Transcript Matematikk og Ornamentikk

Matematikk og
Ornamentikk
Versjon 3.4
Lærerveiledning
Nils Kr. Rossing
Inger-Marie Larsen
Åshild Adsen
Vigdis Dagsdatter Øien
Eleanor Torsen
Vitensenteret
Trondheim
Nordenfjeldske
Kunstindustrimuseum
Matematikk og Ornamentikk
Vitensenteret 2010
Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum
ISBN-978-82-92088-40-1
Matematikk og Ornamentikk
Henvendelser om dette heftet kan rettes til:
Vitensenteret
Postboks 117
7400 Trondheim
Tlf: 73 59 61 23
Omslag og layout: Nils Kr. Rossing
Trykk:
NTNU-trykk
NTNU
Versjon 3.4 - 23.07.10
Nordenfjeldske
Kunstindustrimuseum
Vitensenteret
Trondheim
-2-
Matematikk og Ornamentikk
Innhold
1 Forord/Innledning ......................................................................................... 7
2 Ornamenter i kunst og håndverk – ved Kunstindustrimuseet ................. 9
2.1
Program ved Nordenfjeldske kunstindustrimuseum ..................... 9
2.2
Detaljert gjennomgang ...................................................................... 9
2.2.1 Introduksjon til ornamenter ............................................................ 9
2.2.2 Elevenes møte med mønster ........................................................ 13
2.2.3 Elevene lager åttebladrose ........................................................... 16
2.2.4 Rebusløp – Matematikk og ornamentikk i museets utstilling ...... 17
2.3.5 Gækkebrev ................................................................................... 20
2.4
Andre oppgaver ............................................................................... 23
3 Ornamentikk og matematikk - ved Vitensenteret ................................... 25
3.1
Program ved Vitensenteret ............................................................. 25
3.2
Detaljert gjennomgang .................................................................... 25
3.2.1 Mønster med kroppen: En introduksjon til båndsymmetri .......... 25
3.2.2 Oppgave 1: Introduksjon til speilsymmetri .................................. 27
3.2.3 Oppgave 2: Utforsk speilsymmetri (el. aksesymmetri) ............... 28
3.2.4 Oppgave 3: Vottemønster ............................................................ 29
3.2.5 Oppg. 4: Rotasjonssymmetri ........................................................ 29
3.2.6 Oppg. 5: Lag en rosett .................................................................. 31
3.2.7 Oppg. 6 (ekstra): Tesseler mønster med Jovobrikker .................. 33
3.2.8 Oppsummering: ............................................................................ 34
4 Kort introduksjon til ornamenter ved Vitensenteret ............................... 35
5 Speilsymmetri (aksesymmetri) ................................................................... 36
5.1
Det aksesymmetriske mennesket .................................................... 37
5.2
Norske kommunevåpen ................................................................... 39
5.3
Strikkemønster ................................................................................. 40
5.4
Symmetriske bokstaver ................................................................... 41
5.4.1 “CHECKED OK / ALL WRONG” ............................................. 41
5.4.2 Hemmelig speilskrift .................................................................... 42
-3-
Matematikk og Ornamentikk
6 Rotasjonssymmetri - punksymmetri ..........................................................44
6.1
Rotasjonssymmetri ...........................................................................44
6.2
Punktsymmetri og rotasjonssymmetri ...........................................48
6.3
Åttebladrosa ......................................................................................48
6.3.1 Tradisjonen knyttet til åttebladrosa ..............................................48
6.3.2 Symmetrier i åttebladrosa .............................................................49
6.3.3 Tesselering med åttebladrosa .......................................................50
6.3.4 Åttebladrosa og A4-arket .............................................................51
6.4
Rosettmønster og karveskurd .........................................................54
6.5
Fødselsdagsdatoene som ble til ornamenter ..................................60
7 Båndsymmetri ..............................................................................................63
8 Flatesymmetri og flislegging (tesselering) .................................................67
8.1
8.2
Regulære tesseleringer .....................................................................67
Semiregulære tesseleringer .............................................................69
8.2.1 Enhjørnige mønster ......................................................................69
8.2.2 Flerhjørnige mønster ....................................................................72
8.2.3 Fra semiregulær til irregulær ........................................................72
8.3
Irregulære tesseleringer ...................................................................74
8.3.1 Tesselering med uregelmessige mangekanter ..............................74
8.3.2 Egendefinerte irregulære tesseleringer .........................................76
8.3.3 Penrose-tesselering .......................................................................80
8.4
Brolegning .........................................................................................83
8.5
Geometriske mønstre i islamsk kunst ............................................87
8.6
De 17 flatesymmetriene ....................................................................96
8.6.1 Grunnmønster og operasjoner ......................................................96
8.6.2 De 17 symmetrigruppene .............................................................98
8.6.3 Analyse av flatedekkende mønster .............................................109
8.6.4 Glidning ......................................................................................111
8.6.5 Glidning og vertikal speiling ......................................................114
8.6.6 Rotasjon og glidning ...................................................................115
8.6.7 Vertikal og horisontal speiling ...................................................116
-4-
Matematikk og Ornamentikk
8.6.8 Speiling av 1/8 grunnmønster .................................................... 116
8.7
Flatedekkende puslespill ............................................................... 118
8.8
Flatedekkende mønster i kaleidoskoper ...................................... 120
9 Programvare .............................................................................................. 123
9.1
“Art and Crafts Tile designer” ..................................................... 123
9.2
TESS (Pedagoguery Software Inc.) .............................................. 126
9.3
Kali .................................................................................................. 130
9.4
Matemania ...................................................................................... 134
9.4.1 Vindusmønster ........................................................................... 135
9.4.2 Rosettverksteder ......................................................................... 136
9.4.3 Tesselering ................................................................................. 137
10 Evaluering .................................................................................................. 139
10.1
Oppsummering elevsvar/Jenter og gutter ................................... 139
10.2
Oppsummering lærersvar ............................................................. 147
11 Referanser .................................................................................................. 153
11.1
Litteratur ........................................................................................ 153
11.2
Nettreferanser ................................................................................ 154
Appendix AKopiorginaler .............................................................................. 156
A.1
Eksempler for studie av ansiktssymmetri ........................................ 156
A.2
Eksempler på rotasjonssymmetriske mønster .................................. 163
A.3
Maler for regulære og semiregulære tesseleringer .......................... 165
A.4
Semiregulært Jovomønster .............................................................. 166
A.5
Kopieringsmal til oppgaven om å dele opp et kvadrat .................... 168
A.6
Maler til Penrose-tesselering ........................................................... 169
A.7
Grunnfigurer flatedekkende mønster ............................................... 170
A.8
Eksempler på flatedekkende mønster .............................................. 176
A.9
Kopieringsmal til islamske mønstre ................................................ 178
A.10 Mønsterark for å tegne kaleidoskopmønster .................................... 181
Appendix BFramstilling av materiell ............................................................ 182
B.1
Framstilling av vinkelspeil .............................................................. 182
-5-
Matematikk og Ornamentikk
Appendix CLøsninger på oppgaver ...............................................................183
C.1
Løsninger på oppgaver i rebusløpet ved Kunstindustrimuseet ........183
C.2
Løsning på rotasjonssymmetrier ......................................................184
Appendix DPuslekort ......................................................................................185
-6-
Matematikk og Ornamentikk
1
Forord/Innledning
Bakgrunnen for prosjektet er et samarbeid mellom Vitensenteret og Nordenfjeldske
Kunstindustrimuseum (NKIM) som ble etablert for en del år tilbake i forbindelse med
lærerkurset Teknologi og Design. Å knytte Vitensenterets realfaglige og teknologiske
kunnskaper til Kunstindustrimuseets fokus på kunst, håndverk og design, har vist seg å
være svært fruktbart og berikende for begge miljøer, og forhåpentlig også for lærerne
som deltok på kurs.
Ornamenter har gjennom alle tider vært brukt i kunst og håndverkstradisjonen, gjerne
sprunget ut av et ønske om å dekorere og gjøre tingene vakre, men også symbolsk for å
beskytte mot onde makter. Ornamenter kan være særegne for den enkelte kulturen, men
oftere vil en oppdage at ornamenter har vandret fra kultur til kultur. Mange ornamenter
er derfor mer internasjonale en vi ofter ønsker å tro. Et typisk eksempel er selburosa eller
åtteblarosa som ofte knyttes til en lokal kultur, men som i virkeligheten finnes over hele
verden.
Mennesker har gjennom alle tider latt seg fascinere av det vakre og formfullendte og
ofte har symmerien i ornamentene hatt en viktig rolle i denne sammenheng. Likevel kan
brudd på en ellers streng symmeri, skape spenning og liv i et ornament. I symmetri
finner vi også møtepunktet mellom ornamentikk og matematikk. Matematikken er opptatt av å generalisere og systematisere og kan i møte med kunsthåndverk virke streng og
kald.
Gjennom dette prosjektet har vil villet vise hvordan matematikk og ornamentikk kan
berike hverandre. Mens ornamentene synes å kunne vaieres i det uendelige, streber man
i matematikken etter å finne fellesnevnere mellom ulike ornamenter slik at det blir mulig
å kategorisere og systematisere mønstrene. I denne systematiseringen er symmetriegenskapene til ornamentene avgjørende.
I matematikken snakker man om akse-, punkt- og rotasjonssymmetri i tillegg til glidning. Ved hjelp av disse symmetribegrepene har matematikken klart å plassere alle
regelmessige båndmønster (border) i 7 kategorier og alle flatedekkende mønster i 17
ulike symmetrigrupper. Eksempler på båndmønster er border og friser, mens regelmessige tapetmønster er et eksempel på flatedekkende mønster. I alle disse typende av
mønster, er symmetri nøkkelbegrepet. Uten symmeri ingen matematikk i ornamentet. Vi
aner også at begrepet symmetri har en annen og videre betydning en i dagligtalen.
På bakgrunn av entusiasmen over å oppdage sammenhengen mellom matematikk, og
kunst og håndverkstradisjonen, vokste ideen om et samarbeid mellom Vitensenteret og
Kunstindustrimuseet fram. Ønsket var at vi skulle vise elever og lærere i grunnskolen
hvilke spennende koblinger det var mellom disse fagområdene. Dette mener vi at vi har
-7-
Matematikk og Ornamentikk
klart ved å la elevene besøke begge institusjonene hvor de har opplevd å gjenkjenne de
samme ornamentene på begge steder, men sett gjennom forskjellige “briller”. Ved
Kunstindustrimuseet skulle elevene studere ornamentene med kunsthåndverkets briller,
mens de ved Vitensenteret skulle ta på seg matematikkbrillene.
Våren 2009 tok Vitensenteret og Kunstindustrimuseet imot ca. 2000 elever fra 5. trinn
sammen med nærmere 100 lærere, hvilket er hele kullet på 5. trinn i Trondheim kommune. For at lærerne skulle ha bedre forutsetninger for å bruke besøket i
undervisningen, ble det arrangeret lærerkurs i forkant av besøket. Tilbudet har vært finansiert gjennom Den Kulturelle Skolesekk (DKS).
Kapitlene 2 omhandler opplegget ved Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum, mens
opplegget ved Vitensenteret er spredd ut over kapitlene 4 til 7. Elevene ble delt i to grupper på inntil 25 elever. Den ene gruppen møtte på Kunstindustrimuseet, mens den andre
møtte ved Vitensenteret. Opplegget varte ca. 1,5 time på hvert sted. Etter lunsj byttet
gruppene. Hvilket sted de besøkte først og sist ble derfor tilfeldig. Oppleggene måtte
derfor være slik at rekkefølgen av besøkene var uten betydning.
I kapittel 10 har vi oppsummert elevenes og lærenes oppfatning av opplegget. Både
elever og lærere har fått anledning til å uttale seg. Hovedkonklusjonen er at både elever
og lærere hadde stort faglig utbytte av opplegget og at det var liten forskjell på jenter og
gutters opplevelse av tilbudet. Samarbeid med andre institusjoner er derfor fruktbart
både for de som utvikler tilbudet og deltagerne, en bør imidlertid sørge for at deler av
opplegget er av en slik art at det kun oppleves ved å oppsøke institusjonene. Det er imidlertid viktig at andre deler av opplegget kan følges opp på egen skole.
Vi håper at både elever og lærere på denne måten har fått økt forståelse av hva ornamentikk er og at innsikten i de estetiske og matematiske sidene ved ornamentikken har virket
inspirerende og bidratt til økt interesse for begge fagfelt. Fra og med februar 2010 tilbys
opplegget som en “vandreutstilling” som kan lånes til den enkelte skole.
Forøvrig er flere av artiklene i denne boka hentet fra Den matematiske krydderhylle [1].
Til slutt en takk til Anne-Gunn Svorkmo ved Nasjonalt senter for matematikk i
opplæringen som var til god hjelp da vi skulle gjøre det endelige utvalget av oppgaver
til Vitensenterets tilbud.
Inger-Marie Larsen, Nils Kr. Rossing
Vitensenteret
Åshild Adsen, Vigdis Dagsdatter Øien, Eleanor Torsen
Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum
Trondheim desember 2009
-8-
Matematikk og Ornamentikk
2
2.1
Ornamenter i kunst og håndverk – ved Kunstindustrimuseet
Program ved Nordenfjeldske kunstindustrimuseum (90 min.)
Introduksjon til ornamenter (20 min.), jfr. avsnitt 2.2.1, side 9
Samtale om, og eksempler på hva ornamenter og symmetri er.
Oppg. 1: Legg en Åtteblarose (10 min.), jfr. avsnitt 2.2.3, side 16
- Elevene la en åttebladrose i stort format med vinylfliser.
Oppg. 2: Rebusløype i utstillingen (30 min.), jfr. avsnitt 2.2.4, side 17
- Elevene leter etter mønster i utstillingen og løser oppgaver,
avsluttes med kort oppsummering.
Oppg. 3: “Gækkebrev” (30 min.), jfr. avsnitt 2.2.5, side 20
- Elevene klipper og skriver gækkebrev
Reserveoppgaver:
Oppg. 4: Tegn mønster på kjolen (reserve) jfr. avsnitt 2.2.5, side 20
Oppg. 5: Tegn mønsterbord (frise) i et rom (reserve)
2.2
Detaljert gjennomgang
2.2.1 Introduksjon til ornamenter
Et ornament er et formelement eller et mønster som vi
bruker som pynt eller dekorasjon på en gjenstand eller
på mennesker. Det kan forestille en plante, et dyr, en
geometrisk figur - ofte plassert i et symmetrisk mønster. Islamsk kunst er kjent for sine geometriske,
abstrakte mønstre.
Figur 1 Motiv fra et glassvindu. Van der Velde interiør
1908, fra NKIMs samlinger.
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi:
Et ornament (fra latin ornamentum, utrustning,
prydelse, smykke) er et visuelt formelement som kan stå alene eller være en
del av et sammensatt mønster.
-9-
Matematikk og Ornamentikk
Det kan sees som en dekorasjon eller utsmykning, og forestiller ofte en
plante, et dyr, en gjenstand eller grafisk figur som på geometrisk vis er stilisert og plassert i et symmetrisk mønster. Et ornament kan videre være en rent
geometrisk, abstrakt form som kjent fra islamsk kunst og arkitektur (Alhambra-palassene) eller et mer eller mindre stilisert motiv fra naturen, som ofte
er brukt i Art Noveau.
Ornamentet kan dessuten ha en symbolsk verdi, noe som i dag brukes mye i
forbindelse med kroppskunst og tatovering (for eksempel tribals). En annen
måte å bygge opp et ornament på er ved å ta utgangspunkt i et midtpunkt og
bruke hjelpelinjer og enkle grunnformer. Dette resulterer i et komplisert mønster preget av symmetri og streng orden.
I modernismen tok man avstand fra overdreven bruk av ornament etter at
Adolf Loos skrev sitt berømte manifest Ornament og forbrytelse i 1908.
Det ser ut til at mennesket alltid har hatt behov for å pynte gjenstandene sine. Og vi
finner det i alle land og alle kulturer. Samtidig opplever vi å finne de samme ornamentene i forskjellige land. Vi kan si at ornamentene har reist på kryss og tvers. Ofte kan
man spørre seg hvor et ornament egentlig kommer fra, f.eks. det vi kjenner som Selburosa, og hvordan det har funnet veien hit til Norge. Folk reiste selvfølgelig mye før i
tiden også. I Middelalderen gikk det pilgrimsruter på kryss og tvers i hele Europa. På
1200-tallet oppdaget Marco Polo det som har blitt kalt Silkeveien til Kina. Menneskene
som reiste ble kjent med nye kulturer, og de handlet nye varer. Vasco de Gama oppdaget
sjøveien til India i 1498, og et par hundre år seinere begynte land i Europa å importere
porselen og silke fra Kina, lakkarbeider fra Japan og bomullstekstiler fra India. Gjennom kolonialiseringen og utbredelsen av kristendommen og andre religioner, spredte
også ornamentene seg. Lotusblomsten var opprinnelig et indisk ornament som spredte
seg til Kina
- 10 -
Matematikk og Ornamentikk
med Buddhismen.
Figur 2 Bildet over viser rikt ornamenterte kjoler og mannsdrakt fra 1700-tallet
(fra museets samling).
Hakekorset, svastikaen eller solhjulet som det også
kalles, er et ornament som inneholder mye symbolikk.
Det finnes i kufisk skrift som er en type arabiske skrifttegn med stive, kantete former, fra 300–400-tallet. I
Vesten så de på denne skriften som et ornament, og det
ble særlig brukt i broderier i middelalderens kristne
Europa. Etter hvert kom mønsteret også til Norge og ble
blant annet brukt i norsk bunadsøm. Fordi nazistene seinere brukte dette merket som symbol på sin ideologi, ble
det et ornament med negativ betydning for mange, og i
Europa og USA forbinder vi nå ornamentet med nazismen. Men i India og i Asia var dette ornamentet
opprinnelig et tegn på alt det gode; Gud, lykke, evig liv,
eller solen.
Figur 3 Vase i porselen av William Sanday, England 1897 (fra museets samling).
- 11 -
Matematikk og Ornamentikk
Denne vasen er et flott eksempel på hvordan europeiske
formgivere har latt seg inspirere av ornamenter fra Østen. I
Kina symboliserte svastikaen bl.a. energi og kraft.
Figur 4 Bildet til høyre viser utsnitt av vasen, hvor svastikaene kommer tydelig fram.
Det som vi i Trøndelag kaller Selburosa er en åttebladsrose
som vi kan spore tilbake til flere land i verden.
Historien forteller at det var Marit Gulsetbrua som sommeren 1857 strikket de første vottende med dette mønsteret, og stilte på kirkebakken
iført de nye vottene sine.
I 1897 begynte Marit Emstad fra Selbu å levere votter med dette mønsteret til Husfliden.
Andre navn på selburosa er Stjernros, ottbladros,
Mariastjerne og dobbelt marekors. Åttebladsrosa er
et ornament som har blitt knyttet til husflid i Norge,
og i tillegg til å finne den på Selbustrikken finner
man ornamentet i Hardangersøm. Det som ofte blir
sett på som et særegent lokalt ornament, viser seg
dessuten å være et ornament som gjennom århundrer har vandret gjennom flere land.
Åttebladrosa kan spores tilbake til den sumeriske
kulturen. Videre finner man den i den tradisjonelle
folkekunsten og husfliden flere steder i Europa.
Den nordiske hvitsømmen kan knyttes til reneFigur 5 Koptisk tekstil fra 500-tal- ssansen internasjonale kulturmønster.
let. Tekstilet tilhører
Vi finner de samme mønstrene i italienske
Kunstindustrimuseet i Oslo,
renessanseklær og renessansetidens mønsterbøker.
Nasjonalmuseet.
Ornamenter med enkle geometriske former kan ha
oppstått spontant uavhengig av hverandre, og det er vanskelig å bestemme
opprinnelsesstedet.
- 12 -
Matematikk og Ornamentikk
Den norske tekstilkunstneren Ellinor Flor, har
også latt seg inspirere av åttebladrosa i sine
strikkede kreasjoner.
Figur 6 Drakt “Rosa hemifra”, Ellinor Flor
1982.
Tatovering er en populær måte å dekorere kroppen med oranmenter, og har vært en del av den
eurasiske kulturen siden yngre steinalder. I Kina
er det funnet mumier datert til det andre århundre
f.Kr. med tatoveringer, og japanske tatoveringer
menes å ha funnet sted titusener av år tilbake.
Flere kulturer har hatt egne tatoveringstradisjoner, fra å gni aske inn i åpne sår til å prikke
inn tegn med nåler - nesten som i dag.
Gjennom historien har tatoveringer vært bruk for
å vise tilhørighet til spesielle kulturer eller yrkesgrupper. På 1960-tallet var det i Norge mest
sjømenn som hadde tatoveringer. I dag er tatoveringskulturen blitt mote, og både ungdommer og bestemødre rundt om i verden velger å smykke huden sin med tatoveringer.
Figur 7 Hentet er fra www.flickr.com, gjengitt med tillatelse © creative commons.
2.2.2 Elevenes møte med mønster
Når elevene kommer til museet blir de møtt av Eleanor som forteller at ornamenter ofte
blir brukt for å gjøre ting penere. Vi pynter oss med ornamenter. De engelske ordet for
- 13 -
Matematikk og Ornamentikk
pynt er “ornament”, f.eks. “Christmas Ornament”, Noen ornamenter har også en spesiell
betydning.
Eleanor spør hvor man kan finne
ornamenter. Elevene svarer:
-
på klær og gensere
-
som logoer på merkevarer
-
som merket til fotballag osv.
Dersom vi setter mange ornamenter
ved siden av hverandre, får vi et mønster. Hun peker på et stort veggteppe
(bildet til høyre).
Hun spør hva elevene forstår med
ordet symmetri. En svarer at symmetri
er når flere ornamenter er satt sammen på en spesiell måte.
Hun får fram en elev som blir bedt om
å hoppe bortover gulvet foran de
andre elevene. Hva må vi passe på for at dette mønsteret skal være symmetrisk? En elev
svarer at fotavtrykkene må ha lik avstand.
Eleanor tar fram et mønster fra en eske, holder det opp mot speilet på veggen og forteller
at dette blir et speilsymmetrisk mønster. Slik som avtrykket av de to føttene ved siden av
hverandre. Så ber hun en av elevene hoppe sideveis langs kanten av en sirkel. Når vi
hopper på denne måten blir sporene rotasjonsymmetriske, sier hun.
Hun tar igjen utgangspunkt i
veggteppet og sier: Mønsteret
på dette teppet er sammensatt
av mange like grunnmønster.
Hun tar fram et stempel. Er
det noen her som har brukt
stempel?
Noen elever forteller at de har
trykket med potet, og laget
potettrykk, andre har brukt
fingermaling og latt hendene
være stempel.
- 14 -
Matematikk og Ornamentikk
Ofte ser vi mønster som er trykket på klær slik dere ser på klærne bak meg her, sier
Eleanor.
Når dere skal pynte dere, så har
dere på fine klær. Jentene har kanskje på seg kjoler med flotte
mønster slik som denne kjolen med
broderte blomster fra 1700-tallet.
Vi ser at mønstret er plassert helt
likt på hver side av den vertikale
midtlinja.
Eleanor spør om noen av tingene
elevene har hjemme er dekorert
med mønster. Flere elever forteller
at de har mønster på dynetrekkene
sine. En har striper, en annen
prikker, nok en har hester og en
sover i kamuflasjemønsteret
dynetrekk.
Er det noen av dere som kan strikke, spør Eleanor? Elevene på 5. trinn, har nettopp lært
å strikke på skolen. De har strikket hårbånd og lue.
Eleanor retter oppmerksomheten mot drakten strikket av
Ellinor Flor. Denne drakten kalte hun: Rosa hjemmefra.
Men er dette en rose da? spør Eleanor elevene.
Ja, noen av elevene mener at det ligner en rose.
Vet dere hva denne rosen kalles? Jo, den kalles Selburosa, fordi noen i Selbu begynte å bruke dette mønsteret
på votter for over 100 år siden.
- 15 -
Matematikk og Ornamentikk
2.2.3 Elevene lager åttebladrose
Nå skal dere sette dere i grupper og lage
selburoser av disse plastbitene. Ser dere at
rosene er sammensatt av ruter. Hvor mange
ruter trenger dere for å lage en rose? Elevene
setter seg i grupper å begynner å sette sammen selburoser, og det går ikke lang tid før de
første gruppene er ferdige. De legger hvite
trekanter langs kantene slik at ornamentet får
form som en regulær åttekant.
Hvor mange ruter trenger dere for å lage ei rose? Hva kaller vi grunnfiguren i selburosa? Noen kjenner igjen figuren fra logoen til RBK, og noen vet at det heter
parallellogram.
Selburosa ble også brukt som merke for
VM på ski her i Trondheim i 1997. Kanskje fordi vi synes det er typisk for
Trøndelag? De ser på en maskot. Men
finnes denne rosa bare i Norge?
Egentlig er dette ornamentet mye eldre,
og vi finner det over hele verden. Hva
med teppene dere sitter på?
Elevene ser at de også har åttebladsroser i mønsteret, og får vite at teppene kommer fra
Irak. Elevene får deretter se eksempler på åttebladsroser fra hele verden, og oppdager at
åttebladsrosa til og med er benyttet som mønster på påskeegg!
Så blir hvert lag utfordret til å delta i et rebusløp i museumsutstillingen.
- 16 -
Matematikk og Ornamentikk
2.2.4 Rebusløp – Matematikk og ornamentikk i museets utstilling
Her er oppgavene elevene skulle løse:
1. Memphis
Denne fantasifulle sengesofaen er designet av den italienske Memphis-gruppen
på 80-tallet. Legg merke til den spesielle
fargekombinasjonen i puten.
A) Hvilke geometriske ornament kan
du finne i dette spesielle møbelet?
B) Sofaens føtter og rygg har også
geometriske former. Hvilke?
2. Røde vaser
Dere skal finne disse røde vasene som er
laget av Trondheimskunstneren Brit
Dyrnes. Hvis dere deler dem i to på
midten vertikalt, er de helt like på begge
sider.
A) Hva heter denne formen for
symmetri?
B) Hvor mange vaser har akkurat
denne symmetrien?
C) Hvor mange vaser er det til
sammen på veggen?
D) På gulvet: Finn de to plastikkdelene
(vaseformer) som er like og sett dem
sammen til en symmetrisk vase.
(Det er kun én riktig løsning blant delene. Svaret finner du på veggen.)
3. Sengeteppe
Dette er et vevd sengeteppe i ull.
