Transcript Forelesning 11

Interpolasjon: problemstilling
PROBLEMSTILLING: Gitt m + 1 par data
(x0 , y0 ),
1/16
(x1 , y1 ), . . . , (xm , ym )
finn en funksjon f (x) i en bestemt klass of funksjoner (polynom, trigonometrisk, rasjonal o.s.v.),
slik at
f (xi ) = yi ,
i = 0, 1, . . . m.
Funksjonen f kalles for INTERPOLANT
pukntene xi , for i = 0, 1, . . . , m kalles for INTERPOLASJONS NODER eller PUNKTER.
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon: problemstilling
PROBLEMSTILLING: Gitt m + 1 par data
(x0 , y0 ),
1/16
(x1 , y1 ), . . . , (xm , ym )
finn en funksjon f (x) i en bestemt klass of funksjoner (polynom, trigonometrisk, rasjonal o.s.v.),
slik at
f (xi ) = yi ,
i = 0, 1, . . . m.
Funksjonen f kalles for INTERPOLANT
pukntene xi , for i = 0, 1, . . . , m kalles for INTERPOLASJONS NODER eller PUNKTER.
y1
y
yn
0
x0
x
1
x
n
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon: problemstilling
PROBLEMSTILLING: Gitt m + 1 par data
(x0 , y0 ),
1/16
(x1 , y1 ), . . . , (xm , ym )
finn en funksjon f (x) i en bestemt klass of funksjoner (polynom, trigonometrisk, rasjonal o.s.v.),
slik at
f (xi ) = yi ,
i = 0, 1, . . . m.
Funksjonen f kalles for INTERPOLANT
pukntene xi , for i = 0, 1, . . . , m kalles for INTERPOLASJONS NODER eller PUNKTER.
y1
y1
y
yn
0
x0
x
1
x
n
y
yn
0
x0
x
1
x
n
JJ
II
J
I
Back
Close
Gitt en samling av data,
(xi , yi ),
i = 0, 1, . . . , m
2/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Gitt en samling av data,
(xi , yi ),
i = 0, 1, . . . , m
• vi velger en passelig funksjonsrom og en basis φ0 (x), φ1 (x), . . . , φn (x) slik at f kan skrives
som lineær kombinasjon av φi ’ne:
f (x) =
n
X
2/16
αj φj (x),
j=0
hvor α0 , . . . , αn er ukjente parameter vi ønsker ˚
a regne ut.
JJ
II
J
I
Back
Close
Gitt en samling av data,
(xi , yi ),
i = 0, 1, . . . , m
• vi velger en passelig funksjonsrom og en basis φ0 (x), φ1 (x), . . . , φn (x) slik at f kan skrives
som lineær kombinasjon av φi ’ne:
f (x) =
n
X
2/16
αj φj (x),
j=0
hvor α0 , . . . , αn er ukjente parameter vi ønsker ˚
a regne ut.
P
• ved ˚
a regne ut f (xi ) = yi = nj=0 αj φj (xi ) for i = 0, 1, . . . , m, vi har m + 1 lineære likninger
og n + 1 ukjente parameter αi
(m + 1) × (n + 1) lineær likningssystem
Aα = y
hvor
A = (ai,j ) = (φj (xi )),
α = [α0 , . . . , αn ]T , ,
y = [y0 , . . . , ym ]T .
OBS: For ˚
a ha enhet velger vi like mange data som frie parameter, n = m.
JJ
II
J
I
Back
Close
Interp. med polynom: Monomer basis
For ˚
a interpolere n + 1 data, velger vi k = n og et generisk polynom i Pn er
pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn−1 x
n−1
+ αn x
3/16
n
fordi, har vi like mange distinkte noder som ukjente parameter, er den kun ett eneste interpolasjon
polynom:
n + 1 distinkte noder
⇔
polynom av grad n (n + 1 fri parameter)
JJ
II
J
I
Back
Close
Interp. med polynom: Monomer basis
For ˚
a interpolere n + 1 data, velger vi k = n og et generisk polynom i Pn er
pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn−1 x
n−1
+ αn x
3/16
n
fordi, har vi like mange distinkte noder som ukjente parameter, er den kun ett eneste interpolasjon
polynom:
n + 1 distinkte noder
⇔
polynom av grad n (n + 1 fri parameter)
Polynomet pn (x) er lineær kombinasjon av de første n + 1 monomer:
φj (x) = xj
Monomene er en basis for Pn .
Matrisen A = (φj (xi )), er n˚
a en Vandermonde matrise,

