Transcript Medicin och vård – matematikens makt att rädda liv

Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter:
Sida 1
en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
MEDICIN OCH VÅRD
Ekvationers och formlers makt att rädda liv
Enhetsomvandling, ekvationslösning, lösningsverifikation
Bakgrund
Detta kapitel innefattar saker som börjar läras ut redan i grundskolan och vidare upp i mattekurserna på
gymnasiet, såsom att omvandla olika enheter och att lösa ekvationer. Det är saker som är så universellt
förekommande att de kanske har för självklara tillämpningar och sker för ofta i vardagen för att behöva
diskuteras i denna bok, men det är en fälla jag inte vill falla ner i.
Att uttrycka till exempel en liter vatten som 1000 milliliter är vad som kallas enhetsomvandling.
Tillsammans med några uträkningar inom områden som densitet, energiinnehåll eller energiförbrukning
kan man få veta saker som att tio deciliter vatten väger ungefär ett kilogram, eller att en hamburgare
innehåller 844 kilokalorier vilket är 37 % av det dagliga energibehovet hos en 50-årig man.1
De volym- och viktenheter som oftast används inom vården är:



1 liter (l) = 1000 milliliter (ml), 1 ml = 1000 mikroliter (µl)
1 gram (g) = 1000 milligram (mg), 1 mg = 1000 mikrogram (µg), 1 µg = 1000 nanogram (ng)
Mol (=
), ett antal (atomer). Enheten används vid beräkning av olika lösningars
koncentrationer.
Ett kilogram köttfärs väger alltså en biljon nanogram. Enhets-omvandlingar kan beröra så vardagliga saker
som priset i kronor per liter på en bensinpump eller kronor per hekto godis.
Förtrogenhet med dessa vardagliga saker kan göra skillnad mellan liv och död, vilket följande sidor
kommer göra klart. Misstag inom vården kan kosta liv, något som tyvärr också händer.
Innehållet i detta kapitel kommer bland annat från Anna-Maria Björkmans Läkemedelsberäkning och
läkemedelshantering.2
Doseringar av medicin
Miljontals människor världen över är varje dag beroende av medicin. Ibland är det för att få ett bättre liv,
ibland är det nödvändigt för att överhuvudtaget kunna överleva. Samtidigt kan en medicins dosering vara
livsfarlig om den är för hög, eller vara utan verkan om den är för låg. Här är felmarginalerna små och det är
viktigt att en läkare eller sköterska inte bara kan räkna ordentligt utan även är förtrogen med metoder att
verifiera huruvida en lösning faktiskt är korrekt.
Ett exempel hämtat direkt ur verkligheten handlar om en man med smärtor som ordinerats 20 milligram
(mg) morfin på morgonen, 15 mg till middagen och 30 mg om kvällen. Däremot finns inte tabletter i dessa
exakta doser utan med exakt 10 mg. Hur många tabletter ska tas vid varje tillfälle?
1 Som väger 80 kg, är 175 cm lång och för ett stillasittande arbete med stundtals fysiska aktiviteter såsom cykling och
promenader. Detta enligt dietisters tabeller.
2 Kursmaterial bland annat för studenter på sjuksköterskeprogrammet vid Högskolan Dalarna (2011).
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter:
Sida 2
en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
Detta kan vara ett till synes simpelt problem, du ser kanske omgående att rätt svar är 2 tabletter på
morgonen, 1½ till middagen och 3 till kvällen. Samtidigt går det lätt att bekräfta, 2 st tabletter om 10 mg
blir totalt
mg, vilket ju var receptbelagt för morgonen, och så vidare. Tycker du att detta var
lätt är det bara att gratulera, du är duktig på vad som är ett oersättligt verktyg även till vardags, till exempel
vid matlagning, bakning eller handel i matvarubutiker.
Oftast gäller det mer komplicerade uträkningar än så, men i allmänhet gäller regeln:
Detta är ett enkelt och generellt matematiskt samband. Dela den totala angivna dosen (20 mg för
morgonen) med hur stor dosen är per styck, till exempel per tablett (10 mg). Svaret blir
, som
är antalet tabletter.
Hur kan alla vara säkra på att det alltid är så, att formeln alltid stämmer? Dimensionsanalys eller
enhetsanalys är ett värdefullt mate-matiskt verktyg vid analyser av en formel och fokuserar på de enheter
som används. Den totala dosen mäter vi här i milligram. Dos per styck är alltså milligram per styck
förkortat mg/st. Skriver vi istället in bara enheterna kommer vi med kunskaper om bråkräkning fram till:
⁄
⁄
De båda milligrammen tar ut varandra och kvar blir endast “st”, alltså ett antal, den enhet vi var ute efter.