Det henger på veggen i kjelleren og
er nesten 350 år gammelt. Det er
mange figurornamenter på teppet
(gjentakelser).
A) Hvor i teppet kan dere finne
"de fem kloke jomfruer"?
B) Hvor mange menneske figurer
finnes til sammen på teppet?
- 17 -
Matematikk og Ornamentikk
4. Rokokko-stol
Mot en vegg i kjelleren finner dere en stol med en veldig fint
dekorert rygg i mørkt tre. Skinnsetet er brunt, og føttene på stolen
bøyer seg ut, som om den neier. På denne tiden hadde damene så
store og brusende kjoler at de ikke kunne sette seg i en stol med
armlener.
A) Del stolen rett i to med øyene.
Hvilken type symmetri får da denne stolen?
5. Fugleteppet
Går du litt videre mot høyre i kjelleren finner dere et
vakkert, rødt teppe på veggen med fugleornamenter.
Teppet heter "The Bird".
A) Kan dere se at de samme ornamentene
gjentar seg flere ganger i det vevde teppet?
Vet du hva en slik gjentakelse kalles?
B) Hvor mange fugler finner dere i teppet?
6. Tulipanskap
Nå jakter du etter et staselig, brunt treskap som har
fire runde blomsterornament i skinnende messing på
kantene. Dere skal finne tulipanene inni messingsirkelen på skapet.
A) Hvor mange ganger gjentas
tulipanen inne i sirkelen?
B) Hva kalles denne symmetrien?
7. Pytagoras
Pythagoras var en gresk filosof og matematiker. I
matematikken snakker vi om Pythagoras læresetning, som blant annet handler om rettvinklede
trekanter. Dere skal finne et veggteppe som heter
"Pytagoras". Teppet har geometriske ornamenter.
Legg merke til hvordan fargene også påvirker figuren i teppet.
Tulipanskap
- 18 -
Matematikk og Ornamentikk
A) Hvilke geometriske figurer finner dere i teppet?
B) Lag ditt eget "Pytagoras-teppe" med figurene på golvet.
8. Panton-ornamentikk
Panton ornament
I et hjørne står et fargerikt interiør. Stoffene på veggen har knall farger. Bordet
til fire står under lampen blank og rund.
A) Hvor finner dere ornamenter i
dette gull-gule interiøret?
B) Hvilke typer ornamenter
finner dere?
Pytagoras
9. Trappe-teppe
Dere må opp i trappa for å finne dette teppet
vevd i ull. I teppet kan du se havfruer og fisker
som lever i vannet. Dere skal finne røde fisker
som svømmer på rekke og rad.
A) Hvor finner dere de røde fiskene som
lager en bånd-symmetri? Hvor mange røde
fisker er det?
B) Hvor mange fisker er det på hele teppet?
10. Samurai
Nå skal dere ta ferden opp til Japan-utstillingen i 2.etasje. Dere skal
finne denne Samurai-krigeren. Visste dere at Samuraien oftest
hadde to sverd, et langt og et kort? Denne flotte rustningen er ca. 200
år gammel og rikt utsmykket.
A) Hvor på rustningen finner dere blomsterornamenter?
B) Hvor mange blomsterornamenter finner dere?
Svarene til disse oppgavene er samlet i vedlegg C.1.
- 19 -
Matematikk og Ornamentikk
Elevene gikk ivrig i gang med oppgavene. Hver av gruppene startet med ulike oppgaver,
slik at de ble spredt ut over hele utstillingen. Ved enkelte av postene var det også lagt ut
tilleggsoppgaver.
Etter at de har arbeidet med oppgavene en tid, samles de og snakker om noen av oppgavene. Eleanor spør:
- Hvor var de kloke jomfruene?
- Hvor mange fugler var det på teppet?
- Hvor mange tulipaner var det i sirkelen?
Tatovering er en gammel kunst. Eleanor viser fram eksmpler. I gamle egypten var det
vanlig blant overklassen å tatovere seg, det ser vi på de mange mumiene som har
tatoveringer på kroppen. Den 5 000 år gamle ismannen, Utsi, hadde også tatoveringer
på kroppen.
Det er blitt ganske vanlig å tatovere kroppen i dag. Mange av tatoveringene er ornamenter. Eleanor spør elevene om de kjenner noen som har tatoveringer og flere elever
forteller om tatoveringer de har sett. Sammen ser de på ulike tatoveringer og snakker om
symmetri.
Besøket ved Kunstindustrimuseet avsluttes i aktivitetsrommet hvor de skal lære å lage
gækkebrev.
2.2.5 Gækkebrev
Gækkekort, eller Gækkebreve, å "gække" betyr å narre, jfr. aprilsnarr.
- 20 -
Matematikk og Ornamentikk
Det er bare i Danmark folk sender gækkebrev
til hverandre, og det har de gjort i 200 år. Et
gækkebrev skal inneholde et papirklipp, et vers
og en presset snøklokke. I Danmark blir snøklokke kalt vintergæk, og allerede på 1600tallet ble Vintergæk (snøklokke) brukt til å
"gække" med. Man overrakte blomsten til den
man gjerne ville gække, gjerne med ordene
"Min gæk, min Vintergæk". Da hadde personen
blitt gækket, dvs. narret.
Tidligere var det vanlig å gi blomsten til en person man likte ekstra godt. Det eldste
gækkebrevet som man har bevart i Danmark, er
fra 1770. Det er skrevet til Maria Christiane
Hansdatter i Odense, og slutter med ordene:
"En giæk lader hun sig kalde
det monne mit hjerte befalle
min giæk skal hun være
fra vinteren til somren med ære"
Figur 8 Gækkebrev laget av Psaligrafikunstneren Karen Bit Vejle til
datteren Zeleste.
De eldste gækkebrev var som regel underskrevet med navnet til avsenderen. Det handlet om å narre mottakeren med den vedlagte
snøklokken. Slik var gækkebrevet også et varsel om at våren var i anmars. Utover på
1800-tallet ble det mer alminnelig at brevet ble et gjettebrev, dvs. at avsenderens navn
var skjult i et vers i teksten, eller skrevet med prikker:
Etter hvert utviklet det seg en ny tradisjon med egne regler; brevet ble sendt i februar,
og innen 1. påskedag måtte den som hadde fått et gækkebrev, gjette hvem avsenderen
var. Dersom han el. hun gjettet riktig, ble de belønnet med et påskeegg eller en teaterbillett. Hvis avsenderen var en pike, kunne mottakeren velge mellom et egg eller et kyss.
Den som ikke fulgte reglene, var gæk (en narr) resten av året: "Nar, nar, nar – til næste
februar"
Gækkebrevstradisjonen var altså en spøk mellom unge voksne – en måte å komme i
kontakt med hverandre på. I dag er det særlig barn som sender gækkebrev f .eks. til
besteforeldrene for å få påskeegg:
Brevet består av et vers, en navnegåte, en vårblomst og selve brevet er et fint papirklipp.
- 21 -
Matematikk og Ornamentikk
Klippene får man til ved å brette arket,
f.eks. en gang på langs og en gang på
tvers, for så å klippe seg inn fra sidene.
Det er heller ikke uvanlig å pynte
brevene med trykk som viser ulike
ornamenter.
Det utklipte og dekorerte arket kan også
limes på et ubeskåret ark av en annen
farge. Dermed kommer mønsteret
tydeligere fram.
Etter at
Eleanor har
fortalt hva
gækkebrev er,
går elevene
straks i gang
med å brette
og klippe
papir. Når de
så åpner
papirene, ser
de at klipping
på brettet
papir gir speilsymmetriske ornamenter.
Her er noen eksempler på resultatet.
- 22 -
Matematikk og Ornamentikk
Tilslutt et par eksempler på gækkebrev laget av elevene.
2.3
Andre oppgaver
Følgende oppgaver ble ikke brukt.
Dekorer rommet
Tegn en mønsterbord eller trykk med trykkblokker på veggen over skapet.
- 23 -
Matematikk og Ornamentikk
Mønstertrykk
Ved hjelp av stempler med ulike mønstre skal elevene lage
sine egne rapporter.
Kjolemønster og snøbrett
Elevene får utdelt omrisset av en kjole eller et snøbrett og skal
dekorere disse med selvlaget mønster. Jfr. de ulike mønstertypene de har sett og snakket om.
- 24 -
Matematikk og Ornamentikk
3
3.1
•
Ornamentikk og matematikk - ved Vitensenteret
Program ved Vitensenteret (90 min.)
Mønster med kroppen: Båndsymmetri (5 min.)
Elevene hopper langs ulike båndmønster inn til aktivitetsrommet, jfr. kap. 7, side 63
Oppg. 1 Speilsymmetri (10 min.)
- Grunnfigur (foten) og speiling av grunnfigur, jfr. kap. 4, side 35
- Utvikling av båndsymmetrier, jfr. kap. 7, side 63
Oppg. 2 Utforsk speilsymmetri (15 min)
- Kommunevåpen, jfr. avsnitt 5.2, side 39
- Symmetri i ansikter, jfr. avsnitt 5.1, side 37
Oppg. 3 Vottemønster (20 min)
- Lag et symmetrisk vottemønster, jfr. avsnitt 5.3, side 40
Oppg. 4 Rotasjonssymmetri (10 min)
- Utforsk rotasjonsymmetriske mønster, jfr. avsnitt 6.1, side 44
Oppg. 5 Lag en rosett (30 min), jfr. avsnitt 6.4, side 54
•
Ev. lunsj (20–30 min.)
Reserveoppgave:
Oppg. 6 Tesseler et mønster med Jovobrikker (15 min), jfr. kapittel 8, side 67
3.2
Detaljert gjennomgang
3.2.1 Mønster med kroppen: En introduksjon til båndsymmetri (kap. 7, side 63)
Når elevene
kommer blir de
møtt av de sju
båndsymmetriene,
illustrert med
fotavtrykk på
yogamatter. Ved
å hoppe etter
mønstrene på
Figur 9 De sju båndsymmetriene illustrert med fotavtrykk på
yogamatter.
- 25 -
Matematikk og Ornamentikk
mattene, kjenner de med hele kroppen hvordan disse er bygd opp. Noen er enkle mens
andre krever god balanse og koordinering.
Før de forlater aktivitetsrommet får de også med et postkort som viser alle båndsymmetriene. Elevene oppmuntres til å gjøre disse øvelsene i gym. f.eks., i snø eller sand.
Figur 10 Postkort med båndsymmetriene.
Definisjon av begrepet: Hva er egentlig et ornament?
Når elvene er på plass i aktivitetsrommet gis en kort beskrivelse av hva et ornament er:
Et ornament er et mønster som kan være en dekorasjon eller utsmykning for å gjøre noe
pent. Det kan være laget av blomster, geometriske figurer eller andre ting, og er ofte
symmetrisk. Et ornament kan også ha en spesiell betydning. Et fotavtrykk er egentlig
ikke et ornament, men satt sammen på spesielle måter kan det bli en del av et ornament
eller mønster. Det spilles på dialog med barna i denne sekvensen.
Figur 11 Eksempler på ornamenter?
- 26 -
Matematikk og Ornamentikk
3.2.2 Oppgave 1: Introduksjon til speilsymmetri (kap. 4, side 35)
Det er hovedsakelig symmetrien i et ornament
som knytter det til matematikken. De fleste
elever forbinder symmetri med speilsymmetri
(el. aksesymmetri). Når elevene har gjennomført dette opplegget skal de ha fått et utvidet
symmetribegrep. Dessuten skal de finne
grunnfiguren i et periodisk mønster, og vite at
mønster kan ha forskjellige grunnfigurer og
likevel være “like” sett fra matematikken.
Denne abstraksjonen er en krevende øvelse.
Oppgave ark 1 tar utgangspunkt i avtrykket av
venstre fot. Elevene bruker vanlige speil for å
frambringe det speilsymmetriske høyre
fotavtrykket (se figur 12)1.
Ved hjelp av speiling har de fått både høyre og
venstre fotavtrykk. Dermed vet de nok til å
forstå hvordan en av de sju båndsymmetriene Figur 12 De to fotavtrykkene er speilbygges opp, nemlig "gange" (glidende horisymmetriske (oppgave 1).
sontal speiling). Her ser vi hvordan både
speiling om en horisontal akse, gliding og
kopiering inngår i det "utvidete" symmetribegrepet. Her er det viktig å vise at
fotavtrykket er én av uendelig mange ulike grunnfigurer.
Figur 13 Eks. på glidende horisontal speiling (gange).
1. Ansiktet på oppgavearket er tegnet av Veronika Zvorono.
Forøvrig kan hennes nettside om tesselering anbefales (1)f.
- 27 -
Matematikk og Ornamentikk
3.2.3 Oppgave 2: Utforsk speilsymmetri (el. aksesymmetri) (avsnitt 5.1, side 37)
Elevene oppmuntres til å nevne eksempler på ting som er speilsymmetriske. Kroppen
og ansiktet er hyppig nevnte eksempler, men også dagligdagse ting som vinduer, dører,
skilt m.m. I oppgave 2 bruker elevene speilene brukt i oppgave 1 til og utforske symmetri i ansikter. Elevene får utdelt flere eksempler på kjente ansikter, og skal finne
hvilket som er mest speilsymmetrisk.
Figur 14 Undersøk speilsymmetri i ansikter (oppgave 2).
I oppgave 2a oppdager elevene
at ansikter er ganske symmetriske, men ikke helt. Dessuten
skjønner de at når ansiktet er litt
vridd så blir den symmetrien
mindre fremtredende. Det er
likevel fascinerende at den menneskelige hjerne lett
gjenkjenner et ansikt, selv om
det sees fra svært ulike vinkler.
I oppgave 2b skal elevene utforFigur 15 Mange norske kommunevåpen er
ske symmetrien i norske
speilsymmetriske.
kommunevåpen. I figur 15 ser
vi eksempler på symmetriske kommunevåpen.
- 28 -
Matematikk og Ornamentikk
Det viser seg imidlertid at ikke alle er helt symmetriske. Elevene utfordres til å avsløre
hvilke som ikke er helt symmetriske, og forklare hvorfor.
3.2.4 Oppgave 3: Vottemønster (avsnitt 5.3, side 40)
Noe annet som ofte er speilsymmetrisk er mønster på klær. Elevene får se eksempler på
vottemønster, og utfordres i oppgave 3 til å tegne sitt eget, speilsymmetriske vottemønster på en vottemal.
A)
B)
C)
Figur 16 A) Eksempel på vottemønster, B) Elevoppgaven, C) Vottemal.
Elevene utfordres først til å tegne bare den ene halvparten av mønsteret for så å bruke et
vanlig speil til å se hvordan det speilsymmetriske mønsteret blir seende ut. Mønsteret
tegnes ved å skravere eller krysse ut et utvalg av de kvadratiske rutene i malen. For at
så skal kunne tegne det speilsymmetriske mønsteret, må de posisjonere de skraverte
rutene riktig om aksen, hvilket krever forståelse av hva speilsymmetri er. Oppgaven
viste seg å være mer populær enn vi første hadde trodd. Elevene hadde vondt for å gi
slipp på mønstrene sine.
3.2.5 Oppg. 4: Rotasjonssymmetri (avsnitt 6.1, side 44)
Etter speilsymmetriske er det nok rotasjonssymmetriske
mønster som er mest kjent blant elevene. For å skape
gjenkjennelse introduseres begrepet ved å vise et bilhjul.
Ved en enkel animasjon i PowerPoint vises hvordan bilhjulet er “femfoldig” rotasjonssymmetrisk. Dvs. at for hver
femtedels omdreining, så vil bildet av hjulet akkurat dekke
over det opprinnelige bildet. Etter fem drieninger er det
igjen tilbake til utgangspunktet. Ventilen gjør at hjulet ikke
er helt symmetrisk, samtidig som den gjør at det er lettere å
observere dreiningen.
- 29 -
Figur 17 Bilhjul, eks.
på rotasjonssymmetri.
Matematikk og Ornamentikk
I oppgave 4a skal
1)
2)
3)
elevene utforske
rotasjonssymmetri
ved hjelp av fleksible
vinkelspeil. Dette er to
pleksiglasspeil (10 x
15 cm) som er hengslet langs en kortside.
Figur 18 Bruk vinkelspeilet og finn ut hva de tre grunnfiguren
Elevene får tre eksemforestiller (oppgave 4a).
pler på grunnfigurer,
og skal ved hjelp av vinkelspeilet finne ut hva de rotasjonssymmetriske figurene
forestiller.
Elevene oppdager fort at disse forea)
b)
stiller en 1) hjulkapsel, 2) rosevinduet i
Nidarosdomen og en 3) dartskive.
Noen bemerker også at dartskiven ikke
blir som den skal. Grunnfiguren for
dartskiva er strengt tatt ikke riktig.
Opprinnelig var denne "feilen" ikke
tiltenkt, men den ble et spennende
innslag i opplegget. Vi valgte derfor å
beholde den. Det viser seg at skal vi få
Figur 19 Den gale (a) og den riktige (b)
en riktig skive må grunnfiguren ha
grunnfiguren for en dartskive.
spesielle egenskaper. Kan du se hvilke
egenskaper dette er (se figur 18 - 3)? Finnes det flere riktige svar?
Her er det viktig å spille på dialog.
Vinkelspeilet egner seg godt til å utforske rotasjonssymmetriske ornamenter.
I oppgave 4b får elevene tre grunnfigurer, og tre komplette ornamenter bygget opp av de tre
grunnfigurene. Ved hjelp av vinkelspeilet og grunnfigurene skal elevene frambringe ornamentene.
Dette krever at de må velge riktig plassering og vinkelåpning mellom speilene.
- 30 -
Matematikk og Ornamentikk
Selv om det er nærliggende å
prøve seg fram, så oppmuntres de til å tenke systematisk.
Det første en da må gjøre er å
finne ut hvor mange ganger
grunnfiguren gjentar seg i
ornamentet (dersom den gjentar seg 8 ganger skal
vinkelåpningen til speilet
være: 360° : 8 = 45°). Dernest
undersøkes om ornamentet er
"åpent", dvs. om det har et
hvitt felt i midten. Om det
Figur 20 Plasser vinkelspeilet slik at hele figuren ikke er tilfelle så er ornamenframkommer (oppgave 4b).
tet "lukket". Et "åpent"
ornament krever at toppunktet i hjørnespeilet ligger utenfor grunnfiguren. Er ornamentet lukket, ligger toppunktet langs kanten av grunnfiguren. Dette kan en gjøre “de
flinkeste” elevene oppmerksomme på.
3.2.6 Oppg. 5: Lag en rosett (avsnitt 6.4, side 54)
Inspirert av det flotte rosevinduet i Nidarosdomen, lar vi elevene i oppgave 5 utforske
rotasjonssymmetriske rosetter ved hjelp av passer.
A)
B)
Figur 21 A) Tegn en rosett B) Rosettmal.
- 31 -
Matematikk og Ornamentikk
Det varierer svært fra klasse til klasse om elever på 5 trinn har brukt passer før. Det er
derfor nødvendig å gjennomgå bruken. Spesielt hvordan elevene åpner og lukker passeråpningen, hvordan de holder den slik at åpningen ikke endrer seg når de tegner, og
hvordan de lager sirkler uten at passerspissen glipper fra papiret (Ei papplate under
papiret er nødvendig). Elevene lærte dette fort og hadde stor glede av å tegne rosettene.
Ved hjelp av PowerPoint ble det forberedt en detaljert gjennomgang av hvordan de
skulle tegne rosetter. De fleste lærte imidlertid teknikken fort og valgte og utforske
metoden på egen hånd.
Figur 22 Tegning av rosetter med passer, trinn for trinn.
Etter at rosetten var ferdig, fikk de lov til å fargelegge de ulike områdene i tegningen.
Det ble ikke satt noe krav til fargesymmetri, men de fleste valgte rotasjonssymmetrisk
fargelegging. Elevene ble utfordret til å finne rosettens grunnfigur for så å bruke vinkelspeilet til å gjenskape hele rosetten.
A)
B)
Figur 23 A) Fargelegging av rosetten og B) rosettens grunnfigur.
På dette punktet i undervisningsopplegget var det gjerne gått ca. 90 min, og det var
naturlig å oppsummere hva som var gjennomgått: Båndsymmetri, speilsymmetri (el.
aksesymmetri) og rotasjonssymmetri.
- 32 -
Matematikk og Ornamentikk
3.2.7 Oppg. 6 (ekstra): Tesseler mønster med Jovobrikker (kap. 8, side 67)
Vi hadde laget en oppgave 6 med tema tesselering (dvs. flatedekkende mønster). Som
en kort introduksjon, tenkte vi å vise eksempler fra Eschers produksjon, i tillegg til at vi
ganske kort viste hvordan en kan lage escherlignende tesseleringer (se figur 15 B). Imidlertid ble det aldri tid til denne ekstraoppgaven. Vi nøyde oss derfor med å bruke den
på lærerkursene.
A)
B)
Figur 24 A) Et eksempel hentet fra Esher B) Tesselering, trinn for trinn.
I oppgave 6 skal elevene bruke 6 kvadrater og 18 likesidete trekanter til å dekke en
avgrenset flate fullstendig. Det ble brukt Jovo-brikker til oppgaven (regulære mangekanter plast-brikker som kan settes sammen). For å få til dette må elevene tenke logisk
mht. summer av vinkler og hva som kan tillates for å unngå å overskride det avgrensede
området (se figur 16). Eleven fikk utdelt det avgrensede området på et A4-ark.
B)
A)
Kvadrat
6 stk
Likesidet
trekant
18 stk
Figur 25 A) Avgrenset område B) 6 kvadrater og 18 likesidete trekanter.
- 33 -
Matematikk og Ornamentikk
De oppdaget snart at det bare var
mulig å plassere trekanter langs kantene. Når disse er plassert ser en
tydelig hvor de seks kvadratene skal
stå. Til slutt er det noen få trekanter
igjen som finner sin naturlige plass.
Her kan en velge å bringe inn summen av vinklene i trekantene og
kvadratene rundt et “hjørne”, eller la
Figur 26 Flatedekkende mønster.
elevene registrere hvilke figurer som
grenser opp til "hjørnene" i den tesselerte figuren, og i hvilken rekkefølge trekantene og firkantene ligger i rundt “hjørnet”.
3.2.8 Oppsummering:
Opplegget var innkjøpt av Den Kulturelle Skolesekken (DKS) i Trondheim til samtlige
2000 elever på 5. trinn i kommunen. Før oppstart ble lærerne tilbudt kurs for å bli kjent
med opplegget slik at de lettere kunne gjennomføre for- og etterarbeid, og dermed kunne
være en ressurs under gjennomføringen. Informasjon om opplegget og materiell til
etterarbeid, ble lagt ut på nettsiden til Den Kulturelle Skolesekk og Vitensenterets
hjemmeside. Både lærere og elever evaluerte opplegget etter besøket. Resultatene viste
at en svært stor del av elevene hadde fått økt forståelse av hva ornamenter var og hvilken
rolle symmetri har i forholdet mellom matematikk og ornamentikk.
De påfølgende kapitlene utdyper symmetri i mønster, i tillegg til at det gis alternative
oppgaver. Hele opplegget er dessuten grundig dokumentert med en egen video og en
PowerPoint presentasjon for bruk i klasserommet. Ellers arbeides det med å gjøre materiellet tilgjengelig for utlån.
- 34 -
Matematikk og Ornamentikk
4
Kort introduksjon til ornamenter ved Vitensenteret
En definisjon av ornamenter er alt gitt på side 9. Har skal vi konsentrere oss om hva som
gjør ornamenter matematiske. Vi har derfor behov for å avgrense temaet til ornamenter
som er symmetriske eller er bygget opp av rene geometriske former. Alternativt at ornamentet inngår som grunnelement i et bånd eller et periodisk flatedekkende mønster
(f.eks. tapetmønster). Grunnelementet kan i denne sammenheng ha friere former som
f.eks. et hånd- eller fotavtrykk, blomster, blader eller andre ting.
Vi lager oss derfor følgende forenklede definisjon:
Et ornament er et mønster som kan være en dekorasjon eller
utsmykning for å gjøre noe pent. Det kan være laget av blomster,
geometriske figurer eller andre ting, og er ofte symmetrisk. Et ornament kan også ha en spesiell betydning.
Følgende kan være eksempler på ornamenter.
Derimot er det ikke umiddelbart riktig å kalle fotavtrykket
eller hjulkapselen til høyre for ornamenter. Selv om begge
uttrykkene kan inngå i ornamenter, så tenker vi først og
fremst på disse formene som et fotavtrykk i sanden og en
gjenstand til å beskytte hjulet på en bil.
Setter vi dem derimot inn i en ny og kanskje uvanlig sammenheng hvor deres primære hensikt er utsmykning, vil også disse kunne omtales som
ornamenter.
Som tidligere nevnt er det først og fremst ornamentets symmetri som knytter det til
matematikken. Vi vil derfor i denne sammenhengen primært se på symmetriske ornamenter. Dessuten vil vi bruke gjenstander og former til å illustrere ulike
symmetriegenskaper, selv om disse eksemplene ikke nødvendigvis er ornamenter.
- 35 -
Matematikk og Ornamentikk
De fleste forbinder symmetri med aksesymmetri, eller det som i dagligtale kalles speilsymmetri. En figur er speilsymmetrisk dersom den høyre siden er en speiling av den
venstre siden (vertikal speilsymmetri). Men i matematikken er symmetri mer
omfattende:
Generelt kan vi si at en figur er symmetrisk dersom figuren forblir uendret
etter en bevegelse. Bevegelsen kan være refleksjon, glidning eller rotasjon,
eller en kombinasjon av disse.
La oss først se på speilsymmetri som er det de fleste forbinder med symmetri.
5
Speilsymmetri (aksesymmetri)
Oppgave:
Kroppen vår er et eksempel på speilsymmetri, selv om
symmetrien skjelden er perfekt. Dersom vi står barfot i
sanden med beina ved siden av hverandre, vil vi få to
avtrykk som er symmetriske.
Dersom vi har et avtrykk av en venstrefot, vil vi kunne få
fram det perfekte avtrykket av høyrefoten ved å sette et
speil til høyre for venstrefoten.
Ved hjelp av en linjal plassert ved fotavtrykket, kan vi lett
se at avstanden fra de enkelte delene av venstrefoten er
like langt til venstre for speilet som de tilsvarende delene
på høyrefoten er til høyre for speilet. En speilvendt linjal
sett i speilet, viser oss at avstanden fra speilet er symmetrisk for de to avtrykkene. Dette er det grunnleggende
prinsippet for speilsymmetri (i mattermatikken kalt
aksesymmetri).
