Transcript Geometri

2
Geometri
Mål
När eleverna har studerat det här kapitlet ska de:
• förstå vad volym är för något
K
2
• kunna ge namn på och känna igen olika rymdgeometriska kroppar
såsom rätblock, kub, cylinder, prisma, klot, kon och pyramid
• kunna använda olika enheter för volym
• kunna räkna ut volymen för rätblock, cylinder, prisma, kon och pyramid
Ingressen
Resonera gärna kring vad som menas med olika dimensioner.
Många elever är bekanta med 3D-bilder, bilder som är konstruerade så att
man kan se ett djup i bilden. Dock kan inte alla se sådana bilder. Vissa
ögonfel kan göra att det inte är möjligt.
För att kunna se djupet i bilden på sidan 40 kan man göra så här:
Håll bilden alldeles intill näsan. Låt ögonen slappna av och stirra tomt ut i
luften som om du tittade på något på långt avstånd. Flytta bilden långsamt
bort från ansiktet, titta hela tiden som om bilden var på långt avstånd. När
bilden är på lagom avstånd dyker ”djupet” i bilden upp. Bilden visar en
kub och en pyramid.
De platonska kropparna är regelbundna polyedrar, kroppar där alla sidor
består av samma regelbundna månghörningar. De regelbundna polyedrarna symboliserade för pythagoreerna de fyra elementen, eld, luft, jord och
vatten. Dodekaedern var symbol för universum. De platonska kropparna
har fått sitt namn efter Platon. Platon (430–349 f.Kr) var en grekisk filosof
och lärjunge till Aristoteles. Han ansåg att de styrande skulle ägna sig åt
matematikstudier. Genom att lära sig att tänka logiskt skulle de bli bättre
ledare. Platon grundade en akademi som blev ett grekiskt matematikcentrum (387 f.Kr.–529 e.Kr.). Ovanför Platons Akademia stod skrivet:
”ΑΤΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ” Må ingen som är okunnig i geometri
här inträda (Olsson, Nedslag i matematikens värld).
Fotbollen är alltså inte en platonsk kropp eftersom den består av både sexhörningar och femhörningar.
Att man bara kan konstruera fem platonska kroppar hänger samman med
vinkelsumman som bildas då sidorna möts i kroppens hörn.
24
Kropp
Tetraeder
Sidor som möts i ett hörn
Tre liksidiga trianglar
Vinkelsumma
3 · 60° = 180°
Hexaeder
Tre kvadrater
3 · 90° = 270°
Oktaeder
Fyra liksidiga trianglar
4 · 60° = 240°
Geometri
Dodekaeder
Dodeka = 12
Ikosaeder
Ikosa = 20
OBS! I bokens
första upplaga,
1:a och 2:a
tryckningen
har dessa textrader kastats
om.
Dodekaeder
Tre femhörningar
3 · 108° = 324°
Ikosaeder
Fem liksidiga trianglar
5 · 60° = 300°
Om sex liksidiga trianglar möts blir vinkelsumman 360° och då bildas inget hörn
utan en plan yta. Samma sak inträffar när fyra kvadrater möts i ett hörn. Om
fyra femhörningar möts blir vinkelsumman 432° vilket t.o.m. är mer än 360° och
då bildas inget ”vanligt” hörn. Det blir hörn vänt åt fel håll (konkavt).
Går det att göra en platonsk kropp bestående av månghörningar med fler än
5 hörn? I en sexhörning är vinkelsumman 720° och varje hörn är 120°. Om tre
sexhörningar möts blir vinkelsumman 360° och då bildas inget hörn.
På Arbetsblad 2:1 finns ett klippark till de platonska kropparna. Förstora gärna
bilderna och låt eleverna färglägga, klippa ut och klistra ihop de olika platonska
kropparna. Låt eleverna hänga upp figurerna i klassrummet.
Grunddel
K
2
Sidorna 42–43. För de allra flesta elever är det första gången som de möter
begreppen rymdgeometri och kroppar (i ett matematiskt sammanhang…).
Avdramatisera dem genom att diskutera vad som menas med begreppen.
Gör gärna första uppgiften tillsammans. Låt eleverna komma med förslag på
andra förpackningar som passar in på de olika kropparna.
Uppgift 4 kan vara svår för många elever. Om man vill arbeta grundligt med
uppgiften kan eleverna rita figurerna, klippa ut dem och rent praktiskt testa
vilka som går att vika till en kub. På Arbetsblad 2:1 finns figurerna om eleverna
har svårt att rita dem korrekt. Där finns också några extra övningar.