Observera att samma metod inte fungerat lika lätt om vi mätt den totala dosen i milligram men uttryckt
tabletternas dos i gram per styck, alltså blandat mellan milligram och gram. Det är alltid enklast att uttrycka
formler med likadana enheter, exempelvis alla vikter i gram, alla volymer i liter och så vidare. Valen är
beroende av vilka specifika enheter som är bäst lämpade för situationen. Vi föredrar att helst inte mäta
mängden vatten i en pool med milliliter eller uttrycka längden av en spik i kilometer.
Kontinuerlig vård, syrgas och dropp
Det finns många situationer där något sker kontinuerligt, oavbrutet, under en viss tid. Det kan gälla dropp
eller syrgas som ges till en patient. Det kan också gälla något inte lika oavbrutet men ändå regelbundet,
såsom insulintillskott till diabetiker. Även här finns många vanliga beräkningar värda att ta upp.
Med dropptakt menas den hastighet med vilken vätska införs i blodet på en patient. Ett exempel är en man
som under en fyra timmars operation hela tiden måste ges dropp för att reglera vätskebalansen. Totalt en
liter vätska ska administreras under dessa fyra timmar. Vårdpersonalen justerar detta dropp i en
hastighetsenhet som kallas droppar per minut, vilken såklart är beroende av just hur stor en droppe är. Detta
står angivet på maskinen och det kan till exempel gå 20 droppar på en milliliter. Med totalt en liter vätska,
1000 ml, blir det alltså 1000 20 = 20000 droppar.
Vi ville veta droppar per minut och inte per timme, så vi måste omvandla timmarna till minuter. 4 timmar
är detsamma som
minuter. Totalt blir det
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter:
Sida 3
en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
droppar per minut. Vi kan bekräfta lösningen genom att räkna baklänges: 83 droppar per minut
minuter 20 000 droppar, vilket vi ser är rätt.
240
Insulin kan mätas i en internationellt standardiserad enhet som förkortas E, kort för (insulin)ekvivalent. En
person kan till exempel ha blivit rekommenderad av läkare att injicera 54 E insulin per dygn, utspritt över
dagen. För detta har personen i fråga insulinpennor med totalt 3 ml vätska. Denna vätska har
koncentrationen 100 E/ml, med andra ord innehåller en milliliter vätska totalt 100 E insulin.
Låt oss säga att denna person ska åka iväg under två veckor. Hur många pennor måste då tas med? För att
veta detta måste vi först ta reda på hur många milliliter som faktiskt motsvaras av en dygnsdos. Med 100 E
per milliliter och en dos på 54 E, det vill säga nästan hälften, kan vi vänta oss att svaret är drygt en halv
milliliter. Mycket riktigt är svaret ⁄
ml.
En penna innehåller 3 milliliter och räcker därmed inte riktigt till sex doser, utan fem. Personen ska vara
⁄
borta i två veckor, 14 dagar, så totalt behöver vi
pennor. Dessa pennor finns inte i mindre
delar, därför måste vi runda av uppåt till tre pennor. Då har vi ekvationens lösning och därmed svaret på
vårt problem! Likadana beräkningar görs för andra regelbundna läkemedels doseringar, i synnerhet så på
sjukhus.
En person inlagd för vård har problem med andningen och behöver fem liter syrgas per minut. Syret
administreras i tuber om 1000 liter och av schematekniska skäl är det viktigt att kunna veta hur länge dessa
räcker så att de byts i rätt tid. Likaså är det viktigt att veta ungefär hur många tuber kan tänkas gå åt för
patienten under en hel dag. Med hjälp av dimensionsanalysen vi gick igenom tidigare kan vi bekräfta att en
bra metod är
⁄
⁄
eftersom vi vill veta tiden i antalet minuter. Vi delar alltså 1000 liter med 5 liter per minut och får 200
minuter (3 timmar och 20 minuter) innan ett byte måste ske. När detta är känt räknar vi lika lätt ut svaret på
frågan om hur många som krävs för en dag och kan summera liknande beräkningar för alla patienter med
samma behov.
Kost och hälsa
En viktig del i att må bra är att äta rätt, något som människor idag gör allt sämre. Vid framtagning av
matsedlar för skolluncher, äldre-boenden eller restauranger vill en så varierad och mångsidig kost som
möjligt uppnås. Här spelar många olika faktorer in, såsom mängden energi, proteiner, kolhydrater och
fetter. De måste vägas mot faktorer som ålder, kön och aktivitet bland de som ska äta och ekonomin hos de
som ska betala maten. Dessa grupper är inte nödvändigtvis desamma, vilket är fallet för skolmaten.