Oppgave:
Ta et A4- eller et A3-ark og brett det midt på
langsiden. Ta en blyant i hver hånd og tegn
symmetriske figurer omkring brettekanten i
midten av arket. Pass på at startpunktet er symmetrisk om midtlinjen. Brett sammen arket og
hold det opp mot lyset. Undersøk hvor symmetriske de to tegningene er. Tegn mange figurer.
- 36 -
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Matematikk og Ornamentikk
Du vil sannsynligvis oppdage at de to figurene ikke er helt symmetriske. Undersøk om
det er noe systematikk i avvikene mellom høyre- og venstretegningene. Er det likhetstrekk i avvikene elevene imellom?
En annen symmetrisk del av kroppen er ansiktet. La oss se litt nærmere på dette.
5.1
Det aksesymmetriske mennesket
Stort sett er vi ganske symmetriske, utenpå i større grad enn innvendig. Likevel er det
forskjeller. Dersom vi studerer et ansikt vil vi oppdage at det er små forskjeller mellom
høyre og venstre side. Venstre side synes ofte å være litt mer alvorlig enn høyresiden.
I 1930 malte WilTo høyresider
To venstresider
liam E. Benton
maleriet “Duality
Mirror”, hvor han
undersøkte
hvordan ansiktet
så ut dersom det
var satt sammen
av to høyresider
eller to venstresider. Han tok utgangspunkt i et bilde av forfatteren Edgar Allan Poe (1809–1849). Vi
har gjentatt eksperimentet her med moderne datahjelpemidler og ser at Poe ikke er helt
symmetrisk. Benton beskriver hvordan Poes høyre ansiktstrekk uttrykker hans bevisste
og åpenbare sider, “Mr. Jekyll”. Mens den venstre siden av ansiktet viser hans ubevisste
og skjulte sider, “Mr. Hyde”. Det finnes nok ingen forskning som fastslår dette, men det
er verdt å legge merke til at ansiktets to halvdeler som oftest ikke er helt like og at den
venstre ofte er noe mer dyster [13].
Med digitale kamera og bruk av programvare for bildebehandling, er det lett å eksperimentere med bilder av ansikter. Her er noen eksempler.
Figuren til høyre viser to
eksempler på sammenstilling
av to høyresider og to venstresider. En kan vel ikke
annet enn å bli slått av hvor
symmetrisk jenta på bildet er.
To høyresider
- 37 -
Normalt
To venstresider
Matematikk og Ornamentikk
I tilfellet med gutten til høyre så
kan det se ut som om de to
høyresidene har et noe mer trist
uttrykk enn de to venstresidene,
altså det motsatte av det en
skulle forvente ifølge diskusjonen foran. Om det har noe å si at
vedkommende er venstrehendt,
skal være usagt.
To høyresider
Normalt
To venstresider
Også dyr kan være svært symmetriske. På bildet under er vist en Cavaler King Charles Spaniel.
Eneggede tvillinger kan være svært like. Det betyr ikke nødvendigvis at ansiktene deres
er mer symmetriske enn hos andre. Det påstås imidlertid at usymmetrien i den ene tvillingens ansikt, er speilvendt i den andres2. Så er det bare å finne et tvillingpar og sjekke.
Ved hjelp av speilet er det også
lett å undersøke hva som skjer
når det dreies litt mot høyre eller
venstre som vist på bildene til
høyre.
Speil
Speil
Kanskje ikke så vakkert, men
ganske morsomt.
Se vedlegg A.1 for ansikter som
kan brukes for studie av
ansiktssymmetri.
2. Se: http://www.newtrier.k12.il.us/academics/math/Connections/reflection/symfaces.htm
- 38 -
Matematikk og Ornamentikk
Elever fra Bratsberg skole
eksperimenterer med symmetrien i ansikter.
5.2
Norske kommunevåpen
Men det finnes selvfølgelig mange andre ting som også er symmetriske. Under har vi
gjengitt noen av de mange symmetriske norske kommunevåpnene.
Ser vi imidlertid nøye etter så vil vi se at to av kommunevåpnene på bildet ikke er helt
symmetriske. Kan du se hvilke?3
3. Røros, Hjelmeland og Eidsvoll er ikke helt symmeriske. Man må imidlertid ha et bedre bilde
av Eidsvold for å se at Eidsvoll ikke er symmetrisk.
- 39 -
Matematikk og Ornamentikk
5.3
Strikkemønster
Klær er ofte smykket med symmetriske mønster.
Strikkevotter er intet unntak.
Vottene til venstre har en meget tydelig symmetriakse
langs midten av mønsteret. Hovedmotivet er en åttebladet
rose.
Utvalget av slike mønster er stort og bildene under viser
mange eksempler. Ikke alle er like symmetriske og noen er
symmetriske i deler av mønsteret.
Vottene er strikket av Maria Nordvik og hentet fra artikkelen Strikkevottenes høye beskytter i Ukeadressa 3.
januar 2009.
Bildene under viser flere eksempler på strikkemønster på votter fra samme artikkel.
Oppgave:
En enkel og illustrativ oppgave er å tegne den
ene halvdelen av et vottemønster (figuren til
høyre). Ved hjelp av planspeilet kan en gjøre
mønsteret speilsymmetrisk om en langsgående
akse (stiplet linje på figuren). Dernest kan en
tegne det symmetriske mønsteret og erfare
speilsymmetriens grunnleggende regler.
- 40 -
Matematikk og Ornamentikk
Bildene er tatt av Jens Petter Søraa (Adresseavisen) og gjengitt med tillatelse.
5.4
Symmetriske bokstaver
La oss til slutt i dette kapittelet se på noen overraskende eksempler på speilsymmetri.
5.4.1 “CHECKED OK / ALL WRONG”
Bruk et reagensrør, tykkelse og lengde er ganske ukritisk, men et rør med en diameter
på ca. 13 mm passer til de runde skivene under. Fyll røret med kokt vann, og press en
kork inn i åpningen, slik at vannet stenges inne uten luftbobler. Fordelen med å bruke
kokt vann er at det inneholder lite luft. På den måten unngår vi at det dannes luftbobler.
Vann
Vi har nå laget en sylindrisk linse med spesielle egenskaper.
Skriv følgende to ord med fonten Albertus eller New Times Roman4. Ordene på
figuren er skrevet med Albertus.
CHECKED OK
ALL WRONG
4. Disse to fontene har bokstaver som er symmetriske i formen.
- 41 -
Matematikk og Ornamentikk
Hold vannlinsen over de to ordene i passende avstand og observer hva du ser gjennom
linsen. Du vil da observere følgende:
CHECKED OK
“CHECKED OK” ser ut til å være uforandret og stå rett vei. Mens “ALL WRONG” er
snudd på hodet. Hvordan kan dette ha seg? Har det noe med fargen på teksten å gjøre,
eller er det noe annet lureri?
Oppgave:
Lag linsen, skriv teksten på et papir, og la elevene prøve å finne årsaken til dette merkelige fenomenet.
Dersom elevene synes dette er vanskelig å forklare, fortell dem at forklaringen på
fenomenet ligger nærmere matematikken enn fysikken.
Årsaken til dette fenomenet finner vi i at noen bokstaver er symmetriske om en horisontal akse. Dersom vi undersøker bokstavene i ordene “CHECKED OK”, ser vi at alle er
symmetriske om en horisontal linje. Dette gjelder ikke bokstavene i ordene “ALL
WRONG”. Vi kan derfor konstatere at begge ordene blir snudd gjennom linsen, men
siden “CHECKED OK” er symmetrisk, vil ordet se likedan ut selv om det er snudd på
hodet.
La denne oppgaven være introduksjonen til symmetri i matematikken. Øvelsen kan også
brukes i forbindelse med optikk og linser i naturfag.
Oppgave
La elevene finne de bokstavene i alfabetet som er symmetriske langs den horisontale
aksen. Utfordre dem til å lage meningsfulle ord og uttrykk bare satt sammen av disse
bokstavene.
La oss se på en annen oppgave som er knyttet til en annen symmetri hos bokstaver.
5.4.2 Hemmelig speilskrift
Hos en glassmester kan en for en billig penge, skaffe seg biter av halvgjennomsiktig
speil. Ved å montere en rektangulær speilbit i en holder slik at den kan stå på bordet, kan
vi utføre noen enkle eksperimenter for å demonstrere vertikal aksesymmetri hos
bokstaver.
- 42 -
Matematikk og Ornamentikk
Oppgave:
Tekst 1
To tekster er skrevet
ut på et ark som vist
på figuren til høyre5.
Tekst 2
Plassér det halvgjennomsiktige
speilet på tvers av
teksten slik at den kan
leses når en ser inn i det halvgjennomsiktige speilet.
Teksten skal dels leses i speilet og dels
gjennom speilet. Om det er vanskelig å
se teksten på baksiden av speilet, bruk
ekstra lys på baksida.
Figuren til høyre viser resultatet når
speilet er plassért rett med riktig
belysning, og sett på skrå inn i det
halvgjennomsiktige speilet.
Tekst 2
Speilet settes omtrent her
Matematikk
Vi har det kult med geometri
5. Etter en idé fra Cato Tveit ved Høgskolen i Stavanger.
- 43 -
Matematikk og Ornamentikk
Bokstavene som leses som speilbilde, er aksesymmetriske om en vertikal akse slik at de
blir like når de speiles. Bokstavene på baksiden av speilet leses gjennom speilet. Disse
bokstavene blir ikke speilvendt og er heller ikke aksesymmetriske om den vertikale
aksen.
Hittil har vi sett hvordan vi kan utnytte den horisontale og den vertikale symmetrien hos
bokstaver. Slike symmetrier kalles aksesymmetriske (speilsymmetrisk) fordi de er speilet omkring en akse, enten horisontalt eller vertikalt.
6
6.1
Rotasjonssymmetri - punksymmetri
Rotasjonssymmetri
I dette avsnittet skal vi se hvilke symmetrier vi kan få til ved hjelp av et fleksibelt vinkelspeil. Et vinkelspeil er i denne sammenheng to speil som er sammenføyet langs én av
kantene, slik at vinkelen mellom dem kan endres. Skal vi forstå mulighetene med et slikt
vinkelspeil, må vi kjenne litt til rotasjonssymmetriske mønstre.
En hjulkapsel er et ganske vanlig eksempel på en rotasjonsymmetrisk gjenstand.
Dersom vi dreier hjulkapselen en viss vinkel, vil vi oppdage at den ser eksakt likedan ut
som før dreiningen.
1.
2.
3.
4.
5.
288°
216°
144°
0°
72°
I eksempelet over kan kapselen dreies til fem ulike posisjoner som alle gir samme utseende før den er tilbake til
utgangspunktet. Mønsteret kalles derfor femfoldig
rotasjons-symmetrisk. De andre eksemplene som er vist, har
forskjellig grad av rotasjonssymmetri.
- 44 -
360°
Matematikk og Ornamentikk
Et vinkelspeil kan lett lages ved å tape sammen to rektangulære speil langs den ene
kanten. Ønskes en mer robust og varig løsning, kan en benytte hengsler som vist på bildet over. Vinkelspeilet er også beskrevet i vedlegg B.1.
La oss eksperimentere litt med vinkelspeilet.
Oppgave:
Et vinkelspeil egner seg ypperlig til å lage rotasjonssymmetriske mønstre. Lag et grunnmønster. Sett vinkelspeilet inntil grunnmønsteret. Vinkelspeilets åpningsvinkel
bestemmer hvor mange ganger mønsteret vil bli gjentatt som vist på figuren under.
Grunnmønster
7-foldig r.s.
5-foldig r.s.
Også kjente mønstre som åttebladrosa er rotasjonssymmetrisk. Vi ser at denne kan
betraktes både som speil- og rotasjonssymmetrisk.
Speiling om
vertikal akse
Speiling om
horisontal akse
Rotasjonssymmetrisk speiling
Vi skal benytte vinkelspeilet til å framskaffe den komplette åttebladrosa ut fra en passende grunnfigur som vist på figuren under.
Oppgave:
På figuren under har vi fire mønstre, og fire grunnfigurer.
- 45 -
Matematikk og Ornamentikk
Vinkelspeilet skal åpnes i riktig vinkel og plasseres inntil grunnfiguren slik at det
ønskede mønsteret framkommer når en ser inn i speilet.
Mønster
Grunnfigurer
Mønster
1.
3.
2.
4.
Grunnfigurer
Plassér et vinkelspeil ved grunnmønsteret slik at rosen til venstre dannes i speilbildet.
Løsningen finnes i vedlegg C.2.
Denne typen øvelse egner seg også godt til å la elevene bruke speilet for å finne ut hva
ting er. Ved å vise grunnfiguren på et ark, kan de ved å sette vinkelspeilet rett finne ut
hva grunnfiguren er en del av.
Oppgave:
Bruk vinkelspeilet til å finne ut hva bildene på figuren under forestiller.
Ved å plassere speilet med toppunktet i det
øverste hjørnet, for så å åpne speilet slik at
figuren akkurat dekker flaten mellom beina
på det åpne speilet, vil de lett se at det første
forestiller en hjulkapsel. Denne vil bli gjengitt eksakt. Det neste vil gi inntrykk av å være
den innerste rosen i rosevinduet på Nidarosdomen. Imidlertid vil de raskt skjønne at gjengivelsen ikke er perfekt fordi de enkelte
- 46 -
Matematikk og Ornamentikk
bladene i rosen i virkeligheten har forskjellige motiver. Dartskiva synes enkel inntil en
oppdager at grunnfiguren lengst til venstre ikke gir noen vanlig dartskive. Det viser seg
nemlig at denne grunnfiguren ikke er den egentlige grunnfiguren, men vil gi to hvite og
to svarte felter ved siden av hverandre. Grunnfiguren i midten vil gi en dartskive slik vi
kjenner den.
På denne måten vil de oppdage at grunnfiguren må være symmetrisk om en midtakse
dersom figuren skal bli riktig når man benytter vinkelspeil for å lage hele figuren. Tallene langs kanten av dartskive blir selvfølgelig alltid feil.
Det er imidlertid mulig å bruke grunnfiguren til venstre på figuren over for å lage en riktig dartskive. Hvordan må du da plassere speilet?
Elev fra Bratsberg skole som forsøker å gjenskape rosevinduet i Nidarrosdomen.
- 47 -
Matematikk og Ornamentikk
6.2
Punktsymmetri og rotasjonssymmetri
Er punktsymmetri det samme som rotasjonssymmetri? Nei, det er ikke nødvendigvis det
samme, men kan ofte være det. Figuren til
høyre illustrerer forskjellen.
A
B
A viser en figur som er både punktsymmerisk
Rotasjonssymmetrisk Rotasjonssymmetrisk
og rotasjonssymmetrisk. Dersom vi trekker
og punktsymmetrisk
linjer fra punkter på flagget til venstre gjennom sentrum, vil vi se at tilsvarende punkter på flagget til høyre ligger like langt på
andre siden av punktet og langs den samme linjen. Figuren er også rotasjonsymmetrisk
siden den blir uforandret dersom vi roterer den 180°. B derimot er rotasjonssymmetrisk,
men ikke punktsymmetrisk. Vi ser at dersom en figur skal være både rotasjons- og
punktsymmetrisk så må den være 2, 4, 6, 8 osv -foldig rotasjonssymmtrisk.
6.3
Åttebladrosa
Siden Selbu-rosa, eller åttebladrosa som den ofte kalles, har vært en gjenganger i dette
prosjektet, er det naturlig å se litt spesielt på denne.
6.3.1
Tradisjonen knyttet til åttebladrosa
Slik åttebladsrosa er
vist på figuren til
høyre, møter vi den
ofte i vår norske
strikke- og vevtradisjon. Mange
forbinder den også
med Selbu i SørTrøndelag, hvor åttebladrosa ble tatt inn i
den lokale strikketradisjonen på midten av 1800-tallet. Selbu har også valgt tre åttebladsroser på
sølvbakgrunn i sitt kommunevåpen.
Historien forteller at det var Marit Gulsetbrua som sommeren 1857 strikket de første
vottene med dette mønsteret. Det sies at hun tok motivet fra “Storbrurplagget”, som var
hodeplagget til brura når hun trådte inn i ektestanden.
- 48 -
Matematikk og Ornamentikk
Det vakte stor oppsikt da Marit og søstrene hennes møtte opp på kirkebakken med votter
prydet med åttebladsroser, eller Selbu-roser, som det senere ble hetende. Søstrene giftet
seg senere, og flyttet til andre gårder i Trøndelag. På den måten tok de med seg mønsteret, og spredte det utover bygdene omkring.
I 1897 begynte Marit Emstad fra Selbu å levere Selbuvotter til Husfliden med dette
mønsteret, og i 1900 leverte handelsforretningene i Selbu votter til husflidsbutikker
flere steder i landet.
Men åttebladrosa er verken en trøndersk, eller en norsk oppfinnelse. En kan spore den
helt tilbake til den sumeriske kulturen, og det er funnet mønster av denne typen på de
tidligste strikkefunn i Europa. Heller ikke alle steder i Norge forbindes åttebladrosa med
Selbu. I Hardanger har de akkurat det samme ”eiendomsforholdet” til åttebladsrosa som
de har i Selbu. I Hardanger broderes den i hardangersøm, og de blir overrasket når en
trønder kaller den en Selbu-rose.
Stjernen ble av mange betraktet
som det høyeste målet en kunne
strekke seg mot, det være seg ledestjernen eller seiersstjernen.
Åttebladstjerna har derfor fått
mange navn, som Maria-stjerne
og marekors. Marekorset har
mange likhetstrekk med åttebladÅttebladrosa
rosa. Figuren til høyre
sammenligner dobbelt marekors og åttebladrosa.
Dobbelt marekors
Disse symbolene hadde også ord på seg for å beskytte under fødsler og når en sov. De
skulle beskytte mot mareritt og angst. Det er derfor ikke underlig at mønsteret er funnet
igjen på natttøy strikket av silketråder. Dette skulle beskytte den som bar tøyet, mens
han eller hun sov.
6.3.2
Symmetrier i åttebladrosa
Vi skal her ta utgangspunkt i åttebladrosa for å se på de enkleste
formene for symmetrier. Vi starter med grunnmønsteret i rosa,
som er et parallellogram.
I tillegg til speiling om en vertikal og en horisontal akse, skal vi
utnytte åttebladrosas rotasjonssymmetriske egenskaper. Et mønster som er rotasjonssymmetrisk, betyr at det gjentar formen sin
når det dreies om et senterpunkt.
- 49 -
Matematikk og Ornamentikk
Speiling om
vertikal akse
Speiling om
horisontal akse
0°
15°
30°
45°
Rotasjonssymmetrisk speiling
60°
75°
90°
Nederst på figuren over har vi latt åttebladrosa gjennomløpe en 90°-rotasjon, i trinn på
15°. Vi legger merke til at mønsteret ved 45°, er eksakt likt mønsteret ved 0°. Vi sier at
rosa er åttefoldig rotasjonssymmetrisk, siden den faller over sitt eget mønster åtte
ganger i løpet av en 360°-rotasjon.
6.3.3
Tesselering6 med åttebladrosa
Dersom vi trekker en strek gjennom rosas åtte spisser, vil vi få en regulær åttekant, som
vist på figuren under.
6. Tesselering betyr flislegging, dvs. like mønsterdeler danner en heldekkende flate.
- 50 -
Matematikk og Ornamentikk
Denne åttekanten kan, sammen med
kvadratet, tesseleres til et flatedekkende mønster. Et slikt mønster
kalles semiregulært, siden det trengs to
regulære mangekanter for at mønsteret
skal bli heldekkende. I avsnitt 8.2, side
69, skal vi se at det kun finnes åtte slike
semiregulære mønster.
En tesselering, som vist på figuren
nederst på forrige side, er benyttet som
basis for mange åklær og tepper. Figuren til høyre viser et tradisjonelt åklemønster som benytter denne type semiregulær
tesselering.
6.3.4
Åttebladrosa og A4-arket
La oss så ta utgangspunkt i noe helt
annet, og se om vi kan komme fram
til et kjent mønster.
a
a
½b
De innbyrdes lengdene hos et A4ark er ikke valgt tilfeldig. Utgangspunktet var at en ønsket å lage et
standardformat, som var slik at dersom arket ble delt på tvers, i to like
store deler, så beholdt det forholdet
mellom den korte og den lange siden.
b
b
Dette kan vi sette opp på følgende måte:
b--a
= ---------a
b⁄2
(6.1)
Dersom vi ordner på denne ligningen, slik at a og b kommer over på venstre side, kan
vi skrive:
2
⎛b
---⎞ = 2
⎝ a⎠
(6.2)
- 51 -
Matematikk og Ornamentikk
Tar vi kvadratroten av begge sider av ligningen finner vi at forholdet mellom b og a er
lik:
b
--- =
a
2
≈ 1,41
(6.3)
Dvs. at forholdet mellom den lengste og den korteste siden i A4-arket er lik 1,41. La oss
huske på dette når vi går videre.
Vi skal bruke flere A4-ark, og legge dem over hverandre på en spesiell måte. På figuren
under er de to første trinnene i prosessen vist7:
1
1
B1
A1
A1
B
1
A2
α
1,41
1,41
B2
D2
D1
C1
D1
C2
Vi legger det første arket flatt på bordet. Hjørnene kaller vi A1, B1, C1 og D1. Så tar vi
et nytt ark. Hjørnene på dette arket kaller vi A2, B2, C2 og D2. Det andre arket legger vi
på skrå over det første, slik at hjørnet D2 ligger på siden A1-D1, og hjørnet A2 ligger
over hjørnet B1, som vist på figuren over.
Det viser seg at vinkelen mellom arkene lik 45°. Når vi vet at 8 ⋅ 45° = 360°, skjønner
vi at dersom vi fortsetter å legge ark på ark, etter de samme reglene, vil vi ende opp med
en regulær åttekant. Dette er vist på figuren under.
7. Etter en idé fra Ingvill Merete Stedøy-Johansen og [18].
- 52 -
Matematikk og Ornamentikk
Dersom vi gjør alle arkene gjennomsiktige, framkommer omrisset av åttebladrosa flere
ganger inne i den regulære åttekanten. Benytter vi tynt papir i forskjellige fargesjatteringer, og holder åttekanten opp mot et vindu, vil vi se åttebladrosa eller
marekorset i det gjennomskinnelige mønsteret som fremkommer, mot den lyse bakgrunnen. Dette er vist på figuren under.
Den som vil eksperimentere mer med denne typen mønsterdanning kan ta en titt i [18].
- 53 -
Matematikk og Ornamentikk
6.4
Rosettmønster og karveskurd
La oss først se på en innledende oppgave.
Oppgave:
La elevene eksperimentere med passer. Utgangspunktet kan være én eller to konsentriske sirkler med punkter for hver 60° vinkel. Disse kan være utgangspunkt for å slå
sirkler som krysser sentrum og tangerer pereferien. Ved gjentatt tegning av sirkelbuer,
vil elevene se at det framkommer vakre rosettmønster.
Når de behersker teknikken, kan de få større frihet til å eksperimentere.
Bildet til høyre viser elev fra Bratsberg skole som
fargelegger sitt rosevindu.
Norge har rike tradisjoner innen treskjæring.
Karveskurd er en gren av denne tradisjonen, som
kjennetegnes ved sine sinnrike ornamenter bygd
på geometriske mønstre laget ved hjelp av passer
og linjal. På denne måten er det mulig å konstruere ulike stjerner, men også trekant- og
firkantmønstre. Etter at mønsteret er ført på
arbeidsstykket, benyttes gjerne et v-formet
skjærejern der vinkelen mellom flatene er 75°.
- 54 -
Matematikk og Ornamentikk
Teknikken er utbredt over store deler av Europa, mens den i Norge i særlig grad finnes
på Vestlandet. Det er vanskelig å spore opprinnelsen til den norske tradisjonen, men på
1700-tallet ble det importert varer med betydelig finere og tettere mønster enn det som
tidligere var vanlig her til lands8.
La oss se litt nærmere på de geometriene som skjuler seg bak disse mønstrene.
Mesteparten av stoffet til dette kapittelet er hentet fra Knut Engelands meget tiltalende
bok Treskjæring [4].
I hovedsak er karveskurdornamentene bygd opp av firkanter og sirkelbuer, som igjen er
oppdelt i trekantformer og “båt”-former. En trekant kan snittes ned i treverket på ulike
måter som vist på figuren under.
Skåret ned
Varierende vinkel for nedkutt
Med utgangspunkt i kvadratet kan en ved hjelp av en linjal lage en mengde ulike
mønstre som kan være utgangspunkt for nedkutt som vist nederst på forrige side. Knut
Engeland har på figuren under vist noen mulige mønstre med utgangspunkt i kvadratet.
8. Se nettreferanse (3).
- 55 -
Matematikk og Ornamentikk
Til venstre på figuren over er det vist hvordan et kvadrat kan deles opp på ulike måter,
slik at det dannes trekanter. Til høyre på samme figur er det vist hvordan hver av trekantene kan kuttes ned.
På tilsvarende måte kan det lages border som vist på figuren under.
Så langt har vi benyttet linjalen og fått fram trekantformer. Bruker vi derimot passeren,
vil vi i overlappingen mellom to sirkelbuer få fram noe som vi kan kalle båtformer.
Tilsvarende vil vi, når seks buer krysser, få buede trekanter, som vist på figuren under.
- 56 -
Matematikk og Ornamentikk
Disse formene kan så kuttes ned som tidligere omtalt. Denne teknikken egner seg godt
for å konstruere roser. På figuren under ser vi hvordan vi kan konstruere en rose i
karveskurd.
A)
B)
Sentrum for en av halvsirklene
C)
E)
D)
F)
- 57 -
Sentrum for
en av sirklene
som tangerer
periferien til
den ytterste
sirkelen.
Sentrum for de
siste halvsirklene
Matematikk og Ornamentikk
A) Først slås en stor sirkel. Inne i denne, med felles
sentrum, slås en sirkel med halv radius. B) Dernest
slås seks av de små sirklene med sentrum langs den
innerste sirkelen. Etter at en av sirklene er slått,
velges krysningspunktet mellom denne sirkelen og
den innerste sirkelen som nytt sentrum for den
neste sirkelen. Slik fortsetter vi helt til alle seks
sirklene er tegnet. C) Dernest slås seks halvsirkler
med sentrum i de ytterste krysningspunktene som
antydet på figuren. Radiusen er hele tiden som den
innerste sirkelen. D) Til slutt slås seks sirkelbuer
med sentrum i krysningspunktene langs periferien
til den store sirkelen.
