Transcript SETENGAH PUTARAN

SETENGAH PUTARAN
PADA HAKEKATNYA SETENGAH PUTARAN
ADALAH BENTUK KHUSUS DARI PERPUTARAN,
NAMUN ADA SIFAT-SIFAT TERTENTU SEHINGGA
LEBIH BAIK DIBAHAS DALAM BAHASAN
TERSENDIRI.
KEKHUSUSAN-NYA ANTARA LAIN
1. SETENGAH PUTARAN MERUPAKAN
INVOLUSI,
2. DAPAT DIPANDANG SEBAGAI
PENCERMINAN TERHADAP TITIK,
3. GESERAN DAPAT DINYATAKAN DALAM
HASILKALI DUA SETENGAN PUTARAN
DEFINISI SETENGAH
PUTARAN
• Setengah putaran
terhadap
titik P
(dengan pusat P ) , dilambangkan
dengan
HP,
adalah
pemetaan
yang
memenuhi: untuk sebarang titik A di
bidang V
• HP(A) = A , jika A=P
•
= B , dengan P titik tengah
AB , jika A tidak sama dengan P.
Rumus Aljabar dari Setengah Putaran.
.
• Misalkan P(a,b) dan HP
memetakan A(x,y) ke
A’(x’,y’). Berdasarkan definisi, P merupakan
titik tengah AA’
x  x'
a
2
• sehingga diperoleh :
Jadi x’ = -x + 2a
• Atau