1 x0 · · ·
 1 x1 · · ·

A =  .. .. . .
 . .
.
1 xn · · ·
og α = [α0 , . . . , αn ]T finnes ved ˚
a løse
Aα = y.
xn0
xn1
..
.
xnn





JJ
II
J
I
Back
Close
Eksempel: Finn det polynomet som interpolerer
yi
xi
1
0
5/8 4
1/2 2
20
3
4/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Litt om Vandermonde matriser
5/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Litt om Vandermonde matriser
5/16



A=

1 x0
1 x1
.. ..
. .
1 xn

· · · xn0
· · · xn1 

.. 
..
. . 
· · · xnn
• er ikke singulære om xi 6= xj for i 6= j (nodene er distinkte)
JJ
II
J
I
Back
Close
Litt om Vandermonde matriser
5/16



A=

1 x0
1 x1
.. ..
. .
1 xn

· · · xn0
· · · xn1 

.. 
..
. . 
· · · xnn
• er ikke singulære om xi 6= xj for i 6= j (nodene er distinkte)
det(A) = (x0 − x1 )(x0 − x2 ) · · · (x0 − xn )(x1 − x2 ) · · · (xn−1 − xn )
JJ
II
J
I
Back
Close
Litt om Vandermonde matriser
5/16



A=

1 x0
1 x1
.. ..
. .
1 xn

· · · xn0
· · · xn1 

.. 
..
. . 
· · · xnn
• er ikke singulære om xi 6= xj for i 6= j (nodene er distinkte)
det(A) = (x0 − x1 )(x0 − x2 ) · · · (x0 − xn )(x1 − x2 ) · · · (xn−1 − xn ) =
Y
(xi − xj )
i6=j
JJ
II
J
I
Back
Close
Litt om Vandermonde matriser
5/16



A=

1 x0
1 x1
.. ..
. .
1 xn

· · · xn0
· · · xn1 

.. 
..
. . 
· · · xnn
• er ikke singulære om xi 6= xj for i 6= j (nodene er distinkte)
det(A) = (x0 − x1 )(x0 − x2 ) · · · (x0 − xn )(x1 − x2 ) · · · (xn−1 − xn ) =
Y
(xi − xj )
i6=j
• er fulle, og derfor O(n3 ) for ˚
a løse Aα = y
JJ
II
J
I
Back
Close
Litt om Vandermonde matriser
5/16



A=

1 x0
1 x1
.. ..
. .
1 xn

· · · xn0
· · · xn1 

.. 
..
. . 
· · · xnn
• er ikke singulære om xi 6= xj for i 6= j (nodene er distinkte)
det(A) = (x0 − x1 )(x0 − x2 ) · · · (x0 − xn )(x1 − x2 ) · · · (xn−1 − xn ) =
Y
(xi − xj )
i6=j
• er fulle, og derfor O(n3 ) for ˚
a løse Aα = y
Faktisk, det finnes O(n2 ) algoritmer men de er basert p˚
a andre representasjon av det intepolasjon polynomet p
JJ
II
J
I
Back
Close
Litt om Vandermonde matriser
5/16