E) og F) viser hvordan hvert felt fylles enten med
et båtformet nedkutt, eller et trekantet nedkutt.
La oss nå se på andre roseformer.
På figuren under er vist hvordan en med utgangspunkt i en likesidet trekant innskrevet i en sirkel kan lage et roseformet ornament.
A)
B)
C)
D)
Det fremgår av figuren hvordan rosen konstrueres. Feltene fylles enten med båtformede
nedkutt der hvor sirkulbuer overlapper, eller trekantede nedkutt.
- 58 -
Matematikk og Ornamentikk
På tilsvarende måte kan en bygge opp en karveskurdrose rundt et kvadrat, en femkant,
en sekskant og en åttekant innskrevet i en sirkel som vist på figuren under.
Karveskurd oppbygd av kvadrat i sirkel
Karveskurd oppbygd av femkant i sirkel
c
g
a
e
f
b
d
Karveskurd oppbygd av sekskant i sirkel
Karveskurd oppbygd av åttekant i sirkel
- 59 -
Matematikk og Ornamentikk
Det skulle framgå av figuren hvordan konstruksjonen av de ulike mønstrene utføres.
Når mønsteret er ferdigtegnet, overføres
det til arbeidsstykket. Dersom mønsteret
tegnes på begge sider av matpapir eller
kalkerpapir, kan overføringen skje ved at
en streker over mønsteret på baksiden, slik
at mønsteret på forsiden smitter over på
arbeidsstykket.
I mange tilfeller kan det være like greit å
tegne mønsteret rett på arbeidsstykket.
Dersom overflaten av emnet er buet, kan
et spillkort brukes som linjal. Dette vil lett
føye seg etter emnet.
Behersker en teknikken med jernet, kan en
ut fra disse arbeidstegningene lage de
vakreste utskårne mønster (se [4] side 53).
Fatet og ornamentet på bildet til høyre er
hentet fra utstillingen “Kunstferdig
matematikk” februar 2000, og er laget av klasse 9A ved Stryn ungdomsskole fra Sogn
og Fjordane.
La oss til slutt i dette kapittelet se på en litt morsom måte å framstille rotasjonssymmetriske mønster på.
6.5
Fødselsdagsdatoene som ble til ornamenter
La oss begynne med en oppgave.
Oppgave:
Alle elevene i klassen skal lage sitt eget spesielle “bumerke”. I utgangspunktet vet ingen
hvordan det skal se ut. Siden de fleste elevene i klassen har forskjellig fødselsdato, kan
denne brukes som utgangspunkt for å lage egne ornamenter. Eksempler på en fødselsdato9 kan være 210852 eller 010186. La oss se på et meget enkelt eksempel.
9.
Fødselsnummer kan selvfølgelig også brukes. I utgangspunktet kan et hvilket som helst tall
benyttes.
- 60 -
Matematikk og Ornamentikk
La alle elevene få et ruteark. Bestem “retninger” for hvert av
tallene, som vist på figuren til høyre. Det kan være lurt å ha
figuren som viser sammenhengen mellom tallene og retningene på et eget lite ark.
3
Klipp ut et ark på 10 ⋅ 10 cm med 5 mm ruter (vanlig ruteblokk). Legg arket på en tykk kladdebok.
6
3
2
1
9
Nål
7
08
4
7
0 8
4
Siden vi har åtte retninger og ti tall når vi regner med 0, lar
vi 8 ha samme retning som 0, og 9 samme retning som 1.
5
6
5
1.
1
2
9
I fortsettelsen
ser vi nå på et
utsnitt av arket
La oss bruke tallet 23 som trening. Gå fram på følgende måte:
1. Velg startpunkt omtrent midt på arket. Stikk en nål gjennom startpunktet og ned i
kladdeboken under slik at arket kan rotere fritt rundt nålen, som vist på figuren over.
2. Tegn en strek som er en rutelengde lang i toer-retningen, dvs. rett nedover.
0-retningen
Nål
2
2
2
2.
3
Drei
arket
3.
Drei
arket
4.
3. Drei arket slik at streken som du tegnet i toer-retningen, peker i 0-retningen, det vil
si rett mot høyre.
4. Tegn inn det neste tallet som er 3. Dette tallet skal tegnes i treer-retningen som er
ned til venstre, og ha sitt utgangspunkt der den forrige streken sluttet. Vi ser at treerretningen blir diagonalen i ei rute.
- 61 -
Matematikk og Ornamentikk
5. Drei arket slik at strekendu tegnet i treer-retningen, peker i 0-retningen som fortsatt
er rett til høyre.
3
2
2
3
2
2
3
2
5.
Drei
arket
6.
7.
6. Siden du nå har brukt begge sifrene i tallet (23), starter du fra begynnelsen igjen,
med tallet 2. Dette tegnes i toer-retningen som er rett nedover.
7. Så dreies arket igjen slik at den siste toeren peker i 0-retningen.
Slik fortsetter du til tegningen er blitt symmetrisk.
Den ferdige
symmetriske
figuren for
tallet 23
Tallet 62 har tverrsum 8 og vil frambringe en uendelig
lang trappebord
62
Det viser seg at man alltid vil få symmetriske figurer så fremt tverrsummen av tallet ikke
er delelig med 8. Er det tilfellet, vil du få en bord som vist til høyre på figuren over.
På figuren til høyre er vist noen
eksempler som ikke er datoer.
Det viser seg dessuten at en aldri
trenger å gjennomløpe tallet mer
enn åtte ganger for å få fram den
symmetriske figuren. Tallet kan ha
så mange siffer du måtte ønske.
3465
5347560
5745
Oppgave:
La elevene bruke ulike farger når
de tegner de forskjellige tallene og
se om det oppstår mønstre med fine
farger.
122
- 62 -
5768
Matematikk og Ornamentikk
Oppgave:
La elevene undersøke symmetriegenskapene i figurene. Hvordan ville figuren bli dersom
alle partall ble tegnet blå og alle oddetall røde? Hvordan ville det bli dersom en definerte ti retninger med en innbyrdes vinkel på 36°? La elevene fargelegge bumerkene
sine.
Oppgave:
Noen mønstre blir aksesymmetriske, det vil si at høyre side er speilbildet av venstre side,
og/eller at øvre og nedre halvdel av mønsteret er speilbilder av hverandre. Andre mønstre blir rotasjonssymmetriske. La elevene undersøke hvilke tall som gir
aksesymmetriske mønstre og hvilke tall som gir rotasjonssymmetriske mønstre.
7
Båndsymmetri
Vi finner båndsymmetrier i mange sammenhenger. Det kan være i kantbånd i bunader
eller tekstiler, det kan være friser langs gesimser eller langs veggene i et rom, eller det
kan være border i skjønnskriftsboka eller gjerder rundt en tomt eller på en veranda. Til
og med sporene i sanda når vi vandrer langs strandkanten danner et bånd.
Det underlige er at samtlige båndmønster tilhører en av sju symmetrigrupper. Vi vil i
dette avsnittet studere symmetriegenskaper hos bånd.
Symmetrien i et bånd framkommer ved at mønsteret gjentar seg når en beveger seg langs
båndet. Det er dessuten mulig å finne en grunnfigur som er den minste byggesteinen
som hele båndet kan bygges opp av. Grunnfiguren kan speiles, roteres og forskyves
- 63 -
Matematikk og Ornamentikk
langs båndet. Den kan imidlertid ikke forstørres eller forminskes, i så fall vil den
betraktes som en ny grunnfigur.
I eksempelet under har vi valgt fotavtrykket av en venstrefot som grunnfigur. Når det
samme fotavtrykket legges etter hverandre med lik avstand, kan det betraktes som et
bånd med et regelmessig mønster. Det eneste vi gjør med grunnfiguren er å la den forflytte seg langs båndet, eller vi kan si at den glir langs båndet. Dette mønsteret kan vi
derfor kalle gliding, eller hink med et mer folkelig uttrykk, siden det ser ut som vi har
hinket.
I prinsippet kan vi bruke et hvilket som helst grunnmønster. Dersom vi bytter ut
fotavtrykket med en “grisehale” og glir akkurat langt nok til at halene henger sammen,
får vi båndmønsteret nederst på figuren. Vi ser at vi får en bord.
Symmetrien i mønsteret er knyttet til den regelmessige gjentakelsen av grunnfiguren
langs båndet. Vi kan derfor forskyve hele båndet en grunnfigur mot venstre eller høyre,
uten at vi kan se noen forskjell på båndet. Mange vil oppfatte at dette er en utvidelse av
symmetribegrepet.
La oss se på et annet båndsymmerisk mønster.
Speiling
Gliding
Her ser vi at grunnfiguren (fotavtrykket), gjentar seg langs båndet på en annen måte.
Venstrefoten speiles om en horisontal akse (stiplet) og blir til en høyrefot. Dernest forskyves høyrefoten mot høyre, den glir. Dette mønsteret kan vi derfor kalle glidende
horisontal speiling, eller mer folkelig, gange.
Siden fotavtrykket er en tilfeldig valgt grunnfigur kan vi bytte ut denne med en grisehale
og få en kjent bord.
- 64 -
Matematikk og Ornamentikk
Vi ser tydelig hvordan mønsteret gjentar seg helt regelmessig. Igjen framkommer symmetrien ved at mønsteret vil forbli uforandret, selv om vi forskyver det en lengde lik
avstanden mellom to grunnfigurer.
La oss se på en tredje variant, nemlig det vi har kalt hopp. Eller horisontal speiling. Igjen
framkommer symmetrien ved at vi kan forskyve båndet lik lengden av en grunnfigur,
uten at vi er istand til å se at mønsteret har forandret seg.
Hink
Gange
Hopp
Sideveis
gange
Hink
m/rotasjon
- 65 -
Hopp
m/rotasjon
Glidende vertikal og horisontal speiling
Vertikal og horisontal speiling
Halv vridning
Vertikal speiling
Horisontal speiling
Glidende horisontal speiling
Glidning
Slik kan vi fortsette å variere mønsteret ved å foreta speiling (horisontal og vertikal),
glidning og rotasjon. Vi vil imidlertid finne ut at det ikke finnes så mange variasjoner
før vi begynner å gjenta oss selv. I alt finnes det kun sju forskjellige varianter av
båndsymmetri. Dvs. at et hvert båndsymmetrisk mønster vil kunne plasseres i en av sju
ulike båndsymmetriske grupper. Vi holder da variasjonen av grunnfiguren utenfor.
Disse sju gruppene er vist på figuren under. Alle med utgangspunkt i venstrefoten som
grunnfigur.
Sideveis gange
m/rotasjon
Matematikk og Ornamentikk
Gruppene er gitt følgende navn (våre populærnavn er satt i parentes):
1. Gliding (hink)
2. Glidende horisontal speiling (gange)
3. Horisontal speiling (hopp)
4. Vertikal speiling (sideveis gange)
5. Halv vriding (hink med rotasjon)
6. Vertikal og hoisontal speiling (hopp med rotasjon)
7. Glidende vertikal og horisontal speiling (sideveis gange med rotasjon)
La oss til slutt se på et eksempel fra dagliglivet.
Bildet under viser et kunstferdig forseggjort rekkverk på en veranda.
Vi har rammet inn grunnfiguren. For å gjenskape hele mønsteret, så må grunnfiguren
både speiles vertikalt og horisontalt. Dersom vi bytter ut den kunstferdige grunnfiguren
med et fotavtrykk, vil vi få en figur som vist under.
Vertikal og horisontal speiling
Hopp
m/rotasjon
Vi ser at gelenderets ornament kan kategoriseres i gruppen vertikal og horisontal speiling. Slik han vi gjør med et hvert bånd hvor mønsteret gjentar seg.
Oppgave:
La elevene ta med seg eksempler på båndmønster. Utfordre dem til å finne grunnfiguren
for deretter å bestemme hvilken av de sju symmetrigruppene mønsteret tilhører.
- 66 -
Matematikk og Ornamentikk
Oppgave:
Tegn spor på gymnastikkmatter som viser de sju symmetrigruppene. La elevene bevege seg gjennom mønstrene ved å
hoppe eller gå. De vil oppdage at noen av sporene lett lar
seg realisere, mens andre er svært krevende.
8
Flatesymmetri og flislegging (tesselering)
Vi har sett at alle båndmønster kan kategoriseres i en av sju
symmetrigrupper. Vi vet at det også finnes regelmessige flatedekkende mønster slik vi finner dem i tapetmønster, i
brolegging og i mange andre sammenhenger. I dette kapittelet skal vi se nærmere på
hvordan vi kan kategorisere slike mønster.
Først en enkel oppgave.
Oppgave (5.–10. trinn):
La elevene få tesseleringsmalen, 18
trekantete og 6 kvadratiske jovobrikker.
Utfordre dem til å lage et flatedekkende
mønster som helt fyller den utleverte
malen. Hvordan tenker de for å løse denne
oppgaven?
Det er viktig at malen får akkurat riktig
størrelse. Se vedlegg A.4.
Før vi går videre med denne oppgaven, la
oss se nærmere på ulike typer flislegging.
Kvadrat
6 stk
Løsningen på oppgaven finnes i avsnitt
8.2.1
8.1
Likesidet
trekant
18 stk
Regulære tesseleringer10
Tesselering betyr egentlig flislegging. Når vi legger fliser vil vi vanligvis at fisene skal
dekke hele flaten, slik at det ikke blir åpenrom. Dette kan gjøres på mange måter, men
ikke alle former kan oppfylle kravet om å være heldekkende. La oss først se hvordan vi
kan bruke regulære mangekanter til å lage heltdekkende mønster.
10. Ellers anbefales Veronika Zvorono’s hjemmeside om tesselering (1)f.
- 67 -
Matematikk og Ornamentikk
En regulær geometrisk figur, som også kalles et regulært polygon (mangekant), kan
være en likesidet trekant, en likesidet firkant (kvadrat), en likesidet femkant og så
videre. Figuren under viser noen av de enkleste regulære polygonene.
Triangel
Kvadrat
Pentagon
Heksagon
Det finnes selvfølgelig uendelig mange slike regulære polygoner. Etter hvert som antall
sider øker, vil formen nærme seg en sirkel. Det er imidlertid bare den regulære
trekanten, firkanten eller sekskanten som alene kan settes sammen og danne en
heldekkende mosaikk. Slike mosaikker kalles regulære tesseleringer, altså sammensatt
av bare regylære trekanter, eller bare kvadrater eller av bare regulære sekskanter.
Flere enn disse tre variantene av regulære tesseleringer finnes ikke. Selv om vi bare har
tegnet et lite utsnitt av hver type, kan de utvides i det uendelige i alle retninger.
Vi ser at flere polygoner møtes i ett hjørne. For trekantmønsteret møtes seks trekanter i
samme punkt, vi gir derfor denne tesseleringen betegnelsen 3.3.3.3.3.3 eller 36. Tilsvarende betegnelse for det kvadratiske mønsteret er 44 og for heksagonmønsteret 63, fordi
henholdsvis fire kvadrater eller tre sekskanter møtes i hvert hjørne.
Vi vet at biene bygger sekskantede celler hvor de lagrer honning og
oppbevarer eggene for klekking. Det er mulig å tenke seg at biene
benyttet firkantede eller trekantede celler, da begge disse formene
kan stables slik at de utnytter hele arealet. Hvordan kan det ha seg
at de nettopp har valgt å benytte sekskantede celler?
La elevene fundere over dette en stund.
Beregninger viser at både den kvadratiske og den triangulære løsningen ville ha krevd
mer voks dersom en forlanger celler av samme størrelse. De eldste elevene kan også
utfordres til å vise at dette er riktig ([3] side 258).
- 68 -
Matematikk og Ornamentikk
8.2
Semiregulære tesseleringer
8.2.1 Enhjørnige mønster
Det viser seg at det er
mulig å danne heldekkende mønstre ved å
sette sammen to eller flere
forskjellige regulære polygoner. For eksempel kan vi
kombinere heksagoner og
triangler på to ulike måter
som vist på figuren til
høyre:
33
3
6 3
3.6.3.6
3 6
6
3
Dersom vi ser på et vilkår- 3.3.3.3.6 eller 34.6
lig hjørne (møtepunkt) på
mosaikken til venstre på figuren over, vil vi se at fire trekanter og ett heksagon møtes i
hjørnet. Dette er tilfelle uansett hvilket hjørne vi ser på. Vi kaller derfor denne type mønster for enhjørnig semiregulært mønster (dvs. alle hjørner er like). Denne tesseleringen
gir vi derfor betegnelsen 3.3.3.3.6 eller for enkelhets skyld 34.6 fordi det er fire trekanter
etter hverandre. Tilsvarende vil mosaikken til høyre på figuren over få betegnelsen
3.6.3.6. Merk at selv om det er to 6-kanter og to 3-kanter, så kan vi ikke skrive 32.62,
siden trekantene og sekkantene ikke ligger side om side.
3.3.4.3.4
3.3.3.4.4
Dersom vi setter sammen regulære polygoner av forskjellige typer, vil vi oppdage at det
finnes kun åtte mulige måter å gjøre dette på som samtidig er heldekkende11. Disse
kalles semiregulære tesseleringer siden de består av to eller flere forskjellige regulære
polygoner.
11. Sammensetningen og rekkefølgen av ulike polygoner i hvert av hjørnene skal være det
samme, uansett hvilket hjørne vi betrakter, for eksempel 3.3.4.3.4 (som vist på figuren over).
Av dette følger også at alle polygoner må ha sammenfallende hjørner.
- 69 -
Matematikk og Ornamentikk
Oppgave forts.
Med utgangspunkt i mønsteret 3.3.4.3.4 (eller 324.3.4) kan vi løse oppgaven på side 67.
En måte å resonnere på er som følger:
1. I de spisse hjørnene er det bare plass til én trekant.
2. I de øvrige hjørnene er det for mye plass til én trekant eller et kvadrat, men for lite
plass til én trekant og et kvadrat. Dermed må hjørnes fylles med to trekanter.
3. Undersøkes de gjenværende hjørnene vil samtlige være rette vinkler, dermed kan vi
plassere samtlige seks kvadrater.
4. De gjenværende fire trekantene kan lett plasseres i de resterende fire posisjonene.
Vi har tidligere i dette avsnittet sett på fire varianter av semiregulære tesseleringer som
består av kvadrater og triangler. Tilsvarende er det mulig å sette sammen 12-kanter og
trekanter (3.122) kvadrater, eller tolvkanter, femkanter og firkanter (4.6.12) som vist i
de to variantene i figuren under.
3.122
4.6.12
- 70 -
Matematikk og Ornamentikk
Også sekskanter, firkanter og trekanter kan danne heldekkende mønstre. Dette er vist til
venstre på figuren under.
3.4.6.4
4.82
Den åttende og siste semiregulære tesseleringen benytter åttekanter og kvadrater som
vist til høyre på figuren over.
Vi har nå sett på samtlige åtte semiregulære tesseleringer.
Oppgave (8.–10. trinn):
La elevene konstruere ulike regulære polygoner. Dersom alle polygonene har like lange
sidekanter, kan de legges sammen til alle regulære og semiregulære tesseleringer.
Klipp polygonene i papir eller papp med forskjellige farger, og la elevene sette dem sammen på forskjellige måter12. Mest spennende vil det være dersom de i utgangspunktet
ikke kjenner de åtte semiregulære tesseleringene, men klarer selv å oppdage dem ved å
eksperimentere.
Legg også merke til at ett av kriteriene for å oppnå en heldekkende mosaikk er at vinkelsummen av polygonene som møtes i et hjørne alltid må være lik 360°.
12. Kopieringsoriginaler finnes i vedlegg A.3.
- 71 -
Matematikk og Ornamentikk
8.2.2 Flerhjørnige mønster
Mønstrene som vi har studert så langt har vært av typen
enhjørnige mønster. Dvs. at samtlige hjørner kan beskrives
med den samme rekken av tall, f.eks. 32.4.3.4. Av disse finnes
det som omtalt bare 8 varianter.
4 12
6
4 6
3 4
Studerer vi mønsteret på figuren til høyre, vil vi oppdage at
dette mønsteret har hjørner som ikke alle kan beskrives med
den samme tallrekken. Vi finner tallrekken 3.4.6.4 og 6.12.4.
Et slikt mønster kan vi dermed kalle tohjørnig semiregulært mønster.
Figuren til venstre viser et
eksempel hvor vi finner
hele fire forskjellige
hjørnekonfigurasjoner. I
punkt 1 har vi 4.6.12, i
punkt 2 har vi 32.12.4, i
punkt 3 har vi 34.6 og i
punkt 4 har vi 3.42.6. På
denne måten kan vi få uendelig mange varianter av
heldekkende mønster ved
hjelp av regulære mangekanter. Et slikt mønster
kan vi kalle firhjørning
semiregulært mønster, eller generelt et flerhjørning semiregulært mønster.
8.2.3 Fra semiregulær til irregulær
La oss med utgangspunkt i et semiregulært mønster se hvordan vi kan bruke dette til å lage oss et
irregulært mønster.
Mønsteret vist på figuren til høyre er et irregulært
mønster, siden det også består av irregulære
mangekanter. Dette mønsteret er et gammelt
islamsk mønster.
La oss se hvordan dette egentlig springer ut av et av
de åtte semiregulære mønstrene.
- 72 -
Matematikk og Ornamentikk
Utgangspunktet er et mønster som består av 4 ganger så mange trekanter som sekskanter. Ved å slå sammen fire og fire av trekantene får vi et parallellogram. Ved hjelp av
tre parallellogrammer og en sekskant får vi en nye tesselerbar brikke som vist øverst til
høyre på figuren under. Nederst på figuren ser vi den tesselerte figuren med fargelagte
felter og vi ser at mønsteret blir likedan med det opprinnelige islamske flettemønsteret
vist på figuren over.
En finner et lignende flettemønster blant
annet i setet på stoler o.l.. Mønsteret går da
under betegnelsen rottingmønster (spanskrørfletting eller eng. rattan weaving).
- 73 -
Matematikk og Ornamentikk
8.3
Irregulære tesseleringer
La oss se på noen irregulære tesseleringer. Med irregulære mener vi mangekanter hvor
sidekantene og vinklene mellom sidekantene er forskjellige, men hvor alle mangekantene er like.
8.3.1 Tesselering med uregelmessige mangekanter
Vi tar utgangspunkt i et rutemønster, og tegner en tilfeldig trekant. Ved å duplisere denne
og snu og vende på den, kan vi lage et tesselert mønster.
Vi vet at summen av vinklene i en trekant alltid er 180°. Vi vet også at summen av vinklene rundt et punkt hvor alle hjørner møtes, må være 360°.
På denne måten kan enhver
trekant tesseleres dersom den
settes sammen med en dreiet kopi
av seg selv, slik at det dannes et
parallellogram. Det er tilfeldig at
trekanten på figuren over er
likesidet.
B
A
C
A+B+C = 180°
På bakgrunn av dette kan også
ethvert parallellogram tesseleres.
C B
A A
B C
2A+2B+2C = 360°
- 74 -
Matematikk og Ornamentikk
La oss så se om vi kan få til noe lignende med konvekse firkanter med tilfeldig form.
Figuren over viser at dette er mulig. Vi vet at summen av vinklene i en hvilken som helst
firkant er lik 360°.
B
D
C
A
C
A
B
A+B+C+D = 360°
D
Hjørnepunkt
Siden summen av vinklene som støter sammen i et hjørnepunkt må være 360°, må
samtlige fire hjørner være representert i ethvert hjørnepunkt. Vi ser da at dette er oppfylt
i vårt eksempel til høyre på figuren over.
Dersom vi nå plukker ut to av firkantene, vil disse danne
sekskanten som vist på figuren til høyre.
Også denne sekskanten vil kunne tesseleres. Ut fra måten
denne er laget, skjønner vi at to og to motstående sider er
parallelle og like lange.
Det er nå nærliggende å spørre om det finnes femkanter
som kan tesselere? Vi vet fra tidligere at regulære femkanter ikke har denne egenskapen. I 1918 undersøkte K.
Reinhardt tesseleringsegenskapene til konvekse pentagoner. Han stilte seg følgende spørsmål:
- 75 -
Matematikk og Ornamentikk
Finnes det en uregelmessig konveks femkant som er slik at den kan legges sammen
til et heldekkende mønster? Med konveks menes her at alle vinkler i pentagonet er
mindre enn 180°.
Han fant fem ulike femkanter som kunne tesselere. Disse er vist på figurene under.
Senere er det funnet flere, se referanse [2].
8.3.2 Egendefinerte irregulære tesseleringer
La oss så se på en metode for å lage egne tesseleringer. Det enkleste er å ta utgangspunkt
i et kvadrat eller rektangel.
A)
B)
E)
C)
F)
- 76 -
D)
Matematikk og Ornamentikk
Vi vet at dette kan tesselere uten problemer (se nettreferanse (1) b)). Gjør en endring i
en av sidekantene som vist i figur B) over. Denne endrede siden kopieres over på motsatt
side av kvadratet. Siden disse sidene er en kopi av hverandre, vil de passe inn i hverandre. Tilsvarende endringer gjøres for den øverste siden, som i sin tur kopieres ned på den
nederste siden av kvadratet som vist i figur C). Dersom vi tar vare på de fire nye sidene
(D), og utfyller mangekanten slik at den får et gjenkjennelig uttrykk (E), kan denne
brukes til å fylle planet som vist i figur F).
A)
C)
B)
En variant av denne kan lages dersom den øverste linjen vendes når den kopieres ned til
den nederste. På denne måten må ansiktet vendes mot venstre i andre rad, for så å vendes
på nytt i tredje rad.
Oppgave (8.–10. trinn, vgs):
Forsøk å lage en figur hvor høyre og venstre sidekant er
snudd opp ned i forhold til hverandre. Hva vil da skje med
figurene når brikkene skal plasséres ved siden av
hverandre?
Escher
Maurits Cornelis Escher (1898–1972) var en nederlandsk grafiker som utviklet en meget særegen grafisk stil
som har gjort ham allment kjent. Han var bl.a. en mester i
å lage innviklede tesseleringer, og lot seg i høy grad inspirere av matematikken.
M.C. Escher
- 77 -
Matematikk og Ornamentikk
Figuren under viser ett av hans trykk. Her ser vi tre dyrelignende skikkelser, en fisk, en
flaggermus og en padde, som er vevd inn i hverandre.
