Transcript Partikel i lådan

Mål för kapitel 40
•  Presenterar Schrödingerekvationen för kvantmekaniska
vågor.
•  Lös Schrödinger ekvationen för en partikel i en
endimensionell låda
•  Studera hur en kvantmekanisk partikel beter sig i en
potentialbrunn med ändliga väggor.
•  Undersök kvantmekanisk tunnling där partikeln tilläts
passera ett område som är förbjudet enligt Newtons lagar.
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Schrödinger ekvationen
•  Kvantmekanisk partikelns uppförande beskrivs med en vågfunktion:
Ψ(x, t) ‘Psi’
•  Schrödinger ekvationen i en dimension för en fri partikel med massan m
är:
∂Ψ ( x,t )
 2 ∂ 2 Ψ ( x,t )
−
= i
2
2m ∂x
∂t
•  Kvantmekaniska vågfunktioner är alltid komplexa funktioner
•  Absolut värdet på vågfunktionen i kvadrat, |Ψ(x, t)|2, kallas för
sannolikhets fördelningsfunktionen. Det ger ett värde på sannolikheten
att finna partikeln vid x vid tiden t.
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Schrödinger ekvationen och fria partiklar
•  En fri partikel med en
väldefinerad rörelsemängd p och
energin E har en vågfunktion av
formen:
Ψ ( x,t ) = Aeikx e−iω t
where p = k and E = ω .
•  En sådan partikel är inte
lokaliserad över huvudtaget.
Vågfunktionen sträcker sig
oändligt långt i både riktningar
•  Man kan inte säga vär
partikeln är när man vet p
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Endimensionell Schrödingerekvation: vågpaket
•  Vågpaketen för en fri
partikel är en
superponering av tillstånd
med väldefinerade
rörelsemängd och energi.
•  Om partikeln ska bli mer
lokaliserad måste flera
vågor med en större
spridning rörelsemängd
och energi superponeras.
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Vågpaket
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Materievågor…
Jämför med EM-vågor (kapitel 33)
materievåg beskriver rumsfördelning av en
partikel
Materievågor med olika k har olika hastigheter
Vågpaket (som innehåller vågor med olika k)
sprids ut med tiden pga olika hastigheter
Sannolikhetsfördelning:
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Schrödingerekvation: stationära tillstånd
• 
Om en partikel med massa m rör sig i närheten av en potential funktion
U(x), partikelns Schrödinger equation blir:
2
∂Ψ ( x, t )
h2 ∂ Ψ ( x, t )
−
+ U ( x ) Ψ ( x, t ) = i h
2
2m ∂x
∂t
• 
Om partikeln har en väldefinerad energi, E, blir vågfunktionen Ψ(x, t)
produkten av en tidsoberoende funktion ψ(x) och en faktor som beror på tid
t men inte på position. Det kallas för stationärt tillstånd och för dessa
tillstånd är |Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2 oberoende av tid.
Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e
• 
−iEt / h
Den tidsoberoende Schrödingerekvation i en dimension för ett stationärt
tillstånd med energin E är:
2
h2 d ψ ( x )
−
+ U ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x )
2
2m dx
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
S.E och fria partiklar
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Partikel i lådan
•  En partikel i lådan är en partikel med massa m begränsad till lägen
mellan x = 0 och x = L.
• 
Lägesenergin U(x) är noll inne i lådan och oändligt utanför lådan.
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Partikel i lådan: Vågfunktioner och energinivåer
•  Stationära tillstånden ψ(x) med diskreta energinivåer i lådan
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Partikel i lådan: Sannolikhet och normalisering
•  De första tre stationära tillstånd
ψ(x) för en partikel i lådan
(ovan) och deras sannolikhets
funktioner |ψ(x)|2 (nedan). Notera
att sannolikheten är lika med 0
på flera ställen.
•  En vågfunktion |ψ(x)|2 måste
normaliseras så att integralen
över all x=1 (så att sannolikheten
att finna partikeln någonstans är
100%).
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Partikel i en potentialbrunn I
•  En ändlig potentialbrunn är ett område där lägesenergin U(x) är
lägre än utanför brunnens gräns, men U(x) är inte oändligt.
•  Enligt Newtons lagar en partikel med energi E som är mindre än
höjden i brunnens väggar kan aldrig befinner sig utanför brunnen.
I den kvantmekaniska beskrivning kommer vågfunktionen att
sträcker sig utanför brunnens gräns, och då är det möjligt att finna
partikeln utanför brunnen.
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Partikel i en potentialbrunn II
•  Vågfunktioner ψ(x) för olika stationära tillstånden och deras
diskreta energier för en potentialbrunn.
•  Sannolikhetsfördelningar för dessa vågfunktioner |ψ(x)|2.
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Jämför oändlig och ändlig potentialbrunn
Vågfunktionen läcker ut från den ändliga
potentialbrunn… våglängden blir längre och energin
något lägre
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Potential barriär och kvantmekanisk tunnling
•  En potential barriär har en väldefinerad lägesenergi U0
•  En partikel med en energi, E, som är mindre än U0 kan inte passera
barriären
•  Vågfunktionen ψ(x) för en partikel med energi E växelverkar med
barriären. Vågfunktionen dämpas i barriären, men den visar en
svängning även till höger om barriären-- tunnling
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Tunnling--tillämpningar
•  En svep tunnel mikroskop kan avbilda ytan på ett material med
atomär upplösning. Detta är möjligt genom att mäta en liten
tunnlingsström mellan ytan och mikroskopets vassa spets.
Svep Tunnel Mikroskop - STM
IBM - 1989
Spet
s
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Prov
Bilder från atomernas värld
IndiumArsenik
Atomer på ytan av
indiumarsenik!
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Bilder från atomernas värld
Galliumfosfid
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Tunnling-tillämpning i kärnan
En alfapartikel i en instabil kärna kan endast lämna kärnan genom
tunnling.
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.
Sammanfattning Kap 40
•  Kvantmekanisk vågfunktion
•  Schrödinger ekvationen:
•  Sannolikhetsfunktion: |ψ(x)|2
•  Partikel i lådan: diskreta energinivåer
•  Partikel i potentialbrunn: vågfunktionen har amplitud även utanför
brunnns gräns
•  Kvantmekanisk tunnling
Copyright © 2012 Pearson Education Inc.