Transcript Handledning
5 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 7 Populationsdynamik – en ekologisk modell Handledare: Karl Fogelmark Email: [email protected] Tel: 046 - 222 9079 Individuell rapport inl¨amnas f¨ore angiven deadline. 1 1 Bakgrund I en ekologisk milj¨ o p˚ averkas olika arter av v¨axter och djur av varandra – man s¨ager att de v¨ axelverkar eller interagerar: Vissa arter utg¨or f¨oda till andra, vissa konkurrerar om samma resurser, vissa samarbetar mer eller mindre organiserat. Detta g¨or att utvecklingen av populationen hos en art i en visst omr˚ ade beror p˚ a andra arters populationer d¨ ar. Denna ¨ ovning syftar till att studera i n˚ agra enkla modeller hur olika sorters interaktioner (v¨ axelverkningar) mellan tv˚ a arter p˚ averkar deras populationer. 2 Teori: Flo ¨den ODE p˚ a nytt s¨ att Ordin¨ ara differentialekvationer (ODE) f¨or funktioner d¨ar den oberoende variabeln kan tolkas som tid, utg¨ or en speciell grupp av till¨ampningar av ODE. H¨ar handlar det om processer i tiden, d¨ ar tidsutvecklingen styrs av en enkel ODE eller ett system av kopplade ODE. S˚ adana processer brukar kallas dynamiska system, eller fl¨ oden. Ett fl¨ode kan allm¨ ant definieras som ett system, vars tillst˚ and beskrivs av ett antal dynamiska variabler, som ¨ andras med tiden p˚ a s˚ a vis att deras ¨andringshastigheter i varje ¨ogonblick bara beror p˚ a det aktuella tillst˚ andet, allts˚ a p˚ a variablernas aktuella v¨arden. Detta betyder speciellt att ¨andringshastigheterna inte f˚ ar bero explicit p˚ a tiden, utan varje g˚ ang variablerna r˚ akar ha en viss upps¨attning v¨arden, s˚ a m˚ aste andringshastigheterna vara desamma. ¨ S˚ adana system ¨ ar vanliga i m˚ anga sammanhang i fysik s˚ av¨al som i andra vetenskapliga och tekniska omr˚ aden. (Newtons ekvationer i klassisk mekanik kan t.ex. skrivas om i form av ett dynamiskt system). Fl¨ oden p˚ a tallinjen Ett endimensionellt fl¨ ode, allts˚ a ett fl¨ode med bara en (reell) variabel (som vi t.ex. kan kalla x), m˚ aste allts˚ a lyda en ODE av typen x˙ = f (x) (1) med n˚ agon given funktion f . F¨or att undvika att konstiga saker kan h¨anda, kr¨aver man att f ska vara kontinuerligt deriverbar. F¨or varje tidpunkt s˚ adan att x har ett visst v¨ arde, best¨ ammer f (x) allts˚ a hur fort detta v¨arde ¨andras. Vi kan allts˚ a se tallinjen (x-axeln) som v˚ art systems tillst˚ andsrum, eller fasrum, d¨ ar systemet i varje tidpunkt representeras av en punkt, som r¨or sig allt eftersom tiden g˚ ar, l¨ angs en av m˚ anga m¨ojliga trajektorior (banor) i fasrummet. Innan man rusar iv¨ ag och f¨ors¨oker hitta algebraiska l¨osningar till ekv (1), kan det l¨ ona sig att g¨ ora sig ett fasportr¨ att av v˚ art system, vilket inneb¨ar att vi ritar upp v˚ art fasrum, dvs. x-axeln, och plottar x˙ = f (x) vertikalt mot denna. I vissa omr˚ aden 2 p˚ a x-axeln ¨ ar f positiv, och