Legg merke til at vi kan dekke mønsteret med regulære
sekskanter. I hver sekskant finner vi tre fisker, tre flaggermus og seks halve padder, dvs. tre av hvert dyr. Vi vet
imidlertid at hver sekskant kan deles inn i seks likesidete
trekanter, hvor hver trekant inneholder halvparten av hvert
dyr. Vi ser også at mønsteret innenfor hver av trekantene
ikke er helt likt. Det er to forskjellige trekanter som er speilbildet av hverandre. Ved
hjelp av disse to trekantene har Escher bygget opp hele mønsteret. Vi kan derfor si at en
av trekantene er mønsterets grunnfigur.
I mønsteret foran har Escher benyttet regulære (likesidete) trekanter. Men han har ikke
alltid nøyd seg med å bruke rette sidekanter. På bildet under ser vi hvordan han har klart
å tegne hesteformer som dekker planet helt. Det er nesten så en skulle tro det ikke var
mulig.
- 78 -
Matematikk og Ornamentikk
I dette tilfellet har Escher tatt utgangspunkt i kvadratiske fliser som, når de legges ved
siden av hverandre, vil kunne dekke planet fullstendig. Dersom vi kun betrakter form og
ikke farge, er dette grunnfiguren. Tar vi også hensyn til at det er hester med to ulike
farger vil grunnfiguren bestå av to hester, en av hver farge.
Til høyre på figuren har vi tatt ut bare hestemotivet. Her ser vi at det som er fjernet langs
den ene kanten er skjøtt til langs den motstående kanten. På denne måten sikrer Escher
seg at flere lignende grunnfigurer passer perfekt til hverandre når de legges ved siden av
hverandre, akkurat som brikkene i et puslespill.
Vi ser altså at Escher har utnyttet matematikken og kunnskapen om flatesymmetrier når
han har laget disse flotte mønstrene.
De som ønsker å se mer av det Escher har laget kan oppsøke følgende nettadresser:
http://en.wikipedia.org/wiki/M.C._Escher og http://www.mcescher.com/
Oppgave (8.–10. trinn, vgs):
Elevene får utdelt et ark med
for eksempel 24 kvadrater.
Oppgaven går ut på å dele
kvadratene i fire like biter på
flest mulig forskjellige måter.
?
?
?
- 79 -
?
?
Matematikk og Ornamentikk
De første tre er greie, men så blir det verre. Det er likevel mulig å dele opp kvadratet på
denne måten på uendelig mange måter. Et kopiark for utdeling er vedlagt på side 168.
8.3.3 Penrose-tesselering
Roger Penrose (1931–) er i dag professor emeritus i matematikk ved universitetet i Oxford, England. I dag arbeider
Penrose mest med matematiske problemstillinger knyttet til
relativitetsteorien, men det han kanskje er blitt mest kjent
for, er hans arbeider med tesseleringer.
Han oppdaget tidlig at når han laget heldekkende geometriske mønstre ved hjelp av et sett med polygoner, så ble
mønstrene alltid regelmessige. Det vil si at de gjentok seg
regelmessig i alle retninger.
Han stilte seg derfor følgende spørsmål: Er det mulig ved
hjelp av et mindre antall ulike polygoner å sette sammen
heldekkende tesseleringer som ikke har regelmessige mønstre?
ϕ
C
D
36°
36°
1+ 5
ϕ = ---------------- = 1.61
2
72°
E
ϕ
ϕ
36°
36°
36°
1
ϕ
1
36°
72°
Roger Penrose
Etter år med hardt arbeid klarte
han først å lage slike mønstre
ved hjelp av seks ulike brikker.
Senere klarte han å redusere
antallet til utrolige to. Disse
brikkene er avbildet på figuren
til venstre.
Vi ser at utgangspunktet er en
rombe hvor alle sider har lengde
ϕ, og vinklene er henholdsvis 72° og 108°. ϕ er betegnelsen på forholdet det gylne snitt,
dvs. 1.618. Vi velger oss en lengde på sidekantene, for eksempel 10⋅ϕ cm, som er lik
16.18 cm. Dernest trekkes den lengste diagonalen AD13.
A
ϕ
B
Så avsetter vi 10 cm fra øverste høyre hjørne og ned til punktet E. Deretter trekkes linjene CE og BE. Så klippes de to polygonene ABEC og BDCE fra hverandre. Dersom vi
lager mange slike polygoner av disse to typene, får vi en samling puslespillbrikker som
kan settes sammen på uendelig mange måter.
13. Grunnen til at vi velger forholdet mellom sidene lik det gylne snitt, er blant annet at dette gir
brikker med vinkler lik 36° og 72° som begge er vinkler som går opp i sirkelens 360°. På den
måten vil de lett lage heldekkende mønster.
- 80 -
Matematikk og Ornamentikk
Legg spesielt merke til at alle vinklene i
de to brikkene går opp i sirkelens 360°.
Det er interessant å merke seg at vi også
her finner igjen forholdet det gylne
snitt.
De to delene som framkommer med
delingen av romben kalles dart (pil) og
kite (drage). Se også kopioriginaler i
vedlegg A.6.
Oppgave (8.–10. trinn, vgs):
Dronningen
Lag mange av begge typene, gjerne med
ulike farger. Det er viktig at vinklene er riktige. Det er derfor best dersom de konstrueres. Når et sett er ferdig, kan en benytte kopimaskin for å lage flere. Da blir de
eksakt like.
Figuren til høyre viser et annet
eksempel.
Disse eksemplene er hentet fra [14] og
nettreferanse (6) d).
Oppgave (8.–10. trinn, vgs):
La elevene lage mange puslespillbrikker
av hver av de to typene, gjerne i forskjellige farger. Utfordre dem til å komponere
sine egne mønstre. Lim dem opp og sammenlign de ulike mønstrene.
Mønstre bygget opp av Penroses brikker
er benyttet i mange ulike sammenhenger,
blant annet ved flislegging av gulv, eller
som utgangspunkt for lappetepper.
Figuren til høyre viser et annet par av
Penroses mosaikkbrikker. Disse er
formet som to romber, med de samme
vinklene som for dragen og pilen som vi
har sett på foran.
1
108°
72°
1
1
144°
1
1
108°
72°
1
- 81 -
36°
1
144°
36°
1
Matematikk og Ornamentikk
Vinklene er angitt på figuren til høyre. Det er viktig at alle vinkler og lengder er mest
mulig eksakte. Bruk gjerne transportør (vinkelmåler) når de lages.
Av disse to typene
brikker kan en lage en
lang rekke ulike figurer.
Til høyre på figuren
over ser vi hvordan fem
brikker av hvert slag
kan settes sammen til
tikanter på to ulike
måter. Ved hjelp av fem
overlappende ti-kanter
av typene til venstre,
kan vi lage mønsteret til
høyre
På tilsvarende måte kan vi lage flotte mønstre ved en sammenkobling av begge de to
tikantene som vist på figuren til høyre.
Slik kan en fortsette å lage mønster i det
uendelige.
Som vi har sett er det ikke vanskelig å lage
periodiske mønster ved hjelp av disse
brikkene. Ønsker vi derimot å lage ikkeperiodiske mønster, må vi følge noen enkle
regler.
Umerket
Merket
144°
108°
36°
72°
- 82 -
Matematikk og Ornamentikk
På figuren over har vi merket to av brikkene. For å lage ikke-periodiske Penrose-tesseleringer, gjør vi som følger:
1. Hjørner som møtes i et punkt, må alle enten være umerket eller merket.
2. To sidekanter som legges inntil hverandre, må begge ha en pil, eller ingen av dem ha
en pil.
3. Dersom to sidekanter som ligger inntil hverandre er merket med en pil, må pilene
langs de to sidekantene peke samme vei.
4. Begge typene romber må benyttes.
Lignende mønstre finner vi igjen i lappeteknikk (Patchwork), hvor “babybox”-mønsteret er et yndet motiv. Dette dannes av romber med vinkler på 60° og 120°.
Skal vi lage et slikt mønster, starter vi med en sekskant og trekker de tre diagonalene.
Ved å fjerne tre “radier” sitter vi igjen med noe som minner om en boks. Dersom vi setter
mange slike side ved side, får vi “babybox”-mønsteret.
Lignende mønstre finnes i bøker om lappeteknikk (se [15] og [16]).
Penroses mosaikkmønster er også benyttet som dekorasjon på flislagte gulv, se nettreferanse (6) c). Den som ønsker å studere Penroses tesselering i større detalj, anbefales
[17].
8.4
Brolegning
Går en ute på gata, er det ikke vanskelig å finne tesseleringer i alle mulige varianter. Her
finner vi både regulære og irregulære mønstre. Vi skal i dette avsnittet undersøke to
eksempler på slike mønster. Bildet til høyre på figuren under viser et ikke uvanlig
mønster.
- 83 -
Matematikk og Ornamentikk
Forskyvning
Alle hellene ligger
med samme side opp
Halvparten av hellene
er snudd med “undersiden” opp
La oss se hvordan dette mønsteret er konstruert.
Vi ser at hellen som er benyttet i brolegningen på figuren, tar utgangspunkt i et kvadrat.
Kvadratet modifiseres i overkant og i nedkant, men ikke slik vi ville ha forventet. I stedet for å kopiere utskjæringen på oversiden til nedsiden så den forskjøvet to ruter mot
høyre i forhold til overkant (se figuren over). Dette gir en langt mer spennende løsning.
Vi ser også at hellene kan legges på to ulike måter. I den ene varianten er alle hellene
lagt samme vei, i den andre snus halvparten av hellene med “undersiden” opp (eller
speilvendes om man vil).
Ingen forskyvning
Heller uten forskyvning kan også tesselere på ulike måter, som vist på figuren over.
- 84 -
Matematikk og Ornamentikk
En annen og noe mer uvanlig variant er hentet fra et fortau inne på Kungliga Tekniske
Høgskolan i Stockholm.
C
A
B
La oss avsløre hvordan konstruktøren av denne hellen har tenkt.
Han vet at han i
Buktene passer
hovedsak har tre
inn i hverandre
regulære former
han kan bruke
som utgangspunkt for
tesselering, nemlig den regulære
trekanten,
kvadratet og den regulære sekskanten. Han bestemmer seg for å bruke sekskanten.
Han vet også at om han endrer formen på en av de seks sidene, må i det minste én av de
andre sidene endres, slik at den passer til denne siden. Det vil si at han må la mønsteret
bukte seg på samme måte. Tilsvarende må gjøres på de øvrige sidene, slik at de parvis
passer inn i hverandre. Et eksempel er vist på figuren på forrige side.
Han bestemmer seg
også for at hver
a
a
a
sekskant skal bestå
f
b
f
b
f
b
av tre steiner. Han
o
o
o
lager seg så en sekse
e
e
kant (a - f) og
c
c
c
endrer formen på en
d
d
d
av sidekantene (ab).
Så kopierer han mønsteret langs denne sidekanten over til den motsatte siden (de) som
vist i A) på figuren over. Han bestemmer seg for at alle sidene skal ha samme type møn120°
A)
B)
C)
- 85 -
Matematikk og Ornamentikk
ster, men veksle annenhver innover og utover som vist i B) på figuren. Til slutt legger
han tre streker inn mot midten av sekskanten. Disse må være helt like, men dreid 120°,
som vist i C) på figuren over.
Nå har vi fått tre brikker som til sammen danner
en “sekskant” med buktende sidekanter. Denne
“sekskanten” kan vi nå bruke til å tesselere.
På figuren over er en “sekskant” omgitt av seks
andre “sekskanter”.
Oppgave:
La elevene gå på jakt etter forskjellige brolegninger. Ofte finnes fine eksemplarer i
oppkjørslene til enkelte eneboliger eller i kataloger fra hagesenter eller byggevarefirma.
Dersom elevene har tilgang til et kamera, kan
det være lurt å ta bilder.
Når de kommer tilbake til skolen, bør de utfordres til å finne hvilke regler som ligger til
grunn for den valgte formen på steinene.
Vi har nå sett på to ganske kompliserte former. La oss til slutt se på en ganske enkel stein
som kan legges på mange forskjellige måter.
Oppgave (8.–10. trinn, vgs):
En huseier ønsker å legge
steinheller i oppkjørselen til
garasjen. Han ønsker å bruke
brent murstein. Disse steinene
er dobbelt så lange som de er
brede, og tykkelsen er
halvparten av bredden. Finn
flest mulig forskjellige måter å
legge disse steinene på.
Et hull?
På figuren til høyre er vist
noen eksempler.
Referanse [10] gir en kort
innføring i enkel tesselering ved hjelp av et enkelt tegneprogram for datamaskinen.
- 86 -
Matematikk og Ornamentikk
8.5
Geometriske mønstre i islamsk kunst
I islamsk kultur er det ingen tradisjon for å avbilde mennesker, dyr eller landskaper. Til
gjengjeld har man i islamsk-dominerte land en meget rik tradisjon for ornamental
utsmykning. Issam El-Said og Ayse Parman har skrevet en meget innholdsrik bok om
temaet, hvor de tar utgangspunkt i ulike mønster funnet som utsmykning av islamske
byggverk eller som mosaikk i steinsatte gårdplasser eller gulv.
For en fordypning i temaet henvises til [5] og [6].
Vi husker fra tidligere at det kun er tre regulære polygoner som kan danne heldekkende
tesseleringer. Disse er den likesidete trekanten, kvadratet og sekskanten (heksagonet).
Hver av polygonene kan nå fylles med mønstre som er slik at de henger sammen og danner nye mønstre når polygonene settes inntil hverandre. Dette gjelder både kvadratet og
heksagonet. Trekanten er derimot ikke særlig utbredt i islamsk tradisjon. Årsaken til
dette kan ligge i at trekanten inkluderes i heksagonet, som vist til venstre på figuren
over. Som vi ser, kan et heksagon settes sammen av seks likesidete trekanter. Heksagondet har dessuten flere symmetriakser enn den regulære trekanten.
Hver av de tre polyederne kan innskrives i - eller omskrives av en sirkel. Deretter kan
det trekkes symmetrilinjer som igjen danner skjæringspunkter, som så i sin tur danner
grunnlag for nye linjer.
La oss vise noen eksempler med utgangspunkt i kvadratet:
C)
A)
B)
D)
Figuren over viser hvordan mønsteret bygges opp ved hjelp av et kvadrat, en innskrevet
sirkel og to innvendige kvadrater dreid 45° i forhold til hverandre. Når alle disse geometriske figurene er tegnet over hverandre, oppnås tilstrekkelig med hjelpelinjer til å finne
- 87 -
Matematikk og Ornamentikk
igjen det mønsteret en er på jakt etter. Dette kan så dupliseres og forskyves som vist på
figuren under (E).
E)
La oss se på et eksempel til. Vi tar utgangspunkt i mønster C) i figuren over, og videreutvikler dette.
C)
A)
B)
D)
I denne varianten forlenges sidene i det innerste kvadratet ut til kanten av det ytterste
kvadratet (B). Deretter trekkes fire 45° linjer i det innerste kvadratet. Så velges et mønster som følger de innvendige strekene. Dette overliggende mønsteret kan så
mangfoldiggjøres og forskyves for å lage en stor sammenhengende mosaikk, som vist
på figuren under:
- 88 -
Matematikk og Ornamentikk
Vi merker oss at linjene i toppen av kvadratet må harmonere med linjene i bunnen av
kvadratet. Likedan må linjene på høyre side treffe linjene som ender på venstre side av
kvadratet. La oss så utvikle dette mønsteret enda litt videre. Vi tar utgangspunkt i figur
C) i figuren på forrige side.
A)
B)
F)
C)
D)
H)
G)
Mønsteret videreutvikles i figurene A) til G), hovedsakelig ved å forlenge og legge inn
nye linjer gjennom krysningspunkter.
Vi dupliserer mønsteret vi har tegnet med tykk strekk på figur H), og får et mønster som
gjengitt på figuren under:
Så kan vi fundere på om slike mønstre noen gang blir brukt. En av kvalitetene ved boka
Geometric concepts in Islamic art [5], er at den har eksempler på de fleste av de mønstrene den beskriver. Mønsteret på figuren under er gjengitt fra denne boka, og viser et
- 89 -
Matematikk og Ornamentikk
utsnitt av et ornament knyttet til I’timãa al-Dawla’s-mausoleet i Agra, India (1037/
1628).
Mønsteret ser umiddelbart ikke ut til å være helt likt, men ved nærmere ettersyn vil vi
se at det likevel stemmer.
Oppgave (vgs):
La elevene få utlevert kopier av mønstrene på sidene foran. Be dem sette opp et sett med
regler som må følges for at de skal få fram sammenhengende tesselerte mønstre.
Oppgave (vgs):
Gi elevene malen i vedlegg A.9 på side 178, og la dem eksperimentere med ulike mønstre. Den beste måten å eksperimentere med slike mønstre på, er å benytte et enkelt
tegneprogram hvor det er lett å kopiere og sette sammen mønster.
Som vi så i begynnelsen av dette kapittelet, kan også heksagoner danne heldekkende
mønstre. Dette er da også utnyttet i islamsk kunst. Disse mønstrene danner en annen
klasse av ornamenter.
- 90 -
Matematikk og Ornamentikk
La oss se litt nærmere på noen slike ornamenter. Utgangspunktet er sirkelen og den
innskrevne sekskanten, som vist på figuren under.
A)
B)
C)
D)
Slå først en sirkel. Konstruer deretter hjørnene i sekskanten ved å avsette sirkelbuer
langs periferien av sirkelen. Vi vet at radiusen avsatt langs sirkelperiferien gir en bue på
60°. Alle hjørnene i sekskanten fremkommer ved å avsette radien seks ganger. Deretter
kan vi trekke trekantene som fremkommer ved å trekke linjer mellom hjørnene i sekskanten, som vist på figur C) over. Diameterne som trekkes mellom motstående hjørner,
kan så brukes for å finne hjørnene til de innerste trekantene.
La oss ta utgangspunkt i et heksagon og se hva vi kan gjøre med dette.
I figuren på forrige side har vi utnyttet de to innskrevne trekantene, for deretter å lage
en stjerne av konturene deres. Dersom vi tar ut denne konturen og tesselerer den, får vi
et mønster som vist i figuren under.
- 91 -
Matematikk og Ornamentikk
Hvordan dette mønsteret skal framstå, vil i stor grad være bestemt av hvilke flater vi
velger å framheves med fargeleggingen. Under er vist to varianter.
Også dette mønsteret kan vi videreføre slik vi gjorde det med kvadratet.
C)
B)
A)
Vi ser at seks vinkler danner det endelige mønsteret. Dette mønsteret kan tesseleres,
siden det har en form som er symmetrisk i seks retninger. Det vil si at mønsteret er
- 92 -
Matematikk og Ornamentikk
likedan uansett fra hvilken side av heksagonet det betraktes.
Det interessante med dette mønsteret, er at når det er satt sammen, framstår det som noe
helt annet enn det det var som enkeltelement. Ytterligere varianter kan framkomme
avhengig av hvilke flater som fargelegges.
- 93 -
Matematikk og Ornamentikk
I den neste varianten bygger vi videre på det samme grunnmønsteret, for så å lage en
helt annerledes figur. Dette gjøres ved å trekke seks nye linjer på tvers av heksagonet,
to mellom hver av sidene. Vi ser også at disse seks linjene forbinder gamle
krysningspunkter.
A)
C)
B)
Når så denne varianten settes sammen, får vi noe ganske uventet.
Vi kan nå lage regler for hvordan slike mønstre kan utvikles:
1. En tar utgangspunkt i et regulært polygon som kan danne heldekkende tesseleringer
(trekanten, kvadratet og heksagonet). En sirkel kan eventuelt inngå for å danne ytterligere krysningspunkter.
2. Det trekkes et utvalg linjer mellom polygonenes hjørner. Nye linjer kan ev. trekkes
mellom krysningspunktene. En må alltid sørge for at alle symmetrilinjer er trukket,
slik at polygonet uansett fra hvilken side en betrakter det, ser likt ut.
- 94 -
Matematikk og Ornamentikk
3. En foretar så et utvalg av linjene som benyttes for å streke opp det utvalgte mønsteret
som skal tesseleres. Det er viktig at linjemønsteret langs kantene harmoniseres med
tilstøtende kanter under tesseleringen. Om dette ikke gjøres, vil en få avbrutte linjer
i mønsteret.
La oss til slutt se på trekanten. Selv om denne ikke er så vanlig i islamsk tradisjon, egner
den seg likevel godt for tesselering. Dog krever den noe mer av utøveren. Boka Polysymmetrics - the art of making geometric patterns anbefales den interesserte leser [8].
Trekker vi ut mønsteret i figur C) over og tesselerer dette, får vi et mønster som vist på
figuren under:
Som vi ser, så er det ikke enkelt å forutse hvilket flatedekkende mønster vi får når vi
lager grunnmønsteret i trekanten. I vedlegg A.9 finnes mønsterark for utvikling av tesselering med trekanter, kvadrater og heksagon.
For videre studier av beslektede mønster anbefales [5], [6], [7], [8] og [9].
- 95 -
Matematikk og Ornamentikk
8.6
De 17 flatesymmetriene
I dette avsnittet skal vi kategorisere de flatedekkende mønstrene. Slike finner vi gjerne
på store vegger eller gulv, men også på tøy og drakter. Denne typen mønstre karakteriseres ved at et grunnmønster (eller en grunnfigur) gjentar seg regelmessig over flaten og
dermed gir mønsteret en symmetri. Denne typen symmetri kalles derfor også tapetmønster-symmetri (wallpaper symmetry) eller bare flatesymmetri.
Det interessante ved denne typen mønster er at alle varianter kan plasséres innenfor én
av 17 symmetrigrupper. Under har vi beskrevet samtlige av disse gruppene og vist
hvordan de framkommer.
8.6.1 Grunnmønster og operasjoner
Dersom vi betrakter et tapetmønster vil vi oppdage at
mønsteret er periodisk, det
vil si at det er satt sammen av
en grunnfigur som gjentar
Grunnseg i mønsteret. Dersom vi
figur
tar tak i et tilfeldig punkt i
mønsteret, så kan vi flytte
hele mønsteret til et annet punkt, slik at det dekker det opprinnelige mønsteret eksakt
som vist på figuren over.
Et mønster som gjentar seg periodisk over
en flate vil alltid ha et minsteelement som
kan brukes til å gjenskape hele mønsteret.
Mønsteret i figuren til høyre er satt sammen av ett minste element, bestående av
et blått og et gult kvadrat, som vist på figuren til høyre. La oss kalle dette for
grunnfiguren, med både sin form og sine
farger.
Glidespeiling
Grunnfigur
Glidning
Glidning m/180°
rotasjon
Spørsmålet er hvilke operasjoner vi må
gjøre på dette elementet for at vi skal være i stand til å gjenskape mønsteret over hele
flaten.
En måte å få fram dette mønsteret på er å utføre følgende to operasjoner på
grunnfiguren:
1. Glidning
- 96 -
Matematikk og Ornamentikk
2. Glidning med 180° rotasjon
som vist på figuren over.
Dersom vi hadde valgt en grunnfigur bestående
av to blå og to gule kvadrater som vist på figuren
til høyre, kunne vi nøyd oss med glidning.
Eksempelet viser at ett og samme mønster kan
framkomme på to forskjellige måter, avhengig
av hva vil velger som grunnfigur.
Grunnfigur
I dette tilfelle har vi sett på operasjonene glidning og glidning med påfølgende rotasjon
(gliderotasjon).
De forskjellige gruppene av periodiske
mønstre framkommer altså ved å utføre en
bestemt rekke operasjoner på en grunnfigur. Det viser seg at alle periodiske
mønstre kan skapes ved hjelp av fire ulike
typer grunnoperasjoner. Disse operasjonene er:
1. Glidning (forskjellig retning og
lengde)
Glidning
Speiling
Speilingsakse
Rotasjonsakse
2. Speiling (om akser i alle retninger)
Glidning i vertikal
og horisontal retning
Rotasjon
3. Rotasjon (forskjellige vinkler)
4. Glidning med påfølgende speiling,
glidespeiling (forskjellig retning og
speilakse) eller gliding med påfølgende rotasjon, gliderotasjon.
Glidespeiling
En tykk sidekant på grunnfiguren angir en
speilingsakse (se figur til høyre).
Røde merket i et
hjørne på en grunnfigur angir en
rotasjonsakse. Mer90°
ket for rotasjon er litt
180°
120°
forskjellige avhengig
av om det skal utføres en 90° , en 120° eller en 180° rotasjon (se figuren over).
- 97 -
Matematikk og Ornamentikk
Mønsteret kan være bygget opp om ulike geometriske strukturer som går under betegnelsen gitter (lattice). Gitterstrukturen kan være en av følgende fem: Kvadratisk,
rombisk, parallellogram, rektangel og heksagonal. Disse er vist i figuren under.
Kvadratisk
Rombisk
Parallellogram
Rektangel
Heksagonal
Hver symmetrigruppe angis med en kode som spesifiserer hvilke operasjoner som skal
utføres på grunnfiguren, for å lage mønsteret. Denne måten å angi gruppene på, ble
definert i 1952 av International Union of Crystallography. Koden består av fire symboler som kan være bokstaver eller tall. Vi vil ikke utdype denne koden her, men tar den
med i overskriften til hver av symmetrigruppene da den brukes overalt hvor slike
omtales.
8.6.2 De 17 symmetrigruppene14
Det viser seg at alle mulige tapetmønstre kan bygges opp ved hjelp av 17 forskjellige
sett av operasjoner. Med sett av operasjoner mener vi kombinasjoner av en eller flere
av de fire grunnoperasjonene omtalt i avsnittet foran.
En kunne tenke seg at disse mønstrene gikk under navnet mosaikk eller flisleggingsmønster, men fagutrykket er tapetmønster (eng. wallpaper), fordi slike mønster alltid vil
være regelmessige dersom tapetstripene legges korrekt ved siden av hverandre.
La oss se nærmere på de 17 gruppene. Vi har valgt å beholde den internasjonale betegnelsen (bokstavekode eks. p1, p2, pm osv) i overskriften selv om vi ikke forklarer den,
siden denne går igjen i alle artikler om emnet. Dermed skulle det bli lettere å finne fram
om en skulle ønske å å foreta nærmere studier.
Symmetrigruppe 1 (glidning - p1)
Grunnfigur
B)
A)
Denne symmetrigruppen nøyer seg kun med glidning i to retninger. Det kreves heller
ikke at glideretningene står vinkelrett på hverandre.
14. For nærmere studium av symmetrigruppene se nettreferansene (5).
- 98 -
Matematikk og Ornamentikk
Bruker vi hender som grunnfigur vil vi kunne få et mønster som vist på figuren til høyre.
