Transcript Report

Beräkning av hjärtminutvolym enligt
Stewart-Hamiltons metod
Felix Sebastian Walter
Matematik 4, 100p
Rodengymnasiet, Naturvetenskapliga Programmet
HT 2014, Norrtälje
Handledare: Jonas Hall
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Innehåll
1.
Inledning ............................................................................................................................. 3
2.
Frågeställning ...................................................................................................................... 4
3.
Abstract ............................................................................................................................... 4
4.
Metod & resultat ................................................................................................................. 5
5.
Diskussion & analys ......................................................................................................... 12
5.1 Exponentiellt eller linjärt? ............................................................................................. 12
5.2 Mätfel ............................................................................................................................ 13
5.2.1 Mättoleranser ........................................................................................................... 13
5.2.2 Felmarginaler vid regressionsanpassning ................................................................ 14
5.2.3 Polygonverktyget eller integrering? ........................................................................ 15
6.
Referenslista ...................................................................................................................... 17
6.1 Verbal referens .............................................................................................................. 17
6.2 Digitala referenser ......................................................................................................... 17
Sida 2 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Beräkning av hjärtminutvolym enligt
Stewart-Hamiltons metod
1. Inledning
Inom det medicinska fältet kardiologi talar man ofta om hjärtminutvolym (HMV) eller som det
heter på engelska: ”cardiac output” (CO). Som namnet antyder, talar HMV om hur stor volym
blod som en individs hjärta pumpar ut per minut. Det normala intervallet för en frisk, vuxen
person ligger mellan 4,0 och 8,0 liter/minut. Patienter med olika typer av kardiovaskulär
sjukdom kan dock visa symptom i form av kraftigt nedsatt HMV, i vissa fall ner till 2
liter/minut. Även faktorer som ålder, kön och fysisk form påverkar HMV.[1]
Det finns egentligen ingen anledning att fastställa en frisk persons HMV, men inom sjukvården
är det av yttersta vikt att med precision kunna utröna en patients HMV i syfte att undersöka om
denne lider av kardiovaskulär sjukdom. En tydligt nedsatt hjärtminutvolym är ett distinkt tecken
som i många av dessa fall underlättar diagnosticeringsarbetet.[2]
Idag finns många metoder med vilka en patients hjärtminutvolym kan beräknas. En av de äldsta
och den historiskt sett mest använda är den s.k. Stewart-Hamiltonprincipen eller som den i
folkmun också kallas: dilationsmetoden. I en avhandling publicerad av George Neil Stewart
1897, beskrivs hur HMV kan fastställas genom att intravenöst injicera ett ofarligt färgämne
(ofta indocyanin). Efter injektionen mäts avvikelsen i färgkoncentration vid aortan under ett
bestämt tidsintervall, tills recirkulationen blir tydlig. Därefter kan mätvärdena plottas i ett
koordinatsystem med färgkoncentrationen på y-axeln och tiden på x-axeln. Stewart stipulerade
denna formel för att slutligen kunna beräkna HMV[3]:
𝐶𝑂 =
𝐼
∞
∫0 𝐶 (𝑡)𝑑𝑡
1
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardiac_output
http://www.physioflow.com/why_cardiac_output.php
3
http://circres.ahajournals.org/content/9/3/607.full.pdf
2
Sida 3 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
∞
Där CO = HMV, I = volymen färgämne som injicerades i milligram samt ∫0 𝐶(𝑡)𝑑𝑡 som
betecknar arean under dilationskurvan.
Tabell 1:
Tid Avvikelse
2. Frågeställning
(s)
(mm)
0
0
1
5
2
20
färgkoncentrationen i enheten millimeter (mm) och den andra betecknar tiden i
3
50
sekunder (s). Givet är också att en färgkoncentration på 55 mm motsvarar 5 mg/l, dvs.
4
88
ett förhållande på 11:1. Vi vet också att mängden injicerat färgämne var 5,68 mg.
5
115
Patientdata har mottagits i form av en tabell, där kardiologen matat in värden i enlighet
med Stewart-Hamiltons metod (se Tabell 1). Den ena kolumnen betecknar
6
122
Svårigheten med detta uppdrag ligger i hänsynstagandet till recirkulationen. Det ter
7
115
sig nämligen så att det färgsatta blodet lämnar hjärtat genom aortan, vilket leder till en
8
100
gradvis lägre färgkoncentration. Blodet flödar genom kroppen för att sedan återkomma
9
80
till hjärtat genom den nedre hålvenen (lat. vena cava inferior). Detta leder återigen till
10
66
en ökning av färgkoncentrationen vid aortan. Det är just denna tidpunkt T då blodet
11
53
12
41
13
35
14
29
15
24
16
20
17
17
18
15
19
13
exponential regression curve: 𝑅 ∗ 0,8 . The value of R could thereafter be determined
20
12
by measuring the discrepancy between the actual data and the estimated model in
21
13
22
14
23
15
24
16
25
18
återinförs som först måste fastställas för att eliminera de felaktiga mätvärden som
uppkommit pga. recirkulationen. Därefter kan HMV beräknas i enlighet med StewartHamiltons matematiska formel (Se Inledning).
