Transcript CHALMERS Hållfasthetslära F2 Tillämpad mekanik Något om

CHALMERS
Hållfasthetslära F2
Tillämpad mekanik
Något om spänningskoncentrationer i elasticitetsproblem
Vid lösning av elasticitetsekvationerna i 2– och 3–dimensionella problem uppkommer spänningskoncentrationer i ett antal olika situationer. Det kan vara svårt eller omöjligt att utforma en lastbärande komponent så att dessa helt undviks, men för konstruktörer och beräkningsingenjörer är
det av vikt att veta vad man ska vara uppmärksam på i sammanhanget. Om finit–elementmetod
används för att approximera lösningen till de styrande differentialekvationerna, är det t.ex nödvändigt att områden där spänningarna varierar snabbt delas in i (till storleken) små element om
man ska få någon nogrannhet i beräkningsresultaten. Som exempel kan nämnas att i de triangelformade element som används i pdetool (se inlämningsuppgift 3) är de beräknade spänningarna
konstanta i varje element; om spänningarna varierar snabbt går det då åt många element för att
få någon vidare upplösning.
Vi har redan sett ett exempel på där spänningaskoncentrationer uppträder: vid ett inåtvänt hörn i
en skiva. Förhöjda spänningar fås även kring håltagningar, så man bör försöka placera hålen i
områden där spänningar är små. Notera dock att inneslutningar och håligheter inte alltid är
avsiktliga: slagg, porer och annat främmande kan hamna i materialet under tillverkningsprocessen. Särskilt vid gjutning kan detta vara ett problem. I fallet med ett cirkulärt hål med radien a i
en mycket stor skiva som utsätts för en–axligt drag, finns en analytisk lösning:
σ0
σ
a 2
a 2
a 4
σ r = -----0  1 –  --- +  1 – 4  --- + 3  ---  cos 2θ
 r

 r
 r 

2
σ0
a 2
a 4
σ θ = -----  1 +  --- –  1 + 3  ---  cos 2θ






2
r
r 
τ rθ
r
θ
a
σr
σθ
–σ0
a 2
a 4
τ rθ = ---------  1 + 2  --- – 3  ---  sin 2θ
 r
 r 
2 
Spänningskoncentrationer kan också uppkomma
då randvillkor ändras abrupt. De två figurerna
till höger visar ett par sådana fall. Överst ser vi
skjuvspänningskoncentrationer i gränserna mellan en pålagd belastning och en fri obelastad rand
och i figuren därunder ses spänningskoncentrationer i områdena mellan en stel infästning och fria
ränder.
σy = –1
Skjuvspänningskoncentrationer
under en linjelast.
Som ett sista exempel tar vi fallet med ett inåtvänt skarpt hörn. I närheten av hörnet kommer
spänningarna att variera som r
π
 --- – 1
ω 
Skjuvspänningskoncentrationer i området mellan
en fast inspänning och fria ränder.
f ( θ ) , där
τ xy
( r, θ ) är ett polärt koordinatsystem med origo i
hörnet, ω är den inre öppningsvinkeln och f är en
1,5
‘snäll’ funktion. Man ser att då ω > π går spänningarna mot oändligheten då vi närmar oss hörnet ( r → 0 ). Ett sätt att undvika detta är att ge
hörnet en mjukare rundning, med krökningsradie
ρ ; ju större radien är, desto mindre blir spänningskoncentrationen.
σ0
ω
θ
r
pwm/maj 2014
CHALMERS
Hållfasthetslära F2
Tillämpad mekanik
För enaxligt drag/tryck, böjning och vridning, kan man i litteraturen och i lite mer omfattande formelsamlingar hitta lösningar som för olika geometrier och belastningar ger största spänning på
formen σ max = K t σ nom , där K t är den så kallade geometriska formfaktorn och σ nom är en nominell
spänning; K t kan t.ex avläsas grafiskt som funktion av geometrin och σ nom är definierad, varefter
maximal spänning kan beräknas (det framgår dock nästan aldrig var spänningen har sitt maximum). För den stora skivan med ett litet hål (se föregående sida) har vi t.ex K t = 3 , då skivan
utsätts för enaxligt drag med spänningen σ nom .
Ett exempel där en formelsamling och en FE–beräkning ger nära identiska resultat visas nedan.
En viss försiktighet är dock påkallad då dessa diagram används. Eftersom deras ursprung inte alltid är dokumenterade är det svårt att få en uppfattning om deras nogrannhet. Om vi t.ex använder 3500 element i FE–beräkningen fås K t ≈ 2,6 — det är nästan 15% högre än vad som anges av
den här använda formelsamlingen.
Största huvudspänningen
Adaptiv FEM–lösning med ca 1100 element
1
σ = --2
σ nom = 1
ρ = 0,1
B = 2
b = 1
σ max
K t = ----------- ≈ 2,3
σ nom
pwm/maj 2014