Transcript Föreläsning 7 - Laser Physics, KTH

Föreläsning Kvantfysik
Kvantmekanik, kvantfysik, kvantteori, är en övergripande teori inom den moderna
fysiken. Den formulerades under 1900-talets första hälft och är en framgångsrik
beskrivning av materiens och energins beteende i mikrokosmos. Kvantmekaniska effekter
märks oftast inte på makroskopisk nivå, men för att beskriva (energinivåerna hos) system
som atomer, metaller, molekyler och subatomära system är kvantmekaniken nödvändig.
Kvantmekaniken skiljer sig från den klassiska mekaniken på några avgörande punkter.
Den viktigaste är att dess förutsägelser är statistiska, i meningen att man inte kan
förutsäga vilket resultat en mätning kommer att ge, utan endast sannolikheterna för
möjliga utfall. Ett annat viktigt koncept är Heisenbergs osäkerhetsprincip, som säger att
man inte samtidigt kan bestämma en partikels läge och rörelsemängd med godtycklig
noggrannhet. Denna princip är relaterad till våg-partikeldualiteten, som säger att partiklar,
till exempel elektroner eller fotoner, i vissa situationer uppvisar partikelegenskaper och i
vissa situationer vågegenskaper. I kvantmekaniken ersätts begreppen våg och partikel
med den så kallade vågfunktionen, som innehåller all information om ett kvantmekaniskt
system.
Historik
Kring sekelskiftet 1900 uppenbarade sig allt fler brister i den dåvarande fysikens
beskrivning. Framförallt saknade man förståelse för följande experiment och iakttagelser:
1.
2.
3.
4.
Det elektromagnetiska spektrumet från en svartkropp
Brownsk rörelse
Den fotoelektriska effekten
Atomernas linjespektrum.
Max Plancks historiska hypotes (1900) om kvantiseringen av svartkroppsstrålning
betraktas av många som kvantmekanikens utgångspunkt och födelse. Albert Einsteins
teoretiska förklaring av den fotoelektriska effekten (1905), Niels Bohrs atommodell
(1913), och Louis de Broglies förslag att elektroner har vågegenskaper (1924) var
ytterligare viktiga steg. Den teoretiska grunden för kvantmekaniken utarbetades av
många fysiker, bland annat Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Niels
Bohr, Max Born, Louis de Broglie och Wolfgang Pauli.
Kvantmekanikens möjliga förklaringsmodeller
Kvantfysikens teori har sedermera utvecklats och kan förklara och kvantifiera effekter
som den klassiska fysiken inte tar hänsyn till:
•
Fysikaliska kvantiteter ("observabler") kan ibland endast anta vissa
diskreta värden när ett system begränsas, som till exempel den totala
36
•
•
energin av en atom. Energiändringar av dessa observabler kallas kvanta
(från lat. quantum, antal), därav namnet kvantmekanik.
Elektromagnetiska vågor visar under vissa förutsättningar
partikelegenskaper (fotoner) och materia har under vissa förutsättningar
vågkaraktär (se våg-partikeldualism).
Vissa par av observabler, till exempel en partikels position och hastighet
kan aldrig mätas samtidigt med godtycklig precision (Heisenbergs
obestämdhetsrelation).
Kvantmekanikens lagar och validitet är dock inte begränsade till mikroskopiska partiklar.
Man kan visa att den klassiska mekanikens lagar återvinns som ett asymptotiskt gränsfall
från kvantmekaniken (korrespondensprincipen). Dessutom uppträder makroskopiska
effekter till följd av en koherent superposition av partiklarnas vågfunktioner: supraledning, suprafluiditet och Bose-Einstein-kondensation.
Idag förekommer intensiv forskning för att framställa makroskopiska kvantsystem för att
bland annat utvidga den fundamentala förståelsen av kvantmekaniken.
Plancks förslag till kvantisering av det elektromagnetiska fältet
I sitt arbete med svartkroppsstrålning hade Max Planck år 1900 tagit fram en teori som
sade att strålning från en svartkropp utsänds av att laddningar vibrerar i kroppen med
diskreta energier (energier som bara kan anta vissa värden). Dessa oscillationer har
energier nε, där n≥0 är ett heltal och ε≠0. Hans experiment stämde när ε var proportionell
mot strålningens frekvens, f, vilket skrivs ε=hf. Plancks tolkning var alltså att strålningen
emitteras och absorberas i diskreta energisteg. Men detta är inte hela sanningen...