3. Abstract
The exponential decrease in dye concentration was visualized by applying an
𝑥
accordance with the Residual Sum of Squares (RSS) method. With computer aid, the
area beneath the dilution curve was calculated and it was found that the patient had a
cardiac output of approximately 3.71 liters per minute.
Sida 4 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
4. Metod & resultat
Tabellvärdena förs in i GeoGebras fönster för kalkylblad. I instruktionen framgick att
förhållandet mellan mätvärdena i mm och mg/l per liter var 11:1. För att ändra dessa till korrekt
enhet, dvs. mg/L, divideras samtliga mätvärden med 11 (se Bild 1).
Bild 1: Konverterade mätvärden 1-15 (av 25) i GeoGebra.
Därefter markeras kolumnerna A (tid) och C (avvikelse) varefter en Lista med punkter bildas.
Detta ger en visuell representation av vår tabelldata, då den åskådliggörs som punkter i
Ritområde 1:
Sida 5 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Bild 2: Datapunkter i GeoGebras ritområde (zooma i dokumentet för att se i högre detalj)
Som bilden ovan visar, bildar punkterna en typisk dilationskurva som nu kan analyseras. Efter
ca 7 sekunder tycks färgkoncentrationen avta exponentiellt med tiden. Detta skall senare
bevisas genom att bilda en exponentiell regression. Något som också är värt att notera är den
tydliga ökningen i färgkoncentration efter 20-sekunderspunkten.
För att senare kunna tillämpa SSR-metoden, måste en exponentiell kurva för avtagningen
modelleras. För att åstadkomma detta appliceras en exponentiell regression med hjälp av
grafräknare. Regressionen baseras på ett antal lämpliga datapunkter som måste väljas ut:
Detta urval är mer eller mindre godtyckligt, men det finns ändå några faktorer att ta hänsyn till.
För att få en så bra anpassning som möjligt, vill vi välja punkter som med säkerhet har ett
exponentiellt förhållande till varandra. I Bild 2 är punkterna H – M försedda med etiketter för
att tydligt markera dem. Vi ser med blotta ögat att punkten H ligger något för långt till vänster
i koordinatsystemet för att sammanhänga med de efterföljande punkterna I – M. Därför
exkluderas denna punkt och regressionen baseras på punkterna I – M:
Sida 6 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Bild 3: Datapunkter I-M
Dessa datapunkter överförs sedan till grafräknarens (TI-84 Plus) listor L1 respektive L2.
Därefter utförs följande kommandon: STAT → CALC → ExpReg (L1, L2, Y1).
𝐸𝑥𝑝𝑅𝑒𝑔 ≈ 52,9 ∗ 0,80𝑥
Bild 4, 5, 6: Exponentiell regressionsberäkning på TI-84 Plus.
Den erhållna regressionen matas in i GeoGebras inmatningsfält:
Bild 7: Dilationskurva med regressionskurvan f(x) i rött.
Sida 7 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Vi bör betrakta denna regression som en grov, relativt inexakt representation av hur
dilationskurvan egentligen bör se ut. För att förstå hur vi kan justera den modellerade
funktionen, måste vi introducera begreppet residualer.
Inom matematiken och i synnerhet regressionsanalys använder man residualer för att beskriva
skillnaden mellan ett observerat värde och det värde som gäller en viss modell[4]. I vårt fall är
de observerade värdena de datapunkter som är plottade i ritområdet och modellen är
regressionskurvan. Residualer kan på olika sätt användas för att optimera en modellerad
funktion efter observerad data. Vi skall nu applicera en sådan metod; dels för att optimera vår
regressionskurva, men också för att ta reda på vilka punkter som är värdelösa och som senare
bidrar till ett felaktigt integralvärde.