Glidning
Grunnfigur
Glidning
Radene eller kolonnene i mønsteret kan alternativt forskyves i forhold til hverandre, og
glideretningene trenger ikke stå vinkelrett på hverandre som vist med hendene. Gitterstrukturen er rombisk. Den kvadratisk strukturen vil dermed være et spesialtilfelle av
den rombiske som opptrer idet de to glideaksene står vinkelrett på hverandre.
Symmetrigruppe 2 (horisontal glidning og 180° rotasjon - p2)
Denne symmetrigruppen er en
kombinasjon av a)
glidning i horisontal
retningen og b) 180°
rotasjon fra en rad til
den neste. Merkene
langs øvre og nedre
kant antyder plasséringen av
rotasjonspunktet.
Med hender som
grunnfigur kan mønstere se ut som vist
nederst på figuren til
høyre.
180° rotasjon
om dette punktet
Grunnfigur
180° rotasjon
om dette punktet
Glidning
180°
rotasjon
Gliding
180°
rotasjon
Grunnfigur
Vi ser at hver hånd er rotert 180° mellom hver horisontal rad.
- 99 -
Matematikk og Ornamentikk
Symmetrigruppe 3 (vertikal speiling og vertikal glidning - pm)
Horisontalt bygger
denne symmetrigruppen
opp mønsteret ved speiling av grunnfiguren om
vertikale akser. Forflytningen mellom radene
skjer ved hjelp av enkel
glidning av grunnfiguren.
Tilsvarende mønster
med hender er vist nederst på figuren.
Glidning
Grunnfigur
Speiling
Speiling
Grunnfigur
Symmetrigruppe 4
(horisontal glidning og
vertikal glidespeiling - pg)
Glidning
Denne symmetrigruppen bygger
Refleksjonsakse
opp mønsteret
ved glidning
langs den horisontale aksen, og
en glidespeiling i Grunnfigur
vertikal retning.
Glidespeiling
skjer langs en
horisontal akse.
Grunnfigur
Figuren til høyre
Glideviser det samme
speiling
mønsteret med
hender.
Glidespeiling
Speiling
Speiling
Glidning
Speiling
- 100
Matematikk og Ornamentikk
Symmetrigruppe 5
(horisontal glidespeiling og vertikal speiling om en horisontal akse - cm)
Denne symmetrigruppen bygger opp
mønsteret ved horisontal glidespeiling
og speiling om en
horisontal akse som
løfter grunnfiguren
fra én rad til den
neste.
Speiling
Glidespeiling
Grunnfigur
Glidespeiling
Legg merke til at
grunnfiguren i hver
rad glir og speiles
omkring midtpunktet
av figuren.
Speiling
Grunnfigur
Grunnfigur
Grunnfigur
Speiling
- 101
Speiling
Nederst på figuren er det
samme mønstert bygget
opp med utganspunkt i en
hånd som grunnfigur.
Glide-
Speiling
Denne symmetrigruppen
bygges opp av speiling av
grunnfiguren i både horisontal og vertikal retning.
De to speilaksene skal stå
vinkelrett på hverandre.
Grunnfiguren kan være
rektangulært eller
kvadratisk.
Speiling
Symmetrigruppe 6
(horisontal og vertikal speiling pmm)
Matematikk og Ornamentikk
Symmetrigruppe 7 (horisontal speiling og rotasjon i vertikal retning - pmg)
De horisontale radene
i denne symmetrigruppen dannes ved at
grunnfiguren speiles
om vertikale akser,
både til venstre og
høyre. Raden over og
under dannes ved at
grunnfiguren dreies
180°.
Det samme mønsteret
er gjengitt nederst på
figuren med hånden
som grunnfigur.
180°
Rotasjon
Grunnfigur
180°
Rotasjon
Vertikal
speiling
180°
Rotasjon
Grunnfigur
Symmetrigruppe 8
(vertikal rotasjon, horisontal glidespeiling - pgg)
Speiling
Denne gruppen har 180°
rotasjon i vertikal retning og
glidespeiling i horisontal
retning.
Glidespeiling
Nederst er mønsteret gjengitt
med en hånd som grunnfigur.
180°
Rotasjon
Grunnfigur
180°
rotasjon
Glidespeiling
Grunnfigur
- 102
Matematikk og Ornamentikk
Symmetrigruppe 9 (horisontal og vertikal speiling, samt 180° rotasjon - cmm)
Denne symmetrigruppen har en 180°
rotasjon om senter
på langsiden av
grunnfiguren.
Dessuten speiles
grunnfiguren langs
de vertikale og horisontale sidekantene.
Horisontal og vertikal speiling
180° rotasjon
om dette hjørnet
Grunnfigur
180°
Speiling
Nederst er vist to
måter som mønsteret kan realiseres
på ved hjelp av
hender.
Rotasjon
180°
Grunnfigur
Symmetrigruppe
10 (90° og 180°
rotasjon - p4)
Grunnfigur
Denne symmetrigruppen dannes ved at grunnfiguren først dreies 4 ⋅ 90° omkring øverste
høyre hjørne, samtidig som det legges igjen en kopi i hver av de fire posisjonene. Dernest dreies én av grunnfigurene 180° omkring nederste høyre hjørne, for deretter igjen
å dreies 4⋅90° (strengt tatt roteres den bare tre ganger).
1⋅180°rotasjon
90° rotasjon
om dette hjørnet
180° rotasjon
om dette hjørnet
Grunnfigur
4⋅90°rotasjon
90°rotasjon
180°rotasjon
Grunnfigur
- 103
Matematikk og Ornamentikk
Symmetrigruppe 11 ( 90° og 180° rotasjon og speiling - p4m)
Denne symmetrigruppen dannes ved først å rotere grunnfiguren 4⋅90°. En kopi av
grunnfiguren legges igjen i hver posisjon. Dernest speiles hver av de fire grunnfigurene
om sine speilakser. Til slutt dreies hele figuren 180° om sidepunktet.
90° rotasjon
om dette hjørnet
4⋅90°rotasjon
Figuren til høyre
viser hvordan mønsteret tar seg ut
dersom grunnfiguren er en hånd.
180° rotasjon
om dette hjørnet
Grunnelement
180°rotasjon
Speiling
Grunnfigur
90°
rotasjon
180°
rotasjon
Symmetrigruppe 12 (vertikal og horisontal speiling, og 4⋅90° rotasjon - p4g)
Denne symmetrigruppen dannes ved at grunnfiguren roteres 4⋅90° (strengt tatt roteres
grunnfiguren bare tre ganger). Det legges igjen en kopi i hver av de fire posisjonene.
- 104
Matematikk og Ornamentikk
Deretter speiles grunnfiguren om sidekanten, for så på nytt å roteres 4⋅90°.
Speiling
Speiling
4⋅90°rotasjon
90° rotasjon
om dette hjørnet
4⋅90°rotasjon
Grunnfigur
Speiling
4⋅90°rotasjon
Speiling
90° rotasjon
Grunnfigur
Nederst på figuren vises det samme med hånden som grunnfigur.
Symmetrigruppe 13 (120° rotasjon om de stumpe hjørnene - p3)
Denne symmetrigruppen
dannes ved at romben roteres 120° omkring det
stumpe hjørnet. Rotasjonen kan skje ved begge de
to stumpe hjørnene.
120° rotasjon
om dette hjørnet
120° rotasjon
om dette hjørnet
Figuren viser hvordan en
Grunnfigur
kopi av den første grunn120° rotasjon
figuren roteres om hjørnet
a, slik at den andre grunnfiguren kommer på plass.
Dernest roteres en kopi av
Grunnfigur
den andre grunnfigurn slik
at den tredje kommer på
plass. Dernest roteres den
andre grunnfiguren rundt
hjørne b, slik at grunnfigurene fire og fem kommer på plass.
- 105
4
1
a
3
2
b
5
Matematikk og Ornamentikk
Nederst på figuren er det samme vist med hender.
Symmetrigruppe 14 (120° rotasjon og speiling om to sidekanter - p31m)
Grunnfiguren i denne symmetrigruppen er drageformet, med en 60° vinkel, to 90° vinkler og en 120° vinkel. Først roteres grunnfiguren 120° to ganger etter hverandre slik at
det dannes en likesidet trekant (grunnfigurene har skiftet sjattering på figuren under).
Dernest speiles den nye trekanten om sidekantene. Dette gjøres til planet er dekket.
Speiling om
sidekanter
120° rotasjon
om dette hjørnet
Grunnfigur
3⋅120° rotasjon
På figuren til høyre ser vi
hvordan mønsteret blir med en
hånd som grunnfigur.
Speiling
120° rotasjon
Speiling
Grunnfigur
- 106
Matematikk og Ornamentikk
Symmetrigruppe 15 (120° rotasjon og speiling om en sidekant - p3m1)
Dette mønsteret er bygget opp av en grunnfigur formet som en likebenet trekant, med
en 120° vinkel og to 30° vinkler. Først roteres grunnfiguren 120° to ganger etter hverandre slik at det dannes en likesidet trekant. Dernest speiles de tre grunnfigurene om
sidekantene. For ytterligere å dekke planet, kan de tre nye trekantene roteres to ganger
120°. Dette gjøres til planet er dekket.
120° rotasjon
om dette hjørnet
Grunnfigur
Speiling
3⋅120° rotasjon
Speiling om sidekanter
Speiling
120° rotasjon
Grunnfigur
Nederst er den samme symmetrigruppen vist med en hånd som grunnfigur.
- 107
Matematikk og Ornamentikk
Symmetrigruppe 16 (60° og 180° rotasjon - p6)
Denne symmetrigruppen dannes ved at en likesidet trekant roteres 60° og kopieres seks
ganger slik at de danner en regulær sekskant. Dernest roteres hver av de seks trekantene
180° slik at det dannes en sekskantet stjerne. Deretter roteres hver av de seks nye trekantene 6⋅60°, slik at det dannes seks nye. Slik fortsetter en helt til hele planet er dekket.
60° rotasjon
om dette hjørnet
180° rotasjon
Grunnfigur
6⋅60° rotasjon
6⋅180° rotasjon
60° rotasjon
Grunnfigur
180° rotasjon
Nederst på figuren er det samme mønsteret reaslisert ved hjelp av hender.
Symmetrigruppe 17 (Speiling om tre sidekanter - p6m)
Denne symmetrigruppen dannes ved at grunnfiguren, som har en 60°, én 30° og én 90°
vinkel, vekselvis speiles om to av sine sidekanter (hypotenusen og den lengste kateten)
slik at det dannes en sekskant bestående av 12 trekanter. Dernest speiles disse 12 om den
korteste kateten slik at mønsteret får stjerneform. Hver av disse trekantene kan igjen
speiles om hypotenusen og kateten, slik at det dannes nye sekskanter. Slik kan en fort-
- 108
Matematikk og Ornamentikk
sette til hele planet er dekket.
Speiles om
alle sider
Grunnfigur
Speiles 12 ganger
om to av sidekantene,
vekselvis hypotenus og katet
Speiles 12 ganger
om en av sidekantene
Figuren under viser det samme mønsteret realisert med hånden som grunnfigur.
Å anvende denne kunnskapen
for å bestemme hvilken gruppe
et mønster tilhører, kan være
en vanskelig oppgave som
krever trening. Vi skal i neste
avsnitt se hvordan vi kan
anvende denne kunnskapen på
et konkret eksempel. Ellers
kan boka Symmetry – a unifying concept av István (1941– )
og Magdolna Hargittai
(1945– ) [11] eller en av nettreferansene (4) anbefales.
Idéen til dette avsnittet er hentet fra nettreferanse (4) i).
Speiles om
alle sider
Grunnfigur
8.6.3 Analyse av flatedekkende mønster
Vi skal i dette avsnittet se på noen eksempler på hvordan vi kan analysere flatedekkende
møsnter.
- 109
Matematikk og Ornamentikk
Vi forutsetter først at mønsteret er regelmessig, det vil si at det gjentar seg i alle retninger. I matematikkens verden vil en dessuten anta at mønsteret har uendelig utbredelse.
Dette vil selvsagt aldri være tilfelle for et virkelig mønster, hvor vi vil ha en kant hvor
mønsteret slutter. Men i denne sammenhengen antar vi at mønsteret er uendelig.
Deretter må vi gå inn i mønsteret og finne en grunnfigur. Grunnfiguren er en del av
motivet som inneholder all den informasjon som skal til for å lage hele mønsteret. Dersom vi lager et stempel med grunnfiguren, så kan vi bruke stempelet til å fremstille hele
mønsteret. Noen ganger trenger vi imidlertid to stempler, der de to motivene er speilvendte i forhold til hverandre.
I veving og ellers i kunst- og håndverkstradisjonen kalles avstanden mellom de gjentagende mønstrene for en rapport. Ved trykking er mønsterets rapport ofte bestemt av
trykkvalsens omkrets. I andre sammenhenger står en selvfølgelig friere, som for eksempel ved strikkemønster som vist på bildet under.
Figuren gjengir et Tellerosemønster bestående av “firskjænnroser”/åttebladsroser og
“grankvister” (tell betyr gran). Vi finner også snøkrystaller i midten. Mønsteret er hentet
fra ryggen på en genser som befinner seg på Selbu Bygdemuseum (foto: Birgitta Odén).
Før vi går igang med å analysere mønsteret, la oss formulere en innledende oppgave:
- 110
Matematikk og Ornamentikk
Oppgave:
Finn et flatedekkende mønster. Det kan være et mønster på en tapet, et tøystykke eller
noe annet. Finn og avgrens grunnfiguren, dvs. den minste mønsterenheten som kan
brukes til å gjenskape hele mønsteret. Ersatt grunnfiguren i mønsteret med “hånden”
som grunnfigur. Når mønsteret er laget med “hender” kan en ev. gjenskape mønsteret
på et stort papir ved å tegne omrisset av egne hender.
Til denne øvelsen trengs grunnfigurer med påtrykte hender. Følgende grunnfigurer bør
være tilgjengelige (kopiorginaler av disse finnes i vedlegg A.7).
Når grunnfigurene kopieres er det viktig at alle variantene forstørres like mye, og at de
kopieres over på transparent folie. Dermed kan de også vendes (speiles) og brukes på
begge sider. Dette er viktig når en skal konstruere mønster. Med disse grunnfigurene kan
en lage et hvilket som helst flatedekkende mønster.
I de følgende avsnittene skal vi med utgangspunkt i tellerosemønsteret se hvordan vi kan
analysere det ved bruk av ulike grunnfigurer laget med utgangspunkt i hender.
8.6.4 Glidning
Siden det er et
strikkemønster, vil
lusene i mønsteret
redusere antall
symmetrier. Vi har
derfor tillatt oss å
tegne mønsteret på
nytt, samtidig som
vi forenkler det litt.
Dermed får vi et
mønster som har
flere symmetrier
en det strikkede
mønsteret.
- 111
Matematikk og Ornamentikk
Den grunnfiguren som kanskje er mest iøyenfallende i dette mønsteret er vist til venstre
på figuren under. Dersom vi legger flere slike grunnfigurer tett ved siden av hverandre,
vil vi ende opp med det komplette tellerosemønsteret.
Men det er ikke bare denne ene grunnfiguren som har denne egenskapen. De tre andre
er like mye grunnfigurer og vil, når de kopieres og legges tett inntil hverandre, danne et
komplett tellerose-mønster.
Ja, ikke bare det. Vi kan ta et hvilket som helst utsnitt av det
opprinnelige mønsteret, bare det er like stort som de fire grunnfigurene vist på figuren over.
Figuren til høyre viser et slikt tilfeldig utsnitt. Ved å legge slike
ved siden av hverandre, vil det opprinnelige tellerosemønsteret
oppstå. Dette er vist på figuren under. Vi har latt det være et lite
mellomrom mellom grunnfigurene, slik at det skal være lettere å
se at de er bygget opp av det tilfeldige utstnittet, men med riktige dimensjoner.
Dernest skal vi forsøke å generalisere denne måten å bygge opp et mønster på. Dette gjør
vi ved å bruke en generell grunnfigur symbolisert ved en venstrehånd.
- 112
Matematikk og Ornamentikk
Mens grunnfiguren i tellerosemønsteret, som vi senere skal se, er svært symmetrisk (har
flere symmetriakser), så er hånden svært usymmetrisk. Vi ser imidlertid at man i begge
tilfeller, kan få fram det komplette flatedekkende mønsteret, kun ved å legge grunnfigurene tett inntil hverandre i to retninger. I dette tilfellet må vi tenke oss at det rundt
hånden ligger en usynlig rektangulær ramme, som antydet til høyre på figuren over.
Symmetrien i mønsteret framkommer gjennom regelmessigheten. Dersom vi stiller oss
midt i en hvilken som helst av grunnfigurene og ser oss omkring, vil vi oppdage at mønsteret ser likedan ut uansett hvilken grunnfigur vi står i. Vi kan tenke oss at vi lager en
gjennomsiktig kopi av hele mønsteret. Dersom vi forskyver kopien et lite stykke i en av
to retninger, vil vi oppdage at mønsteret i kopien faller sammen med mønsteret i
orginalen.
Vi legger også merke til at for å skape
mønsteret må vi gjøre visse operasjoner
på grunnfiguren. På figuren til høyre ser
vi at vi lar grunnfiguren gli en gitt avstand
horisontalt, og den samme avstanden vertikalt. Det vil si at de to glideretningene
danner en rett vinkel i forhold til hverandre. Dermed vil grunnfigurene bli
liggende side om side og dekke flaten fullstendig. Glidning (eller forskyvning) er en lovlig operasjon når vi arbeider med mønster. Andre lovlige operasjoner er speiling og
rotasjon og kombinasjonen av speiling og gliding (glidespeilig). Vi har møtt disse
tidligere da vi studerte båndsymmetri. En ulovlig operasjon i denne sammenheng er
forminsking og forstørring av grunnfiguren (se avsnitt 8.6.2).
Vi kan imidlertid også få til et flatedekkende mønster ved at forskyvningene danner en
vinkel med hverandre. Dersom avstandene vi forskyver grunnfiguren tilpasses størr- 113
Matematikk og Ornamentikk
elsen på figuren, vil vi igjen kunne få fram et fullstendig flatedekkende mønster. Det blir
imidlertid et annet mønster enn det vi startet med.
Vi har nå demonstrert en av de 17 flatedekkende symmetrier. Denne kan vi kalle glidesymmetri (eng. translation symmery) eller bare gliding, siden vi kun glir grunnfiguren.
Den er tidligere omtalt under symmetrigruppe 1 (side 98). Denne glidningen er en operasjon (eller handling) vi kan utføre på grunnfiguren.
8.6.5 Glidning og vertikal speiling
Vi antydet tidligere at grunnfiguren i tellerosemønsteret i seg
selv var symmetrisk. Vi legger f.eks. merke til at høyre halvpart
av mønsteret er en perfekt speiling av den venstre halvparten,
som vist på figuren til høyre.
Vi kan derfor strengt tatt nøye oss med en halv grunnfigur dersom vi skal gjenskape det komplette tellerosemønsteret. For å
kunne framstille et slikt komplett mønster av tellerose-typen, er
det ikke nok med glidning, vi må også foreta en speiling.
Med denne “halve” grunnfiguren må vi både foreta en speiling og en glidning. Gjentar vi dette tilstrekkelig mange
ganger vil få det heldekkende tellerosemønsteret.
Vi legger altså merke til at det samme mønsteret synes å
kunne tilhøre forskjellige symmetrigrupper, alt etter hvilken
grunnfigur vi velger. Dette skal vi komme tilbake til.
Glidning
I figuren til høyre foretar vi en vertikal speiling og en vertikal glidning. Retningene er ikke avgjørende for hvilken
flatesymmetri dette er. Vi kan imidlertid konstatere at denne
varianten er vesentlig forskjellig fra ren glidning, som vi
beskrev i forrige avsnitt.
Vertikal speiling
Også denne symmetrigruppen kan representeres med
hånden som generell grunnfigur. Dette er vist på figuren
under. Denne gangen representerer hånden det vi har kalt en
halv grunnfigur, men som i seg selv er en komplett grunnfigur. Vi gjenkjenner dette som
symmetrigruppe 3 (side 100).
- 114
Matematikk og Ornamentikk
La oss gå et skritt videre.
8.6.6 Rotasjon og glidning
90°
Studerer vi grunnfiguren i tellerosemønsteret, ser vi at
også den halve grunnfiguren, er sammensatt av fire
“kvarte” grunnfigurer som innbyrdes er roteret 90°.
Vi legger også merke til at den opprinnelige grunnfiguren er firefoldig rotasjonsymmetrisk. Ved å gjenta
rotasjonen, samt utføre glidning, vil vi kunne dekke
hele flaten med tellerosemønsteret.
90°
90°
Igjen kan vi bytte ut den kvarte grunnfiguren med en hånd, og får sammenhengen som
vist i figuren under.
Årsaken til at vi stadig kan dele opp den opprinnelige grunnfiguren i nye grunnfigurer,
er at vårt første valg av grunnfigur var symmetrisk i seg selv.
- 115
Matematikk og Ornamentikk
Slik kan vi ved å studere mønsteret over, oppdage at tellerosemønsteret også kan bygges
opp av kvarte grunnfigurer, men på en annen måte enn ved rotasjon. Vi kan i stedet
bruke dobbel speiling. Dette mønsteret gjennkjenner vi som symmetrigruppe 10 (side
103)
8.6.7 Vertikal og horisontal speiling
Igjen tar vi utgangspunkt i den kvarte grunnfiguren
som vi kom fram til i det forrige avsnittet. Først
foretar vi en horisontal speiling, deretter en vertikal. Dermed kommer vi fram til den opprinnelige
grunnfiguren. Deretter kopieres mønsteret ut over
flaten ved glidning.
Horisontal speiling
Vertikal speiling
Denne varianten kan også
representeres
med hender.
Men det stopper ikke her.
Grunnen til at
vi kan framstille
mønsteret ved
både to ganger speiling, eller ved fire ganger rotasjon, skyldes at vi fortsatt ikke har
kommet ned til den endelige grunnfiguren.
Studerer vi den kvarte grunnfiguren som vi
kom fram til i forrige avsnitt, oppdager vi at
også denne kan deles i to åttendedels grunnfigurer speilet om en 45° linje, som vist på
1/8 grunnmønster
figuren til venstre. Til høyre ser vi hvordan vi
ved gjentatte speilinger kan bygge opp det opprinnelige
grunnmønsteret.
- 116
Horisontal speiling
8.6.8 Speiling av 1/8 grunnmønster
Speiling om 45° akse
Matematikk og Ornamentikk
Også dette mønsteret kan representeres ved hjelp av hender som vist på figuren under.
Dette mønsteret gjenkjenner vi som symmetrigruppe 11 (side 104).
Da er vi i mål: Dette åttendels grunnmønsteret er tellerosemønsterets egentlige grunnfigur. Dette er den minste delen mønsteret kan deles inn i, og som fortsatt inneholder alle
detaljer som er nødvendige for å bygge opp det komplette mønsteret ved hjelp av de lovlige operasjonene: Glidning, refleksjon, rotasjon og gliderefleksjon.
Gjennom denne studien har vi vært innom 5 av de i alt 17 flatesymmetriene.
Oppgave
I figuren under er
det gjengitt 12
ulike mønster.
Studér mønsteret
og sett en ramme
rundt grunnfiguren
i hvert av mønstereksemplene.
Grunnfiguren er
det minste utsnittet
av mønsteret som
trengs for å gjenskape hele
mønsteret kun ved
speiling, dreining
og glidning. I
vedlegg er mønsterarket gjengitt i større størrelse.
- 117
Matematikk og Ornamentikk
Forsøk også å finne ut hvilken symmetrigruppe de ulike eksemplene tilhører.
Svaret finner du i vedlegg A.8.
8.7
Flatedekkende puslespill
Det kan være en utfordring å få
et mønster til å gå opp. Figuren
til høyre viser et puslespill som
er i salg som postkort ved
Vitensenteret i Trondheim.
Kortet er sammen de andre tre
kortene, vist i full størrelse i
vedlegg D.
Det siste kortet i denne serien er
også formet som et magisk
kvadrat. Når kortet er riktig
lagt, vil summen av tallene på
kortene langs de tre radene og
de tre kolonnene bli lik 15.
Dette er også summen langs de
to diagonalene.
- 118
8
3
4
1
5
Matematikk og Ornamentikk
9.
6.
7
2
- 119
Matematikk og Ornamentikk
8.8
Flatedekkende mønster i kaleidoskoper
Et kaleidoskop er ofte sammensatt av tre rektangulære speil, som vist på figuren under.
I tillegg kan det være utstyrt med en linse i enden. Retter vi kaleidoskopet opp mot lyset
og ser inn i røret, vil vi kunne se de mest fantastiske mønster med stor grad av symmetri.
Linse
Kroppen (rør)
Speilkammer
Objektkammer
Linse
Dette vesle kaleidoskopet har tre speil. Lys og farger i omgivelsene gir opphav til bilder
av typen vist på figurene under.
La oss se nærmere på strukturen i disse bildene. Bildet til
høyre er relativt enkelt å analysere, da vi tydelig ser
trekantene. Hver trekant er en gjengivelse av det som
kommer inn gjennom enden av røret. Dernest vil bildet
bli speilet i det uendelige inne i kaleidoskopet. Vi antar
at inntrykket som kommer inn gjennom åpningen ser ut
som vist på figuren under.
- 120
Matematikk og Ornamentikk
Figuren viser hvordan mønsteret blir dersom vi har tre like brede speil som står i en likesidet trekant.
Speilenes
plasséring
Bildet i
åpningen
Sett av
observatøren
Når speilene er plassert i en likesidet trekant, kaller vi det et 60°−60°−60° kaleidoskop.
De tre tallene angir de tre vinklene mellom speilene. En kan også tenke seg å sette de tre
speilene i andre vinkler, som vist på figuren under.
60°−60°−60°
30°−60°−90°
45°−45°−90°
Oppgave:
Bruk et enkelt, trekantet mønster for å utforske symmetrien i mønsteret et kaleidoskop lager. Et eksempel på et slikt enkelt mønster
er vist på figuren til høyre. Sett et trekantet kaleidoskop over
trekantmønsteret og forsøk å gjengi mønsteret på mønsterarket.
En kopioriginal av et mønsterark er gjengitt i vedlegg. Husk at
skal du kunne se mønsteret, må du la det være en avstand mellom
mønsteret og åpningen i kaleidoskopet slik at lyset slipper inn.
- 121
Matematikk og Ornamentikk
- 122
Matematikk og Ornamentikk
9
Programvare
Det finnes en rekke gratis dataprogrammer fra de enkleste til de mer avanserte som gir
mulighet til å eksperimentere med tesselering. Her skal vi kun se på tre stykker.