Einsteins tolkning
Albert Einstein var inte riktigt tillfreds med Plancks beskrivning. Planck hade tolkat den
totala energin av oscillationerna som diskreta, men hade dragit slutsatsen att strålningens
energi var kontinuerlig. Einstein gick ett steg längre och sa att ljus även transporterar sin
energi diskret, i så kallade kvanta eller energipaket (Namnet foton gavs till dessa
ljuskvanta av G. N. Lewis 1926). Einstein applicerade denna idé på den fotoelektriska
effekten. Resultatet han fann var att vid fotoemission så avger varje foton all sin energi
ögonblickligen till en enda elektron. Detta medför alltså att elektronen frigörs omedelbart.
37
Fotoelektrisk effekt är beteckningen på det experiment där diskreta elektroner sänds ut
från en metall när den belyses med elektromagnetisk strålning av tillräckligt hög frekvens,
dvs. med en energi överstigande utträdesarbetet. Förklaringen av den fotoelektriska
effekten visar att ljus är kvantiserat och ledde till att Våg-partikeldualiteten infördes som
förklaringsmodell.
Fotoelektrisk effekt: Inkommande elektromagnetisk strålning slår ut elektroner ur
metallen
Det hela kan förklaras mer i detalj med en försöksuppställning (se figur till vänster).
Försöksuppställning
Diagram där elektronernas kinetiska energi avsätts
mot ljusets frekvens
En cell består av två elektroder av samma metall på vardera ända och kopplas till en
spänningskälla. En kvicksilverlampa belyser elektroden med högst potential, och vi antar
att frekvensen är tillräcklig för att elektroner skall emitteras, dvs. starta den fotoelektrisk
effekten. Detta gör att vi får fria elektroner i vår cell. Potentialen avpassas Ua så att
galvanometern visar noll. Detta betyder att inga elektroner som frigjorts från den belysta
elektroden har orkat tar sig över till den obelysta elektroden. Elektronerna som frigjorts
lagrar den kinetiska energin som potentiell energi eUa i det elektriska fältet. Alltså har vi
att Ek = eUa. Om elektroden belyses med olika diskreta frekvenser kan ett diagram ritas
upp där fotoelektronernas (de som frigörs) kinetiska energi avsätts mot ljusets frekvens, f.
En rät linje fås vars ekvation är Ek = hf + ( − W0), där W0 kallas för uträdesarbetet. h är
38
alltså riktningskoefficienten och W0 är skärningen i y-axeln. En vanlig form att skriva
ekvationen på är hf = W0 + Ek. Summan av den energi som krävs för att elektronen ska
lämna metallen samt få sin rörelseenergi är alltså den totala energin hf. Alltså består ljuset
av diskreta energipaket.
Einstein förutsåg med detta bland annat existensen av en minsta frekvens för att frigöra
elektroner från metallen. Trots att hans resultat även har visats vara experimentellt
korrekta av R. A. Millikan (Millikan förstökte ursprungligen bevisa att Einstein hade fel
då han inte var speciellt förtjust i principen bakom ljuskvanta, men ironiskt nog blev
resultatet rena motsatsen), fanns det fortfarande motstånd till dessa energipaket, eftersom
det stred mot Maxwells berömda ekvationer. Efter att A. H. Compton analyserat sina
resultat av comptonspridning, blev dock konceptet bakom fotonen och ljuskvanta än mer
accepterad. Det bör noteras att Einstein först efteråt insåg hur Plancks teorier samföll med
hans egna. Ursprungligen hade han kommit fram till ekvationen E=Cf år 1905 genom att
använda Wiens strålningslag som är noggrann endast vid höga frekvenser. Följande år
insåg han förbindelsen och förstod att C=h.
Sammanfattning
Ljus, som består av fotoner, lämnar alltså över all sin energi i en enda stöt när den väl
träffar på en elektron i metallen. Principen ”allt eller inget” gäller. I samma stund som
detta sker, upphör fotonen att existera. När fotonen träffar en elektron kan tre fall tänkas
ske:
•
•
•
Fotonens energi är mindre än uträdesarbetet: Elektronen får inte tillräckligt med
energi för att slås ut från metallen.