A=

1 x0
1 x1
.. ..
. .
1 xn

· · · xn0
· · · xn1 

.. 
..
. . 
· · · xnn
• er ikke singulære om xi 6= xj for i 6= j (nodene er distinkte)
det(A) = (x0 − x1 )(x0 − x2 ) · · · (x0 − xn )(x1 − x2 ) · · · (xn−1 − xn ) =
Y
(xi − xj )
i6=j
• er fulle, og derfor O(n3 ) for ˚
a løse Aα = y
Faktisk, det finnes O(n2 ) algoritmer men de er basert p˚
a andre representasjon av det intepolasjon polynomet p
• er kjent for ˚
a ha d˚
arlig kondisjonering: den større er n, det større blir kondisjonstallet av
matrisen
JJ
II
J
I
Back
Close
6/16
1
0.9
0.8
0.7
0.6
φ1(x)=x
0.5
0.4
φ2(x)=x2
JJ
II
J
I
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
7/16
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
7/16
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
Med unntak av rn (x) = 0, det finnes ingen slik polynom. Og dermed qn (x) = pn (x).
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
Med unntak av rn (x) = 0, det finnes ingen slik polynom. Og dermed qn (x) = pn (x).
• Tillbake til skalering:
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
Med unntak av rn (x) = 0, det finnes ingen slik polynom. Og dermed qn (x) = pn (x).
• Tillbake til skalering:
Transformasjonen
φj (x) =
x−c
d
j
,
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
Med unntak av rn (x) = 0, det finnes ingen slik polynom. Og dermed qn (x) = pn (x).
• Tillbake til skalering:
Transformasjonen
φj (x) =
x−c
d
j
,c =
xn + x0
,
2
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
Med unntak av rn (x) = 0, det finnes ingen slik polynom. Og dermed qn (x) = pn (x).
• Tillbake til skalering:
Transformasjonen
φj (x) =
x−c
d
j
,c =
xn + x0
,
2
d=
xn − x0
2
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
Med unntak av rn (x) = 0, det finnes ingen slik polynom. Og dermed qn (x) = pn (x).
• Tillbake til skalering:
Transformasjonen
φj (x) =
skalerer x til intervallen [−1, 1]
x−c
d
j
,c =
xn + x0
,
2
d=
xn − x0
2
JJ
II
J
I
Back
Close
En mulig alternativ for ˚
a forbedre kondisjonstallet av matrisen A = (φj (xi )) er ˚
a velge en ny basis
eller skalering.
• Ved ˚
a gjøre s˚
a vi endrer ikke polynomet pn (x) (interpolasjons polynomet er unikt)
Bevis: la oss anta at det finnes et polynom qn (x) 6= pn (x) slik at
qn (xi ) = yi = pn (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
7/16
Vi sett rn (x) = pn (x) − qn (x).
♦ rn (x) ∈ Pn er et polynom av grad høyst n (derfor har det maksimum n røtter)
♦ rn (xi ) = pn (xi ) − qn (xi ) = yi − yi = 0, for i = 0, 1, 2, . . . , n, for en total av n + 1 røtter!
Med unntak av rn (x) = 0, det finnes ingen slik polynom. Og dermed qn (x) = pn (x).
• Tillbake til skalering:
Transformasjonen
φj (x) =
x−c
d
j
,c =
xn + x0
,
2
d=
xn − x0
2
skalerer x til intervallen [−1, 1]
Konditionering av matrisen blir noe bedre (men ikke fullt s˚
a bra allikevel)
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
8/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
En ting som er velding viktig n˚
ar vi velger en basis for interpolasjon er: hvor enkelt er ˚
a
8/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
En ting som er velding viktig n˚
ar vi velger en basis for interpolasjon er: hvor enkelt er ˚
a
8/16
• regne ut pn (x) for x 6= xi ,
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
En ting som er velding viktig n˚
ar vi velger en basis for interpolasjon er: hvor enkelt er ˚
a
8/16
• regne ut pn (x) for x 6= xi ,
• manipulere pn (x).
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
En ting som er velding viktig n˚
ar vi velger en basis for interpolasjon er: hvor enkelt er ˚
a
8/16
• regne ut pn (x) for x 6= xi ,
• manipulere pn (x).
Hvis polynomet er skreved ned i den monom basis,
pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn−1 xn−1 + αn xn
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
En ting som er velding viktig n˚
ar vi velger en basis for interpolasjon er: hvor enkelt er ˚
a
8/16
• regne ut pn (x) for x 6= xi ,
• manipulere pn (x).
Hvis polynomet er skreved ned i den monom basis,
pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn−1 xn−1 + αn xn
da kan man bruker Horners metode (nestet evaluering)
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
En ting som er velding viktig n˚
ar vi velger en basis for interpolasjon er: hvor enkelt er ˚
a
8/16
• regne ut pn (x) for x 6= xi ,
• manipulere pn (x).
Hvis polynomet er skreved ned i den monom basis,
pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn−1 xn−1 + αn xn
da kan man bruker Horners metode (nestet evaluering)
pn (x) = α0 + x(α1 + x(· · · x(αn−1 + xαn ) · · ·))
JJ
II
J
I
Back
Close
Evaluering av pn(x): Horners metode
En ting som er velding viktig n˚
ar vi velger en basis for interpolasjon er: hvor enkelt er ˚
a
8/16
• regne ut pn (x) for x 6= xi ,
• manipulere pn (x).
Hvis polynomet er skreved ned i den monom basis,
pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn−1 xn−1 + αn xn
da kan man bruker Horners metode (nestet evaluering)
pn (x) = α0 + x(α1 + x(· · · x(αn−1 + xαn ) · · ·))
som trenger bare n multiplikasjoner og n addisjoner (mens en ‘naive’ evaluering av pn (x) bruker
n(n − 1)/2 mult + n add).
JJ
II
J
I
Back
Close
Algoritme:1 Horners metode, evaluerer p = pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn xn
p = αn
for j = n : −1 : 1
p = αj−1 + x ∗ p
end
9/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Algoritme:1 Horners metode, evaluerer p = pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn xn
p = αn
for j = n : −1 : 1
p = αj−1 + x ∗ p
end
9/16
Man kan bruke denne ‘tricket’ ogs˚
a for ˚
a regne ut elementene av Vandermonde matrisen:
JJ
II
J
I
Back
Close
Algoritme:1 Horners metode, evaluerer p = pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn xn
p = αn
for j = n : −1 : 1
p = αj−1 + x ∗ p
end
9/16
Man kan bruke denne ‘tricket’ ogs˚
a for ˚
a regne ut elementene av Vandermonde matrisen:
ai,j = φj−1 (xi ) = xj−1
i
JJ
II
J
I
Back
Close
Algoritme:1 Horners metode, evaluerer p = pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn xn
p = αn
for j = n : −1 : 1
p = αj−1 + x ∗ p
end
9/16
Man kan bruke denne ‘tricket’ ogs˚
a for ˚
a regne ut elementene av Vandermonde matrisen:
ai,j = φj−1 (xi ) = xj−1
bør regnes ut som xi (xi )j−2 = xi ai,j−1
i
JJ
II
J
I
1
Husk ˚
a skifte indekser i MATLAB (som aksepterer ikke null indekser)
Back
Close
Oppsummering:
10/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering: Polynomisk interpolasjon med monomer basis φj (x) = xj :
Fordeler:
• Polynomet pn (x) i monomer basis er lett ˚
a manipuleres
10/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering: Polynomisk interpolasjon med monomer basis φj (x) = xj :
Fordeler:
• Polynomet pn (x) i monomer basis er lett ˚
a manipuleres
Ulemper:
10/16
• Vandermonde matrisen er d˚
arlig kondisjonert (polynomets koeffisientene αj kan være upresise)
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering: Polynomisk interpolasjon med monomer basis φj (x) = xj :
Fordeler:
• Polynomet pn (x) i monomer basis er lett ˚
a manipuleres
Ulemper:
10/16
• Vandermonde matrisen er d˚
arlig kondisjonert (polynomets koeffisientene αj kan være upresise)
• Hva om vi ombestemmer oss og vil ha flere interpolasjons noder?
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering: Polynomisk interpolasjon med monomer basis φj (x) = xj :
Fordeler:
• Polynomet pn (x) i monomer basis er lett ˚
a manipuleres
Ulemper:
10/16
• Vandermonde matrisen er d˚
arlig kondisjonert (polynomets koeffisientene αj kan være upresise)