La oss først se på et program som passer for elever på 5 trinn.
9.1
“Art and Crafts Tile designer”
Dette verktøyet er nettbasert, dvs. at programmet lastes ikke ned, men kjøres på nettet.
Programmet finnes på adresse:
http://www.vam.ac.uk/vastatic/microsites/1312_artsandcrafts/design_a_tile/tool/
Programmet er utviklet av Victoria & Albert muset i South Kensington i London.
Se http://www.vam.ac.uk/ for mer informasjon.
Figuren under viser startmenyen:
Linjefarge
Bakgrunnsfarge
Fyllfarge
Drei motiv
Endre størrelse på motiv
Tegneflata
Framgangsmåten er vist med nummererte trinn:
- 123
Matematikk og Ornamentikk
1. Velg former (Choose shapes)
Det er 5 menyer (1–5) med ulike former.
2. Dra den valgte formen inn på tegneflata (Drag shapes into your tile)
Ved hjelp av to hendler kan det valgte motivet dreies og endre størrelse.
3. Kant- og fyllfargen på motivet kan endres ved hjelp av to knapper på menylinja:
Linjefarge (Line colour) og Fyllfarge (Fill colour)
Ved hjelp av en tredje knapp kan også bakgrunnsfargen på flata endres
(Tile background colour).
4. Skriv ut eller send tegneflata
Lagre tegning
Skriv ut tegning
(Print or send your tile)
Ved hjelp av de fire knappene under tegneflata kan du enten: Lagre tegningen din
(Add to the gallery). Med knappen øverst til
Send til en venn
Begynn på nytt
høyre kan du skrive ut tegningen (Print
your tile). Med knappen nederst til venstre
kan du sende tegningen til en venn (Send to a friend), og med knappen nederst til
høyre kan du viske ut tegningen og begynne på nytt (Start again).
Når du begynner å tegne, dukker det opp et felt til høyre for tegnefeltet. Dette feltet viser
hvordan tesseleringen vil ta seg ut med flere flater ved siden av hverandre.
Endre tesselering
5. Endre tesselering
Det mest spennende er å endre tesselering. På figuen over ser vi at tesseleringen er
en gjentagelse av motivet i alle fire flatene. Ved å trykket på knappen endre tesselering (Change tesselation) så kan vi gjøre en rekke forandringer.
- 124
Matematikk og Ornamentikk
Følgende meny kommer fram. Den nederste menyraden gir mulighet til å endre
antall flater (2 x 2), (4 x 4) eller (6 x 6).
Figuren under viser de tre mulighetene.
Når valget er gjort, trykkes OK (OKAY).
I tillegg kan du velge tesseleringstype.
Ingen (None)
Flip 180° (Flip 180)
Roter 90° (Rotate 90)
Vertikal flip (Vertical flip)
Horisontal flip (Horisontal flip)
Roter 180° (Rotate 180)
2x2
4x4
Figuren under viser alle seks variantene.
6x6
Ingen
Vipp 180°
Roter 90°
Vertikal vipp
Horisontal vipp
Roter 180°
- 125
Matematikk og Ornamentikk
Vertikal vipp -
medfører at i motivet til høyre er det venstre motivet vippet om en horisontal akse.
Horisontal vipp - medfører at i motivet til høyre er det venstre motivet vippet om en vertikal akse.
Roter 90° -
medfører at i motivet til høyre er det venstre motivet rotert
90° mot urviseren.
Roter 180° -
medfører at i motivet til høyre er det venstre motivet rotert
180° mot urviseren.
Vipp 180° -
medfører at i motivet til høyre er det venstre motivet vippet om en vertikal akse, og motivet under er vippet om en
horisontal akse.
6. Vis lagrede mønster (View the
gallery) gir mulighet til å se
egne og andres mønster.
Hjem (Back to home) går til
startsiden til nettstedet.
Hjem
Så er det bare å sette igang.
9.2
TESS (Pedagoguery Software Inc.)
Det andre programmet vi skal se
på er TESS. Dette er et program
for den som vil undersøke alle 17
flatesymmetriene. Programmet,
som er laget og distribueres av
Pedagoguery Software Inc., kan
lastes gratis ned fra nettstedet:
http://www.peda.com/tess/
Velg Downloads fra menylinja,
velg deretter versjon for Windows eller Macintosh, trykk så på
kjør og installer programmet på
maskina. Start programmet ved å
akseptere brukerbetingelsene og
trykk så Continue.
Du vil se et vindu som vist på figuren under til høyre:
- 126
Se lagrede mønster
Matematikk og Ornamentikk
Vi skal nå se nærmere på menyene:
I vinduet finner vi to menyer, i tillegg til selve tegneflaten.
Figuren til høyre forklarer de ulike
kommandoene i tegnemenyen. Den
brukes for å tegne grunnfiguren.
Ved å trykke på pilen for merking av
et element (del av grunnfigur), får vi
opp ulike merker rundt elementet,
som vist på figuren under.
Linjer
som viser
symmetriaksene
Merke for
flytting av
elementet
Merke for
dreining og
skalering
Merke for
endring av
form
Trykk denne
for å merke et
element
Trykk denne
for å flytte en
grunnfigur
Tegner figur
uten kantfarge
Tegner figur
med kantfarge
Angi fyllfarge
Angi hvor mye
hjørnene skal
avrundes
Angi avrunding
i prosent
Tegn mangekanter
Tegn rektangler ved
å avmerke to hjørner
Tegn rektangler ved
først å angi en kant
og deretter bredden
Tegn likesidete trekanter ved å angi et
hjørne og en sidekant
Tegner figur uten
fyllfarge
Angi kantfarge
Angi kantbredde
Ved hjelp av pilknappen øverst
C
B
til venstre i menyen kan en også A
innføre flere punkter langs
kanten av et element. Punktene
påføres elementet ved å trykke
på kantlinjen. Umiddelbart vil
det oppstå punkter symmetrisk
om symmetriaksene til elementet, som vist på figuren over til høyre. A) viser det opprinnelige elementet. På B) har vi lagt til et punkt, som dermed opptrer symmetrisk om
symmetriaksene til elementet, og C) viser hvordan figuren er blitt etter at vi har dratt i
ett av punktene. Dersom vi drar i punktene som ligger på symmetriaksene, vil de splittes
i to punkter som er symmetriske om aksen.
Nå er vi klare til å bruke grunnfiguren for å lage bånd- og flatesymmetrier.
De fire øverste knappene kopierer grunnfiguren enten i vertikal
eller horisontal retning, med
eller uten gliderefleksjon.
Vertikalt bånd med glide-refleksjonssymmetri
Kopierer grunnfiguren til et vertikalt bånd
Horisontalt bånd med glide-refleksjonssymmetri
Kopierer grunnfiguren til et horisontalt bånd
- 127
Matematikk og Ornamentikk
Figuren under viser de to variantene i horisontal retning. Tilsvarende kan lages i vertikal
retning. I dette eksempelet er grunnfiguren et skråstilt rektangel.
Dersom vi trykker på to av knappene, får vi et flatesymmetrisk mønster, som vist på figuren under.
På denne måten får vi dekket hele planet.
Kommandoene på
andre rad i menyen gir
mulighet for at grunnfiguren kan speiles om
akser i ulike retninger.
Figuren under viser de
fire variantene.
Symmetrisk om en akse 45° ned mot høyre
Symmetrisk om en vertikal akse
Symmetrisk om en akse 45° opp mot høyre
Symmetrisk om en horisontal akse
- 128
Matematikk og Ornamentikk
Den siste raden på
menyen gir ulike
rotasjonssymmetrier.
Figuren under viser
hvordan disse fire variantene blir seende ut.
2-foldig
Seksfoldig rotasjonssymmetrisk
Firfoldig rotasjonssymmetrisk
Trefoldig rotasjonssymmetrisk
Tofoldig rotasjonssymmetrisk
3-foldig
4-foldig
6-foldig
Nå er vi klare til å kombinere de forskjellige kommandoene i menyen. Dette kan til tider
være litt vanskelig, da vi vil kunne oppleve at menyene lever sitt eget liv.
Figuren under viser hvordan den ene trekantede grunnfiguren kan spres ut over hele
planet, og bli til de vakreste flatedekkende ornamenter.
- 129
Matematikk og Ornamentikk
Det mest spektakulære inntreffer når vi griper fatt i en av grunnfigurene i mønsteret. Endrer vi denne ene, vil samtlige kopier av
grunnfiguren endres samtidig.
Figuren til høyre viser at en av grunnfigurene er merket og er klar
til å endres.
9.3
Kali
Kali er et Javabasert gratisprogram for tegning av rosetter, båndsymmetriske friser og
flatesymmetriske tapetmønstre. Programmet er utviklet av Nina Amenta, Jeff Weeks og
Mark Philips ved University of Minnesota og er særdeles lett å bruke. Java-appletten
finnes på følgende nettsted: http://www.geom.uiuc.edu/java/Kali/program.html
Når man starter programmet vil man etter noe tid få opp menyen lengst til venstre.
Flatesymmetri
Båndsymmetri
Rotasjonssymmetri
På den øverste linjen velges fargen til de tegnede linjene. I menyen under vil det normalt
stå Wallpaper Groups når programmet startes. Ved å trykke på den vesle pilen til høyre
for boksen, kan man velge mellom:
•
Wallpaper Groups (1 - 17)
Dette er de 17 flatedekkende symmetritypene som velges fra menyen under.
- 130
Matematikk og Ornamentikk
•
Frieze Groups (1 - 7)
Dette er de 7 båndsymmetritypene som velges fra menyen under.
•
Rosette Groups (2 x 6)
Her kan man velge blant en rekke rotasjonsymmetriske typer. Seks av typene er rent
rotasjonsymmetriske, seks andre er i tillegg symmetriske om akser som stråler ut fra
midtpunktet i figuren.
Før man begynner å tegne må man velge en av de tre symmetrigruppene over. Dernest
velges en av symmetritypene i den aktuelle gruppen.
Til høyre for menyen er en tegneflate. Så snart man trykker venstre mustast og drar musa
bortover flata vil det dannes en linje i grunnfiguren. Grunnfiguren som tegnes vil umiddelbart realiseres i alle posisjoner i henhold til den valgte symmetritypen. Linja festes
med å klikke på venstre mustast. Linja avsluttes ved å dobbelklikke på venstre mustast.
Tegningen viskes ut idet man velger en ny symmetritype.
Figurene under viser noen eksempler.
For å få fram dette møsteret velges symmetrigruppe Wallpaper og type *632. Dernest er
det tegnet to streker i vinkel som angir grunnfiguren. Grunnfiguren er både forsterket i
mønsteret, og gjengitt nederst til høyre under menyen.
- 131
Matematikk og Ornamentikk
Dette møstere er laget ved å velge symmetrigruppe Frieze og type *2200. Dernest er det
tegnet to streker i vinkel som angir grunnfiguren. Grunnfiguren er både forsterket i mønsteret, og gjengitt nederst til høyre under menyen.
Dette møstere er laget ved å velge symmetrigruppe Rosette og type *5. Dernest er det
tegnet tre streker i vinkel som angir grunnfiguren. Grunnfiguren er både forsterket i
mønsteret, og gjengitt nederst til høyre under menyen.
- 132
Matematikk og Ornamentikk
9.4
Matemania
Dette er et interaktivt læremiddel tilpasset læreplanen for 5. – 7. trinn (barneskoledel)
eller 8. – 10. trinn (ungdomsskoledel). Gjennom egne valg lærer elevene raskt å finne
fram til det stoffet de velger å arbeide med. Eksperimentering og interaktiv utforskning
er sammen med oppgaver og øvelser sentrale elementer i oppbygningen av
læremiddelet.
Læremiddelet er organisert som et "landskap" der øyer representerer ulike matematiske
emner. Elevene kan enten foreta en rundreise der de møter utfordringer som må mestres
før de kan gå videre, eller de kan gå direkte til ønsket fordypningsfelt.
Læremiddelet er utviklet i et samarbeid mellom Caspar-forlag og Mediesenteret ved
høgskolen i Bergen, og er for tiden fritt tilgjengelig på: www.matemania.no.
Her skal vi kun vise eksempler innen mønstergenerering og symmetri fra barneskoledelen (5. – 7.) av læremiddelet.
Rosett med tre visere
Rosett med to visere
Symmetri
Vindu 3
Tesselering
Vindu 2
- 133
Vindu 1
Matematikk og Ornamentikk
9.4.1 Vindusmønster
Matemania for 5. – 7. trinn tilbyr tre ulike programmer kalt Vindu 1 til 3. Disse gir
mulighet til å eksperimentere med ulike former for “silkepapir” lagt på et vindu. Alle
figurer er rotasjonssymmetriske. Forandres formen til en av grunnfigurene, vil samtlige
endres på samme måte. Videre kan antall grunnfigurer endres.
I Vindu 1 er grunnfiguren ett rektangel hvor lengden av sidekantene kan endres fritt.
Vindu 1
Vindu1
Mønsteret bygges
opp av rektangulære ark med form
som kan endres.
Endre figurfarge
Endre arkets
form
Endre antall
ark
Endre bakgrunnsfarge
Endre størrelsen
på figuren
I Vindu 2 er grunnfiguren i utgangspunktet sirkulær. Ved å klikke på en av sirklene vil
en få fram markører som en kan dra i for å endre formen.
Vindu 2
Vindu2
Mønsteret bygges
opp av sirkulære
ark med form som
kan endres ved å
dra i markører
langs kanten.
Endre figurEndre grunnfigurens form
Endre antall
grunnfigurer
farge
Endre bakgrunnsfarge
Endre størrelsen
på figuren
- 134
Matematikk og Ornamentikk
I Vindu 3 er grunnfiguren i utgangspunktet halvmåneformet. Ved å klikke på en av
halvmånene vil en få fram markører som en kan dra i for å endre formen på grunnfiguren. Ved å dra i skyveren til høyre vil en se at grunnfigurene danner en spiral.
Vindu 3
Vindu3
Mønsteret bygges
opp av halvmåneformede former
som kan endres ved
å dra i markører
langs kanten.
Endre figurEndre grunnfigurens form
Spiraliser
grunnfigurene
farge
Endre bakgrunnsfarge
Endre størrelsen
på figuren
Se avsnitt 6.3.4 for eksempler laget med silkepapir. For den som ønsker å utforske dette
temaet ytterligere anbefales [18].
9.4.2 Rosettverksteder
To vektorer roterer, den ene roterer om et punkt. Den andre vektoren roterer om spissen
til den første. Vektorenes lengder og rotasjonshastighet kan endres. Lignende rosetter
kan tegnes på frihånd (se [1] side 34).
Endre vektorens
lengde
Endre
vektorenes
rotasjonshastigheter
Endre vektorens
lengde
- 135
Matematikk og Ornamentikk
På lignende måte kan vi ved hjelp av tre roterende vektorer skape enda mer spennende
ornamenter.
Endre
vektorenes
rotasjonshastighet
Endre vektorenes
lengder
Vis opptegning
Rosettene tegnes ved at det
dannes en trekant mellom
endene til de tre vektorene.
Midtpunktet av trekanten
beskriver rosettens form.
Under fanen Animasjon kan
flere rosetter konstrueres. Programmet animerer overgangen
fra en av rosettene til en annen.
I alt kan 6 rosetter legges inn.
Animasjonen går fra den ene
til den andre til den tredje osv.
Den siste fanen gir mulighet til å lage et Postkort av en flott rosett.
9.4.3 Tesselering
Denne flash-animasjonen gir mulighet til å eksperimentere med tesselering. I alt tilbyr
den fem mulige varianter av tesselering som vist på figuren under.
1
2
3
4
5
- 136
Matematikk og Ornamentikk
Ved å endre formen langs en av siden, så vil en tilsvarende form oppstå langs n av de
andre sidene slik at to fliser passer til hverandre om den dreies på riktig måte.
Velg først type flislegging, dernest gis flisa den ønskede formen ved å dra i markørene
langs sidene. Samtidig som flisa formes i venstre del av arket, lages en tesselert versjon
med ni like fliser i høyre del av arket. Endringer som gjøres i grunnfiguren til venstre
vil umiddelbart vises i samtlige ni fliser til høyre.
Gi flisa ønsket
form
Resultat
Plasser en
og en flis
Fargelegg
flisene
Velg type
tesselering
Hver enkelt flis kan så fargelegges etter ønske med paletten nederst på midten. De ni
flistene kan også legges en og en. I dette tilfellet må hver enkelt flis dreies på riktig måte
før den plasseres.
- 137
Matematikk og Ornamentikk
- 138
Matematikk og Ornamentikk
10
Evaluering
Evaluering av DKS tilbudet "Matematikk og Ornamentikk" har vært et samarbeid mellom Vitensenteret i Trondheim og Nordenfjeldske kunstindustrimuseum, våren 2009.
Undersøkelsen er gjennomført og oppsummert av Inger-Marie Larsen ved
Vitensenteret.
"Matematikk og ornamentikk" var et tverrfaglig emne som ble tilbudt elever på 5. trinn
ved skolene i Trondheim, våren 2009.
På Vitensenteret (VS) ville man fortelle om matematikken i ornamentikken, og si noe
om hvordan ornamenter var bygd opp, med hovedvekt på speilsymmetri og geometriske
figurer.
På Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum ville man se på bruken av ornamenter, ved
å vise gode eksempler på ornamentbruk i kunst og design hentet fra museets samling.
Tilbudet var svært interaktivt, dialogbasert, og det ble holdt workshops på begge institusjonene. Man jobbet ca 1 ½ t på hver institusjon, spiste matpakke der man startet, og
forflyttet seg til fots til neste institusjon. Gruppene hadde en maksimal størrelse på 25.
Mer detaljerte opplysninger om innhold kan fåes ved å henvende seg til institusjonene,
henholdsvis Inger-Marie Larsen (Vitensenteret) og Åshild Adsen (Kunstind. Museet).
Det er også laget film som dokumenterer gjennomføringen (Johanne Hoffart), og skrevet temahefte som gir et mer teoretisk fundament, og beskriver innhold og
gjennomføring. I tillegg er det laget en PowerPoint som kan brukes under aktiviteten
ved Vitensenteret (Nils Kristian Rossing).
10.1
Oppsummering elevsvar/Jenter og gutter
Opprinnelig spørsmål er utheva og understreka, og oppsummering av svar står i kursiv.
Hei!
Du har nettopp besøkt Vitensenteret og Kunstindustri-museet på temaet MATEMATIKK OG ORNAMENTIKK. Vi har lyst til å stille deg noen spørsmål for å
kunne gjøre opplegget bedre. Tusen takk for at du svarer!
(Kryss av:) Jente __ Gutt __
151 jenter har svart.
169 gutter har svart.
Tilsammen 320 elevsvar.
- 139
Matematikk og Ornamentikk
Konklusjon:
Vi har tidligere foretatt evalueringer av DKS-tilbudene våre der vi har stilt spørsmål til
lærerne. Denne gangen ønsket vi å høre elevenes stemme, og hovedsaklig få et inntrykk
av oppnådd forståelse for emnet. Man valgte avkryssing for Jente / Gutt for å se om det
er store forskjeller i preferanser når det gjelder aktiviteter i interaktive tilbud.
Navn på skolen din:
Elever fra Vikåsen, Steindal, Strindheim, Utleira, Åsveien, Åsvang og Åsheim har svart.
I alt 7 forskjellige Trondheims-skoler.
Konklusjon:
Elever i 16 grupper (blanda jenter og gutter) fra 7 forskjellige skoler har svart. Siden
det var flere pedagoger som kjørte opplegget og delte ut spørreskjema, har vi ikke helt
oversikt over hvor mange skoler / grupper som mottok spørreskjema. Men vi kan anslå
en svarprosent på ca 50.
Man valgte også å dele ut skjemaene i ferdig adresserte og frankerte konvolutter, slik at
terskelen for å sende svar tilbake ble så lav som mulig.
Selv om skolene kom i alfabetisk rekkefølge og svarene likeså, representerer dette forskjellige områder i byen, små og store trinn, og er et like representativt utvalg som et
hvilket som helst annet.
Ble dere elever fortalt på forhånd hvor dere skulle på besøk? Ja __ Nei __
146 av 151 jenter svarer Ja.
165 av 169 gutter svarer Ja.
4 av 151 jenter svarer Nei.
4 av 169 gutter svarer Nei.
1 jente blank.
Konklusjon:
Her har lærerne gjort jobben sin, og informert elevene på forhånd om at de skal ut av
skolen på besøk. Elevene har også fulgt godt med og fått med seg denne informasjonen.
Det er svært sammenfallende svar fra Jenter og Gutter, både for Ja og Nei.
Ble dere fortalt hva det skulle handle om? Ja __ Nei __
118 av 151 jenter svarer Ja.
129 av 169 gutter svarer Ja.
- 140
Matematikk og Ornamentikk
43 av 151 jenter svarer Nei.
39 av 169 gutter svarer Nei.
1 gutt svarer Vet ikke.
Konklusjon:
Fra å fortelle elevene at man skal på besøk og hvor, så skorter det mye på å kunne si noe
om hva besøket handler om. Vi opplever det som en viktig del av forberedelsene å kunne
fortelle litt om innholdet i besøket, og ev. bruke materiell for forarbeid som var lagt ut
på nettet.
For lærerne handler dette om både å bruke DKS- og de enkelte institusjonenes nettsider
mer, og å benytte seg av tilbudet om gratis kurs / gjennomgang av tilbudet på forhånd.
For institusjonene handler det om å legge ut interessant materiell på hjemmesida, og å
bestemme dato for kurs så tidlig at det blir lett for lærerne å planlegge.
Det er veldig sammenfallende også her hva Jenter og Gutter har oppfattet av
informasjon.
Kan du skrive kort hva ornamentikk er?
(NB! Noen gir flere svar.)
Svarhyppighet bl. Jenter:
1) Mønster:
119 av 151 jenter
2) Speiling / symmetri / speilsymmetri: 44 av 151 jenter
3) Pynt:
29 av 151 jenter.
Svarhyppighet bl Gutter:
1) Mønster:
2) Speiling / Symmetri:
3) Pynt:
108 av 169 gutter
49 av 169 gutter
26 av 169 gutter.
Andre nevnte alternativer: Border, Kunst / Design, Former / Figurer, Rotasjonssymmetri, Forskyvning, Gjentagelser, Matematikk... m.m.
Konklusjon:
Her er det stort sammenfall med hva vi som formidlere la vekt på når vi skulle definere
hva ornamentikk er, og hva elevene har oppfattet.
I tillegg er det høyt sammenfall i hva Jenter og Gutter legger vekt på når de skal definerer ornamentikk.
(Selv om vi formidlet at ornamenter ikke må være symmetriske, men ofte er det, har dette
festet seg ut fra at oppgavene de gjorde handlet mye om speilsymmetriske ornamenter.)
- 141
Matematikk og Ornamentikk
Kan du tegne en symmetrisk bord (mønster)? Tegn her, hvis du kan:
140 av 151 Jenter tegnet symmetriske border / mønster.
151 av 169 Gutter tegnet symmetriske border / mønster.
Konklusjon:
Selv om ikke alle de tegnete eksemplene var 100 % symmetriske, avspeilet de en oppfatning om hva som må være til stede for at et mønster skal beskrives som symmetrisk.
Her var det noen færre Gutter enn Jenter som tegnet symmetriske border.
Hvilken av aktivitetene på Vitensenteret husker du best?
Svarhyppighet bl. Jenter:
1) Speilinger:
2) Tegne / designe vottemønster:
3) Konstruere rosevindu med passer:
60 av 151
45 av 151
21 av 151
Svarhyppighet bl. Gutter:
1) Speilinger:
2) Tegne / designe vottemønster:
3) Konstruere rosevindu med passer:
71 av 169
40 av 169
13 av 169.
(Andre nevnte: Finne symmetriske kommunevåpen, frilek i utstillinga...)
Konklusjon:
Når vi spør om hva man "husker best" av aktivitetene, er det i håp om å skape litt mer
refleksjon (man rekonstruerer de forskjellige aktivitetene i tankene), i forhold til f.eks. å
spørre om hva man "likte best".
Både hos Jentene og Guttene er aktivitetene knyttet til "speil" det de husker best. Det er
kanskje ikke så rart siden de i 3 av aktivitetene på Vitensenteret brukte speil: 1) Speilet
et fotavtrykk for å si noe om hva speilsymmetri er / ikke bare flytting, men speilvending.
2) Speilet ansikt for å se på grad av symmetri. (3) Speilet (ev.) egentegnete mønster.)
4) Brukte vinkelspeil for å studere oppbygging av mønstre og rotasjonssymmetri.
Tegning av vottemønster foregikk ved at man fikk utdelt en mal av en vott med ei
midtlinje, trykt på et ruteark. Elevene skulle så tegne sitt eget speilsymmetriske vottemønster på arket, enten ved å tegne bare den ene siden, og så bruke speil for å se hele
mønsteret, eller tegne ut hele mønsteret på begge sider av linja. Vi opplevde at elevene
- 142
Matematikk og Ornamentikk
likte denne oppgaven svært godt. Det var ei oppgave som absolutt alle fikk til å gjøre,
uansett forutsetninger, enkelt eller avansert, og elevene tok seg god tid og gjorde seg
veldig flid med arbeidet.
Å konstruere rosevindu med passer var ingen enkel oppgave, spesielt for de som ikke
hadde prøvd å bruke passer før. Her ble det litt mer å strekke seg etter, både i forhold til
motorikk og tålmodighet. Men med litt øving gikk det greit, og de aller fleste tok oppgaven som en utfordring, tok seg god tid, og fikk til fine resultat.
Overraskende er det kanskje at Jenter og Gutter rangerer aktivitetene veldig likt. Man
kunne kanskje gjettet at Jenter i større grad enn Gutter synes det er fascinerende å
designe / tegne mønster, men her var guttene like engasjerte som jentene.
Hvilken av aktivitetene på Kunstindustrimuseet husker du best?
Svarhyppighet bl. Jenter:
1) Rebusløype i utstillinga:
2) "Gækkebrev" / papirklipp / kort:
3) Legge Selburose med golvflis:
100 av 151.
28 av 151.
4 av 151.
Svarhyppighet bl. Gutter:
1) Rebusløype i utstillinga:
2) "Gækkebrev" / papirklipp / kort:
3) Legge Selburose med golvflis:
101 av 169.
28 av 169.
8 av 169.
