Transcript Kap. 6

Kapittel 6
TIDSVARIERENDE
MAGNETISKE FELTER induserte strømmer og
spenninger
6.1.1
Tidsvarierende magnetiske felter
6.1
I elektrisk energiteknikk utnyttes ofte det tidsvarierende magnetiske FARADAYS LOV
feltet. Ved de frekvenser som normalt brukes vil ikke forskyvningleddet ha stor betydning, og blir derfor ofte neglisjert. Slike felter kalles
kvasistasjonære magnetiske felter.
Klassiske konstruksjoner som transformator, roterende elektriske mas- Figur 6–1: Strøm i spole
kiner og induksjonsoppvarmingsanlegg baserer seg på denne type mag- hvor det flyter en fluks Φ
netfelter. Typiske frekvenser er fra 10Hz til 500kHz.
Φ
++
Den mest fundamentale ligningen som beskriver tidsvarierende magnetiske felter er Faradays lov,
u = N ∂Φ
∂t
(6-1)
-
der u er den induserte spenningen, mens N er spolens vindingstall, se
fig.6–1. I denne figuren er det valgt motoriske referanseretninger.
121
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
Figur 6–2: En permanentmagnet skyves inn og ut av en
spole.
Legg merke til at en i fig.6–1 antar at spolen består av mange tynne tråder. Strømtettheten innen hver delleder antas konstant.
I det følgende skal vi studere hvordan feltet oppfører seg dynamisk når
vi beveger en permanentmagnet i nærheten av en spole. Vi kan enkelt
måle den spenningen som blir indusert. Et slikt måleoppsett er vist i fig
fig.6–2
Dersom magneten trekkes ut av spolen vil denne prøve å unngå at fluksen endres gjennom spolen ved å lage strømmer som setter opp et motfelt. I fig.6–3 og fig.6–4a) vises hvordan feltet holdes tilbake av
spolen idet magneten trekkes ut.
Figur 6–3: Magneten trekkes ut av spolen
a) Magneten trekkes ut av spolen
b) Magneten presses inn i spolen
Figur 6–4: Respons på en bevegelig magnet
I fig.6–4b ser vi hvordan spolen hindrer feltet å komme inn i denne.
122
Seksjon 6.2
Tidsvarierende magnetfelt gjennom et elektrisk ledende
Dersom en magnet raskt beveges gjennom en kortsluttet ring vil det Figur 6–5: Permanentmagnet
oppstå induserte strømmer i denne. Hvis en ikke har motstand i ringen over en superledende ring
(superledende) vil det lett kunne oppstå store strømmer og magneten
trykkes da kraftig tilbake og kan sveve over ringen, se fig.6–5
Magneten kan også henge under en slik superledende kortsluttet ring,
som vist i fig.6–6. Legg merke til at flukslinjene strekker seg langt for
å unngå fluksendringer inne i ringen. Det kan oppstå store strømmer i
en slik ring for å oppnå dette!
Hva tror du skjer dersom en har endelig motstand i spolen?
6.2.1
Figur 6–6: Permanentmagnet
hengende under en superledende ring.
Virvelstrømmer
6.2
I praksis vil det magnetiske feltet også treffe andre elektriske ledende Tidsvarierende
materialer enn spolen. Generelt kan en forvente at det tidsvarierende magnetfelt gjennom et
feltet vil treffe et materiale med tilfeldig geometrisk utforming, en led- elektrisk ledende
legeme
ningsevne σ og magnetisk permeabilitet µ, se fig.6–7
µσ
Figur 6–7: Et tilfeldig ledende medium plassert i et magnetfelt.
Når det tidsvarierende feltet trenger ned i materialet, vil det på samme
måte som for spolen i fig.6–1 bli indusert strømmer. Disse induserte
strømmene vil lage et magnetfelt som motvirker det påtrykte feltet.
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
123
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
En kan tenke seg materialet som oppdelt i mange strømsløyfer, se
fig.6–8, der en har en spenning e. Når materialet er ledende vil strømmene som induseres på denne måten vil sette opp et magnetisk felt som
prøver å motvirke det påtrykte feltet.
Påtrykt magnetfelt
Indusert strøm
Figur 6–8: Fig. 3 Induserte strømmer i det ledende materialet
Det vil bli størst strøm ute ved kanten fordi det flyter mer fluks gjennom de ytre strømslyfene enn de indre. Ligningene som beskriver de induserte strømmene er igjen Maxwells ligninger.
Figur 6–9: Påtrykt magnetfelt gir strømrespons i jernet.
Tar nå i bruk Faradays lov på differensialform
Påtrykt B-felt
∇×E = – ∂ B :
∂t
(6-2)
J
∂
∇×--- = – B
σ
∂t
(6-3)
og når en innfører J = σ E
a
Indusert strøm
Intergralformen av ligningen er kanskje mer kjent
∂
∂Φ
∫ E dl = = ∫ -σ-- dl= ∫ –∂ tB dS= –∂ t
J
6.2.2
b
c
124
(6-4)
Motfelt og feltfortrengning
I fig.6–9 er det skissert et elektrisk ledende objekt som påtrykkes et Bfelt. Figuren viser også hvor det som følge av det påtrykte feltet vil oppstå induserte strømmer. I fig.6–9b vises det magnetiske feltet som oppstår på grunn av de induserte strømmene alene. Legg merke til at dette
feltet virker i motsatt retning av det påtrykte feltet.
Seksjon 6.2
Tidsvarierende magnetfelt gjennom et elektrisk ledende
I fig.6–9c vises det resulterende feltet. Her ser en at fluksen fortrenges
ut mot overflaten av materialet. De induserte strømmene vil ved høye
frekvenser ofte kunne betraktes som overflatestrømmer.
6.2.3
Feltimpuls - korresponderende transient respons i ledende
metall
Induserte strømmer oppstår kun i den grad det magnetiske feltet er tidsvarierende.
Imidlertid finnes det tilfeller der en kun har en kortere transient i feltet.
Ved kraftelektronisk utstyr har en for eksempel ofte korte pulser i feltet, noe som kan gi både støy og ødeleggende effekter på annet nærliggende utstyr. I fig.6–10 er responsen vist nå en påtrykker et felt som
slås på som et sprang.
a)
b)
c)
d)
Figur 6–10: a) Stor variasjon i magnetfeltet gir kraftig indusert strøm og kraftig
fluksfortrengning. b) Magnetfeltet varierer ikke lenger. Reststrømmer i røret fortrenger fremdeles feltet mye. c) Induserte strømmer dør ut. Permeabiliteteten begynner å
få stor betydning. d) Statisk situasjon. Jernet suger til seg magnetfeltet.
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
125
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
6.2.4
Overflateeffekten - gir økte tap og økt totaltmotstand ved
vekselstrøm
Når det går strøm i en leder fokuserer en ofte på virkningen det tidsvarierende magnetfeltet har på lederen selv og den virkning den har på
eventuelle andre strømførene naboledere. Oveflateeffekten (skin-effect) i en ledere skyldes strømmen i lederen selv.
Figur 6–11: Rac som funksjon av frekvens. Rdc er tilfeldig valgt til 0.02.
Denne effekten fører først og fremst til at lederene utnyttes dårlig fordi
lite strøm går i senter av lederen mens stor strømtetthet oppstår på overflaten. Dette gir økte tap i forhold til likestømstilfellet og dermed en økt
vekselstrømsmotstand Rac. I fig.6–11 presenteres R ac som funksjon av
frekvensen for en kvadratiske leder (strømskinne 1x10cm). Dimensjonen er valgt slik at motstanden er 0.02x103 ved 50 Hz.
I fig.6–12 vises hvordan fordeling av fluks og strømtetthet endres ved
økende frekvens i strømskinnen. Ved lave frekvenser trenger mye fluks
gjennom skinnen, mens ved høye frekvenser vil fluksen flyte på og
langs overflatene. Figuren viser også at ved likestrøm er strømtettheten
jevnt fordelt over lederen. Når frekvensen øker vil strømmen tyngden
av strømmen gå mot topp og bunn av skinnen. Ved videre frekvensøkning går strømmen mer over til å være en ren overflatestrøm.
