omslagsprocessen. Acceleration, d.v.s. negativ tryckgradient, stabiliserar;
omv¨
ant vid deceleration, positiv tryckgradient (adverse pressure gradient). Uppv¨
armning av fluiden
n¨
ara v¨
aggen destabiliserar; omv¨
ant vid kylning.
15.3 (a) Illustrera τ11 , τ22 , τ12 och τ21 i en figur; τij ¨ar den visk¨osa sp¨anningstensorn, τ12 = τxy , o.s.v.
Se Fig. 15.10. τij ¨
ar den visk¨
osa sp¨
anningen (visk¨
osa kraften per areaenhet) som verkar i planet
i = konst. och ligger i j-riktningen. T. ex. s˚
a¨
ar τ12 = τxy den visk¨
osa sp¨
anningen som verkar i
planet x = konst. och ligger i y-riktningen. Sp¨
anningar med i = j kallas normalsp¨
anningar, ¨
ovriga
ar skjuvsp¨
anningar.
¨
(b) Om fluiden inte uppvisar n˚
agra lokala pol¨ara moment, vilken symmetriegenskap har d˚
a τij ?
D˚
a ett fluidelement ¨
ar momentfritt g¨
aller τji = τij , ex. τyx = τxy .
(c) Definiera τxy i Cartesiska koordinater f¨or en Newtonsk fluid.
τxy = τyx = µ(∂u/∂y + ∂v/∂x), d¨
ar µ ¨
ar dynamisk viskositet.
15.4 Prandtls tal Pr ¨
ar en parameter av betydelse vid str¨omning som involverar temperaturvariationer
(d¨ar temperaturf¨
altet har betydelse f¨or str¨omningsf¨altet). Definiera Pr samt ange i ord den kvot
som Prandtls tal ¨
ar ett m˚
att p˚
a.
Pr = µcp /k, d¨
ar k a
armekonduktivitet. I str¨
omnings- och temperaturf¨
alt a
¨r fluidens v¨
¨r Prandtls
tal ett m˚
att p˚
a f¨
orh˚
allandet mellan visk¨
os energidissipation och energiutbyte via v¨
armeledning; kan
ocks˚
a uttryckas som att det ¨
ar ett m˚
att p˚
a f¨
orh˚
allandet mellan visk¨
os och termisk diffusionshastighet
(Pr = ν/α, d¨
ar α = k/(ρcp ) ¨
ar termisk diffusivitet, ν = µ/ρ). [Oljor har mycket h¨
oga Pr, flytande
metaller mycket l˚
aga; f¨
or gaser ¨
ar Pr ≈ 0.7.]
Kapitel 17 — Gr¨
ansskikt, inledning
17.1 (a) F¨or luft g¨
aller att Prandtls tal (Pr) ¨ar relativt konstant oberoende av temperatur (och tryck),
Prluft ≈ 0.7. Vad inneb¨
ar detta f¨
or temperaturgr¨ansskiktets tjocklek δT j¨amf¨ort med dess hastighetsmotsvarighet δ? (Tw 6= T∞ )
Om Pr < 1 ¨
ar δT > δ, se t.ex. Fig. 17.3. [Termisk diffusion sker d˚
a med h¨
ogre hastighet j¨
amf¨
ort
med visk¨
os diffusion (molelyl¨
art impulsutbyte).]
(b) Beskriv i ord vad som avses med f¨ortr¨angningstjocklek δ∗ , speciellt dess fysikaliska tolkning.
Best¨am via massbalans ett uttryck f¨or δ∗ vid inkompressibel str¨omning.
att p˚
a hur mycket gr¨
ansskiktet tr¨
anger ut str¨
omlinjer fr˚
an v¨
aggen,
F¨
ortr¨
angningstjocklek δ∗ a
¨r ett m˚
∗
j¨
amf¨
ort med utan gr¨
ansskikt, se Fig. 17.5. H¨
arledning av δ vid kompressibla f¨
orh˚
allanden, ekv.
(17.9), finns beskrivet i Ch. 17.2; vid inkompressibla f¨
orh˚
allanden ¨
ar ρe = ρ = konst..