(Andre nevnte: Designe snowboard, Hoppe mønster, Japanske krigere, Snakkingen,
Tegning...)
Konklusjon:
På Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum er rebusløpet en klar vinner hos både Gutter
og Jenter. Før de gikk ut i løypa fikk elevene utdelt skjema som viste eksempler på tekstiler og gjenstander med forskjellige typer symmetri fra museets utstilling, som de
skulle finne. Dette var tildels svært krevende oppgaver i forhold til alder, og absolutt noe
å strekke seg etter. For det første var nok opplevelsen av å få lov til å "springe" rundt i
museets utstilling ganske uvant og befriende. For det andre har slike typer oppgaver et
lite konkurranseelement i seg som motiverer. For det tredje opplevdes nok oppgavene
som utfordrende og spennende, i tillegg til at det var menge vakre gjenstander som
skulle undersøkes.
- 143
Matematikk og Ornamentikk
"Gækkebrev", som elevene hadde på 2. plass, kan forklares som et "narrebrev". Det er
en dansk tradisjon, der de hver vår lager et "narrebrev" i papirklipp med ukjent
avsender. Hvis mottaker gjetter hvem brevet er fra, må denne gi en gave, eller kanskje
et kyss... De ornamentale, papirklipte brevene kombineres ofte med et lite egenskrevet
dikt.
Å legge selburose med golvflis fokuserte på oppbygginga av åttebladrosa, hvordan
denne er bygd opp, og at vi finner den i mange forskjellige kulturer på alt fra klær til
gjenstander og mosaikk. Noen syntes det var artig å legge denne i stort format med
vinylbiter på golvet, nesten som et puslespill.
Også her rangerer Jenter og Gutter aktivitetene overraskende likt. Man kunne kanskje
trodd at Guttene vil rangere papirklipp og diktskriving lavere enn Jenter, og rebusløypeaktivitet høyere enn Jenter, men forskjellene er svært små.
Hvilken av alle aktivitetene kunne du tenke deg å jobbe mer med?
Svarhyppighet bl. Jenter:
1) Tegne / designe vottemønster (VS): 31 av 151.
2) Rebusløype (NKIM):
26 av 151.
3) Speilinger (VS):
25 av 151.
Svarhyppighet bl. Gutter:
1) Speile figurer (VS):
33 av 169.
2) Rebusløype (NKIM):
30 av 169.
3) Tegne / designe vottemønster (VS): 19 av 169.
Konklusjon:
Her har man alle aktivitetene på begge institusjonene å velge mellom, og ønskeaktivitetene fordeler seg over flere svar. Å designe vottemønster, løse oppgaver i rebusløypa
og jobbe med speil, er de tre aktivitetene som scorer høyest.
Også her er svarene overraskende sammenfallende mellom Jenter og Gutter. Rebusløypa scorer ganske likt. Ellers scorer design av vottemønster litt høyere hos jenter, og
det å jobbe med speil litt høyere hos gutter selv om forskjellene er små. Begge aktivitetene foregår ved arbeidsbord.
Skjønte du mer om sammenhengen mellom matematikk og ornamentikk etter
denne dagen? Ja __ Nei __
129 av 151 Jenter svarer Ja.
148 av 169 Gutter svarer Ja.
- 144
Matematikk og Ornamentikk
18 av 151 jenter svarer Nei.
20 av 169 Gutter svarer Nei.
4 jenter blank.
1 gutt blank.
Konklusjon:
I dette spørsmålet var vi ute etter elevenes egen vurdering av det utbyttet de hadde av
opplegget. Dette er kanskje det viktigste spørsmålet i undersøkelsen. Det viser seg at
over 80 % av både Jenter og Gutter synes at de skjønner mer av sammenhengen mellom
matematikk og ornamentikk etter å ha deltatt på opplegget. For oss som underviste i
dette fikk vi vist fram nye sider av matematikken, knyttet til estetisk vakre eksempel, og
eksempel på praktisk bruk av matematikk / ornamentikk. Vi tror at slike tverrfaglige
prosjekt gir svært god læringseffekt, både i forhold til å skape nye og uventete assosiasjoner, anledning til fordypning gjennom en høy grad av interaktivitet, i tillegg til det
rent allmenndannende i form av institusjonskjennskap.
Vi håper derfor dette er en form for tilbud / undervisning som DKS kan prioritere videre.
Har dere jobbet videre med dette på skolen? Ja __ Nei __
35 av 151 Jenter svarer Ja.
39 av 169 Gutter svarer Ja.
94 av 151 Jenter svarer Nei.
108 av 169 Gutter svarer Nei.
22 jenter blank.
22 gutter blank.
Konklusjon:
Her må spørsmålsstiller (undertegnede) ta sjølkritikk for at spørsmålsstillingen er litt
for vag. Å spørre om man har jobbet videre med "dette" når man nettopp har listet opp
mange forskjellige typer aktiviteter blir for utydelig. Man har kanskje jobbet videre med
å konstruere rosevindu med passer, mens rebusløypa ikke er så lett å rekonstruere. I
tillegg er det tydelig at de fleste har svart på spørsmålene rett etter at de har vært på
besøk, og kommentert i margen at man "ikke har rukket det", eller jobba "på forhånd".
Her kunne man stilt spørsmålet litt mer presist i forhold til "aktiviteter som har med
matematikk og ornamentikk å gjøre", og også spurt om for- og etterarbeid. Ut fra dette
forteller ikke svarene oss så mye om det vi ville vite noe om, altså om aktivitetene i institusjonene sporer til videre jobbing når man er tilbake i skolehverdagen.
Hvis ikke, håper du at dere skal jobbe mer med dette? Ja __ Nei __
- 145
Matematikk og Ornamentikk
122 av 151 Jenter svarer Ja.
113 av 169 Gutter svarer Ja.
23 av 151 Jenter svarer Nei.
46 av 169 Gutter svarer Nei.
6 Jenter blank.
10 Gutter blank.
Konklusjon:
Svarene på dette spørsmålet sier noe om elevene selv er inspirerte til å fortsette å jobbe
med temaet. Her svarer ca. 80 % av Jentene at de ønsker å jobbe mer, og ca. 70 % av
Guttene. Tilsvarende svarer ca. 15 % av Jentene at de ikke ønsker å jobbe mer, og ca.
25 % av Guttene. Dette er ikke nødvendigvis ulyst, men at de muligens føler seg ferdig
med temaet. Uansett kan dette være et hint til lærerne om at det å jobbe tverrfaglig på
en ekstern læringsarena, kan være veldig motiverende for elevene i forhold til å fordype
seg enda mer / videreutvikle et tema.
Hovedkonklusjon:
Dette er ikke en vitenskapelig undersøkelse bygget på teori, men et forsøk på å la elevene komme til orde for å si noe om utbyttet de har av å delta på et tverrfaglig DKS-tilbud
på eksterne læringsarenaer. Noen hovedmomenter:
-
Tilsammen 320 elever har svart på evalueringen, et forholdsvis høyt svarantall.
-
Lærerne er flinke til å informere elevene om besøk, men mindre om innhold. Bruk av
hjemmesider og tilbud om kurs anbefales.
-
Elevene har oppnådd høy grad av forståelse for temaet, både gjennom å beskrive det
med ord og tegninger.
-
Elevene gir i tillegg selv uttrykk for å ha oppnådd større forståelse for emnet etter
besøkene, og er inspirerte til å jobbe videre med temaet.
-
Det er mye mindre forskjeller i Jenter og Gutters preferanser i forhold til de interaktive aktivitetene enn man skulle tro.
-
På elevenes vegne håper vi som pedagoger på institusjonene at denne forholdsvis
store og entydige evalueringen kan styrke satsingen på tverrfaglige institusjonssamarbeid i DKS-sammenheng.
Oppsummering foretatt av:
Inger-Marie Larsen,
pedagog,
- 146
Matematikk og Ornamentikk
Vitensenteret i Trondheim.
[email protected]
Juli 2009
10.2
Oppsummering lærersvar
Spørreskjema til lærer:
Opprinnelige spørsmål er utheva. Oppsummering av svar står i kursiv.
Dato for besøk:
Mars, april, mai
Evalueringen startet etter påske, og omfatter derfor ikke alle skolene fra starten av.
Dette handla rett og slett om at det krevde mye ressurser for å kjøre opplegget, og at vi
ikke rakk å gjennomføre evaluering fra starten av. Bortsett fra at skolene kom alfabetisk,
blir utvalget like tilfeldig som en annen rekkefølge.
Navn på skole:
Lærere fra Stavset skole, Tonstad, Vikåsen, Steindal, Åsvang, Utleira, Åsveien, Strindheim og Åsheim svarte på lærer-skjemaet. I alt 9 forskjellige skoler. Fra Vikåsen og
Åsveien var det 4 forskjellige lærere som svarte og fra Steindal og Utleira var det 2 forskjellige lærere som svarte.
Altså 17 svar fra 9 forskjellige skoler.
ANGÅENDE INFORMASJON:
Hvor fikk du info om besøket? (Kryss av en eller flere)
Kulturombudet :
13 av 17 svar
Rektor :
2 stk.
DKS hjemmeside / KSYS :
6 av 17 svar
Annet: 2 har svart «Kurs på forhånd». 2 har svart «annet» uten å spesifisere.
Her virker det som kulturombudet har gjort jobben sin, men bare en tredjedel har vært
inne på DKS- hjemmesida. Der trengs det et løft. En lærer nevnte at det ble litt rot ved
NKIM da det var låst da de kom og de ikke viste om ringeklokken.
Hva slags info fikk du? (Kryss av en eller flere)
Tittel på besøk:
Tidspunkt for besøk:
Om innholdet i besøket:
Tips til forarbeid:
16 stk.
17 stk.
15 stk
9 stk.
- 147
Matematikk og Ornamentikk
Her virker det som om det først og fremst er de praktiske opplysningene om "tid og sted"
man er ute etter. Tips til forarbeid var et tastetrykk unna, men ble brukt av langt færre.
Var den infoen du fikk tilstrekkelig?
For lite:
Passe:
For mye:
2 stk
15 stk.
0 stk.
Dette viser at så godt som alle syntes den infoen de fikk var tilstrekkelig.
ANG. FORBEREDELSESKURS:
Deltok du på lærerkurs / gjennomgang av opplegget i forkant av besøket?
(Kryss av)
Ja:
Nei :
Visste ikke om kurs:
5 stk.
12 stk
6 stk
Av 17 lærere som svarte hadde bare 5 lærere deltatt på kurs, dette er lite, mange skrev
også at de ikke visste om kurset. En svarte at to andre lærere fra trinnet deltok (derfor
deltok ikke vedkommende).
Hvis JA: Hvor nyttig synes du kurset var på en skala fra 1-6? (6= best):
Karakterer 6, 5, 5, 5, 5 gir et snitt på 5,2.
Kurset ble tilbudt som en 2 t gjennomgang av programmet 2 ganger (13. januar og 9.
februar), med litt forfriskninger, tips til for- og etterarbeid, og mulighet for å stille
spørsmål. Vi tilstrebet oss å bare bruke 2 t, slik at lærerne ikke skulle bli så avhengige
av vikar, og gjøre gjennomgangen så lik det opplegget elevene skulle ha som mulig.
Dette for at lærerne skulle føle seg godt forberedt, og for lettere kunne forberede elevene
og svare på spørsmål fra dem, med ønske om at alle skulle få en så god og lærerik
opplevelse som mulig. Den høye karakteren som lærerne har gitt viser at kurset føltes
nyttig. Ca. 20 lærere tilsammen deltok på lærerkursene.
Hvis NEI: (Kryss av)
Visste ikke om kurset:
Vanskelig å komme fra pga. behov for vikar:
Lite «goodwill» fra ledelse ved skolen:
Kommentar:
-
«Vanskelig å delta pga er ny på skolen.»
-
«Vanskelig å delta pga. Mattedag.»
- 148
6 stk
5 stk
0 stk
Matematikk og Ornamentikk
Det er selvfølgelig flere grunner til at lærere ikke får deltatt på kurs, ikke bare at man
trenger vikar. Det viser seg av svarene at det i alle fall ikke er ledelsen som er hinderet,
men at det kan være vanskelig å komme fra av forskjellige grunner (eksempelvis "mattedag"). Det synes igjen som om det har vært vanskelig å nå fram med informasjonen
om kurset. Et annet poeng er å annonsere kursene tidlig, slik at det blir lettere for lærerne å få det til å passe inn i andre planer.
ANG. GJENNOMFØRING:
Hvordan opplevde du at fagstoffet ble formidlet på en skala fra 1-6? (6=best)
På Vitensenteret :
Karakterer 6, 6, 5, 5, 3, 6, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5/4, 5. Snitt: 5,1
På Nordenfjeldske:
Karakterer 4, 6, 6, 5, 5, 6, 6, 5, 5, 6, 6, 5, 5, 6, 5, 4, 2. Snitt: 5,1
Ev. kommentar.
-
«Inspirerende og godt forberedt.»
-
«Generelt veldig bra, ble positivt overrasket. Mye var repetisjon for oss. Positivt!»
-
"Det som ble gjennomført nede på Vitensenteret, kunne vært gjennomført i et vanlig
klasserom som forberedelse. Elevene var veldig skuffet over at de ikke fikk litt tid til
å se seg rundt i utstillingen nede."
-
“Vi liker å tro at det alltid er rom for forbedring, men stoffet ble formidlet på en måte
som alle elevene forstod. Vi er veldig fornøyd.”
Selv om vi som kursholdere streber etter 6 i karakter, må vi si oss fornøyde med gode
5ere og positive tilbakemeldinger på formidling av fagstoffet. Det er imidlertid
tankevekkende når én sier at det som ble presenteret på Vitensenteret kunne de like godt
ha gjort i eget klasserom, hvilket er helt riktig. Et naturlig spørsmål er derfor: Bør DKStilbudet alltid ha elementer av ting som de bare kan få ved besøket borte fra skolen.
Oppleves fagstoffet som relevant i forhold til Kunnskapsløftet?
Ja:
17 stk
Nei:
0 stk.
På spørsmål om relevans i forhold til Kunnskapsløftet svarer deltakerne et helt entydig
ja. Dette er en nyttig og viktig attest for oss som kursholdere.
Var vanskelighetsgraden på aktivitetene i gjennomsnitt passe i forhold til elevenes
ferdigheter?
1)
På Vitensenteret
- 149
Matematikk og Ornamentikk
Ja:
Nei :
For lett:
For vanskelig:
16 stk.
0 stk.
1 stk.
0 stk.
Her er svarene også helt entydig positive, og en tydelig tilbakemelding som vi tar med
videre. En av deltakerne har gitt to svar, og skrevet følgende kommentar:
-
«Kunne gitt enda flere utfordringer, men ting tar tid.»
Et tips her ville vært ekstramateriellet på nettet som man kunne jobba videre med, bl.a.
med «tesseleringer» (flatedekkende mønstre), som har en høyere vanskelighetsgrad, og
som det ikke ble plass til i besøket på institusjonene.
2)
Nordenfjeldske
Ja:
Nei :
For lett:
For vanskelig:
17 stk
0 stk.
1 stk (se kommentar)
0 stk
Her var det også helt entydig tilbakemelding på at vanskelighetsgraden var passe, sjøl
om det også her var et ekstra svar / kommentar på at noe var for lett (se svar over).
Har du inntrykk av at elevene har oppnådd en større forståelse for sammenhengen
mellom matematikk og ornamentikk?
Ja:
Nei:
17 stk
0 stk.
Et helt entydig svar på et svært viktig spørsmål fra oss: Lærerne mener bestemt at eleven
har oppnådd større forståelse for sammenhengen mellom matematikk og ornamentikk!
Har du sett på materiellet for etterarbeid som ligger på DKS hjemmesidene?
Ja:
Nei:
7 stk
10 stk
Her er det bare 7 av 17 som har vært på DKS sin hjemmeside og sett på materiellet /
tips til etterarbeid. Dette bør man fokusere spesielt på i lærerkurset, med mål om å få
denne andelen opp.
Tror du at du kommer til å benytte deg av dette materiellet i klassen?
Ja:
14 stk
Nei:
2 stk
Vet ikke: 1 stk (vikar)
- 150
Matematikk og Ornamentikk
Kommentar fra lærer:
1 av 2 som svarte nei:
-
«Vi har jobbet mye med emnet på forhånd».
Den andre som svarte nei har ingen kommentar.
Her er det tydelig at så og si alle har et ønske om å fortsette å jobbe med materiellet i
klassen. Da er det viktig at vi fortsetter å legge ut inspirerende og utfordrende materiell
på nettet til for- og etterarbeid.
Oppsummeringa foretatt av:
Inger-Marie Larsen/Nils Kr. Rossing
Vitensenteret i Trondheim
Juli 2009
- 151
Matematikk og Ornamentikk
- 152
Matematikk og Ornamentikk
11
11.1
Referanser
Litteratur
[1]
Nils Kr. Rossing, Den matematiske krydderhylle, Tapir Akademisk Forlag,
Trondheim 2007
[2]
Lorraine Mottershead, Sources of mathematical discovery, Basil Blackwell,
Oxford 1978
[3]
Harold R. Jacobs, Mathemetics - A Human Endeavour,W.H. Freeman and Company 1982, 2. utg.
[4]
Knut Engeland, Treskjæring, Teknologisk forlag 1994
[5]
Issam El-Said og Ayse Parman, Geometric concepts in Islamic art, World of
Islam Festival Publishing Company Ltd. 1976
[6]
Eric Broug, Islamic - Geometric Patterns”, Thames & Hudson 2008
[7]
Chris de Cordova, The Tessellations file - 40 Blackline masters with teacher’s
notes, Tarquin Publication 1995
[8]
June Oliver, Polysymmetrics - the art of making geometric patterns, Tarquin
Publications 1998
[9]
Sheilah Shaw, Kaleidometrics - The art of making beautiful patterns from circles,
Tarquin Publications 1981
[10]
Olav Marin Kvern, Escher sketch: an adventure in the word of tessellations,
Adobe Magazine, 1 - 1999
[11]
Istvan og Magdolna Hargittai, Symmetry – a unifying Concept, Shelter Publications, Inc. 1994
[12]
Dale Seymour, Introduction to Line Designs, Dale Seymour Publications 1992
[13]
Chris McManus, Right hand, Left hand - The Origin of Asymmetry in Brains,
Bodies, Atoms and Cultures”, Phoenix 2002
[14]
Martin Garner, A Quarter-Century of Recreational Mathematics Scientific
American August 1998
[15]
Jinny Beyer, A revolutionary, simple way to create original and traditional
Patchwork Patterns, EPM publications, Inc. 1979
[16]
Beth Gutcheon, The Perfect Patchwork Primer, Penguin Handbooks 1979
- 153
Matematikk og Ornamentikk
[17]
Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W.H. Freeman 1989
[18]
William Gibbs, Mathematical Window Patterns - the art of creating translucent
designs using geometric principles, Tarquin 1999
11.2
Nettreferanser
(1)
Tesseleringer:
a) http://kencole.org/ctp/tessmenu.html
b) http://www.forum.swarthmore.edu/sum95/suzanne/tess.gsp.tutorial.html
c) http://forum.swarthmore.edu/sum95/suzanne/tess.intro.html
d) http://www.wsd1.org/bitsbytes/9798/bboct97/default.htm#STORY3
e) http://www.peda.com/tess/
f) http://www.norsknettskole.no/student04/204veronikaz/prosjekt/index.htm
(2)
Tesselering, salg av artikler:
http://www.tessellations.com/index.html
(3)
Karveskurd:
http://reisenett.no/facts/culture_science/folk_art.html
(4)
Symmetrier i planet:
a) http://forum.swarthmore.edu/sum95/suzanne/symsusan.html
b) http://forum.swarthmore.edu/sum95/suzanne/rex.html
c) http://www2.spsu.edu/math/tile/symm/ident17.htm
d) http://www.geom.umn.edu/apps/kali-jot/about.html
e) http://www.geom.umn.edu/java/Kali/ (denne er meget god)
f) http://www.peda.com/tess/ (denne er meget god)
g) http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html
h) http://www.clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html#p4g
i) http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/wallpaper.html
(5)
Tapetmønster symmetrier:
a) http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/wallpaper.html
b) http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html
c) http://www.math.columbia.edu/~bayer/symmetry/wallpaper/index.html
(6)
Roger Penrose og hans tesseleringer:
a) http://www.coolmath.com/penrose.htm
b) http://galaxy.edu/tsmith/KW/goldenpenrose.html
c) http://turing.mathcs.carleton.edu/penrose/index.html
d) http://www.WorldOfEscher.com/misc/penrose.html
- 154
Matematikk og Ornamentikk
(7)
Escher:
a) http://en.wikipedia.org/wiki/M.C._Escher
b) http://www.mcescher.com/
(8)
Matemania (matemaikkeksperimenter for mellom- og ungdomstrinn):
a) http://www.matemania.no
- 155
Matematikk og Ornamentikk
Appendix A
A.1
Kopiorginaler
Eksempler for studie av ansiktssymmetri
- 156
Matematikk og Ornamentikk
- 157
Matematikk og Ornamentikk
- 158
Matematikk og Ornamentikk
- 159
Matematikk og Ornamentikk
- 160
Matematikk og Ornamentikk
- 161
Matematikk og Ornamentikk
- 162
Matematikk og Ornamentikk
A.2
Eksempler på rotasjonssymmetriske mønster
Hjulkapsler
- 163
Matematikk og Ornamentikk
Hjul og Trondheimsrosa
- 164
Matematikk og Ornamentikk
A.3
Maler for regulære og semiregulære tesseleringer
Maler til de regulære og de semiregulære tesseleringene.
- 165
Matematikk og Ornamentikk
A.4
Semiregulært Jovomønster
Forstørr mønsteret med 200 % over på et A3-ark, da vil det passe akkurat til Jovobrikkene.
- 166
Matematikk og Ornamentikk
Kopieres
på to ark med
forskjellig
farge og
forstørrelse 200 %
- 167
Matematikk og Ornamentikk
A.5
Kopieringsmal til oppgaven om å dele opp et kvadrat
Finn flest mulig forskjellige måter å dele et kvadrat i fire like deler på.
Et eksempel
- 168
Matematikk og Ornamentikk
A.6
Maler til Penrose-tesselering
Vedlegget viser noen maler til Penroses “drage”- og “pil”-formede brikker, samt hans
rombeformede brikker.
- 169
Matematikk og Ornamentikk
A.7
Grunnfigurer flatedekkende mønster
- 170
Matematikk og Ornamentikk
- 171
Matematikk og Ornamentikk
- 172
Matematikk og Ornamentikk
- 173
Matematikk og Ornamentikk
- 174
Matematikk og Ornamentikk
- 175
Matematikk og Ornamentikk
A.8
Eksempler på flatedekkende mønster
Mønstereksempler til flatedekkende mønster.
- 176
Matematikk og Ornamentikk
Kategorisering av mønstereksempel.
1 - sym 2 (p2)
2 - sym 2 (p2)
3 - sym 7 (pmg)
4 - sym 7 (pmg)
5 - sym 11 (p4m)
6 - sym 3 (pm)
7 - sym 1 (p1)
8 -sym 2 (p2)
9 - sym 6 (pmm)
10 - sym 2 (p2)
11 - sym 10 (p4)
12 - sym 6 (pmm)
- 177
Matematikk og Ornamentikk
A.9
Kopieringsmal til islamske mønstre
Denne siden inneholder grunnmønster for utvikling av islamske mønstre basert på
kvadratet.
- 178
Matematikk og Ornamentikk
Denne siden inneholder grunnmønster for utvikling av islamske mønstre basert på
heksaederet.
- 179
Matematikk og Ornamentikk
Denne siden inneholder grunnmønster for utvikling av islamske mønstre basert på
trekanten.
- 180
Matematikk og Ornamentikk
A.10
Mønsterark for å tegne kaleidoskopmønster
- 181
Matematikk og Ornamentikk
Appendix B
B.1
Framstilling av materiell
Framstilling av vinkelspeil
Figuren under viser
hvordan en kan lage
vinkelspeil. De speilende
flatene er av pleksiglassspeil, som lett kan bearbeides ev. borres hull i.
Ulempen er at de lett får
riper.
Listverk (10 x 15 mm)
15 cm
10 cm
Hengsler
- 182
Matematikk og Ornamentikk
Appendix C
C.1
Løsninger på oppgaver
Løsninger på oppgaver i rebusløpet ved
Kunstindustrimuseet
Fant du ornamentene?
Fasitsvar på rebusløp under Matematikk og ornamentikk:
1. A) Kvadrat, trekant, sirkel + halvsirkel
B) Trekant + rektangel
2. A) Speil-symmetri
B) 16
C) 25
3. A) I midten
B) 19
4. A) Speil-symmetri
5. A) Rapport
B) 24
6. A) 4
B) Rotasjons-symmetri
7. A) trekant (likesidet), kvadrat, rektangel, rombe
8. A) Stol, vegg + golv
B) Kvadrat, sirkel, kjegleform
9. A) I nedre kant av teppet
B) 22
10. A) hånden, armen, skulderen, hjelmen, side-skjoldene, brystet + ryggen
B) ca 25 + en midt oppå hjelmen
- 183
Matematikk og Ornamentikk
C.2
Løsning på rotasjonssymmetrier
De stiplede linjene antyder plasséringen av speilene.
1.
2.
3.
4.
Forsøk å finne flere varianter av mønster med utgangspunkt i disse grunnfigurene.
- 184
Matematikk og Ornamentikk
Appendix D
Puslekort
Her er noen puslekort som er i salg ved Vitensenteret i Trondheim.
Science Center
Trondheim
Cut out the 9 pieces
and you have a puzzle
SQUARE
PUZZLE
- 185
Matematikk og Ornamentikk
TRIANGLE
PUZZLE
Science Center
Trondheim
Cut out the 9 pieces
and you have a puzzle
- 186
Matematikk og Ornamentikk
Science Center
Trondheim
Cut out the 7 pieces
and you have a puzzle.
HEXAGONAL
PUZZLE
- 187
8
3
4
1
5
Matematikk og Ornamentikk
9.
6.
7
2
Science Center
Trondheim
Cut out the 9 pieces
and you have a puzzle.
Put the pieces together
so the row sums, the
column sums and the
diagonal sums all are 15.
MAGIC
SQUARE
PUZZLE
- 188
Matematikk og Ornamentikk
- 189
Matematikk og Ornamentikk
- 190
Matematikk og Ornamentikk
- 191
Matematikk og Ornamentikk
- 192
ISBN-978-82-92088-40-1
Mat. & Orn. 3.0.fm, Juli 2010