1.82
1.0
0.72
2.58
0.63
4.81
0.57
10.4
0.38
Tallene angir strømtettheten i senter og på toppen
av skinnen.
Figur 6–12: Fluks og strømtetthetsfordeling ved varierende frekvens
6.2.5
126
Nærhetseffekten - naboledere påvirker hverandre og fører
Seksjon 6.2
Tidsvarierende magnetfelt gjennom et elektrisk ledende
til tap i tillegg til overflatefenomenet.
Nærhetseffekten (proximity effect) oppstår når en strømførende leder Figur 6–13: To ledere i et
kommer i nærheten av en annen leder. Den induserte strømmen som da spor. Kun nederste delleder
oppstår vil komme i tillegg til eventuelle strømmer som den påvirkede fører strøm!
nabolederen selv har skapt. Et enkelt eksempel på dette finner en ved
oppbygging av skap og andre konstruksjonsdetaljer i nærheten av
strømskinner. En kan i slike tilfeller lett få indusert så store strømmer i
stålplater og lignende at disse blir svært varme og ødelegges.
Mer komplisert er forholdene i viklinger der mange ledere ligger i nærheten av hverandre. Når slike viklinger skal lages må en være klar over
at lederne påvirker hverandre, slik at Racøker mer en overflateeffekten
skulle tilsi. Dette er illustrert i fig.6–13 som viser et spor i en elektrisk
maskin der det ligger to leder overfor hverandre.
a)
I fig.6–13a ser vi at strøm kun går inn i den nederste lederen. I fig.6–
13b er det indikert at det blir en skinn effekt som fører til at vi får en
strømøkning på toppen av nedre leder. Når en inkluderer topplederen
(som det nå ikke går strøm i), ser vi at det induseres strømmer i denne
på grunn av det feltet som er satt opp av lederen i bunnen av sporet.
Dersom vi i tillegg påtrykker en strøm i øvre leder vil denne danne sin
egen skinneffekt som dermed kommer i tillegg. NB Den øvre lederen
gir ikke samme virkning på lederen i bunnen av sporet!!
b)
6.2.6
c)
Ulineære forhold
Ulineære forhold har en hovedsaklig på grunn av at jernets permeabilitet er svært feltstyrkeavhengig. En typisk karakteristikk som viser forholdet mellom B og H er gitt i fig.6–14 I praksis er det vanskelig å ta
hensyn til denne ulineariteten når induserte strømmer skal beregnes.
Dersom dette skal gjøres skikkelig må en simulere det tidsvarierende
feltet i tidsplanet, noe som gir svært tunge beregninger.
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
127
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
B
Jernet går i metning
Svært stor
µ
r
H
Ved svake felter er
µ
r
svært liten
Figur 6–14: Jernets metningskarakteristikk
Ofte tar en hensyn til de ulineære egenskapene ved at en innfører en
ekvivalent µ r for materialet.
I dette sammenheng skal en være oppmerksom på at jernet ikke har
nevneverdig permeabilitet (liten µ r) for svært lave feltstyrker. I problemstillinger der en har svært lave feltstyrker kan dette gi overraskende effekter. Skal en eksempelvis benytte jernet i en magnetisk skjerm
får dette den konsekvens at jernet ikke har bedre magnetiske egenskaper enn f eks kopper. Jernet er dårligere elektrisk ledende og gir dermed
dårligere skjermingseffekt når en ønsker å utnytte virkningen av induserte strømmer.
Når en har store feltstyrker i jernet (B > 1T), så begynner jernet å gå i
metning. Virkningen av dette er at inntrengningsdybden øker, noe som
kan ekvivaleres med en tilhørende redusert permeabilitetskonstant.
NB! I det virkelige forløpet finner en at µ r varierer over perioden.
128
Seksjon 6.3
6.3.1
PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE
Transformator
I elektriske maskiner brukes tidsvarierende felter til å få maskinene til
å rotere. En lager et roterende magnetfelt som drar eller skyver maskinen rundt.
I transformatorer utnyttes et tidsvarierende magnetfeltet som flyter
gjennom en jernkjerne. Magnetfeltet er laget av en (primær) spole. Dette magnetfeltet indusere så spenninger i den andre spolen. Med forskjellige turntall kan vi på denne måte transformere spenningen opp
eller ned.
6.3
PROBLEMSTILLINGER DER
TIDSVARIERENDE
MAGNETFELTER
HAR STOR
BETYDNING
Gjensidig fluks
Lekkfelt
Figur 6–15: En toviklings-/ enfasetransformator.
I fig.6–15 ser vi at vi i tillegg til det gjensidige feltet som flyter i kjernen og oppstår lekkfelt som ikke går fra den ene spole til den andre.
Dette lekkfeltet fører til reaktivt spenningsfall gjennom transformatoren og til at det eksempelvis oppstår virvelstrømstap i tanken(boksen)
rundt transformatoren.
6.3.2
Induserte tap og skjerming er aktuelle problestillinger i
elektrisk energiteknikk.
Induserte strømmer har eksempelvis stor betydning ved strømskinnefordelinger der en har ledende metall-legemer i nærheten. Ved høg-
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
129
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
strøms-nærføringer til f eks vegger i stålskap ser en til tider at det blir
betydelige tap på grunn av virvelstrømmer..
Figur 6–16: En strømskinnefordeling som ligger over en ledende plate.
Dette kan føre til overoppheting og behov for kjøling Legg merke til at
de induserte strømmene i platen i fig.6–16 i dette tilfellet fører til at
fluksen kun går et lite stykke inn i platen. De induserte strømmene i
platen vil da også virke skjermende. På baksiden av platen vil en få et
sterkt redusert felt, og slike stålplater brukes derfor til tider i taket over
strømskinnene i transformatorstasjoner inne i bygninger.
Kan du tenke deg hvor de induserte strømmen oppstår i platen.
6.3.3
Induktanser i overføringslinjer
Rundt hver leder i en overføringlinjer går det magnetisk felt. Dette
medfører at det lagres store mengder magnetisk energi som igjen gir et
reaktivt spenningsfall. Av linjens impedans er den induktive delen dominerende, og det er nødvendig å kunne beregne induktansen avhengig
av trådenes plassering.
Det er også betydelig magnetisk kopling mellom lederne, slik at den
spenning som induseres i en tråd ikke kun skyldes magnetfelt fra entråd.
130
Seksjon 6.3
PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE
I fig.6–17 er det skissert en enkel kraftlinje. Det indikert at det går
magnetfelt rundt den enkelte tråden(mørk blå), samt at magnetfeltet
også omslutter andre ledere (gul flukslinje)
Figur 6–17: Trefase kraftlinje - der det går magnetfelt rundt strømførende tråd
6.3.4
Induksjonsoppvarming
Induserte strømmen kan brukes til å varme opp det aktuelle objektet.
Med moderne energielektronikk kan en påtrykke et magnetfelt med
høgfrekvens og få svært lokal oppvarming som eksempelvis kan benyttes ved herding og lodding.
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
131
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
a)
c)
b)
d)
Figur 6–18: a) Induksjonsspole som ligger rundt et tannhjul b) Tennene blir varme i
oveflaten og vil herdes ved brå nedkjøling (senkes ned i vann) c) Tannhjulmed indre
og ytre tannkrans som er blitt herdet (mørkere stål der det har vært varmt) d) Lite
tannhjul der hele tannen er herdet.
6.3.5
Indusert støy i kraftelektronikk
I energielektronikk (kraftelektronikk) finner en mange situasjoner der
tidsvarierende magnetfelt påvirker andre komponenter og kretser. Eksempelvis kan en ofte se at induserte spenninger oppstår ved raske endringer i strømmen - ved eksempelvis av og påslag av strømmen i
omformere
Figur 6–19: Transistor med
snubber krets rundt seg.
Fysisk realisering vist i fig.6–
20.
Tr
B
132
R
C
I fig.6–20a er det vist en enkel krets med en transistor, en motstand og
en kondensator. b viser hvor strømmen går når transistoren slås på. I c
vises magnetfeltet som oppstår. Hvilke problemer tror du kan oppstå på
grunn av dette høgfrekvente magnetfeltet?