I bokens första tryckning är bild E felritad. Ska se ut så här
Sidan 44. Vi börjar med de volymenheter som utgår från liter, enheter som eleverna redan bör kunna. Volymenheterna som utgår från kubikmeter är säkert
nya för de flesta av eleverna. Bygg gärna upp en kubikmeter, finns att köpa som
byggsats med rör som kanter, och visa en kubikdecimeter både som en modell i
form av en kub och som en liter mjölk. Alltså koppla det matematiska till det vardagliga. Visa också på en kubikcentimeter, t ex i form av centikuber. Centikuber
är mycket användbara och bör finnas på alla skolor. Byte av enheter spar vi till
s 48–49 då eleverna arbetat mer med volymbegreppet.
Sidan 45. Gå igenom hur man ritar ett rätblock så att ögat uppfattar det på ett
riktigt sätt. Lär dem utnyttja räknehäftets rutsystem. Det är viktigt att eleverna
får känna att de kan rita fina figurer!
Sidorna 46–47 visar på hur man räknar ut prismats volym, med början med specialfallet rätblock.
Sidorna 48–49. Byte av volymenheter brukar vara svårt. Lär eleverna att de själva
kan ta reda på hur man omvandlar mellan dm3 och cm3 genom att rita en kubikdecimeter, skriva måtten på sidorna både i decimeter och centimeter och räkna
ut volymen i dm3 och cm3. Naturligtvis måste de lära sig att 1 liter = 1 dm3 och
gärna att 1 ml = 1cm3 även om det går att härleda ur det första sambandet.
Uppgift 32 och 33 är markerade med stjärna, men kan gärna lyftas fram som
uppgifter som hela klassen gör tillsammans eller som gruppuppgift.
Sidorna 50–51. Cylinderns volym. Poängtera likheten mellan hur man räknar ut
prismats volym. Skillnaden är att cylinderns bottenyta är en cirkel.
Sidorna 52–53. Blandade övningar på volym, en del är riktigt svåra så alla elever
bör inte ha kravet på sig att göra alla uppgifter.
Sidan 54. Låt eleverna undersöka att det verkligen är tre gånger så stor volym i
en cylinder jämfört med en kon med lika stor bottenarea och höjd. Använd plastGeometri
25
modeller av de rymdgeometriska kropparna. Fyll en kon med t.ex. vatten, ris eller
popcorn och fråga eleverna hur många koner som behövs för att fylla cylindern.
Visa sedan att det behövs exakt tre stycken koner, vilket brukar förvåna många
elever. Gör likadant med pyramiden och kuben. Uppgift 57 är stjärnmarkerad
och är en riktig utmaning, nämligen att troliggöra att volymen av den lilla konen
endast är en åttondel av den stora. Bottenarean glas A = π r2, bottenarean glas
B = π(r/2)2= π r2/4. Volym glas A = x · π r2, volym glas B = x/2 · π r2/4= x · π r2/8.
Arbeta tillsammans
Sidan 55. Två uppgifter som båda handlar om A4-papper och volym. A-uppgiften
brukar ge eleverna en aha-upplevelse. De allra flesta brukar tycka att det är självklart att volymerna är lika stora innan de börjar räkna. Övningen ger också bra
repetition på cirkelns omkrets och area.
En fortsättning på B-uppgiften kan vara att låta eleverna göra ett diagram där
volymen är en funktion av lådans höjd. Första gången eleverna får se ett max-minproblem!
K
2
Facit till diagnosen
1 A klot
D prisma
2
B rätblock
C pyramid
E kon
F cylinder
a)
Arbetsblad 2:4
b)
3 a) 24 cm3
s 60
3
b) 125 dm
s 60
c) 1 125 m3 (1 177,5 m3)
s 62
d) 63 dm
3
Arbetsblad 2:4
4 a) 25 dm3
b) 2 000 dm3
c) 0,5 dm3
s 59
5 a) 2 000 cm3
b) 5 cm3
c) 3 000 cm3
s 59
6 3,6 liter
7 a) 576 cm3 (603 cm3)
s 59
b) 600 m3
8 16 hinkar
s 63
s 59, 60
Facit till kluringar
•
Klockaritmetik
•
Gropen
26
Lasse påstår… 1 + 12 = 1 om man räknar med klockaritmetik. Titta på klockan…
En grop innehåller ingen jord alls.
Geometri
•
Engelska kluringen
Susan ska hälla exakt 6 liter vatten i sin guldfiskskål. Hon har tre hinkar fyllda
med vatten. En innehåller 7 liter, en 5 liter och en 4 liter. Hur kan hon genom
att använda vattnet från dessa hinkar hälla exakt 6 liter i guldfiskskålen? Hon
har inga andra hinkar. Hon får inte fylla på hinkarna från en kran. Hon får inte
hälla bort något vatten.