För att anpassa regressionskurvan skall vi nu applicera metoden RSS (Residual Sum of
Squares). Flera urval av datapunkter görs, varefter regressionsvärdena subtraheras från de
korrelerande datapunkterna. Dessa differenser, de s.k. residualerna, kvadreras sedan och
adderas med varandra. Detta ger en total residualsumma som alltså beror på regressionen. Detta
gör att vi kan justera regressionskurvan och söka efter den funktion som ger minst
residualsumma – desto lägre residualsumma, desto bättre anpassning. RSS kan
sammanfattningsvis beskrivas enligt detta uttryck, där 𝑦𝑖 är det uppmätta värdet & 𝑓(𝑥𝑖 ) är
residualvärdet för en viss punkt 𝑖:
𝑛
𝑅𝑆𝑆 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖 ))
2
𝑖=1
Nedanstående tabell visar de urval av punkter som gjordes. Punkt I (8; 9,09) valdes som
utgångspunkt då den på grund av sitt läge anses vara representativt säker för den exponentiella
avtagningen. Punkterna testades efter denna funktion:
𝑓(𝑥 ) = 𝑅 ∗ 0,8𝑥
Där värdet på konstanten R varieras med en Glidare i GeoGebra. För varje grupp punkter (I, J;
I, J, K; I, J, K L osv.) finns alltså ett värde på R som ger den minsta residualsumman för gruppen.
Dessa summor har sammanställts i Tabell 2.
4
http://en.wikipedia.org/wiki/Errors_and_residuals_in_statistics
Sida 8 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Bild 8: Dilationskurvan med punkterna I - P utmärkta
Tabell 2: Resultat från beräkning av minimala residualsummor
Minimal residualsumma
Punkter
I, J
0
I, J, K
0,03
I, J, K, L
0,04
I, J, K, L, M
0,04
I, J, K, L, M, N
0,07
I, J, K, L, M, N, O
0,12
I, J, K, L, M, N, O, P
0,18
Det är emellertid lätt att bara titta på residualsummorna utan att ta hänsyn till andra faktorer
som är av betydelse för anpassningen. Gruppen { I – J } ger å ena sidan en mycket låg
residualsumma, men eftersom den anpassningen endast förhåller sig efter de två punkterna I &
J, blir den endast representativ för dessa två värden. Vi vill alltså välja en grupp med så många
punkter och så låg residualsumma som möjligt för att få den bästa anpassningen.
Sida 9 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Med bakgrund av dessa villkor anses grupp { I – M } vara bäst lämpad. Den tar hänsyn till sex
mätvärden och ger en låg residualsumma på 0,04. Om punkter efter M inkluderas, ser vi i Tabell
2 att residualsummorna snabbt sticker iväg uppåt. Konstanten R för gruppen { I – M }
bestämdes till 54,7; vilket ger regressionen:
𝑓(𝑥 ) = 54,7 ∗ 0,8𝑥
Av detta dras slutsatsen att recirkulationen träder in strax efter punkt M, det vill säga efter ca
12 sekunder.
Bild 9: I ritområde 1 (t.v.) syns dilationskurvan med den anpassade modellen f(x). I
ritområde (t.h.) ser vi en punkt definierad som (R; residualsumma). Denna försågs med
spår för att på visuell väg åskådliggöra hur residualsumman beror av R. Se bifogad fil
(HMV2) för mer information.
Punkterna N – Z kan nu anpassas genom att föra in respektive punkts x-värde i regressionen f.
Därefter kopplas samtliga punkter samman med hjälp av GeoGebras Polygon-verktyg vilket
ger 91,83 areaenheter.
Sida 10 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Bild 10: Samtliga punkter utgör en polygon med arean 91,83 areaenheter. De justerade
punkterna N – Z visualiseras av de rosa punkterna längs regressionskurvan.
Nu har vi de variabler som krävs för att slutligen beräkna patientens hjärtminutvolym med
Stewart-Hamiltons formel; den tillsatta mängden färgämne samt arean under dilationskurvan.
Klienten efterfrågade att få hjärtminutvolymen uttryckt i liter per minut, vilket gör att vi först
måste analysera formeln för att ta reda på vilket enhet den ger:
𝐶𝑂 =
𝐼
25
∫0 𝐶 (𝑡)𝑑𝑡

𝐼 är uttryckt i enheten 𝑚𝑔 (milligram).