Seksjon 6.3
PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE
C
R
Tr
B
Figur 6–20: Kretskort der den store strømmen lager magnetfelt som igjen kan indusere spenninger i andre deler av kretsen
6.3.6
Platesveising ved hjelp av induksjonsoppvarming
Svært krevende sveising i bilindustrien utføres ved hjelp av induksjonsoppvarming. Plater av forskjellig tykkelse stukes ende mot ende,
samtidig som kantene oppvarmes. Plater med varierende platetykkelse
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
133
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
blir presset til avanserte karoseriformer og sveifugene utsettes for stor
belastning
Figur 6–21: To plater som ligger på et bord presses mot hverandre. Spole (4) legges
deretter ned mot skjøtefugen.
a)
b)
Figur 6–22: a) Når det går strøm i spolen blir plate varm. b) Ferdig sveis mellom to
plater med forskjellig tykkelse.
134
Seksjon 6.3
PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE
.
Figur 6–23: Ferdig presset del av et bilkarroseri. Den brune stripen viser hvor sveisen går.
6.3.7
Induksjonsovner og røring av metall.
Figur 6–24: Induksjonsoven med vannkjølte viklinger
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
135
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
I fig fig.6–24 er det vist en induksjonsovn for smelting og røring av
metall. Spolen ligger på utsiden av en ildfast potte, og magnetfeltet
trenger inn i det metallet som skal smeltets/holdes varmt.
Figur 6–25: Magnetfelt i en enkel enfase induksjonsoven
Som vist i fig.6–25 trenger ikke magnetfeltet langt inn i smelten. Det
vil oppstå strømmer og krefter i metallet som gir strømning/virvling i
smelten som vist på figuren.
136
Seksjon 6.4
6.4.1
Magnetisk koplede elektriske kretser
Statisk magnetisk kopling (uten bevegelse)
6.4
Magnetisk kopling mellom elektriske kretser oppstår ofte i elektrisk Magnetisk koplede
energiteknikk. Ved overføring av energi vil eksempelvis strøm i en le- elektriske kretser
der indusere spenninger i andre. Videre er alle elektriske maskiner beskrevet av slike koplede kretser der en inkluderer lineær bevegelse eller
rotasjon. Viklingene i en elektrisk maskin har ofte sterk magnetisk kopling til hverandre. Både gjensidig induktans og selvinduktans vil da variere som funksjon av tiden.
I fig.6–26 vises to spoler som er magnetiske koplet sammen. Spolene
har ikke relativ bevegelse i forhold til hverandre. Fluksen som flyter fra
den ene spolen til den andre er markert rød, og kalles gjensidig fluks.
De blå flukslinjene går kun rundt de enkelte spolene og kalles lekkfelt
fordi de ikke når frem til den andre spolen.
Figur 6–26: Magnetisk koplede spoler
Ligningene som beskriver to slike magnetisk koplede elektriske kretser
er gitt ved
u 1 = R 1 i1 + L 11
di 1
di
+ L 12 2
dt
dt
(6-5)
u 2 = R 2 i2 + L 22
di 2
di
+ L 12 1
dt
dt
(6-6)
eller på matriseform
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
137
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
u1
u2
=
R1 0
i1
0 R 2 i2
di 1
L 11 L 12 d t
d
+
=  Ri + L i

dt 
L 12 L 22 di
(6-7)
2
dt
Dette systemet av ordinære differensialligninger løses ofte ved hjelp
numerisk integrasjon (Eulers metode, Runge Kuttas metode etc.).
En viktig variant av dette er kraftlinjer der den magnetiske koplingen
mellom linjene virker sterkt inn, se også fig.6–17. Ved beregning av
spenningsfall ∆U i linjen kan vi benytte modellen som er beskrevet i
(6−7).
Figur 6–27: Modell for mangetisk kopling i en trefase kraftlinje
Kan her definere ∆U1 som U 11 - U 12 og likeledes for de to andre fasene.
Ligningen for trefaselinjen blir da:
138
Seksjon 6.4
∆u 1
R1 0 0
∆u 2 =
0 R2 0
∆u 3
0 0 R3
i1
L 11 L12 L 13
Magnetisk koplede elektriske kretser
di 1
dt
di 2 =  Ri + L d i
i2 + L 12 L22 L 23

dt 
dt
L 31 L32 L 33
di 3
dt
(6-8)
I svært mange tilfeller kan vi anta at vi har sinusformet spenning og
strøm, slik at vi kan innføre komplekse tall. Induktansmatrisen omformes da til en reaktansmatrise jX
∆u 1
R1 0 0
I1
∆u 2 =
0 R2 0
∆u 3
0 0 R3 I 3
X 11 X12 X 13 I 1
I 2 + j X 12 X22 X 23 I 2
(6-9)
X 31 X32 X 33 I 3
Dette er en forholdsvis generell beskrivelse av et treafaselinje. Imidlertid er det ofte ønskelig å bruke enfaserepresentsasjon av linjen. En innfører da det faktum at i praksis (med transponerte linjer etc), vil
selvinduktansene og koplingsinduktansene være noenlunde like. I tillegg benyttes:
i1 + i2 + i3 = 0
(6-10)
For fase 1 får vi da:
∆u 1 = R11 I 1 + jX11 I + jX12 I 3 + jX13 I 3 = R11 I 1 + jX11 I 1 + jXM ( I 2 + I 3 )
(6-11)
eller
∆u 1 = R11 I 1 + j ( X 11 – X M )I 1
(6-12)
Ligning (6-12) gir spenningsfall i fasespenningen. Dersom en skal studere linjespenninger må en multiplisere med faktoren 3 . Hvordan en
skal beregne induktanser for linjer blir behandlet senere i kapittelet.
6.4.2
Tidsvarierende kopling
Magnetisk koplede kretser uten bevegelse/ulineariteter beskrives ofte i
grunnleggende kretsanalyse. Vi skal imdlertid her videreføre problemstillinger der spolene beveger seg i forhold til hverandre, og eksempelvis beregne de krefter som da kan oppstå. Dette er det teoretiske
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
139
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
grunnlaget for elektriske maskiner, releer og andre elektromekaniske
energiomformere.
Spolen roterer rundt
denne aksen
Figur 6–28: To magnetisk koplede spoler der den ene roterer rundt den markerte
aksen
For å beskrive dette systemet dynamisk kan vi ta benytte i Faradays
lov:
u = N
∂Φ
d
d
d
d
= ( ψ ) = ( Li ) = i (L) + L (i )
∂t
dt
dt
dt
dt
(6-13)
Kretsligningene for et system av spoler (her er for enkelhets skyld valgt
to spoler) blir på matriseform
u1
u2
=
R1 0
i1
0 R2 i 2
di 1
dL11
L 11 L 12 d t
+
+ dt
L 12 L 22 di
dL12
2
dt
dt
dL 12
i1
d
dL
dt
=  Ri + L i + i 

dt
dt 
i
dL 22 2
dt
(6-14)
Første ledd i ligningen beskriver det omske spenningsfallet. Det andre
leddet beskriver transformatorisk induserte spenninger, mens det tredje
leddet gir oss de spenningene som induseres på grunn av rotasjon. Ved
en enkel omskriving får vi rotasjonen klarere frem:
d
dL
d
dL ∂θ 
d
dL
=  Ri + L i + i  =  Ri + L i + i
= Ri + L i + i ω





d
t
d
t
d
t
d
θ
∂
t
d
t
dθ 
u2
u1
(6-15)
Når en etterhvert skal lære om de forskjellige elektriske maskiner som
beskrives av ligningene, så blir hovedutfordringen å få en god fysikalsk
forståelse for hvordan induktansene varierer og hvordan spolene koples
magnetisk.
140
Seksjon 6.4
Magnetisk koplede elektriske kretser
Legg altså merke til at vi her påstår at ved å inkludere bevegelse i ligning (6-14), så kan alle kjente elektriske maskiner beskrives.
6.4.3
Kraftberegning i et system med to elektriske terminaler (to
spoler) og lineær bevegelse
Vi ønsker å modellere elektriske maskiner for å beskrive deres dynamiske oppførsel både elektrisk og mekanisk. Ligningene presentert
over er tilstrekkelig til å beskrive de elektriske størrelsene, men de inkluderer ikke krefter og viser ikke hvordan turtall og posisjon utvikler
seg dynamisk.