• Hva om vi ombestemmer oss og vil ha flere interpolasjons noder?
Vi m˚
a løse en ny likningssystem.
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
lj (x) =
11/16
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
l0 (x) =
(0 − 12 )(0 − 2)(0 − 3)
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
l0 (x) =
=−
3
(0 − 12 )(0 − 2)(0 − 3)
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
l0 (x) =
=−
3
(0 − 12 )(0 − 2)(0 − 3)
(x − 0)(x − 2)(x − 3)
l1 (x) = 1
( 2 − 0)( 12 − 2)( 12 − 3)
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
l0 (x) =
=−
3
(0 − 12 )(0 − 2)(0 − 3)
(x − 0)(x − 2)(x − 3)
8x(x − 2)(x − 3)
l1 (x) = 1
=
1
1
15
( 2 − 0)( 2 − 2)( 2 − 3)
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
l0 (x) =
=−
3
(0 − 12 )(0 − 2)(0 − 3)
(x − 0)(x − 2)(x − 3)
8x(x − 2)(x − 3)
l1 (x) = 1
=
1
1
15
( 2 − 0)( 2 − 2)( 2 − 3)
l2 (x) =
(x − 0)(x − 12 )(x − 3)
(2 − 0)(2 − 12 )(2 − 3)
JJ
II
J
I
Back
Close
Interpolasjon i Lagrange form
11/16
Gitt n + 1 interpolasjons noder x0 , x1 , . . . , xn , polynom
n
lj (x) =
Y (x − xi )
(x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x− xn )
=
(xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn )
(xj − xi )
i=0
i6=j
kalles for Lagrange kardinale polynom eller Lagrange fundamentale polynom
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
(x − 12 )(x − 2)(x − 3)
l0 (x) =
=−
3
(0 − 12 )(0 − 2)(0 − 3)
(x − 0)(x − 2)(x − 3)
8x(x − 2)(x − 3)
l1 (x) = 1
=
1
1
15
( 2 − 0)( 2 − 2)( 2 − 3)
l2 (x) =
(x − 0)(x − 12 )(x − 3)
(2 − 0)(2 − 12 )(2 − 3)
(x − 0)(x − 12 )(x − 2)
l3 (x) =
(3 − 0)(3 − 12 )(3 − 2)
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
12/16
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1,
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
Vi skriver
pn (x) =
n
X
αj lj (x),
j=0
hvor αj er koeffisientene som skal determineres.
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
Vi skriver
pn (x) =
n
X
αj lj (x),
j=0
hvor αj er koeffisientene som skal determineres.
Ved interpolasjons nodene:
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
Vi skriver
pn (x) =
n
X
αj lj (x),
j=0
hvor αj er koeffisientene som skal determineres.
Ved interpolasjons nodene:
α0 l0 (x0 ) + α1 l1 (x0 ) + · · · + αn ln (x0 ) = y0
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
Vi skriver
pn (x) =
n
X
αj lj (x),
j=0
hvor αj er koeffisientene som skal determineres.
Ved interpolasjons nodene:
α0 l0 (x0 ) + α1 l1 (x0 ) + · · · + αn ln (x0 ) = y0
⇒ α0 = y0
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
Vi skriver
pn (x) =
n
X
αj lj (x),
j=0
hvor αj er koeffisientene som skal determineres.
Ved interpolasjons nodene:
α0 l0 (x0 ) + α1 l1 (x0 ) + · · · + αn ln (x0 ) = y0
α0 l0 (x1 ) + α1 l1 (x1 ) + · · · + αn ln (x1 ) = y1
⇒ α0 = y0
⇒ α1 = y1
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
Vi skriver
pn (x) =
n
X
αj lj (x),
j=0
hvor αj er koeffisientene som skal determineres.
Ved interpolasjons nodene:
α0 l0 (x0 ) + α1 l1 (x0 ) + · · · + αn ln (x0 ) = y0
α0 l0 (x1 ) + α1 l1 (x1 ) + · · · + αn ln (x1 ) = y1
..
.
⇒ α0 = y0
⇒ α1 = y1
α0 l0 (xn ) + α1 l1 (xn ) + · · · + αn ln (xn ) = yn
⇒ α1 = y1
JJ
II
J
I
Back
Close
n
Y
(x − xi )
lj (x) =
(xj − xi )
i=0
i6=j
Fakta om Lagrange kardinale polynom:
12/16
• lj (x) er et n grads polynom
• lj (xj ) = 1, lj (xi ) = 0 for i 6= j.
Vi skriver
pn (x) =
n
X
αj lj (x),
j=0
hvor αj er koeffisientene som skal determineres.
Ved interpolasjons nodene:
α0 l0 (x0 ) + α1 l1 (x0 ) + · · · + αn ln (x0 ) = y0
α0 l0 (x1 ) + α1 l1 (x1 ) + · · · + αn ln (x1 ) = y1
..
.
⇒ α0 = y0
⇒ α1 = y1
α0 l0 (xn ) + α1 l1 (xn ) + · · · + αn ln (xn ) = yn
⇒ α1 = y1
og dermed seer vi lett at A = I og at interpolasjons polynomet blir