Fotonens energi är lika med uträdesarbetet: Elektronen får nätt och jämnt energi
till att slås ut, men inget kvar till rörelseenergi Ek.
Fotonens energi är större än uträdesarbetet: Elektronen slås ut och får en
rörelseenergi Ek = hf − W0.
Notera också följande viktiga punkter:
•
•
•
En ökning av intensiteten påverkar inte fotonens energi.
Antalet fotoelektroner som frigörs är proportionellt mot belysningen på
metallytan samt mot ljusets intensitet.
Fotonen har ingen massa (den är en masslös partikel) och färdas med ljusets
hastighet, c.
Albert Einstein tilldelades Nobelpriset i fysik för sitt arbete med lagen om den
fotoelektriska effekten 1921.
Användningsområden
Fotoelektriska effekten används bland annat i solceller och ljuskänsliga dioder. De
absorberar fotoner som får elektroner att röra sig för att skapa en elektrisk ström.
39
Vågfunktionen
Vågfunktionen är fundamental inom kvantfysiken. Varje partikel har en vågfunktion som
är ett komplext skalärfält i rum och tid. Vågfunktionen kan inte mätas direkt, däremot har
partikeln ett antal mätbara storheter, observabler, som definieras med hjälp av
kvantmekaniska operatorer. Dessa är bland annat position, rörelsemängd och hamiltonenergi.
Schrödingerekvationen
I fysiken beskriver schrödingerekvationen, föreslagen av den österrikiske fysikern
Erwin Schrödinger år 1925, rums- och tidsberoendet för kvantmekaniska system. Den är
av central betydelse för icke-relativistisk kvantmekanik, där den spelar en roll analog
med Newtons andra lag i klassisk mekanik. Schrödingerekvationen är empiriskt belagd.
Ett fenomen är kvantiserat om dess lösning av Schrödinger-ekvation innehåller ett
uppräkneligt antal energinivåer, s.k. kvantnivåer.
Schrödinger grundlade sitt arbete på de Broglies ekvation som gav den korresponderande
våglängden för en materiapartikel.
I en rumsdimension är den tidsberoende schrödingerekvationen
där Ψ är sannolikhetsamplituden (vågfunktionen) och V är den potentiella energin. Den
tredimensionella motsvarigheten är
där man brukar införa hamiltonoperatorn
.
Intuitiv tolkning av ekvationen
Vågfunktionen (Ψ) för ett kvantmekaniskt system ger oss information om hur vi kan
beräkna sannolikheter att systemet skall befinna sig i olika tillstånd; för en enskild
partikel kan 'tillståndet' i fråga vara att den skall röra sig inom en cirkel, vars centrum är i
origo och vars radie är en centimeter, under 10 minuter. Sannolikheterna förändras
allteftersom tiden går och de är också beroende på var någonstans partikeln befinner sig;
matematiskt innebär detta att vågfunktionen är en funktion som beror av tiden (t) och
positionen i rummet (x):
40
Schrödingers ekvation talar om hur vågfunktionen förändras då tiden går, vilket beskrivs
matematiskt med den partiella derivatan av vågfunktionen med avseende på
tidsvariabeln:
Schrödinger säger att förändringen beror på hur snabbt partikeln rör sig och vilka hinder
den upplever under sin rörelse:
Ett annat sätt att uppfatta Schrödingerekvationen är som en beskrivning av rörelsen hos
en partikel som skuttar runt slumpmässigt (diffunderar) och som stöter på hinder i sin
rörelse:
Notera att själva rörelsen hos partikeln inte beskrivs av Schrödingerekvationen – för en
sådan beskrivning behöver man en så kallad stokastisk differentialekvation – utan
Schrödingerekvationen bara ger oss information om sannolikheter att partikeln skall
vara på vissa platser under vissa tider.
Sannolikheten att partikeln under tio minuter skall röra sig inom cirkeln D, vars centrum
är origo och vars radie är en centimeter, ges av följande integral av vågfunktionen:
Om vi har funnit lösningen till Schrödingerekvationen så vet vi hur vågfunktionen ser ut
och då kan vi beräkna denna dubbelintegral.