Vi skal derfor i dette avsnittet vise hvordan kreftene kan beregnes, slik
at en simultant med de elektriske ligningene kan løse den mekaniske
differensialligningen. For lineær bevegelse i x-retningen vil den mekaniske differensialligningen være:
M
dvx
= Fe l – F mek
dt
(6-16)
der M er legemets masse, v er hastighet, F el er den kraften som systemet
produserer og Fmek er den ytre kraften som skal overvinnes (lasten).
Antar nå at vi har et spolesystem med to spoler. Vi overser eventuelle
resistive tap (fordi vi senere lett kan knytte disse til diskrete motstander
i modellen). Modellen inkluderer bevegelse og kraft, som vi beskriver
som en mekanisk terminal
.
x
Elektromekanisk
system
x
Figur 6–29: En magnetisk koplet elektrisk krets som kan omforme elektriske energi
til mekanisk energi
Effektbalansen for et generelt kretssystem er gitt ved:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
141
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
n
∑v i
i i
=
i=1
dW m
+ fv
dt
(6-17)
I et tilfelle der det til terminalene er koplet til viklinger vet en at spenningen i terminal i er gitt ved
vi =
dψ i
dt
(6-18)
Settes dette inn i ligning (6-17) samtidig som en multipliserer med dt
får en for systemet som er skissert i fig.6–29:
i1 dψ 1 + i2 d ψ2 = dW m + fdx
(6-19)
Ligningen sier at energien tilført i de to terminalene er lik den energien
som lagres pluss den energi som systemet avgir i form av mekanisk arbeid. Dersom vi har beskrevet fluksforslyngningene ved hjelp av induktanser kan vi bruke:
ψ1
ψ2
=
L 11 L 12
L 12 L 22
⋅
i1
(6-20)
i2
I ligning (6-19) har vi behov for å sette inn for strømmene når energien
skal beregnes. Dette innebærer en inversering av matrisen i (6-20), noe
som er enkelt når vi har lineære forhold. Ved ulineære forhold er dette
imidlertid vanskelig og en foretrekker ofte å omformulere ligningene
slik at en skifter fra å ha fluksforslyngningene ψ som variabel til å benytte strømmen i ved integrasjonen. Vi kan skrive om til:
i1 d ψ1 = d ( i 1 ψ 1 ) – ψ 1 di 1
og i2 d ψ 2 = d ( i2 ψ2 ) – ψ2 di2
(6-21)
Setter vi dette inn i ligning (6-19) får vi:
d ( i 1 ψ 1 ) – ψ 1 di 1 + d ( i 2 ψ 2 ) – ψ 2 di 2 = dW m + fdx
(6-22)
som med litt opprydding gir:
d ( i 1 ψ1 + i2 ψ2 ) – dW m = fdx + ψ 1 d i1 + ψ 2 d i 2
(6-23)
En finner mange steder i litteraturen at en for venstre side av denne ligningen innfører en størrelse som kalles koenergi. Dette gjøres kun for
å forenkle beregningene, men skaper til tider forvirring fordi en prøver
å knytte dette til det vanlige energibegrepet. Tenk kun på koenergien
som en hjelpestørrelse som viser seg å være enkel å beregne. Koenergien er den samme som energien ved lineære system.
142
Seksjon 6.4
Magnetisk koplede elektriske kretser
Da begge leddene på høyresiden av ligning (6-23) er et differensial kan
vi definere koenergien:
W' m = i1 ψ 1 + i2 ψ2 – W m
(6-24)
og ligning (6-23) kan omskrives til:
dW' m = fdx + ψ 1 di 1 + ψ 2 d i2
(6-25)
et slikt differensial kan skrives på partiell differensiell form:
d W'm =
∂W' m
∂W' m
∂W' m
dx +
di 1 +
d i2
∂x
∂ i1
∂ i2
(6-26)
Det første leddet i ligningen over er bemerkelsesverdig fordi en direkte
kan se at kraften kan beregnes som:
∂W'm
= f
∂x
(6-27)
Hva har vi oppnår med dette!!!
-- En kan beregne koenergien uten å gå via den inverse induktans ma
trisen
--Så snart en har beregnet koenergien, så kan en beregne kraften som
den deriverte av denne med hensyn på beveglesen.
For å beregne kraften må vi nå først finne koenergien. Vi tar da igjen
utgangspunkt i definisjonen av koenergi:
d W' m = fdx + ψ 1 d i 1 + ψ 2 di 2
(6-28)
og integrerer dette:
W' m =
∫ (fdx + ψ di
1
1+
ψ2 d i2 )
(6-29)
Denne integrasjonen synes for mange vanskelig å forstå. Imidlertid lig- Figur 6–30: Integrasjonsveie
ger nå poenget i at vi ikke trenger å vite hva kraften er for å gjennom- n som benyttes ved beregning
føre integralet. Under forutsetning av at kraften er null når strømmene av W’
er null kan vi nemlig først integrere over variabelen ξ (mens strømmene
er lik null), se fig.6–30. For det enkle systemet med to spoler få vi da
2
W' m =
∫ ( fdx + ψdi
1
1
3
4
∫
∫
+ ψ 2 di 2 ) + ( fdx + ψ 1 di 1 + ψ 2 d i 2 ) + ( fdx + ψ 1 di 1 + ψ 2 d i 2 )
2
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
3
143
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
3
4
∫
∫
W'm = 0 + ( ψ 1 di 1 ) + ( ψ 2 d i2 )
2
3
4
∫
∫
(6-30)
3
2
2
1
1
W' m = 0 + ( L 11 i1 d i 1 ) + ( ( L 22 i2 + L 12 i1 ) d i 2 ) = -- L 11 i1 + -- L 22 i2 + L 12 i1 i 2
2
2
2
(6-31)
3
Kraften kan nå beregnes ved å derivere (6-31) med hensyn på x
2
2
f= 1-- i 1 ∂ ( L 11) + 1-- i2 d (L 22 ) + i1 i2 d (L 12 )
2 ∂x
2 dx
dx
(6-32)
Dette uttrykket kan også skrives på matriseform
f = 1-- i i
2 1 2
∂L 11 dL12
∂L 11
i1
T
∂x dx
= 1-- i ∂ x
2
i
dL12 dL22 2
dL12
dx dx
dx
dL 12
dx i
dL 22
dx
(6-33)
Dette er et generelt uttrykk som benyttes i de fleste analyser av denne
type. Legg igjen merke til at utfordringen nå ligger i få bestemt induktansene for den konkrete maskinen en ønsker å analysere.
6.4.4
Momentberegning i et system med to elektriske terminaler
(to spoler) og rotasjonsbevegelse
Dersom vi har rotasjonsbevegelse må vi inkludere følgende mekaniske
differensialligning:
Jdω = T e l – T mek
dt
(6-34)
der ω er den mekaniske vinkelhastigheten, J er treghetsmomentet, Tel
er det momentet maskinen produserer og Tmek er det mekaniske momentet som lasten trenger(dersom vi hadde tenkt på en generator ville
Tmek være det momentet som turbinen gav). Beregning av moment utføres på samme måte som for kraft. Vi tar da utgangspunkt i
fdx = Td θ
der θ angir mekanisk vinkel (rad) og T moment (Nm).
Momentet kan da for et tospolesystem beregnes fra uttrykket
144
(6-35)
Seksjon 6.4
2
2
T = 1-- i1 ∂ (L 11 ) + 1-- i2 d ( L 22 ) + i 1 i2 d ( L 12 )
2 ∂θ
2 dθ
dθ
Magnetisk koplede elektriske kretser
(6-36)
eller på matriseformen
∂L 11
1
f= -- i i ∂ θ
2 1 2
dL12
dθ
dL12
∂L 11
i
T
1
dθ
1 = -- i ∂ θ
2
i
dL22 2
dL12
dθ
dθ
dL 12
dθ i
dL 22
dθ
(6-37)
Et enkelt eksempel på en slikt system er en synkronmaskin med to viklinger
θ
I rotor og stator ligger viklingene i spor. Vi kan her anta maskinen er
laget slik at når det går strøm kun i rotor så blir flukstettheten i luftgapet
sinusformet. På samme måte lager viklingen i stator en sinusformet
flukstetthet.