n
n
n
X
X Y x − x i 
pn (x) =
yj lj (x) =
yi 

xj − xi
i=0
j=0
j=0
i6=j
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
Fordeler:
• lj (x) er lett ˚
a skrives ned
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
Fordeler:
• lj (x) er lett ˚
a skrives ned
• Polynomets parameter er presise, fordi A = I,
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
Fordeler:
• lj (x) er lett ˚
a skrives ned
• Polynomets parameter er presise, fordi A = I, αj = yj
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
Fordeler:
• lj (x) er lett ˚
a skrives ned
• Polynomets parameter er presise, fordi A = I, αj = yj
Ulemper:
• pn (x) er vanskeligere ˚
a manipuleres
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
Fordeler:
• lj (x) er lett ˚
a skrives ned
• Polynomets parameter er presise, fordi A = I, αj = yj
Ulemper:
• pn (x) er vanskeligere ˚
a manipuleres
• Hva om vi ønsker ˚
a interpolere med flere punkter?
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
Fordeler:
• lj (x) er lett ˚
a skrives ned
• Polynomets parameter er presise, fordi A = I, αj = yj
Ulemper:
• pn (x) er vanskeligere ˚
a manipuleres
• Hva om vi ønsker ˚
a interpolere med flere punkter?
Alle de kardinale polynom m˚
a regnes ut p˚
a nytt.
JJ
II
J
I
Back
Close
Oppsummering av Lagranges interpolasjon:
pn (x) =
n
X
j=0


yj 
n
Y
i=0

x − xi 

xj − xi
i6=j
13/16
Fordeler:
• lj (x) er lett ˚
a skrives ned
• Polynomets parameter er presise, fordi A = I, αj = yj
Ulemper:
• pn (x) er vanskeligere ˚
a manipuleres
• Hva om vi ønsker ˚
a interpolere med flere punkter?
Alle de kardinale polynom m˚
a regnes ut p˚
a nytt.
Interpolasjon i Lagranges form brukes veldig mye, men mest for teoretiske form˚
al.
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 )
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
for j = 0, 1, . . . , n. Merk at π0 (x) = 1.
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
for j = 0, 1, . . . , n. Merk at π0 (x) = 1.
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
for j = 0, 1, . . . , n. Merk at π0 (x) = 1.
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
π0 (x) = 1
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
for j = 0, 1, . . . , n. Merk at π0 (x) = 1.
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
π0 (x) = 1
π1 (x) = x − 0 = x
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
for j = 0, 1, . . . , n. Merk at π0 (x) = 1.
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
π0 (x) = 1
π1 (x) = x − 0 = x
1
1
π2 (x) = (x − 0)(x − ) = x(x − )
2
2
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
for j = 0, 1, . . . , n. Merk at π0 (x) = 1.
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
π0 (x) = 1
π1 (x) = x − 0 = x
1
1
π2 (x) = (x − 0)(x − ) = x(x − )
2
2
1
π3 (x) = x(x − )(x − 2).
2
JJ
II
J
I
Back
Close
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
14/16
Gitt (xi , yi ), for i = 0, 1, . . . , n, Newtons basis funksjoner er definert som
πj (x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xj−1 ) =
j−1
Y
(x − xk )
k=0
for j = 0, 1, . . . , n. Merk at π0 (x) = 1.
EKS: x0 = 0, x1 = 12 , x2 = 2, x3 = 3:
π0 (x) = 1
π1 (x) = x − 0 = x
1
1
π2 (x) = (x − 0)(x − ) = x(x − )
2
2
1
π3 (x) = x(x − )(x − 2).
2
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
15/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
• Ved interpolasjons nodene, πj (xk ) = 0 hvis k < j.
15/16
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
• Ved interpolasjons nodene, πj (xk ) = 0 hvis k < j.
Vi skriver Newtons interpolasjon polynomet som:
pn (x) =
n
X
αj πj (x)
15/16
j=0
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
• Ved interpolasjons nodene, πj (xk ) = 0 hvis k < j.
Vi skriver Newtons interpolasjon polynomet som:
pn (x) =
n
X
αj πj (x)
15/16
j=0
og ved interpolasjons node xi har vi:
α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αn φn (xi ) = yi
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
• Ved interpolasjons nodene, πj (xk ) = 0 hvis k < j.
Vi skriver Newtons interpolasjon polynomet som:
pn (x) =
n
X
αj πj (x)
15/16
j=0
og ved interpolasjons node xi har vi:
α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αn φn (xi ) = yi ⇒ α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αi φi (xi ) = yi
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
• Ved interpolasjons nodene, πj (xk ) = 0 hvis k < j.
Vi skriver Newtons interpolasjon polynomet som:
pn (x) =
n
X
15/16
αj πj (x)
j=0
og ved interpolasjons node xi har vi:
α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αn φn (xi ) = yi ⇒ α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αi φi (xi ) = yi
dermed er A = (πj (xi )) en nedre triangulær matrise