∫0 𝐶 (𝑡)𝑑𝑡
25
är en integral, vilket innebär att dess enhet är produkten av axlarna i
koordinatsystemet. Som vi vet sedan tidigare har Y-axeln enheten 𝑚𝑔/𝐿 (milligram
per liter) och X-axeln har enheten
𝑠
(sekunder). Detta ger enheten
𝑚𝑔
𝐿
∗𝑠 =
𝑚𝑔𝑠
(milligramsekunder per liter)
Vi kan nu bestämma vilket enhet formeln ger genom att förenkla den så långt som möjligt:
Sida 11 av 17
𝐿
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
𝐶𝑂 =
⇒
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
𝐼
𝑚𝑔
=
25
𝑚𝑔𝑠
∫0 𝐶 (𝑡)𝑑𝑡
𝐿
𝑚𝑔
𝐿
𝑚𝑔𝐿 𝐿
⇔
𝑚𝑔
∗
⇔
⇔
𝑚𝑔𝑠
𝑚𝑔𝑠 𝑚𝑔𝑠
𝑠
𝐿
S-H-formeln ger alltså enheten liter per sekund, vilket också skulle kunna kallas
hjärtsekundvolymen. Vi för nu in våra värden för 𝐼 och
⇒ 𝐶𝑂 ≈
25
∫0 𝐶 (𝑡)𝑑𝑡:
5,68
≈ 0,062 𝐿⁄𝑠
91,83
Vi vet nu patientens hjärtsekundvolym (L/s). Detta värde multipliceras med 60 för att få
hjärtminutvolymen (L/min):
⇒ 𝐶𝑂 ≈ 0,062 ∗ 60 ≈ 𝟑, 𝟕𝟏 𝑳/𝒎𝒊𝒏
Vi har slutligen kommit fram till att patientens hjärtminutvolym är 3,71 liter per minut.
5. Diskussion & analys
Vi må nu ha bestämt patientens hjärtminutvolym, men för varje beräkningssteg finns flera vägar
att gå. Därför tänkte jag nu diskutera mitt tillvägagångssätt med avseende på de fördelar,
nackdelar och eventuella felmarginaler som medförts.
5.1 Exponentiellt eller linjärt?
Först av allt vill jag resonera lite kring avtagningen i färgkoncentration. I mina beräkningar
utgår jag ifrån att den sker exponentiellt i kroppen, vilket känns intuitivt och mest troligt. Om
jag ögonblickligen bortser från intuition och antar att avtagningen istället är linjär, skulle kurvan
kunna se ut så här:
Sida 12 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Bild 11: Dilationskurvan med en linjäranpassad modell.
𝑦1 definieras här som RegressionLin[H, I, J, K, L] . Denna modell avgränsar en betydligt
mindre area, vilket tillsammans med Stewart-Hamiltons formel skulle ge hjärtminutvolymen
ett högre värde. Jag vill dock poängtera att denna metod troligen är mindre verklighetsförankrad
är den jag valt att använda, eftersom vi ser att färgkoncentrationen är 0 efter ca 14 sekunder.
Med de biologikunskaper jag har finner jag det orimligt att kroppen hinner ”absorbera” all den
relativt stora mängden färgämne på så kort tid.
5.2 Mätfel
5.2.1 Mättoleranser
(Vi återgår nu till den modell som jag använde mig av i uppgiftslösningen).
I teorin är det enkelt att föreställa sig en grupp mätvärden som överensstämmer med
verkligenheten till 100 procent. I det verkliga livet är det dock nästintill omöjligt att uppnå detta;
flera faktorer såsom den mänskliga faktorn och felande teknisk utrustning tenderar att förvränga
mätvärden och ge s.k. mätfel.
Att så här i efterhand ta hänsyn till mätfel på empirisk väg är förstås svårt; dels eftersom vi inte
vet hur ”noggrann” kunden varit vid mätningen men också eftersom toleranserna för t.ex.
mätsonden inte är kända.
Sida 13 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Vi antar godtyckligt att varje mätvärde B – M5 har en tolerans på ± 10 %. Dessa punkter
multipliceras då med en faktor 0,9 respektive 1,10 varefter en ny modell anpassas på samma
sätt som beskrevs i avsnittet Metod & Resultat.
Tabell 3: Resultat från tillämpning av ± 10 % mättolerans.
Tolerans
Regression
Residualsumma
Area
HMV
– 10 %
49*0,8x
0,04
82,59
4,13 L/min
+10 %
60,1*0,8x
0,05
101,3
3,36 L/min
Ovanstående resultat har sin grund i att samtliga mätvärden antar respektive tolerans. Det
betyder alltså att vi får ett intervall inom vilket hjärtminutvolymen befinner sig om vi antar en
viss mättolerans, i detta fall ± 10 %. Som vi ser i tabellen ovan ger ± 10 % mättolerans
intervallet:
3,36 ≤ 𝐻𝑀𝑉 ≤ 4,13 (𝐿⁄𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡 )
Det ger alltså ger en mätosäkerhet på 4,13 − 3,36 = 0,77 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟. Detta värde må vara högt, men
vi bör också betrakta toleransen ± 10 % som en grov uppskattning som förmodligen inte är helt
sanningsenlig.
5.2.2 Felmarginaler vid regressionsanpassning
Det är också värt att diskutera kring den metodik som tillämpades vid regressionsanpassningen.
Jag valde att utgå från en regression given av min grafräknare för punkterna I – M, vilket gav
𝐸𝑥𝑝𝑅𝑒𝑔 ≈ 52,9 ∗ 0,80𝑥 . Vid tillämpningen av RSS varierade jag bara den ena konstanten 𝑅
på formen 𝑅 ∗ 𝑆 𝑥 . Jag skulle självklart ha kunnat variera konstanten 𝑆 också, men jag resonerar
som så att residualsumman 0,04 som gavs med 𝑆 = 0,80 är låg nog för att ge ett representativt
resultat ändå.
5
Punkt A utesluts eftersom färgkoncentrationen måste vara 0 efter 0 sekunder. Den påverkas således inte av
mätfel.
Sida 14 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
5.2.3 Polygonverktyget eller integrering?
För att beräkna arean under dilationskurvan använde jag mig för enkelhetens skull av
GeoGebras inbyggda polygonverktyg. Detta verktyg fungerar på så sätt att raka sträckor dras
mellan samtliga punkter så att det ansluts, varefter en area ges (se Bild 10). På grund av att
polygonverktyget endast hanterar raka sträckor, blir inte arean ekvivalent med den som skulle
ha givits av funktionsintegrering. Som exempel visas nedan området F – H beräknat med
polygonverktyget respektive integralberäkning:
Bild 12: Område F – H beräknat med polygonverktyget
Bild 13: Område F – H beräknat med modellering och integrering.
Arean i Bild 13 ges av IntegralMellan[h, i, 5, 7] där h definieras som RegressionPoly[{F,G,H}, 2].
Funktionen i är punkterna F – H:s gemensamma y-koordinat.
Sida 15 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
I enlighet med bilderna ovan ser vi att polynomverktyget ger ett bristfälligt resultat; den
optimala anpassningen ges i Bild 13, eftersom sambandet mellan mätpunkterna egentligen inte
är linjära.
En alternativ metod för att beräkna arean under dilationskurvan vore därför att hitta en modell
bestående av en eller flera funktioner som sedan kan integreras. I det här fallet är det dock svårt
att hitta en modell som överensstämmer perfekt, och de felaktigheter som uppstår värderar jag
vara ungefär lika stora som de som uppkommer ur användning av polygonverktyget. Nedan
följer mitt bästa modelleringsresultat:
Bild 14: Arean under dilationskurvan beräknad med modellering och integrering.
10,81
𝐴𝑟𝑒𝑎1 = ∫ (0,5𝑥 3,92 ∗ 0,52𝑥 + 0,1) 𝑑𝑥 = 73,52
0
25
𝐴𝑟𝑒𝑎2 = ∫ (54,7 ∗ 0,8𝑥 ) 𝑑𝑥 = 21,04
10,81
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 = 𝐴𝑟𝑒𝑎1 + 𝐴𝑟𝑒𝑎2 = 73,52 + 21,04 = 𝟗𝟒, 𝟓𝟔
Observera: Den övre & undre gränsen 10,81 definieras av punkt
T1 som är skärningen mellan funktionerna f & g. Se bifogad fil
”HMV2”.
Sida 16 av 17
Felix Walter
Rodengymnasiet, NA12
2014-11-25
Jonas Hall
Matematik 4
Integrering kan teoretiskt sett ge ett mer exakt resultat, men i detta fall är det svårt att modellera
en funktion som passar bra nog för att det skall vara fallet. Vi ser till exempel att funktionen g
för Area1 ligger ovanför de flesta punkterna, vilket ger en felaktighet i form av en för stor area.
Jag rekommenderar kunden att använda sig av den polygonbaserade arean (se Bild 10).
Sammanfattningsvis vill jag konstatera att det beräknade värdet på 3,71 liter per minut går att
lita på. Felkällor existerar naturligtvis, vilket jag också har redogjort för i diskussionen. Jag
värderar dock dessa som relativt små och inte något som har ett betydande värde för
slutresultatet.
Detta är slutet av min rapport. Kontakta mig gärna om ni har några frågor. ●
Felix Walter
6. Referenslista
6.1 Verbal referens
Hall, Jonas. Undervisar i matematik, fysik & astronomi vid Rodengymnasiet,
Norrtälje.
6.2 Digitala referenser
1. http://circres.ahajournals.org/content/9/3/607.full.pdf
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Cardiac_output
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Errors_and_residuals_in_statistics
4. http://www.physioflow.com/why_cardiac_output.php
Sida 17 av 17