Data om olika ingående livsmedel i en rätt hämtas ur stora tabeller och rätterna väljs ut och anpassas efter
vilka totala värden de har och vilka som önskas. BMR står för “Basal Metabolic Rate” och är den
energiåtgång en person har utan någon aktivitet. När kroppen är på tomgång, så att säga. Som exempel kan
vi tänka oss en 1,73 meter lång 20-årig kvinna som väger 70 kg. Hennes BMR räknas ut på följande vis:
Ovanstående referensvärden (i fetstil) hämtas ur en tabell och representerar i detta fall en kvinna i åldern
18-30 men finns även tillgängliga för alla andra åldrar.
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter:
Sida 4
en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
PAL, ”Phyiscal Activity Level”, är en aktivitetsfaktor som representerar hur genomsnittligt aktiv en person
är. Den finns också standardiserad i tabeller efter tidigare undersökningar och beräkningar. Värdet väljs
utifrån fysisk aktivitet på jobbet och på fritiden. Till exempel representerar 1,6 ett stillasittande arbete med
en någorlunda aktiv fritid, exempelvis en student som tränar tre gånger i veckan.3
Snittåtgången av energi (kilokalorier, förkortat kcal) under en dag beräknas med formeln BMR PAL, i
detta fall
kcal/dag. Utifrån bland annat detta värde kan dietister utarbeta korrekta
kostrekommendationer.
3 Värden under 1,4 representerar sängliggande patienter och värden över 2,4 representerar exempelvis en elitidrottare eller
någon med ett mycket fysiskt krävande arbete.
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter:
Sida 5
en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
Alkoholförbränning
OBS! Här finns många individuella faktorer vilket gör att
ekvationens lösning inte garanterat stämmer på dig. I vilket fall
garanterar de inte när du är i bra skick för att köra bil eller
moped igen. Även om du förbränt all intagen alkohol kan
bakfylla eller trötthet, med lägre reaktionshastigheter och sämre
humör som följd, vara precis lika farligt som att köra
alkoholpåverkad. Ekvationerna täcker således inte in alla
möjliga individuella faktorer. Kanske är förbättringen av dem en
bra uppgift för en blivande matematiker - kanske du?
Normalomsättningshastigheten förkortas och är den hastighet som en person omsätter alkohol med.
ungefär 0,1 gram per kilogram kroppsvikt och timme.
är
De procentsatser av alkohol som anges på flaskor är andelar av volymen (vol%) och alltså inte av vikten
(vikt%). Vi vill helst ha den senare formen eftersom nedbrytningen av alkohol i kroppen inte mäts i liter
(volym) utan i kilogram (vikt). En händig omvandlingsformel är att byta ut milliliter mot gram och
multiplicera procentsatsen med 0,8.
Detta trick ger inte exakta svar men är bra nog för att snabbt ge ungefärliga svar. Motiveringen till varför
formeln fungerar kommer från densiteten hos etanol (den alkohol som finns i drycker) och olika
omvandlingsregler.
Säg att en person som väger 67 kg dricker



4 cl starksprit (40 vol%)
2 glas om 12,5 cl vin (12 vol%)
1 flaska, 33 cl, starköl (4,5 vol%)
Hur lång tid tar det för alkoholen att förbrännas?
Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter:
Sida 6
en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info: www.kvadratrot.se.
Den totala mängden alkohol i gram beräknas med tidigare nämnda knep:
Starkspriten:
40 vol% 0,8
= 32 vikt%
4 cl = 40 ml = 40 g
0,32 40 g
= 13 g
Vin:
12 vol% 0,8
= 9,6 vikt%
25 cl = 250 ml = 250 g
0,096 250 g
= 24 g
Starköl:
4,5 vol% 0,8
= 3,6 vikt%
33 cl = 330 ml = 330 g
0,036 330 g
= 12 g
Totalt 13 + 24 + 12 = 49 g. Med hastigheten
kroppsvikt förbränns
(0,1 gram per kilogram kroppsvikt) och 67 kilograms
gram per timme.
Det ger en total förbränningstid på
⁄
timmar.
En kostvetare eller dietist måste vara förtrogen med dessa och många andra teorier och beräkningar för att
kunna göra ett bra jobb. Samtidigt är alkoholförbränning också exempel på räkneuppgifter som ingår i den
svenska körkortsutbildningen (2012).