1
0
···
0
..
.

..
.
 1 (x1 − x0 )
A= .
.
.
..
..
 ..
0
1 (xn − x0 ) (xn − x0 )(xn − x1 ) · · · (xn − x0 ) · · · (xn − xn−1 )





• Likningssystemet Aα = y kan løses i O(n2 ) operasjoner.
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
• Ved interpolasjons nodene, πj (xk ) = 0 hvis k < j.
Vi skriver Newtons interpolasjon polynomet som:
pn (x) =
n
X
15/16
αj πj (x)
j=0
og ved interpolasjons node xi har vi:
α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αn φn (xi ) = yi ⇒ α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αi φi (xi ) = yi
dermed er A = (πj (xi )) en nedre triangulær matrise

1
0
···
0
..
.

..
.
 1 (x1 − x0 )
A= .
.
.
..
..
 ..
0
1 (xn − x0 ) (xn − x0 )(xn − x1 ) · · · (xn − x0 ) · · · (xn − xn−1 )





• Likningssystemet Aα = y kan løses i O(n2 ) operasjoner.
• Det interpolasjon polynomet kan evalueres med Horners algoritme:
pn (x) = α0 + (x − x0 )(α1 + (x − x1 )(α2 + · · · (αn−1 + αn (x − xn−1 )) · · ·))
JJ
II
J
I
Back
Close
Fakta om πj (x):
• Ved interpolasjons nodene, πj (xk ) = 0 hvis k < j.
Vi skriver Newtons interpolasjon polynomet som:
pn (x) =
n
X
15/16
αj πj (x)
j=0
og ved interpolasjons node xi har vi:
α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αn φn (xi ) = yi ⇒ α0 φ0 (xi ) + α1 φ1 (xi ) + · · · + αi φi (xi ) = yi
dermed er A = (πj (xi )) en nedre triangulær matrise

1
0
···
0
..
.

..
.
 1 (x1 − x0 )
A= .
.
.
..
..
 ..
0
1 (xn − x0 ) (xn − x0 )(xn − x1 ) · · · (xn − x0 ) · · · (xn − xn−1 )





• Likningssystemet Aα = y kan løses i O(n2 ) operasjoner.
• Det interpolasjon polynomet kan evalueres med Horners algoritme:
pn (x) = α0 + (x − x0 )(α1 + (x − x1 )(α2 + · · · (αn−1 + αn (x − xn−1 )) · · ·))
• Koeffisientene αi kalles ogs˚
a for dividerte differanser
JJ
II
J
I
Back
Close
Neste gang:
• dividerte differanser
• interpolasjonsfeilen
• baklengsregning i differansetabellen
16/16
• ekvidistante noder
JJ
II
J
I
Back
Close