(c) Beskriv i ord vad som avses med impulsf¨orlusttjocklek θ, speciellt dess fysikaliska tolkning.
Impulsf¨
orlusttjocklek θ ¨
ar ett m˚
att p˚
a den impulsf¨
orlust som gr¨
ansskiktet inneb¨
ar vid str¨
omning
2
over en fast yta; impulsf¨
orlust per breddenhet ρue θ, d¨
ar ue ¨
ar ost¨
ord hastighet utanf¨
or gr¨
ansskiktet.
¨
17.2 F¨or ett tv˚
adimensionellt gr¨
ansskikt vid inkompressibel station¨ar str¨omning kan r¨orelseekvationerna f¨orenklas kraftigt genom storleksuppskattningar. Genomf¨or detta och visa s¨arskilt vad som
g¨aller f¨or tryckf¨
altet. R¨
orelseekvationer vid f¨orsumbara effekter av gravitation:
∂u ∂v
+
∂x ∂y
= 0
20
∂u
∂u
+v
u
∂x
∂y
∂v
∂v
u
+v
∂x
∂y
−1 ∂p
= −ρ
∂x
−1 ∂p
= −ρ
∂y
+ν
∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y
!
+ν
∂2v
∂2v
+
∂x2 ∂y 2
!
Gr¨ansskiktstjockleken δ ¨
ar mycket mindre ¨an karakteristisk kroppsdimension c och ev. kr¨
okningsradie p˚
a kroppsytan; karakteristisk hastighet p˚
a stora avst˚
and V∞ ; Reynolds tal Re = V∞ c/ν f˚
ar
antas mycket h¨
ogt.
Dimensionsl¨
osa storheter, inkl. inledande storleksuppskattningar: x
ˆ = x/c ∼ 1, yˆ = y/c ∼ δ/c =
2 ) = C /2; dimensionsl¨
δˆ ≪ 1, u
ˆ = u/V∞ ∼ 1, vˆ = v/V∞ , pˆ = (p − p∞ )/(ρV∞
osa ekvationer:
p
v
∂u
ˆ ∂ˆ
+
= 0
∂x
ˆ ∂ yˆ
∂u
ˆ
∂u
ˆ
∂ pˆ
u
ˆ
+ vˆ
= −
+ Re−1
∂x
ˆ
∂ yˆ
∂x
ˆ
ˆ
∂2u
ˆ ∂2u
+ 2
2
∂x
ˆ
∂ yˆ
!
∂ˆ
v
∂ pˆ
∂ˆ
v
+ vˆ
= −
+ Re−1
u
ˆ
∂x
ˆ
∂ yˆ
∂ yˆ
∂ 2 vˆ ∂ 2 vˆ
+
∂x
ˆ2 ∂ yˆ2
!
Alla derivator m.a.p. x
ˆ¨
ar ∼ 1, speciellt ∂ u
ˆ/∂ x
ˆ ∼ 1 i kontinuitetsekvationen visar att ∂ˆ
v /∂ yˆ ∼ 1,
ˆ samt ∂ˆ
annars orimliga l¨
osningar. yˆ ∼ δˆ inneb¨
ar d˚
a att vˆ ∼ δ,
v /∂ yˆ ∼ 1 och ∂ 2 vˆ/∂ yˆ2 ∼ δˆ−1 . I b˚
ade
2
2
2
andra och tredje ekvationen kan nu f¨
orsta termen inom parentes strykas, ex. ∂ u
ˆ/∂ x
ˆ ≪∂ u
ˆ/∂ yˆ2 .
I b˚
ade andra och tredje ekvationen m˚
aste alla huvudtermer finnas kvar, tr¨
oghetstermer (v¨
ansterled), tryckterm och kvarvarande visk¨
os term. Dessa m˚
aste d˚
a vara av samma storkleksordning.
Tr¨
oghetstermerna i andra ekvationen ¨
ar ∼ 1, d.v.s. ∂ pˆ/∂ x
ˆ ∼ 1, samt Re−1 ∂ 2 u
ˆ/∂ yˆ2 ∼ 1, d.v.s.