Fluksforslyngningene for en slik maskin er gitt ved ligningene
λ1
λ2
=
L 11
L 12 ( θ )
L 12 ( θ )
L 22
⋅
i1
=
i2
Ls
M cos ( θ )
M cos ( θ)
Lr
⋅
i1
(6-38)
i2
hvor selvinduktans for stator Ls, selvinduktans for rotor Rs og maksimal gjensidig induktans M er konstanter.
Fra ligning (6-36) får vi da:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
145
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
T = i 1 i2 d M cos ( θ) = – i1 i2 M sin θ
dθ
6.5
POTENSIALLIGNINGER FOR
INDUSERTE
STRØMMER
6.5.1
(6-39)
Innledning - ligninger
Dette teorikapittelet viser på samme måte som tidligere de ligningene
som vanligvis løses når en benytter et moderne feltberegningsverktøy.
Det vil også fokuseres på hvordan en tar hensyn til tilleggsinformasjon
om totalstøm i ledere etc.
6.5.2
Vektorpotensial og skalarpotensial - differensialligninger
Når en skal beregne elektrisk og magnetiske felter ved hjelp av datamaskin innfører en ofte elektrisk (V) og magnetisk (A) potensial. Det
elektriske potensialet har vært behandlet i kapitellet om elektrostatikk,
mens vektorpotensialet ble innført i magnetostatikkkapittelet. Det nye
i dette kapitellet er at en bruker begge potensialformene samtidig.
Som vist tidligere kan en for det statiske magnetiske feltet bruke:
1
--- ( – ∇ 2A ) = J
µ
(6-40)
problemet er imidlertid at vi ikke vet J i alle tilfeller. Når magnetfeltet
blir tidsavhengig vil dette indusere strømmer og spenninger, og E og J
blir størrelser som blir avhengig av A. Maxwells ligninger gir oss for
tidsvarierende magnetfelt:
∂
∇×E = – B
∂t
Faradays induksjonslov
(6-41)
NB Vektor feltet E er ikke lenger konservativt (curlfritt). Dersom vi nå
bruker definisjonen for vektorpotensial får vi:
∇×E = – ∂ ∇× A
∂t
eller ∇× E + ∂A = 0
∂t
(6-42)
som viser at summen av E og den tidsderiverte av A er curlfritt. Velger
derfor å innføre et nytt skalarpotensial (elektrisk)
146
Seksjon 6.5
–∇ V = E +
E = – ∂ A – ∇V
∂t
∂A
∂t
POTENSIAL-LIGNINGER FOR INDUSERTE STRØMMER
eller
(6-43)
og J = σ  – ∂ A – ∇ V
∂t
(6-44)
Innfører vi dette i lign (6-40) får vi:
-1-- ( – ∇ 2 A ) = σ  – ∂ A – ∇ V
 ∂t

µ
(6-45)
1---( – ∇ 2A ) + σ  – ∂ A = σ ( – ∇ V )
 ∂t 
µ
(6-46)
eller
∇V
er den elektriske feltstyrke knyttet de elektriske ladningene i problemet. Når en vet spenningsfallet over en leder beregnes ∇V som
∆U
– ∇V = --------------------∆lengde
(6-47)
Grensebetingler for A behandles på samme måte som beskrevet under
mangetostatikk.
6.5.3
Påtrykk av totalstrøm
Ligningene over forutsetter at en kjenner påtrykt spenning eller strømtettheten for de strømførende delene av problemet. Imidlertid er det i
mange praktiske problemer kun den totale strømmen som er kjent i lederne. I dette tilfellet må programmene "påtrykke" den spenningen som
er nødvendig for å oppnå den angitte strømmen og implisitt beregne
strømtetthet som en del av løsningen. For å beregne den totale strømmen som flyter i en aktuell leder benytter en da:
I leder =
∫ Jn(dS )
(6-48)
Sl
En kan da systematisk påtrykke spenninger og deretter bestemme korresponderende strøm. Ved lineære systemer kan vi etterpå justere spenningen slik at den riktige strømmen vil flyte. Ved problemer med
mange ledere vil en slik metode ble noe arbeidskrevende. Ofte infører
en da et integrodifferensielt ligningsystem og løser dette under ett. Dette betyr at en samtidig løser ligningene:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
147
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
1
∂
---( – ∇2 A ) + σ  – A = σ ( – ∇ V )
µ
∂t
I leder =
1 ∂

∫ -σ--  –∂ t(A) – ∇V dS
(6-49)
(6-50)
Sl
6.6
Elektriske og
magnetiske
materialers
påvirkning på feltet
Det er viktig å være observant på materialenes innvirkning på induserte
strømmer.
Dette delkapittelet vil en kort kommentere i hvilken grad materialenes
ledningsevne og permeabilitet (µ) påvirker induksjonen av strømmer.
6.6.1
Ledningsevne
Ledningsevnen er avgjørende for om at det i det hele tatt vil flyte strømmer når et tidsvarierende felt påtrykkes.
Koplingen mellom den induserte spenningen E og strømtetthet J er gitt
ved
J = σE
(6-51)
der σ er materialets ledningsevne. Ut fra dette ser en at ved økende ledningsevne σ vil en få økende evne til å sette opp induserte strømmer.
Dette fører til at det magnetiske feltet vil trenge kortere inn i materielet
når σ øker. Koplingen mellom inntrengningsdybde og ledningsevne
behandles senere i notatet.
6.6.2
Magnetisk permeabilitet
Det ledende materialets magnetiske egenskaper vil også påvirke feltforholdene når en har tidsvarierende felter.
H-feltet som oppstår vil være avhengig av strømmene som flyter og det
felt som påtrykkes.
Korresponderende flukstettheter, B, er proporsjonale med permeabiliteten µ r. Induserte strømmer i et materiale med høy permeabilitet vil
dermed lettere sette opp motfluks enn materialer med lav permeabilitet.
148
Seksjon 6.6
6.6.3
Elektriske og magnetiske materialers påvirkning på feltet
Inntrengningsdybde
Når en skal studere induserte strømmer er en viktig del av dette å avklare hvordan strøm og magnetfelt fordeles i det aktuelle materialet.
En typisk effekt er at det magnetiske feltet kun trenger et stykke inne i
materialet. For å karakterisere dette fenomenet har en innført begrepet
inntrengningsdybde.
Begrepet er knyttet til en en-dimensjonal betraktning der en antar at det
flyter en strøm J0 inn i overflaten av en uendelig lang plate. På overflaten vil det være et korresponderende tangensielt H-felt. Ved sinusvarierende felter kan en da vise at feltet (både J og H) vil avta eksponensielt
nedover i den lendende platen , se fig.6–31
Figur 6–31: Strømtetthet innover i et ledende medium.
δ er inntrengningsdybden beregnes da med
δ =
2
----------ωµσ
(6-52)
ω = 2πf der f = frekvensen. Inntrengningsdybden er den avstand innover i skjermen der feltet er redusert med faktoren e-1 = 0,3678.
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
149
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
6.6.4
Totalstrøm som flyter i flaten når inntrengningsdybden er
kjent
Det kan være interessant å avklare hvor stor strøm som vil flyte i skjermen totalt, når en vet strømtettheten på overflaten. Ved å integrere ligningen for strømtetthet innover i skjermens dybde finner en
δ
I t o t = J 0 ⋅ w ⋅ ------2
(6-53)
der w er bredden av skjermen. Dette tilsier at en kan betrakte totalstrømmen som lik den strømmen en ville fått dersom overflatestrømtetheten hadde vært jevnt fordelt i en dybde lik δ ⁄ 2 .
6.6.5
Induserte tap
På samme måte kan en for tapene pr m i overflaten bruke uttrykket:
2 I
δ
Pind = J 0 ⋅ --- ⋅ w ⋅ -σ
2
(6-54)
Dette medfører at tapene er ekvivalente med de en ville fått dersom
strømtettheten J0 hadde vært konstant fordelt i et sjikt med dybde δ /2.
6.7
ANALYTISKE
BEREGNINGS METODER
(FORMLER)
6.7.1
Innledning - forutsetninger
Med utgangspunkt i de elektromagnetiske feltligninger som er presentert så langt, kan det videreutvikles analytiske uttrykk for beregning av
virvelstrømmer og tap i strømførende ledere. De analytiske uttrykkene
er her begrenset til et fåtall geometrier.