41
Heisenbergs osäkerhetsrelation
Inom kvantfysiken anger Heisenbergs osäkerhetsprincip att man inte samtidigt kan känna
både position och rörelsemängd med godtycklig precision hos ett objekt utan det finns en
bestämbar undre gräns för osäkerheten. Den är en av hörnstenarna inom kvantmekaniken
och upptäcktes av Werner Heisenberg 1927.
Osäkerhetsprincipen förklaras ibland genom påståendet att mätning av en partikels
position nödvändigtvis orsakar en påverkan (störning) av partikelns rörelsemängd.
Heisenberg gav själv den förklaringen ursprungligen. Det beror inte på störningen
emellertid, eftersom principen även gäller om positionen mäts på en kopia av systemet,
och rörelsemängden mäts i det andra identiska systemet. Det är mer precist att säga att
partikeln är en vågfunktion, inte ett punktliknande objekt, och inte kan ha både
väldefinierad position och rörelsemängd. Av detta skäl rekommenderas numera termen
"Heisenbergs obestämbarhetsrelation" (en: indeterminacy relations); någon osäkerhet
råder inte.
Betrakta följande analogi: antag att man har en tidsvariant signal, som en ljudvåg, och
man vill veta den exakta frekvensen för signalen i ett bestämt ögonblick. Detta är
omöjligt. För att bestämma frekvensen exakt måste man sampla signalen under en viss tid
och därmed förloras en viss grad av precision beträffande positionen. Med andra ord, ett
ljud kan inte ha både exakt tid, som i en kort puls, och en exakt frekvens, som i en
kontinuerlig ton. Fas och frekvens för en våg i tidsplanet är analoga med position och
rörelsemängd för en våg i rummet.
Osäkerhetsprincipen är relaterad till ett annat kvantmekaniskt fenomen känt som
vågfunktionskollaps i vilket själva observationen av en partikel tycks ändra ekvationerna
som beskriver partikeln. Osäkerhetsprincipen anger att en partikel saknar fixt värde för
rörelsemängd och position, men när man observerar en partikel tycks den inta ett fixt och
distinkt värde för den kvantitet som mäts.
Definition
Om flera identiska kopior av ett system i ett givet tillstånd prepareras, kommer mätningar
av position och rörelsemängd att variera enligt kända sannolikhetsfördelningar; detta är
det fundamentala postulatet om kvantmekanik. Vi skulle kunna mäta standardavvikelsen
Δx av positionsmätningarna och standardavvikelsen Δp av rörelsemängdsmätningarna.
Därefter skulle vi finna att
där h-streck är Plancks konstant delad med 2π. (I vissa behandlingar av ämnet väljs
"osäkerheten" av en variabel så att den motsvarar det smalaste omfånget som innehåller
50% av värdena, som, i fallet normalfördelade variabler, leder till en snävare gräns än
h/2π för produkten av osäkerheter.) Notera att denna olikhet medger flera möjligheter:
42
tillståndet och mätförfarandet skulle kunna vara sådant att x kan mätas med hög precision,
men då blir p endast approximativt känt, eller omvänt, p skulle kunna vara skarpt
definierad medan x inte kan bestämmas precis. I andra tillstånd kan både x och p mätas
med rimlig (men ej godtycklig) precision. I vardagslivet observerar vi inte dessa
osäkerheter därför att värdet av h är extremt litet, och den relativa osäkerheten blir
därmed extremt liten.
Samma relation gäller mellan energi och tid, till exempel mellan livstid av ett exciterat
tillstånd och spektrallinjens bredd ΔE:
Eftersom för ljus gäller att ΔE = h Δν, kan man se detta som Fourieranalysens samband
mellan osäkerheten i frekvens Δν och signalens tidslängd.
Extra material – utanför föreläsningen men av kompletterande natur
Svartkroppsstrålning
Spektrum av svartkroppsstrålning vid olika temperaturer på en dubbellogaritmisk skala;
den gula kurvan visar solens yttemperatur och regnbågen det synliga spektrat.
43
Svartkroppsstrålning kallas den värmestrålning som kommer från en ideal svartkropp.
Den absorberar all inkommande strålning. Den enda egenskap som påverkar
svartkroppsstrålningens egenskaper är svartkroppens temperatur. Exempel på föremål
som tämligen väl kan beskrivas som svartkroppsstrålare är solen, tråden i glödlampor och
glödgat järn. Vid temperaturer omkring 600 °C utsänds tillräckligt mycket energi i den
synliga delen av det elektromagnetiska spektrum för att vara synlig med blotta ögat Plancks strålningslag
Anger mängden energi utsänd per tids-, yt-, vinkel och frekvensenhet.
[W m-2 Hz-1 sr-1]
där I(ν) = utstrålad energi, ν = frekvens, T = temperaturen, h = Plancks konstant, c =
ljushastigheten och k = Boltzmanns konstant.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------Mer om kvantmekaniken
Kvantmekaniken ger en matematisk bild av naturen som inte helt står i samklang med
den klassiskt matematiska bilden av naturen. Fysikaliska system som är mycket små
uppvisar förbryllande egenskaper som inte har någon motsvarighet i större fysikaliska
system. Ett exempel på ett dylikt fenomen är tunnling, varvid en partikel kan befinna sig i
ett, enligt klassisk fysik, förbjudet tillstånd. Ett exempel på detta är alfasönderfall av
radioaktiva isotoper, då partiklar skickas ut från atomkärnan trots att de enligt klassisk
fysik inte har energi nog att undkomma de starka krafterna i atomkärnan.
Bakgrunden till dessa besynnerliga fenomen i kvantmekaniken är att naturen, i dessa
skalor, beskrivs enligt en sannolikhetsfördelning över olika fysikaliska tillstånd. Den
kvantmekaniska vågfunktionen ger (vid multiplicering med sitt komplexkonjugat) en
sannolikhetsfördelning för en partikels position. Innan en mätning sker kan vi inte uttala
oss om vilket tillstånd systemet befinner sig i - bara sannolikheten att finna systemet i de
möjliga tillstånden. Vid en mätning av ett specifikt system erhålls, som resultat av
mätningen, endast ett av dessa möjliga tillstånd. (Det genomsnittliga mätutfallet kallas
väntevärde).
Ett exempel är lägesbestämning av en elektron i ett givet ögonblick. Man uttrycker ibland
saken så, att elektronen inte har någon bestämd position före mätningen, men får en
position genom mätningen. Det kallas för att elektronens vågfunktion kollapsar -omedelbart efter mätningen är elektronens sannolikhetsfördelning samlad i en enda punkt,
nämligen den där elektronen hittades.
Hur vågfunktioner ändrar sig med tiden - den kvantmekaniska motsvarigheter till hur
partiklar rör sig - beskrivs av Schrödingerekvationen.
44
Exempel på tolkningar
•
Köpenhamnstolkningen – Under utvecklingen av kvantmekaniken under 1920och 1930-talet, diskuterades ämnet flitigt. Den tolkning som vann flest
sympatisörer stod Niels Bohr för. Denna pragmatiska tolkning av kvantmekaniken
kallas Köpenhamnstolkningen. Essensen är, något förenklat, att inget kan sägas
om (kvant)fysikaliska system förrän en mätning gjorts. En partikel har helt enkelt
inget bestämt läge förrän man försöker mäta det.
•
Flervärldstolkningen – I J. Everetts flervärldstolkning sägs varje tänkbart fall
vid en mätning realiseras. Men vid varje mätningstillfälle delar sig universum i
lika många delar som antalet tänkbara utfall vid mätningen.
•
Dolda variabler – Denna tolkning hävdar att varje partikel har en dold variabel
som anger vilket värde den kommer att ge vid mätning. John S. Bell presenterade
dock 1964 ett teorem (Bells teorem) som säger att en lokal dold variabelteori ger
observerbara skillnader mot kvantmekaniken. Experiment utförda av Alain
Aspect med flera (1981-1982) visade att kvantmekaniken är korrekt.
•
Håll käft och räkna (från engelska: Shut up and calculate) – Denna "tolkning",
som ibland sägs komma från Richard Feynman (även om han troligen inte sagt
det) är närmast att betrakta som en avsaknad av tolkning. Kvantmekaniken ger
resultat som stämmer väl, och att försöka tolka dem leder mer till filosofi än fysik.
Tillämpningar
Utnyttjande av de diskreta energitillstånd som atomer och molekyler förekommer i och
som beskrivs av kvantmekaniken, till att identifiera olika atomer och molekyler, går
under benämningen spektroskopi. Bland andra tillgängliga och hypotetiska tillämpningar
kan nämnas kvantdatorn och kvantkryptering.
45