−2
ˆ vilket inneb¨
Re ∼ δˆ ≫ 1. Tr¨
oghetstermerna i tredje ekvationen ¨
ar ∼ δ,
ar ∂ pˆ/∂ yˆ ≪ ∂ pˆ/∂ x
ˆ,
d.v.s. trycket ¨
ar oberoende av y. Eftersom endast termer som ¨
ar ∼ 1 beh¨
over beaktas kan tredje
ekvationen nu strykas. I dimensionsform blir slutresultatet
∂u ∂v
+
∂x ∂y
∂u
∂u
u
+v
∂x
∂y
= 0
= −ρ−1
dp
∂2u
+ν 2
dx
∂y
Kapitel 18 — Lamin¨
ara gr¨
ansskikt
18.1 Betrakta ett lamin¨
art gr¨
ansskikt ¨
over en plan (bred) platta utan tryckgradient.
√
(a) Den lokala friktionskoefficienten kan skrivas: cf = 0.664/ Rex , d¨ar Rex = V∞ x/ν. Best¨
am
plattans motst˚
andskoefficient (f¨
or en sida) om plattans l¨angd ¨ar c.
p
Rc
R
√
2 /2 ⇒ D /b = 0.664 q
Df = 0c τw b dx, τw = cf q∞ , d¨
ar q∞ = ρV∞
∞ ν/V∞ 0 dx/ x.
f
√
p
Rc
√
√
ar Re = V∞ c/ν.
0 dx/ x = 2 c ⇒ Df /b = 0.664 q∞ 2 νc/V
√ ∞ , d.v.s. Df /b = 1.328 q∞ c/ Re, d¨
Eftersom Df /b = Cf q∞ c f˚
as Cf = 1.328/ Re.
(b) Ange utan bevis ett uttryck p˚
a gr¨ansskiktstjockleken δ ur Blasius l¨osning. Ordningsm¨
assigt
avseende storlek, hur f¨
orh˚
aller sig δ∗ , θ, och δ?
√
√
Blasius l¨
osning ger δ = δ99 = 4.92x/ Rex ≃ 5x/ Rex , d¨
ar Rex = ρV∞ x/µ = V∞ x/ν; θ < δ∗ < δ.
18.2 Generellt sett och vid samma Rex f¨or en plan platta, hur inverkar Machtalet M∞ p˚
a gr¨ansskiktstjockleken δ resp. motst˚
andskoefficienten p.g.a. v¨aggfriktion Cf ?
Se Fig. 18.8 och Fig. 18.9 (lamin¨
art gr¨
ansskikt). J¨
amf¨
ort med Blasius l¨
osning (M∞ → 0) minskar
Cf med ¨
okande M∞ ; δ ¨
okar (vid motsvarande position l¨
angs plattan).
21
Kapitel 19 — Turbulenta gr¨
ansskikt
19.1 Illustrera schematiskt hur Machtal M∞ och Reynolds tal Re∞ inverkar p˚
a motst˚
andskoefficienten
Cf f¨or en tangentiellt anstr¨
ommad adiabatisk, plan och sl¨at platta.
Se Fig. 19.1. F¨
or lamin¨
art gr¨
ansskikt och M∞ → 0 g¨
aller Cf ∝ (Re∞ )−0.5 ; f¨
or motsvarande
−0.2
turbulent gr¨
ansskikt, Cf ∝ (Re∞ )
; med ¨
okande M∞ och konstant Re∞ minskar Cf .
19.2 Ange fem karakteristiska egenskaper f¨or fullt utvecklad turbulent str¨omning.
Se kompletterat material. Turbulens (fullt utvecklad turbulent str¨
omning) karakteriseras av (1)
oregelbundenhet och slumpm¨
assighet, (2) h¨
og diffusivitet/spridningsf¨
orm˚
aga, (3) h¨
oga Reynolds
tal, (4) kraftig dissipation (stora f¨
orluster), (5) tredimensionella fluktuationer i vorticitet.
25 februari 2014, Christoffer Norberg, tel. 046-2228606
22