For endimensjonale geometrier begrenses disse beregningene til å omfatte konfigurasjoner med uendelig store plater. Dessuten må det magnetiske feltet antas å være homogent langs overflaten. I de analytiske
metodene forutsettes det lineære magnetiske materialegenskaper (µ r er
konstant). For beregninger på todimensjonale geometrier benyttes i dag
ofte en numerisk løsning.
150
Seksjon 6.7
ANALYTISKE BEREGNINGS - METODER (FORMLER)
I praksis kan en ha nytte av disse beregningene også på kompliserte
konfigurasjoner der det er områder i konstruksjonen hvor feltet er homogent.
6.7.2
Plateformet leder med endelig tykkelse.
Utledning av ligninger. I fig.6–32 vises en plateformet leder. Platetykkelsen er 2b og platen har uendelig utstrekning i y- og z-retning. Det
magnetiske feltet Hz, (kun z-komponent), varierer kun som funksjon av
x-koordinaten.
H = Hz( x )
(6-55)
På samme måte har strømtettheten J kun y-komponent og variere kun
som funksjon av x-koordinaten.
J = J y (x )
(6-56)
En stor plate med magnetfelt og strømtetthet er vist i fig.6–32
2b
Figur 6–32: Uendelig stor plate med tykkelse 2d. Det magnetiske feltet er rettet
langs overflaten.
Fra maxwells ligninger har vi at:
∇×E = –
∂
B
∂t
Faradays induksjonslov
∇×H = J
Ampères lov
(6-57)
(6-58)
I dette reduserte tilfellet får vi at ∇×E blir:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
151
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
– ∂E y = – ∂B z = – µ ∂ H
∂x
∂t
∂t
eller – -1-- ∂ (J y) = – µ ∂ H
σ∂ x
∂t
(6-59)
og lign (6-58) gir oss:
–
∂H z
= Jy
∂x
(6-60)
Kombineres lign (6-59) og (6-60)
2
∂ Hz
∂x
= µσ
2
∂H z
∂t
(6-61)
Da H har bare komponenter i z-retning, sløyfer en indeksen i den videre
behandlingen. Ved løsning av ligning (6-61) i frekvensplanet, får en:
2
∂H
∂x
2
= jωµσ
∂H
∂t
(6-62)
For å få en enkel behandling videre innføres:
( 1 + j)
α = --------------δ
og δ =
2
----------σωµ
(6-63)
Dette kan da brukes i standardløsningen for lign (6-63):
H = H1e
αx
+ H2e
– αx
(6-64)
der H1 og H2 finnes fra grensebetingelser.
Beregning av magnetisk feltstyrke H. Den magnetiske feltstyrken H
kan finnes av ligning (6-64). Antar at H-feltet er lik H0 i overflatene på
begge sider av platen (x=+d og x=-d). Tar her for enkelhets skyld også
i bruk det at H-feltet har et minimum midt i plata (x=0), som medfører
at:
∂
H (0 )= 0
∂x
0 = αH 1 e
α0
+ αH 2 e
–α 0
dvs H 1 = H 2
Setter vi inn for x=d og utnytter ligning (6-66) får vi:
152
(6-65)
(6-66)
Seksjon 6.7
ANALYTISKE BEREGNINGS - METODER (FORMLER)
H0 = H 1e
αd
+ H2e
–α d
(6-67)
som igjen gir:
αx
– αx
+e
cosh αx
H = H 0 e-----------------------= H 0 ------------------αd
– αd
cosh αd
e +e
(6-68)
Beregning av strømtetthet i platen. I og med at J kun er den x-deriverte av H får vi:
αx
J = αH 0 asinh
-------------------cosh αd
(6-69)
Beregning av effektutviklingen i plata. Effektutviklingen, P, pr. enhetslengde og enhetsbredde, er gitt av:
b
sinh  2------b – sin  2b
------ 
2
 δ
 δ
2 ⋅ H0
1
2
P = --- ( J ( x ) ) d x = -------------- ⋅ --------------------------------------------------σ
σδ
2b
2b
cosh  ------ + cos  ------
–b
δ
δ
∫
(6-70)
Denne ligningen kan gi oss grunnlag for en optimalisering slik at vi får
størst mulig effektomsetning. Dersom en eksempelvis skal varme en
plate ved induksjonsoppvarmingsutstyr så kan en variere frekvens og
justere inntrengningsdybde slik at P blir størst mulig.
Derivasjonen av effektfunksjonen med hensyn på (2b/δ), gir en funksjon med mange nullpunkt, dvs det finnes maksima for
2d
------ = nπ
δ
(6-71)
der det største maksimum oppnås ved n=1, dvs største effekten blir:
2
2, 18H
P m a x = -------------------0
σδ
(6-72)
(NB H0 er effektivverdi).
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
153
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
6.7.3
Tynn skinne med uendelig lengde.
I fig.6–33 er vist en skinne med høyde lik 2a og tykkelse lik 2d. Skinnen har rektangulært tverrsnitt og har uendelig utstrekning i z-retningen. Høyde er stor sammenlignet med tykkelsen, dvs: 2a >>2d
2d
2a
a)
b)
Figur 6–33: Skinne med rektangulært tverrsnitt.
Det påtrykkes en strøm, I, i z-retningen. Det magnetiske feltet i skinneoverflaten antas konstant, dvs.
H 01 = H 02
(6-73)
se betydningen av H01 og H01 fig.6–33b. Feltet i overflaten er gitt av
Ampéres lov:
°∫ H d s =
I
(6-74)
c
av ligning (6-73) og (6-74) bestemmes H-feltet i overflaten:
I
H o1 = -----4a
og H 01 = – H 02
(6-75)
Innsettes disse uttrykkene for feltet i overflaten i (6-64)), finnes H1 og
H2 .Uttrykket for strømtettheten i skinnen kan bestemmes:
J (x )=
∂
α 2 I cosh ( αx)
(H ) = ------------- ⋅ ----------------------∂x
4a
sinh ( αd )
(6-76)
NB Dette uttrykket gjelder for en leder som "ligger langt unna de andre
lederne". Dette presiseres fordi en alltid må forvente at det går en tur og
returleder. Strømmen i uttrykket er effektivverdi.
Effektutviklingen bestemmes av:
154
Seksjon 6.7
ANALYTISKE BEREGNINGS - METODER (FORMLER)
d
d
sinh  2 --  + sin  2 --
2
δ
δ
ρI
P = --------- ⋅ --------------------------------------------------4 aδ
d
d
cosh  2 -- – cos  2 --
 δ
 δ
6.7.4
(6-77)
To skinner som frem og tilbake leder av strøm
Dersom en har et frem- og tilbakeledersystem som vist på fig.6–34, vil
magnetfeltet ved x>d kunne antas å være lik null. Lederne på fig.6–34
er lange og parallelle.
2a
x-akse
2d
Figur 6–34: Frem og tilbakeledersystem med parallelle ledere.
Den magnetiske feltstyrken mellom lederne er gitt av:
I
H 02 = -----2a
(6-78)
cosh [ α ( x – d ) ]
J( x) = ∂H = -αI
----- ⋅ ------------------------------------∂x 2 a
sinh ( 2α d )
(6-79)
og strømfordelingen blir
Effektutviklingen, P, finnes av
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
155
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
4d
4d
sinh  ------  + sin  ------ 
2
δ
δ
I
P = ------------- ⋅ --------------------------------------------------2 σaδ
4d
4d
cosh  ------  – cos  ------ 
 δ
 δ
(6-80)
Sammenlignes uttrykket for effektutviklingen for tilfellet med nærføring, ligning (6-80), med uttrykket for effekttapet for en skinne som er
magnetisk isolert fra andre strømledere, ligning (6-77), ser en at effekttapet øker ved nærføring.
6.7.5
Figur 6–35: Tykk plate med
uendelig utstrekning.
Tykk plate med uendelig utstrekning.
