Transcript SI: Diskret Matematik

Pass 2: Relationer
SI: Diskret Matematik
Oscar & Jennifer
1. Lite repetition
Bevisa följande lagar i satslogik:
(a) A → B ⇔ ¬A ∨ B
Använd sanningstabell.
(b) A → B ⇔ ¬B → ¬A
Använd sanningstabell.
2. Lite uppvärmning
Följande relation är definerad på mängden {a, b, c, d, e}:
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (d, e), (e, d)}
(a) Är relationen reflexiv?
Ja.
(b) Är relationen symmetrisk?
Ja.
(c) Är relationen antisymmetrisk?
Nej.
(d) Är relationen transitiv?
Ja.
(e) Är relationen en ekvivalensrelation? Varför?
Ja, ty den är reflexiv, symmetrisk och transitiv.
Om så är fallet, vilka är ekvivalensklasserna?
{a,b,c},{d,e}
(f) Är relationen en partiell ordning? Varför?
Om så är fallet, vilka element är minimala/maximala?
Relationen är inte transitiv, ty den är inte antisymmetrisk.
3. Lite klurigare?
Låt A = {1, 2, 3, 4, 5} och låt R = {(1, 4), (2, 3)} vara en relation på A.
(a) Ange den minsta partiella ordningen P på A som innehåller R.
{(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(3,3),(4,3),(4,4),(5,5)}
(b) Ange den minsta ekvivalensrelationen E på A som innehåller R.
{(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(4,1),(4,3),(4,4),(5,5)}
4. Lite ekvivalensrelationer
Låt A = 1, 2, 3, 4 och låt R vara en delmängd till A × A sådan att (1, 2) ∈ R.
Vilka övriga element i A × A måste R innehålla för att vara en ekvivalensrelation?
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4) och (2,1)
5. Lite partiella ordningar
Låt S vara mängden av alla Chalmers studenter år 2011.
Låt A vara potensmängden av S.
(a) Visa att (A, ⊆) är en partiell ordning.
(b) Är det en total ordning?
(c) Vilka element är minimala, respektive maximala?
(d) Finns det något minst eller störst element?
[email protected]
1
http://nollk.it/si