Lösning:
Hon häller vattnet från 4-litershinken i skålen. Vattnet från 7-litershinken häller
hon i 4-litershinken. Då finns det 3 liter kvar i 7-litershinken. Hon häller vattnet
från 5-litershinken i 7-litershinken. Då blir det 1 liter kvar i 5-litershinken. Det
häller hon i skålen. Nu finns det 5 liter i skålen. Hon häller vatten från 7-litershinken i 5-litershinken och därefter vattnet från 5-litershinken i 4-litershinken.
Då blir det 1 liter kvar i 5-litershinken. Det vattnet tömmer hon i skålen som nu
har 6 liter!
K
2
Blå kurs
Enkla övningar på enhetsomvandlingar, beräkningar på volymer hos rätblock,
cylindrar, pyramider och koner. Låt gärna eleverna bygga olika rätblock med centikuber. Uppgiften kan t.ex. vara att göra tre olika rätblock som alla har volymen
12 cm3. Låt också elever, som har svårt med enhetsomvandlingarna, börja fylla en
kubikdecimeter med centikuber för att verkligen känna att det är många centikubiker som får plats. För en översikt av de rymdgeometriska kropparna hänvisar vi
till Grundkursen sidan 42, sammanfattningen sidan 72 eller Arbetsblad 2:4.
Röd kurs
Sidan 65. Eleverna ska på egen hand komma fram till vilket samband det finns
mellan längdskala, areaskala och volymskala. Lärarstöd kan behövas.
Sidorna 66–67. Att räkna ut begränsningsarean är repetition från röd kurs år 8.
När kropparna blir sammansatta behöver eleverna ha ordning på sina uträkningar för att lyckas nå fram till korrekt svar.
Sidorna 68–69. Klotets volym och area är nyheter för eleverna.
Sidorna 70–71. Pythagoras sats används för att räkna ut rymddiagonaler i rätblock
och höjder i koner och pyramider. Uppgift 34 är en verklig utmaning. Det blir
enklare om eleverna själva får tillverka de olika ”utvecklingarna” A–D av rummet.
Utmaning
Kantlängd
cm
0
2
0
3
Antal målade
sidoytor
1
2
3
Antal
småkuber
0
0
8
8
1
6
12
8
27
4
8
24
24
8
64
5
27
54
36
8
125
6
64
96
48
8
216
7
125
150
60
8
343
10
512
384
96
8
1 000
20
5 832
1 944
216
8
8 000
x
(x – 2) 3
6 · (x – 2) 3
12 · (x – 2)
8
x3
Geometri
27
Arbetsblad
Förteckning över arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken.
Namn
K
2
28
Sid
Nivå
2:1
Platonska kroppar
41
blå–grön–röd
2:2
Vika kuber
43
blå–grön
2:3
Repetition av area
2:4
Kropparnas namn och volym
46–47, 50, 54
blå
2:5
Kroppars volym
46–47, 50, 54
blå–grön
2:6
Enhetsbyten volym A
58
blå–grön
2:7
Enhetsbyten volym B
48, 59
blå–grön
2:8
Sammansatta volymer och begränsningsareor
66–69
röd
2:9
Gradera och avläs
50–51
röd
Geometri
blå–grön
Arbetsblad 2:1
De platonska kropparna
För att det ska vara lättare att klippa och klistra kan du förstora bilderna i
kopiatorn. Du kan också hitta kropparna i större storlek på cd:n. Filen heter
Platon.
Oktaeder
Hexaeder
K
2
Dodekaeder
Tetraeder
Ikosaaeder
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Geometri
29
Arbetsblad 2:2
Vika kuber
1
a) Figuren ska vikas till en kub.
Vilken av kuberna blir det?
b) Vilken av figurerna kan vikas till
den här kuben?
__________________
K
2
__________________
2
Klipp ut figurerna. Vik efter kanterna. Vilka av figurerna kan du vika till en kub?
B
A
C
D
E
__________________
30
Geometri
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 2:3
Repetition av area
Sidan 284
Räkna ut arean av figurerna. Använd π ≈ 3.
(cm)
1
(cm)
2
3
2,5
3
K
2
4
Arean: ________________________
3
(cm)
Arean: ________________________
4
(cm)
3
2,5
3
4
Arean: ________________________
5
(m)
Arean: ________________________
6
(m)
4
1
Arean: ________________________
2
7
Area: ________________________
8
2
3
1
2,5
1
4
Area: ________________________
9
(m)
(dm)
3
1,5
Area: ________________________
10
5
(dm)
(m)
▲
Area: ________________________
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
3
▲
▲
10
▲
2
5
Area: ________________________
Geometri
31
Arbetsblad 2:4
Kroppars namn och volym
Sätt namn på kropparna och räkna ut volymen.
