3.1 Procentuella förändringar

Upprepade procentuella förändringar

•

Förändringsfaktorn

När vi behöver räkna ut ett värde som har påverkats av flera procentuella förändringar är förändringsfaktorn oumbärlig.

Procentuell förändring

+ 50 % + 72,5 % ± 0 % – 25 % – 46 % – 2,8 %

Hur mycket har vi?

100 + 50 = 150 % 100 + 72,5 = 172,5 % 100 ± 0 = 100 % 100 – 25 = 75 % 100 – 46 = 54 % 100 – 2,8 = 97,2 %

Förändringsfaktor

1,50 1,725 1,00 = 1 0,75 0,54 0,972 När vi vill räkna ut hur mycket pengar vi kommer att ha efter ett flera års ränta så använder vi oss oftast av förändringsfaktorn Förändringsfaktorn > 1 procentuell ökning 0 < Förändringsfaktorn < 1 procentuell minskning

Procentuell förändring

Flera förändringar

Vi har pengar på ett sparkonto, pengarna kommer då att växa med 5 % årligen. Vi kallar den mängd pengar vi har på kontot för 𝑥 +5 % → 𝑓𝑓 = 1,05 Efter 1 år 𝑥 × 1, 05 = 1,05𝑥 → +5 % Efter 2 år 𝑥 × 1,05 × 1,05 = 1,05 2 𝑥 = 1,1025𝑥 → +10,25 % Efter 3 år 𝑥 × 1,05 × 1,05 × 1,05 = 3 𝑥 ≈ 1,1576𝑥 → +15,76 % Efter 𝑦 år 𝑥 × 1,05 𝑦 Vid upprepade procentuella förändringar multiplicerar vi de olika förändringsfaktorerna med varandra för en slutgiltig procentuell förändring.

Gameshow!

Du har lite pengar och du får välja ett av följande alternativ. Vilket tjänar du mest på? 𝑎) Först får du 25 % mer, sedan blir du av med 25 %. 1,25 × 0,75 = 0,9375 = 93,75 % 100 − 93,75 = 6,25 % → −6,25 % 𝑏) Först blir du av med 25 %, sedan får du 25 % mer. 0,75 × 1,25 = 0,9375 = 93,75 % 100 − 93,75 = 6,25 % → −6,25 % 𝑐) Låta pengarna vara. → ±0 %

Exempel

En cykel kostade 3750 kr. På våren höjde man priset med 10%. Men eftersom cykeln fanns kvar i augusti lämnade man 15% rabatt på vårpriset. Vad kostade cykeln efter augusti? Från Origo s124

(+1% → ff = 1,01)

+10% →

ff

= 1,1 –15% →

ff

= 0,85 En ökning på 10% innebär att vi multiplicerar med 1,1. En minskning på 15% innebär att vi multiplicerar med 0,85. Metod 1. Räkna först ut priset efter ökningen, därefter räknar vi ut priset efter sänkningen 3750 × 1,1 = 4125 4125 × 0,85 = 3506,25 ≈ 3506 Svar : Cykeln kostade 3506 kr efter augusti.

Exempel

En cykel kostade 3750 kr. På våren höjde man priset med 10%. Men eftersom cykeln fanns kvar i augusti lämnade man 15% rabatt på vårpriset. Vad kostade cykeln efter augusti? Från Origo s124

(+1% → ff = 1,01)

+10% →

ff

= 1,1 –15% →

ff

= 0,85 En ökning på 10% innebär att vi multiplicerar med 1,1. En minskning på 15% innebär att vi multiplicerar med 0,85. Metod 2. Räkna ut den totala förändringen genom att multiplicera förändringsfaktorerna med varandra. 1,1 × 0,85 = 0,935

Total ff

= 0,935 → Vi har 93,5% → 100 – 93,5 = 6,5 → Procentuell förändring – 6,5% 3750 × 0,935 = 3506,25 ≈ 3506 Svar : Cykeln kostade 3506 kr efter augusti.

3128 Moa sätter in 20 000 kr på ett kapitalkonto. Efter 2 år är det 22 050 kr på kontot. Den årliga räntan är hela tiden densamma. Hur stor är den? Vi kallar den sökta förändringsfaktorn med vilka pengarna har växt för 𝑥 . 20000 × 𝑥 2 = 22050 ↔ 𝑥 2 = 22050 20000 ↔ 𝑥 = ± 22050 20000 𝑥 1 = 1,05 (𝑥 2 = −1,05) Svar: Förändringsfaktorn 1,05 innebär att pengarna vuxit med 5 % årligen.