x'
dan







x














a
  2
y'
y b







y  y'
dan b 
2
y’ = -y + 2b
BEBERAPA TEOREMA
Setengah putaran merupakan suatu involusi.
Sehingga
2
-1
HP  I atau HP  HP
Teorema :
Setengah putaran adalah isometri.
Teorema : Untuk sebarang garis g dan
setengah putaran HP , berlaku HP(g)//g
Misal P(a,b) .
Ambil sebarang garis g pada bidang V.
Misal g : px + qy +c = 0. Dan g’=HP(g).
Untuk sebarang titik A(x,y) berdasarkan
definisi setengah putaran diperoleh
hubungan antara A(x,y) dan A’(x’,y’)=HP(A)
sebagai x=-x’+2a dan y = -y’+2b.
Sehingga diperoleh
g’ : p(-x’+2a)+q(-y’+2b)+c=0 atau
g’:-px-qy+(2ap+2bq+c)=0.
Tampak bahwa gradien garis g’ sama
dengan
gradien garis g. Dapat disimpulkan
bahwa g’//g.
Jadi terbukti Untuk sebarang garis
g dan
setengah
putaran
HP
,
berlaku
HP(g)//g.
• Teorema : Satu-satunya titik tetap
dalam HP adalah titik P, sedangkan
garis-garis
tetapnya
adalah
semua
. P.
garis yang melalui
• Teorema : Hasil kali dua setengah
putaran adalah suatu geseran. Jika B
titik tengah AC, maka HBHA=SAC=HCHB.
• Teorema :
• Untuk tiga titik A,B, dan C yang tidak
segaris,
berlaku
HCHBHA=HD
dengan
|AD|=|BC|.
Misalkan l : px+qy+c=0 merupakan garis tetap.
Sedangkan l’: px + qy - (2ap+2bq+c) = 0.
Agar l merupakan garis tetap haruslah
-(2ap+2bq+c)=c atau 2ap+2bq+2c=0 .
Ini berarti garis l melalui titik P.
Jadi agar l merupakan garis tetap haruslah
melalui P.
Jadi garis tetapnya adalah semua garis
yang melalui P.
P”
.
C
B
P
A
P’
D
A
B
F
E
C
AKAN DIBUKTIKAN HBHA SUATU GESERAN
P”
C
B
P
A
P’
Berdasarkan definisi geseran |PA|=|P’A|, dan
|P’B|=|P”B|. Jadi dalam segitiga P’PP”, AB adalah garis
tengah
yang
sejajar
dengan
PP”,
yang
berarti
|PP”|=2|AB|. Jadi PP”//AB dan |PP”|=2|AB|. Karena P
,A, dan B sebarang maka terbukti bahwa HBHA= SCD dengan
CD//AB dan |CD|=2|AB|.
Jadi terbukti Hasil kali dua setengah putaran adalah
suatu geseran.
A
D
F
B
C
E
HCHB = SBE dengan |BE|=2|BC|
= SAF dengan |AF|=|BE| = 2|BC|
= HDHA dengan AD = ½ |AF| = |BC|
Akibatnya kita punya
HCHBHA = HDHAHA
= HDI
= HD dengan |AD| = |BC|.
• Akibat :
Hasil kali geseran dan setengah
putaran adalah suatu setengah putaran.
• Teorema :
Untuk sebarang tiga titik A, B, dan C
berlaku HCHBHA=HAHBHC.
Menurut teorema sebelumnya, terdapat titik D
sedemikian sehingga
HC HB HA = HD
=
1
HD
= (HCHBHA)-1
1
1
1
=
H A H BH C
=
H A H BH C
• Terbukti HCHBHA=HAHBHC.
.
•
• Diketahui lingkaran L, titik P dan
garis g seperti terlihat di bawah ini.
L
Lukis garis h yang
memotong L di A dan
g di B sehingga P
merupakan titik
tengah A dan B
.P
g
g’
h
A
B
.
A
h
P
B
g
Lukis HP(g)= g’ . Diperoleh g’//g dan g’ memotong L
di A1 dan A2.
Selanjutnya garis A1P=h1 dan A2P=h2 adalah garis yang
Ditanyakan.
Karena jika A1P memotong g di B, maka P adalah
titik tengah A1 B.
Diketahui lingkaran L dengan tali busur
AB dan CD . Misalkan S suatu titik tertentu
pada CD.
Lukislah titik P pada L dengan AP dan BP
berturut-turut memotong CD di E dan F
sedemikian sehingga S titik tengah EF.
L
.
C
A
S
D
B
A’
KEADAAN AWAL
L
D
S
.
C
A
B
GAMBAR SEAKAN
MASALAH TELAH
TERSELESAIKAN
P
L
.
C
S
F
D
E
A
B
Andaikan titik P telah dapat terlukis.
Dengan setengah putaran terhadap S, AP menjadi
A’P’=HS(AP).
Ini belum dapat terealisir karena P belum didapat.
Tetapi A’ sudah dapat dilukis dan dapat diketahui
bahwa A’P’ melalui F ( karena AP melalui E).
Pada segitiga A’BF dapat diketahui A’B dan m(<F) =
m(<P) = ½ busur AB=besar sudut keliling lingkaran
terhadap busur AB.
Maka dapat dicari tempat kedudukan titik F dalam
segitiga A’BF yang berupa lingkaran.
Kemudian titik potong lingkaran itu dengan CD
adalah titik F yang dicari, karena BF memotong L di
titik P yang diminta.
Dengan demikian dapat diketahui urutan cara
melukis P.
1. Lukis A’=HS(A).
2. Lukis tempat kedudukan F dalam
segitiga A’BF, yaitu lingkaran L1.
3. L1 memotong CD di F.
4. BF memotong L di P yang dicari.
1. Diketahui lingkaran L dengan persamaan (x-2)2+(y+1)2=9, titik P=(7, 5) dan garis g dengan persamaan x – y = 10.
Dapatkah dibuat garis h yang memotong L di A dan g di B sedemikian
sehingga P titik tengah AB? Jika bisa dibuat tentukan koordinat titik A
dan B.
2. Diberikan dua lingkaran L1 dan L2 masing-masing mempunyai
persamaan L1  (x+3)2+(y-3)2=9, L2  (x-8)2+y2=36 ,dan garis g x+y= 4. Tentukan persamaan garis h yang sejajar g dan koordinat titik-titik
A, B di L1 dan C,D di L2 sedemikian sehingga h memotong L1 di titik
A dan B, serta memotong L2 di titik C dan D dengan syarat |AB|=|CD|.
3. Diberikan dua titik A=(-8,10) dan B=(1,-11) serta dua garis s: 2x-y = 3,
t: y=2x-2. Tentukan jarak terpendek dari A dan B, dengang syarat
jalur yang memotong kedua garis s dan t harus tegak lurus terhadap
garis-garis tersebut.