I fig.6–35 vises en plate med uendelig tykkelse. Ved å ta utgangspunkt
i ligning (6-64) finnes den magnetiske feltstyrken som er rettet langs
overflaten i z-retningen og som kun varierer i y-retning. NB H2 er lik
null fordi H er null når x går mot uendelig. Uttrykket for H-feltet blir
da:
H = H0 e
x
( – α x)
:
(6-81)
Strømtettheten finnes av:
( – α x)
(– αx )
J( x) = dH = αH 0 e
= J 0e
dx
(6-82)
J0 er strømtettheten i overflaten. Totalstrømmen pr. enhetsbredde, I, i
plata finnes av
∞
I =
∫
0
π
– j --4
1 J0
1 J
J ( x ) dx = --- ----------= --- ------0- e
σ1 + j
σ 2
(6-83)
Effektuviklingen pr enhetsbredde og enhetslengde finnes av:
∞
P =
∫ J (x ) ---σ dx = J
1
2
0
1 δ
⋅ --- ⋅ -σ 2
(6-84)
0
Effekten pr. enhetsbredde kan da uttrykkes ved totalstrømmen pr enhetsbredde:
2
1
P = I ⋅ -----σδ
Totalstrømmen er her gitt i effektivverdi.
156
(6-85)
Seksjon 6.8
Induktive parametre for luftledninger og linjer
Dette gir følgende tolkning av inntrengningsdybde, δ: Effektutviklingen er lik effekttapet i et sjikt lik inntrengningsdybden, δ, som fører
totalstrømmen, I.
6.8
Induktive parametre
for luftledninger og
linjer
6.8.1
Beregning av magnetfelt inne i og utenfor en rundt massiv
leder.
Figur 6–36: Massiv strømførende leder med radius r.
I dette avsnittet vil vi fokusere på de induktive linjeparamtrene knyttet
til det tidsavhengige magnetiske feltet. Vi antar at lederne er tynne og
vi har konstant strømtetthet over disse.
Ved overføring av elektrisk energi benytter en enten kabler eller kraftlinjer (luftspenn). Det er i prinsippet ingen forskjell på disse to "transporformene", men de karakteristiske paramtrene som beskriver disse
elektriske komponentene kan være svært forskjellige. Enkelt sakt vil
kabler typisk ha stor kapasitet mot jord og lagre mye elektrisk energi.
Luftspenn vil derimot karakteriseres ved at magnetfeltet spres langt
bort fra linjen og at vi dermed får et relativt stort induktivt spenningsfall.
Først vil vi studere magnetfeltet rundt en rund massiv leder,se fig. .
Dersom vi benytter Amperes lov finner vi det magnetiske feltet inne i
lederen fra følgende betraktning:
°∫ Hdl = 2 πxH = I
(6-86)
C
Innenfor lederen er den strømmen som ligger innenfor integrasjonsflaten gitt av:
2
i leder 2
I = ----------πx = il e d e r x--
2
r
πr
(6-87)
Dette medfører at vi får
°∫ Hdl = 2πxH
= i l e d e r x--
r
2
(6-88)
C
og feltet inne i lederen er dermed gitt av ligningen:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
157
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
ileder
H = -----------x
2
2πr
µ i
0 leder
eller for flukstettheten B = -----------------x
2
(6-89)
2π r
Utenfor lederen finner vi at strømmen innenfor integrasjonssløyfen er
konstant lik i leder. Vi får da magnetisk feltstyrke og flukstetthet utenfor
lederen:
°∫ Hdl =
2πxH = i l e d e r
(6-90)
µ i
2 πx
(6-91)
C
ileder
H = ----------2πx
0 leder
og B = -----------------
.
H,B
x
Figur 6–37: Magnefeltet inne og utenfor lederen.
6.8.2
Beregning av induktans
Når en skal beregne induktansen deler en ofte denne opp i en indre og
en ytre del. Dette er kun et regneteknisk valg. Anta nå:
L = L i n d r e + L ytre
(6-92)
Dersom en vil beregne induktansen ut fra fluksforslyngninger ψ, bruker vi at fluksen i et skall definert av dx blir:
µ0x
dϕ = ----------Idx
2
2 πr
(6-93)
disse flukslinjen omslutter (forslynger) kun det arealet som ligger
innenfor sylinderen beskrevet av dx. Dvs at Nx blir:
158
Seksjon 6.8
Induktive parametre for luftledninger og linjer
πx
x 2
Nx = --------2 =  - 
r
πr
(6-94)
Dette er en slags veiefaktor som forteller i hvor stor grad flukslinjene
er effektive. Flukslinjer i overflaten og utenfor lederen er mye mer effektive en de som flyter inne i lederen.
Tar så utgangspunkt i definisjonen av fluksforslyngninger:
3
µ0 x
x 2 µ0 x
dψ = N x dϕ =  -- ----------Idx = ----------Idx
 r
2
4
2πr
2 πr
(6-95)
integrering med grensene x= 0 til r gir oss da totale fluksforslyngninger:
r
∫
ψ int =
0
3
µ0x
µ 0I
----------Idx = -------4
8π
2 πr
(6-96)
Indre induktans blir da:
ψint
µ
L i n t = --------= ------0
I
8π
(6-97)
Dersom vi heller vil benytte energibetraktning:
r
Windre
∫
∫
1
1
= -- BH dv = -- BH 2πx d x
2
2
V
(6-98)
0
der denne energien er pr meter kabel. Setter vi inn for B og H får vi
r
Windre
2
µ ileder il e d e r
il ede r µ 0
1
= -- BH dv = -----0 -----------x
-----------x2πx dx = ----------------2
2
2
2 2πr 2 πr
16π
V
∫
∫
(6-99)
0
og den indre induktansen blir da:
2 W indre
L indre = -----------------il e d e r
som blir
µ
L i n d r e = ------0
8π
(6-100)
For ytre delen kan vi også velge enten å bruke fluksforslyngninger eller
energi betraktning.
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
159
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
µ0
dϕ = --------Idx
2πx
(6-101)
men N er konstant lik 1.Fluksforslyngningenen blir gitt ved:
R2
µ0
µ0 I
R2
= -------- ln  ----- 
∫ ---------Idx
2πx
2π  r 
ψint =
(6-102)
r
og ytre induktans blir dermed:
µ
R
L y t r e= ------0 ln  -----2 

2π
r
(6-103)
Med energibetraktning finner vi:
r
∫
∫
W ytre = 1-- BH dv = 1-- BH2πx dx
2
2
V
(6-104)
0
der denne energien er pr meter kabel. Setter vi inn for B og H får vi
r
W ytre
2
µ il e d e r il e d e r
i l e d e rµ 0
1
= -- BH dv = -----0 ---------------------2πx d x = ----------------2
2 2 πx 2π x
4π
∫
∫
V
0
ry t r e
∫ -x- dx
1
(6-105)
r
2
il e d e rµ 0  r ytre 
1
Wytre = -- BH dv = = ----------------ln  ---------- 
2
4π
r
∫
(6-106)
V
og den indre induktansen blir da:
2W ytre
L ytre = ---------------il e d e r
µ
y t r e
som blir L ytre = ------0 ln ---------2π
r 
r
(6-107)
NB Dette gir en induktans som går mot uendelig fordi en lar returlederen gå tilbake uendelig langt borte. Dette viser at denne betraktningen
er ufysikalsk. Vi må alltid ta med i betraktningen at returleder kommer
tilbake i en endelig avstand.
µ
µ
r ytre
L = ------0 + ------0 ln  ---------8π 2 π  r 
(6-108)
Det er noe kompliserende å ta hensyn til den indre energi/fluksforslyningene. Vi kan finne den lederradius som ville gitt samme induktans
160
Seksjon 6.8
Induktive parametre for luftledninger og linjer
selv om vi ikke tar med de indre forholdene. Den ekvivalente radius bestemmes ut fra:
µ
µ
r
µ 1
r ytre
µ
rytre
µ
r
------0 + ------0 ln ----y---t--r-e = ------0  -- + ln ---------= ------0 ln ---------= ------0  ln ----y---t--r-e


1

8π 2 π
r
2π 4
r
2π
2π
r' 
–4
re
(6-109)
der den ekvivalente r er gitt som
r' = 0, 7788r
6.8.3
(6-110)
Induktans i et system med to parallelle leder
I dette tilfellet kan vi også bruke energibetraktning. Det er imidlertid nå
enklere å bruke fluksforslynginger direkte. En kan heller finne hvor
mye fluks som går mellom de aktuelle lederne pluss de interne fluksforslyngingene en har direkte.