x m˚ aste allts˚ a ¨oka d¨ar, allts˚ a r¨ora sig ˚ at h¨oger, vilket vi kan markera med en pil som pekar ˚ at h¨oger. I andra omr˚ aden ¨ar f negativ; d¨ar m˚ aste allts˚ a x minska, vilket kan markeras med en pil ˚ at v¨anster. Mellan tv˚ a n¨arliggande omr˚ aden med olika tecken p˚ a f (x) m˚ aste finnas en fixpunkt x∗ . Fixpunkter ¨ar allts˚ a nollst¨ allen till f . Dessa kan markeras med en liten cirkel p˚ a x-axeln. S˚ a vad kan h¨ anda om man startar ett s˚ adant system med ett visst startv¨arde x0 ? Kvalitativt finns det bara tre m¨ojligheter. ar en fixpunkt, och d˚ a stannar systemet d¨ar eftersom x˙ ¨ar noll d¨ar. • x0 ¨ • x0 r˚ akar ligga i ett omr˚ ade d¨ar f (x) ¨ar positiv. D˚ a m˚ aste x r¨ora sig ˚ at h¨oger tills en fixpunkt p˚ atr¨ affas. x(t) n¨armar sig d˚ a denna fixpunkt d˚ a t → ∞. • x0 r˚ akar ligga i ett omr˚ ade d¨ar f (x) ¨ar negativt. D˚ a m˚ aste x r¨ora sig till v¨anster tills en fixpunkt p˚ atr¨ affas, som d˚ a x g˚ ar mot f¨or t → ∞. Notera att en fixpunkt normalt tillh¨or en av tv˚ a huvudtyper: • En fixpunkt x∗ som ligger s˚ a att f ¨ar positivt omedelbart till v¨anster och negativt omedelbart till h¨oger (s˚ a att tangenten lutar ned˚ at) kallas stabil, eller attraherande: alla trajektorior i n¨arheten n¨armar sig x∗ . • En fixpunkt x∗ som i st¨allet ligger s˚ a att f ¨ar negativt omedelbart till v¨anster och positivt omedelbart till h¨oger (s˚ a att tangenten lutar upp˚ at) kallas instabil, eller repellerande: alla trajektorior i n¨arheten avl¨agsnar sig fr˚ an x∗ . Vill man veta inte bara huruvida en fixpunkt ¨ar stabil eller instabil, utan ocks˚ a hur mycket, kan man g¨ ora en s.k. line¨ ar fixpunktsanalys. Detta betyder att man med hj¨ alp av Taylorutveckling unders¨oker hur trajektorior n¨ara fixpunkten uppf¨or sig. L˚ at allts˚ a x(t) = x∗ + ǫ(t), d¨ ar vi antar ǫ litet. D˚ a f˚ ar vi ′ ǫ˙ = x˙ = f (x) = f (x∗ + ǫ) ≈ f (x∗ ) + ǫf (x∗ ) = λǫ d¨ ar vi har definierat λ som derivatan av f i fixpunkten, dvs. som tangentens lutning. I n¨ arheten av fixpunkten g¨ aller allts˚ a ǫ˙ = λǫ, med l¨osningen ǫ(t) = ǫ(0)eλt . Om lutningen λ ¨ ar positiv, v¨axer allts˚ a avst˚ andet till fixpunkten exponentiellt, och den b¨ or d˚ a vara instabil – λ m¨ater precis hur instabil. Om lutningen λ i st¨allet ar negativ, krymper i st¨ allet avst˚ andet till fixpunkten exponentiellt, och den b¨or d˚ a ¨ vara stabil – beloppet av λ ¨ ar d˚ a ett m˚ att p˚ a graden av stabilitet. Det kan ocks˚ a finnas fixpunkter som inte passar in i huvudtyperna (fundera t.ex. p˚ a fallet f (x) = x2 ). Alla s˚ adana karakteriseras av att de ¨ar gr¨ansfall med λ = 0 – d˚ a m˚ aste man titta p˚ a h¨ ogre termer i Taylorutvecklingen. Exempel: Fasportr¨ att f¨ or systemet f (x) = sin x. F¨orst letar vi upp fixpunkterna, som utg¨ ors av xn = nπ. D¨ aremellan, allts˚ a f¨or nπ < x < (n + 1)π, ¨ar f positivt om n¨ ar j¨ amnt, och negativt om n ¨ar udda. Allts˚ a ¨ar de udda fixpunkterna −π, π, 3π, . . . stabila, medan de j¨ amna, −2π, 0, 2π, 4π, . . ., ¨ar instabila. Som fasportr¨att plottar vi n˚ agra perioder av sin x, och markerar med pilar var f ¨ar positivt resp negativt. Vi markerar ocks˚ a fixpunkterna, och huruvida de ¨ar stabila (med t.ex. en fylld punkt) eller instabila (med t.ex. en ¨ oppen punkt). Sedan ¨ar det l¨att att med en snabb blick avg¨ ora ¨ odet f¨ or en trajektoria som startas i en viss punkt. 3 Fl¨ oden i planet P˚ a liknande s¨ att kan vi beskriva ett tv˚ adimensionellt fl¨ode, som allts˚ a svarar mot ett system med tv˚ a variabler, som vi t.ex. kan kalla x, y. Deras tidsutveckling b¨or d˚ a ges av tv˚ a kopplade ODE, enligt x˙ y˙ = f (x, y), = g(x, y), med s˚ av¨ al f som g kontinuerligt deriverbar med avseende p˚ a s˚ av¨al x som y. Detta kan skrivas mer kompakt i vektornotation, om vi s¨atter r = (x, y), som r˙ = f (r) d¨ ar vi allts˚ a kan se f = (f, g) som ett vektorf¨ alt, i detta fall i R2 , som i varje punkt r talar om hur fort och i vilken riktning vi r¨or oss ifr˚ an denna punkt. Vi kan allts˚ a se ett fl¨ ode i R2 som ett hastighetsf¨alt. ¨ Aven h¨ ar g˚ ar det att kvalitativt f¨orst˚ a systemet genom att g¨ora ett fasportr¨att: H¨ ar vill vi allts˚ a skissa vektorf¨altets utseende i planet. Detta kan t.ex. g¨oras genom att i ett rutm¨ onster av punkter r rita ut vektorn f (r) till storlek och riktning. Ovanp˚ a detta kan man sedan skissa ett antal typiska trajektorior i olika omr˚ aden, d¨ar deras riktning i varje punkt ges av vektorf¨altet. Eventuella fixpunkter ¨ ar f¨orst˚ as av intresse, och b¨or markeras samt avg¨oras vilken typ de tillh¨ or. Detta kan g¨ oras med en line¨ ar analys p˚ a liknande vis som i en dimension. Antag vi har hittat en fixpunkt r∗ = (x∗ , y ∗ ). Betrakta en trajektoria i n¨arheten, beskriven av r(t) = (x(t), y(t)) = (x∗ , y ∗ ) + (ǫx (t), ǫy (t)). F¨or sm˚ a avvikelser f˚ ar vi: ǫ˙x = ǫ˙y = ∂f ǫx + ∂x ∂g ǫx + ∂x ∂f ǫy ∂y ∂g ǫy ∂y vilket kan skrivas i matrisform som ǫ˙ = Jǫ d¨ ar J ¨ ar den s.k. Jacobimatrisen, ! J= ∂f ∂x ∂g ∂x ∂f ∂y ∂g ∂y evaluerad i fixpunkten. Typiskt har J tv˚ a olika egenv¨ arden med tillh¨orande line¨art oberoende egenvektorer, som definierar speciella riktningar n¨ara fixpunkten – en trajektoria l¨ angs en s˚ adan egenriktning utvecklas som ǫ(t) = ǫ(0)eλt , d¨ar λ ¨ar respektive egenv¨ arde. Notera att egenv¨ ardena kan vara komplexa (och d˚ a varandras komplexkonjugat) – detta ger spiralr¨ orelse mot eller fr˚ an fixpunkten beroende p˚ a egenv¨ardenas realdel. F¨ or reella egenv¨ arden beh¨over egenriktningarna inte vara ortogonala. 4 Egenv¨ ardena λ l¨ oser som bekant sekularekvationen, λ2 − τ λ + ∆ = 0 d¨ ar τ ¨ ar sp˚ aret och ∆ determinanten av J. L¨osningarna blir r τ2 τ −∆ λ= ± 2 4 Uppenbarligen m˚ aste summan av egenv¨ardena vara lika med τ , och produkten lika med ∆. Det a a egenv¨ ardena som avg¨or stabilitetstypen. Man kan d¨arvidlag urskilja ¨r allts˚ fem huvudtyper av fixpunkter: • B˚ ada λ reella, negativa: Vi har d˚ a en stabil nod, med tv˚ a (typiskt i olika grad) stabila riktningar. (τ < 0, 0 < ∆ < τ 2 /4) • B˚ ada λ reella, positiva: instabil nod, med tv˚ a instabila riktningar. (τ > 0, 0 < ∆ < τ 2 /4) • B˚ ada reella, en av varje tecken: sadelpunkt, med lokalt en stabil, och en instabil riktning (som forts¨ atter i speciella trajektorior, sadelpunktens stabila resp. instabila m˚ angfalder). (∆ < 0) • Tv˚ a komplexa λ med negativ realdel: stabil spiral, med trajektorior som lokalt spiraliserar in mot fixpunkten. (τ < 0, ∆ > τ 2 /4) • Tv˚ a komplexa λ med positiv realdel: instabil spiral, med trajektorior som lokalt spiraliserar ut fr˚ an fixpunkten. (τ > 0, ∆ > τ 2 /4) En stabil fixpunkt (nod eller spiral) kallas attraktor, och attraherar allts˚ a n¨arliggande trajektorior. I tv˚ a dimensioner kan det ocks˚ a finnas slutna trajektorior, s.k. cykler. Detta ger periodiskt uppf¨ orande (vilket ¨ar om¨ojligt i en dimension – samma v¨arde x kan inte passeras b˚ ade p˚ a v¨ ag upp och p˚ a v¨ag ned). ¨ Att hitta cykler ¨ ar dock mycket sv˚ arare ¨an att hitta fixpunkter. Aven cykler kan vara stabila eller instabila, s˚ a att n¨arliggande trajektorior n¨armar sig eller avl¨agsnar sig; ¨ aven detta ¨ ar sv˚ arare att avg¨ora ¨an f¨or fixpunkter, eftersom det beror p˚ a fl¨odets egenskaper i en omgivning av hela cykeln och inte bara lokalt i n¨arheten av en punkt. En stabil cykel ¨ ar ocks˚ a en form av attraktor, men sedan finns det inte fler sorter i tv˚ a dimensioner. I ett fasportr¨ att b¨ or s˚ av¨ al fixpunkter som ev. cykler markeras och typm¨arkas. En bra hj¨ alp f¨ or att g¨ ora ett fasportr¨att ¨ar att starta ett stort antal trajektorior t.ex. fr˚ an p˚ a l¨ ampligt s¨ att slumpartat valda punkter, eller fr˚ an ett antal smart valda punkter. 5 F¨ orberedande uppgift 1: Ett fl¨ode i xy-planet ¨ar givet av x˙ y˙ x(1 − x2 − y 2 ) − y, y(1 − x2 − y 2 ) + x. = = Formulera om detta i planpol¨ara koordinater r, φ med hj¨alp av definitionerna x = r cos φ, y = r sin φ, samt identiteterna rr˙ r2 φ˙ ≡ ≡ xx˙ + y y˙ xy˙ − y x˙ Ange ekvationerna f¨ or r, ˙ φ˙ som funktion av r, φ. Visa med hj¨alp h¨arav att systemet karakteriseras av en fixpunkt i origo och en cirkul¨ar cykel. Avg¨or deras stabilitetstyper och skissa fasportr¨ attet. Fl¨ oden i flera dimensioner P˚ a liknande s¨ att kan vi beskriva fl¨oden i 3, 4, eller fler dimensioner. Observera att variablerna x, y, z, . . . inte beh¨over vara koordinater i v˚ art vanliga rum, utan kan betyda vilka storheter som helst som beskriver den process vi ¨ar intresserade av. Fixpunkter kan studeras och deras stabilitet analyseras line¨art, med hj¨alp av ¨ egenv¨ ardena till de lokala Jacobi-matriserna. Aven cykler f¨orekommer h¨ar, men nu tillkommer det ocks˚ a knepigare former av attraktorer, som t.ex. s.k. s¨ aregna attraktorer, som f¨ orknippas med kaos med extrem k¨anslighet f¨or initialvillkor – detta ska vi dock inte studera h¨ ar. 3 Teori: Populationsdynamik Vi ¨ ar nu redo att kasta oss ¨over det egentliga ¨amnet f¨or denna simulerings¨ovning, n¨ amligen populationsdynamik, dvs. l¨att f¨orenklade modeller f¨or hur populationer av olika arter utvecklas i tiden i samspel med varandra. En art Vi v¨ armer upp med att studera ett fall med en enda art, en djurart. L˚ at dess population (antalet individer) vid tiden t beskrivas av n(t). Hur utvecklas denna med tiden? L˚ at oss g¨ ora en enkel modell. Om det finns s˚ ant den beh¨over i omgivningen och populationen inte a¨r f¨or stor, s˚ a a r det rimligt att den v¨ axer. Oavsett precis hur den rent tekniskt f¨or¨okar sig s˚ a ¨ bidrar rent statistiskt varje individ till o¨kningen, och det a¨r d¨arf¨or rimligt att i en f¨ orsta approximation anta att ¨okningen per tid ¨ar proportionell mot den existeranatt p˚ a artens f¨or¨okningsf¨orm˚ aga under de populationen, s¨ ag C+ n, d¨ ar C+ ¨ar ett m˚ de g¨ allande f¨ oruts¨ attningarna, uttryckt som genomsnittligt antal nya individer per befintlig individ och tid. 6 Men individerna i populationen lever inte f¨or evigt, utan d¨or s˚ a sm˚ aningom; detta ger en negativ term som ocks˚ a b¨or vara proportionell mot den existerande populationen, s¨ ag −C− n, d¨ ar C− m¨ ater den genomsnittliga andelen som d¨or per tidsenhet. Anv¨ ander vi notationen n˙ f¨or dn/dt, s˚ a f˚ ar vi (om vi bortser fr˚ an fluktuationer och fr˚ an att n m˚ aste vara heltal) allts˚ a en line¨ar ekvation f¨or inte alltf¨or stora populationer, n˙ = C+ n − C− n. Detta kan vi skriva som n˙ = Cn, (2) d¨ ar vi definierat (netto)tillv¨ axt-koefficienten C ≡ C+ −C− . L¨osningen till denna enkla dynamik blir exponentiell: n(t) = n(0) eCt = n(0) eC+ t e−C− t . (3) Vi ser att det blir en sorts t¨avling mellan C+ och C− : Om f¨orh˚ allandena ¨ar d˚ aliga s˚ a vinner C− s˚ a att C < 0 – och artens population d¨ or ut exponentiellt. Under gynnsammare f¨ orh˚ allanden vinner i st¨allet C+ , s˚ a att C > 0 – och vi f˚ ar i st¨allet exponentiell tillv¨ axt. Vi ser att parametern C kan tolkas som ett grovt m˚ att p˚ a artens anpassning till de r˚ adande omst¨ andigheterna, eller dess fitness. Detta ¨ar ett viktigt begrepp i evolutionsteori, och beskriver en arts f¨orm˚ aga att o¨verleva och v¨axa till. Exponentiell tillv¨ axt l˚ ater ju bra, men a¨r kanske inte helt realistisk i l¨angden: n¨ ar populationen blir allt st¨ orre s˚ a b¨or konkurrensen om f¨oda och andra resurser bli h˚ ardare, och tillv¨ axten kan inte forts¨atta p˚ a samma s¨att. Vi m˚ aste tydligen modifiera v˚ ar enartsmodell, s˚ a att tillv¨ axthastigheten avtar f¨or st¨orre populationer. Detta kan vi i modellen beskriva med en negativ kvadratisk term, som kan f¨orsummas vid sm˚ a populationer, men o¨kar i vikt n¨ar populationen blir st¨orre. Vi f˚ ar n˙ = Cn − An2 , (4) som en mer realistisk modell f¨or populationsdynamiken f¨or en art under konstanta omst¨ andigheter. Ekv. (4) kan l¨ att l¨ osas, men det ¨ar kanske mer instruktivt att unders¨oka dess fasportr¨ att i det fysikaliska omr˚ adet n ≥ 0. Populationens ¨okningshastighet kan skrivas An(C/A − n). Om vi antar C, A > 0 s˚ a betyder det att s˚ a l¨ange populationen ligger under ett visst v¨ arde, n0 = C/A > 0, s˚ a ¨okar den; ¨ar den st¨orre s˚ a minskar den i st¨ allet. Punkten n0 = C/A utg¨or allts˚ a en stabil f ixpunkt, och kan tolkas som artens j¨ amviktspopulation under de r˚ adande f¨orh˚ allandena. Det finns en fixpunkt till vid n = 0 som kan kallas triviell eftersom den svarar mot ett system som ¨ar tomt p˚ a individer. F¨ orberedande uppgift 2: F¨or att g¨ora det hela bekv¨amare, skalar vi om v˚ art system genom att definiera variabeln x = An som en omskalad version av n. Visa att fl¨ odet uttryckt i x(t) ges av x˙ = x(C − x) (5) (H¨ ar kunde vi ocks˚ a – f¨ or C > 0 – skalat om ¨aven tiden och f¨orenklat ned till x˙ = x(1 − x), utan n˚ agra parametrar alls – men vi skippar det h¨ar.) 7 F¨ orberedande uppgift 3: Fasportr¨ att – en art. F¨or (den avdimensionaliserade) enartsmodellen i ekv. (5) med l¨ampligt valt C > 0, rita ett fasportr¨ att: 1. Plotta x˙ som funktion av x f¨or x ≥ 0; 2. P˚ a x-axeln, markera med pilar de omr˚ aden d¨ar x v¨axer resp. avtar; 3. Markera p˚ a x-axeln fixpunkterna, d¨ar x inte ¨andras, och som allts˚ a svarar mot j¨ amviktsv¨ arden. 4. Identifiera det omr˚ ade av startpunkter vars trajektorior konvergerar mot den icke-triviella fixpunkten x∗ 6= 0. Tv˚ a arter Vi fokuserar nu p˚ a ett n˚ agot mer komplicerat scenario, med tv˚ a v¨axelverkande arter – l˚ at oss kalla dem X och Y, och l˚ at deras populationer (i l¨ampligt omskalade variabler) vid en viss tidpunkt t beskrivas av x(t) resp. y(t). Om vi till att b¨orja med f¨orsummar deras v¨ axelverkningar, s˚ a kan vi anv¨anda enartsmodellen (i omskalad form) i f¨orra avsnittet, vilket ger ekvationerna x˙ y˙ = x(C − x), = y(S − y), (6) (7) som helt enkelt beskriver tv˚ a helt oberoende arter, som inte m¨arker av varandra alls. (Vi kan h¨ ar anta att vi har skalat om tiden, s˚ a att t.ex. C 2 + S 2 = 1 g¨aller.) F¨ orberedande uppgift 4: Skissa fasportr¨attet i den fysikaliska delen (f¨orsta kvadranten, x, y ≥ 0) av xy-planet, f¨or fallet C, S > 0. Det ska inneh˚ alla fyra fixpunkter: en instabil nod, tv˚ a sadelpunkter och en stabil nod. Skissa typiska trajektorior i mellanrummen. Bristen p˚ a v¨ axelverkan kan vi avhj¨alpa med n˚ agra extra termer som kontrollerar hur de tv˚ a arterna p˚ averkar varandra. Tillv¨axttakten per individ m˚ aste modifieras med en faktor som beror p˚ a den andra populationen, och det enklaste ¨ar att anta att den ¨ ar proportionell mot denna. Vi f˚ ar, i avdimensionaliserade variabler, x˙ = x(C − x + Ay) (8) y˙ = y(S − y + Bx) (9) d¨ ar parametrarna A och B beskriver hur k¨anslig den ena arten ¨ar f¨or den andra och vice versa. Observera att A och B kan vara b˚ ada positiva eller b˚ ada negativa eller av olika tecken, svarande mot olika typer av v¨axelverkan. F¨ orberedande uppgift 5: Tolka de olika teckenkombinationerna f¨or A och B, genom att ange vilka som svarar mot de olika v¨axelverkanstyperna konkurrens, rovdjur/bytesdjur, resp. symbios. 8 Vi studerar h¨ ar det avdimensionaliserade tv˚ aartsfl¨odet som det beskrivs av ekv. (8,9), i det fysikaliska omr˚ adet x, y ≥ 0 (f¨orsta kvadranten). F¨ orberedande uppgift 6: Fixpunktsanalys. (a) Visa att de tre punkterna (0, 0), (0, S), (C, 0) (origo samt en punkt p˚ a varje axel) alltid ¨ ar fixpunkter. (b) Visa att det ¨ aven finns en fj¨arde fixpunkt, som ges av C + AS S + BC ∗ ∗ . , (x , y ) = 1 − AB 1 − AB (c) Visa att Jacobimatrisen i en godtycklig punkt (x, y) kan skrivas som (C − x + Ay) − x Ax J= By (S − y + Bx) − y Ange J f¨ or punkterna (0, 0), (C, 0) och (0, S), och ange deras egenv¨arden (kan l¨att avl¨ asas p˚ a en triangul¨ ar matris). (d) F¨ or den fj¨ arde fixpunkten, visa att J kan skrivas som −x∗ Ax∗ ∗ ∗ J(x , y ) = By ∗ −y ∗ Ange dess sp˚ ar τ och determinant ∆. (e) F¨ or att denna fixpunkt ska vara fysikalisk kr¨avs att x∗ , y ∗ > 0. Antag att s˚ a ¨ar fallet, och visa att den d˚ a¨ ar stabil om och endast om AB < 1. Parameteromr˚ aden F¨ or fixa, positiva v¨ arden p˚ a C, S, s˚ a noterar vi att de tre f¨orstn¨amnda fixpunkterna alltid hamnar i det fysikaliska omr˚ adet, och att parameterplanet A, B kan uppdelas i fem huvudomr˚ aden, med som vi ska se kvalitativt olika uppf¨orande: 1. A < −C/S och B < −S/C. 2. A > −C/S, B < −S/C (oavsett tecknet p˚ a A – tv˚ a m¨ojligheter). 3. A < −C/S, B > −S/C (oavsett tecknet p˚ a B – tv˚ a m¨ojligheter). 4. A > −C/S och B > −S/C, med AB < 1 (oavsett tecknen p˚ a A, B – fyra m¨ ojligheter). 5. B˚ ade A, B > 0, med AB > 1. F¨ orberedande uppgift 7: Skissa parameteromr˚ adena. Markera omr˚ adena i A, B-planet. Vi vill nu unders¨ oka hur systemet uppf¨or sig n¨ar parametrarna valts fr˚ an vart och ett av dessa omr˚ aden. F¨ oljande g¨aller: 9 • I ett av parameteromr˚ adena kan arterna samexistera i ett j¨amviktstillst˚ and; • I ett annat s˚ a vinner den ena eller den andra, beroende p˚ a var vi startar; • I ett omr˚ ade vinner alltid x; • I ett annat alltid y; • I det resterande, slutligen, v¨axer b˚ ada okontrollerat. Vi vill veta vilket uppf¨ orande som g¨aller i vilket av de fem parameteromr˚ adena ovan. Till v˚ ar hj¨ alp har vi en java-klass, samt lite sunt f¨ornuft och en del nyvunna kunskaper om dynamiska system. 4 Utfo ¨rande F¨ or detta beh¨ ovs en del filer, som kan laddas ned fr˚ an ¨ovningens sida, http://home.thep.lu.se/fyta11/Simulations/Pop/. Ladda ned arkivet Pop src.tgz och packa upp till en l¨amplig mapp. Bland filerna som blir tillg¨angliga vid ¨ovningstillf¨allet kommer det att finnas f¨ ardiga klasser f¨ or numerisk integration av ett system av differentialekvationer. Det finns ocks˚ a ett f¨ ardigt grafiskt gr¨anssnitt specifikt f¨or just det h¨ar problemet, med input-f¨ alt f¨ or de olika parametrarna till modellen och l¨osaren. Eftersom det ¨ ar ganska m˚ anga klasser som ber¨or olika omr˚ aden och ¨ar t¨ankta att kunna ˚ ateranv¨ andas s˚ a¨ ar koden uppdelat i n˚ agra olika paket. Notera att filernas s¨ okv¨ agar beh¨ over st¨ amma ¨ overens med package-raden i b¨orjan av respektive .javafil. Koden definierar ett interface ODEStepper som beskriver metoder f¨or att stega fram tiden vid numerisk integration. Det finns implementationer f¨or Eulersteg, mittpunktsmetoden och en vanligt f¨orekommande Runge-Kutta-metod. Runge-Kuttametoden ¨ ar av fj¨ arde ordningen vilket betyder att metodfelet i en given tidpunkt skalar som h4 d¨ ar h ¨ ar stegl¨ angden i tiden. (Detta fel skalar som h f¨or Eulersteg och som h2 f¨ or mittpunktsmetoden.) Simuleringsuppgift: numerisk integration Skapa en klass pop.PopODE som implementerar gr¨anssnittet Integrable f¨or det avdimensionaliserade tv˚ aartsfl¨ odet (8, 9) i det fysikaliska omr˚ adet x, y ≥ 0 (f¨orsta kvadranten). Det grafiska gr¨ anssnittet till˚ ater nu att man unders¨oker trajektorior och fasportr¨ att grafiskt. F¨ or enkelhets skull fixerar vi nu C = 0.6; S = 0.8. Unders¨ok dynamiken i vart och ett av de ovan givna parameteromr˚ adena, och spara graferna s˚ a att de kan inkluderas i rapporten senare. Identifiera vilket parameteromr˚ ade som svarar mot vilken typ av uppf¨orande. V¨alj minst ett av fallen och bekr¨afta det p˚ ast˚ adda oberoendet av tecknet hos A och/eller B. Ett av parameteromr˚ adena kan betraktas som ett svagkopplingsomr˚ ade, d¨ar v¨axelverkan inte spelar s˚ a stor roll – vilket? F¨ orekommer cykliskt uppf¨orande i n˚ agot fall? 10 5 Redovisning Skriv en individuell rapport och l¨amna in f¨ore angiven deadline. Rapporten skall vara v¨ alskriven, r¨attstavad och prydlig och ge en sammanh¨angande redog¨ orelse som ¨ ar begriplig f¨ or n˚ agon som inte sj¨alv har l¨ast handledningen. I teoridelen skall l¨ osningarna till de f¨ orberedande uppgifterna presenteras. F¨or att underl¨atta r¨ attning b¨ or uppgifternas nummer anges ¨aven d˚ a de arbetats in ordentligt i teoridelen. Beskriv utf¨ orandet av de olika delmomenten och ta med den teori som beh¨ovs f¨or att tolka simuleringsresultaten. Inkludera ocks˚ a relevanta plottar och skicka ocks˚ a in ett tar-arkiv med din programkod i samband med rapportinl¨amningen. Litteratur 1. Riley, Hobson och Bence, kap. 14–15 2. S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos (Addison-Wesley, 1994) 11