1
Namn: _________________________
h = 4 dm
B = 16 dm2
h
B
Volym: _________________________
K
2
2
Namn: _________________________
h = 2,5 dm
B = 12 dm2
h
B
Volym: _________________________
3
Namn: _________________________
h = 6 cm
B = 25 cm2
h
B
Volym: _________________________
4
Namn: _________________________
h = 5 cm
h
Volym: _________________________
5
B = 30 cm2
B
Namn: _________________________
h=3m
h
Volym: _________________________
6
B = 15 m2
B
Namn: _________________________
h = 9 dm
h
Volym: _________________________
32
Geometri
B = 50 dm2
B
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 2:5
Kroppars volym
(m)
1
(m)
2
3
2,5
3
3
3
4
Volym: _______________________
3
K
2
Volym: _______________________
(dm)
4
(dm)
3
5
4
3
6
4
Volym: _______________________
5
(cm)
Volym: _______________________
6
(cm)
20
15
12
8
Volym: _______________________
7
(cm)
10
Volym: _______________________
8
(cm)
6
6
5
5
Volym: _______________________
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Volym: _______________________
Geometri
33
Arbetsblad 2:6
Enhetsomvandlingar volym A
1
Skriv som liter
_________ liter
K
2
2
= _______ liter
=_______ liter
9 ml
= _______ liter
3,5 dl = _______ liter
15 cl
= _______ liter
50 ml
= _______ liter
18 dl = _______ liter
240 cl = _______ liter
125 ml = _______ liter
12 dl = _______ cl
250 ml = _______ cl
0,5 liter = _______ cl
8 dl
60 ml = _______ cl
0,01 liter = _______ cl
0,5 dl = _______ cl
5 ml
8 dl
25 cl = _______ ml
Skriv som centiliter
= _______ cl
= _______ cl
= _______ cl
Skriv som milliliter
3 liter
34
_________ dl
8 cl
8 liter
5
_________ dl
Skriv som liter
2 dl
4
_________ liter
Skriv som deciliter
_________ dl
3
_________ liter
= _______ ml
= _______ ml
0,2 liter = _______ ml
0,4 dl = _______ ml
5 cl
0,05 liter = _______ ml
0,25 dl = _______ ml
0,5 cl = _______ ml
Geometri
= _______ ml
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 2:7
Enhetsbyten volym B
1
Skriv som kubikdecimeter.
2 000 cm3 = __________ dm3
3
3
V = 1 dm · 1 dm · 1 dm = 1 dm3
V = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1 000 cm3
1 dm 3 = 1 liter
5 000 cm = __________ dm
500 cm3
1 dm
10 cm
= __________ dm3
K
2
0,75 liter = __________ dm3
2,4 liter
= __________ dm3
1,25 liter = __________ dm3
2
1 dm
10 cm
Skriv som kubikcentimeter.
1 dm3
3
1 dm
10 cm
= __________ cm3
3 liter
= __________ cm3
2,5 dm3 = __________ cm3
3,25 liter = __________ cm3
0,4 dm3 = __________ cm3
0,2 liter = __________ cm3
Skriv som kubikcentimeter.
2 ml = __________ cm3
8 liter
= __________ cm3
5 ml = __________ cm3
1,5 liter = __________ cm3
25 ml = __________ cm3
0,3 liter = __________ cm3
1 m 3 = 1 000 dm 3 = 1 000 liter
4
Skriv som kubikdecimeter.
2 m3
5
= __________ dm3
4,6 m3 = __________ dm3
0,1 m3 = __________ dm3
3,75 m3 = __________ dm3
Skriv som kubikmeter.
8 000 dm3 = __________ m3
250 liter = __________ m3
240 dm3
25 liter = __________ m3
= __________ m3
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Geometri
35
Arbetsblad 2:8
Räkna i ditt
räknehäfte
Sammansatta volymer och begränsningsareor
Räkna ut kropparnas begränsningsarea och volym.
1
K
2
36
2
3
4
5
6
7
Geometri
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 2:9
Gradera och avläs
A
a) Gradera mätglaset och bägaren. Markera var
10:e milliliter. Använd π ≈ 3,14. Bilderna är i skala 1:1.
b) Hur mycket vatten är det i mätglaset? ______________
c) Hur mycket vatten är det i bägaren? _______________
K
2
150
50
100
40
50
30
B
Hur mycket olja finns det i tanken?
20
10
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Geometri
37