D
2r1
2r2
Figur 6–38: To leder som fører strøm frem og tilbake.
Det grønne området viser hvor fluksforslyngningene beregnes i sløyfen
som de to lederen utgjør per meter.
Neglisjerer i denne betraktningen indre fluksforslyngninger (korrigere
for dette med å benytte en juster ytre radius).
Flusken gjennom sløyfen som defineres av disse to lederne kan deles i
bedragene fra hver leder. Regner fra starten av med forskjellige lederradius. Fluksforslyngningen fra en leder er gitt ved:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
161
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
µ
D–r
ψytre – 1 = ------0 ln ---------------2
2π
r' 1
(6-111)
D er mye større enn lederradiusen og vi kan derfor sette
µ
D
ψy t r e – 1 = ------0 ln ----2π r' 1
(6-112)
på samme måte får vi mellom lederne fluksbidrag fra den andre lederen
gitt av:
µ
D
ψy t r e – 2 = ------0 ln ----2π r' 2
(6-113)
De totale fluksforslyngningen er da gitt ved:
µ
µ0 D
µ
D + -----D 2
ψ ytre – 1 + ψy t r e – 2 = ------0 ln ----ln ----- = ------0 ln  ---------------
2π r' 1 2π r' 2 2 π
r' 1 r' 2
(6-114)
µ
–7
D
D
L = 2 ------0 ln ---------------- = 4 ⋅ 10 ln ---------------2π
r' 1 r' 2
r' 1 r' 2
(6-115)
Dersom radiusene for lederne er like får vi:
–7
D
L = 4 ⋅ 10 ln ---r'
6.8.4
(6-116)
Induktans i et system med mange parallelle ledere
Vil også her anta at summen av strømmene i lederne er null:
∑
N
i=1
162
ii = 0
(6-117)
Seksjon 6.8
Induktive parametre for luftledninger og linjer
Figur 6–39: Gruppe av
ledere med sum strøm =0
P
DnP
n
Når vi har mange ledere defineres for enkelhets skyld et felles returpunkt, P. Dette punktet ligger langt bort så vi kan i alle sammenhenger
neglisjere flusen som er utenfor punktet. I P blir også summene av
strømmen lik null.
D3P
D2P
3
D1P
Fluksforslyngningene som leder 1 selv setter opp blir:
D 1P
–7
ψ 1 = 2 ⋅ 10 I1 ln --------r' 1
1
2
(6-118)
Når vi skal bestemme hvilken kopling vi har fra leder 2, så må integrere
flukstettheten fra x=D12 til x=D2P. De fluksforslyngningene vil gå
gjennom sløyfen som punkt 1 og P definerer, og er gitt ved
D2 P
ψ 1P2 =
Figur 6–40:
µ0
µ 0I 2
2
D 12
P
ψ1P2
2 P
 D 2P  = 2 ⋅ 10 – 7 I ln  D
2
 --------
D
12
12
dx = ---------- ln  --------- 
∫ ---------I
2πx
2π
D
(6-119)
Generelt får vi da at fluksforslyngningene mellom leder1 og P:
n
1
∑ψ
ψ 1P =
D12
1 Pi
= 2 ⋅ 10
i= 1
–7
D 1P
D2 P
D nP
I 1 ln --------+ I 2 ln --------+ … + I n ln --------r' 1
D 12
D1 n
(6-120)
2
dette uttrykket kan skrives om til:
ψ1 P = 2 ⋅ 10
–7
1
1
1
I 1 ln ----- + I2 ln -------- + … + I n ln --------r'1
D 12
D1 n
+
–7
2 ⋅ 10 ( I 1 ln D 1P + I 2 ln D 2P + … + I n ln D nP )
ved å bruke at
In = –I1 –I 2 … –I n
(6-121)
kan ligningens siste del omskrives til:
D1 P
D2 P
D n – 1 P
–7
2 ⋅ 10  I 1 ln --------+ I 2 ln --------+ … + I n – 1 ln --------------
Dn P
Dn P
Dn P 
(6-122)
der hvert av leddene går mot null når P går mot uendelig. Teller og nevner i brøkene blir da mer og mer like slik at brøkene går mot 1. Lign
(6-121) kan da omskrives til:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
163
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
ψ 1P = 2 ⋅ 10
–7
1 + I ln -------1 + … + I ln -----1---I 1 ln ----2
n
r' 1
D 12
D 1n
(6-123)
At summen av strømmen er lik null brukes også for å omskrive overstående uttrykk til:
ψ 1P = 2 ⋅ 10
–7
D 1n
D
D 1n
I 1 ln --------+ I 2 ln -------1n
-- + … + I n – 1 ln --------------r' 1
D 12
D 1n – 1
(6-124)
Generelt kan vi altså nå skrive for leder i
–7
ψi = 2 ⋅ 10
Figur 6–41: Trefase overføring med symmetrisk oppheng
R
D
6.8.5
1
∑ I ln ------D
j
j≠i
(6-125)
ij
Induktanser i et symmetrisk trefasesystem
Skal her kun studere enkle symmetriske oppheng. I første omgangs skal
vi analysere opphenget som vist i fig.6–41.
Dersom vi bruker (6-125) direkte får vi for fase R
D
–7
ψR = 2 ⋅ 10
T
1 +
I i ln ---r' i
S
1
1
1
I R ln ------ + I S ln ---- + I T ln ---r' R
D
D
(6-126)
D
trekker vi igjen inn det faktum at summen av strømmene er lik null får
vi:
ψ R = 2 ⋅ 10
–7
1
1
I R ln ------ – I R ln ---r' R
D
(6-127)
1D
I R ln ------r' R
(6-128)
og induktansen for leder R blir:
L R = 2 ⋅ 10
–7
Dette blir likedan for alle fasene.
6.8.6
Induktanser i et symmetrisk trefasesystem
Trefaseoppheng er som oftest ikke symmetriske. For fremdeles oppnå
symmetriske data for linjen revoveres trådene, slik at hver tråd i gjennomsnitt har vært i samme posisjon like lenge.
I praksis skjer slik revolvering ved at lederne bytter posisjon i det de
passerer en stolpe, se fig.6–42.
164
Seksjon 6.8
Induktive parametre for luftledninger og linjer
Figur 6–42: Revolvering av trefase overføringslinje
I prinsippet er det tre posisjoner en leder kan ha i et slikt oppheng. Hver
leder ligger i denne posisjonen i en tredjedel av linjens lengde.
I posisjon 1 får fase R følgende fluksforslyngninger
ψR 1 = 2 ⋅ 10
–7
1
1
1
I R ln ------ + I S ln -------- + I T ln -------r' R
D 12
D 13
(6-129)
I posisjon 2 og 3 får R et annet sett av fluksforslyngninger:
ψR 2 = 2 ⋅ 10
–7
1
1
1
I R ln ------ + I S ln -------- + I T ln -------r' R
D 23
D 12
(6-130)
ψR 3 = 2 ⋅ 10
–7
1
1
1
I R ln ------ + I S ln -------- + I T ln -------r' R
D 13
D 23
(6-131)
De gjennomsnittlige fluksforslyngningene over hele linje blir da for
fase R
ψ R1 + ψ R2 + ψ R3
ψ R = ---------------------------------------3
(6-132)
Dersom vi igjen benytter det faktum at summen av strømmene er null
får vi for fluksforslyngningene:
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
165
Kapittel 6
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger
3 D D D
–7
12 23 13
ψ R = 2 ⋅ 10 I R ⋅ ln ------------------------------r' R
(6-133)
Ofte innføres nå begrepet geometrisk middelverdi for
at det endelige svaret blir:
D
–7
ψ R = 2 ⋅ 10 I R ⋅ ln ------gm
---r' R
166
3
D
r'R
D12 D23 D13 .
gm
og L R = 2 ⋅ 10 – 7 ln ----------
slik
(6-134)
Seksjon 6.8
GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK
Induktive parametre for luftledninger og linjer
167
Kapittel 6
168
TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger