Transcript Last ned artikkel

Billedkunstneren
8· 97
Knuter sett med en matematikers øyne
Av Arne B. Sletsjøe
Hva i all verden er knuteteori? Skal vi prØve et
matematikersvar: Knuteteori er studiet av
kontinuerlige avbildninger fra sirkelen inn i
rommet, hvor vi identifiserer avbildninger som er
ambient isotope (f). Sagt på en litt mer forståelig
måte, så studerer vi lukkede romkurver som ikke
skjærer seg selv. Eller enda mer folkelig, knuteteori
er læren om knuter.
Sett med matematikerøy ne e r knuteteori et klassifikasjonsproblem.
Hvis vi tenker oss en knute som et tau som er vaset samm en på en eller
annen måte og der de to e ndene er spleiset sammen, så har vi en knute
i mate matisk forstand.
Knuter i system
o
"o
Har vi to knuter kan vi stille oss det (for en matematiker) opp lagte
spørsmålet: Kan vi bringe den ene knuten over i den andre uten å kutte
tauet ell er åpne spleisen? I praksis vil som regel den ene knuten være
ve ldig komplisert og den andre relativt enkel, f.eks. en uknute, som i
denne samme nheng betyr e n løkke ute n noen knute på. Spørsmålet vi
stiller, og so m sjøfolk har vært avhengig av i hundrevis av år, er om
det samm envasede tauet kan løses opp til en uknute. Knuteteori som
matematisk teori prøver å sette dette inn i et system. Det gjøres ved å
tilordne et tall , et polynom ell er et lignende mate matisk uttrykk til
hver knute. La oss for e nkelthets skyld kalle dette uttrykket for knutens ve rdi. For at vi skal ha en god knuteteori må knutens ve rdi være
uforanderlig under operasjoner som vi betrakter som lovlige, dvs. der
vi løser opp knuten uten å bruke noe form for skarp redskap. Samtidig
skal virkelig forskj ellige knuter ha forskjellig verdi. En enkel analyse
vise r at f.eks. å telle antall steder tauene krysser hvera ndre er et dårlig
va lg av ve rdi. Samme knute kan nemlig ha varierende antall kryss
av heng ig av hvilken pos isjon den stude res fra (prøv selv). Vi ska l
komme litt til bake til dette litt sene re.
Historisk forskn i ng
Knuteteo ri er en gammel matematisk disiplin. Allerede i 1833 omtaler
den tyske matematikeren K.F. Gauss begreper i sine studier av elektrodynamikk, begreper vi i dag vill e si e r en del av knuteteorien. Imidl ertid var det først 50 år seine re at tre engelske matemat ikere; Tait,
Ki rkman og Little; ga knuteteorien et innhold ved å sette opp de første
li ster over forskjellige knuter. Deres tegn inger av knuter va r usedvanlig vakre og herre nes sans for det estet iske i tillegg til det matemati ske
va r udi skutabe l. På denne tiden va r imidlertid metode ne nokså primi-
ti ve. Det virkelige framskrittet innen knuteteoretiske metoder skj edde
med folk som J.w. Alexander, K. Reidemeister og H. Seifert på 1930·
tallet. På denne tiden hadde utviklingen innen matemati ske felt som
geometri og topologi (l æren om geometriske størreisers innbyrdes
beliggenhet og sa mmenheng) begynt å skyte fart og knuteteorien kom
inn som en naturlig del av denne utviklinge n. Mot slutten av 1930tallet var det imidlertid andre problemstillinger so m var mer populære, og interessen for knuter falt og forbl e relativt laber i mange år.
Faktisk helt ut på 1980-tallet. Da tok interessen for knuter seg kraftig
opp og en av grunnene var at det bl e gjort oppdagelser i fysikk som
viste seg å ha nære sammenhenger med knuteteori. En annen utvikling som også presset fram et dypere studium av knuter, var nyv inninger innen genforskning. Kloke hoder fant ut at DNA-molekyler, altså
de stoffene som bærer våre arvestoffer, faktisk ser ut som en slags
knuter, og kunn skaper fra knutetearien kan overføres til noe så ann erledes som studiet av arveanlegg. Man kan ve l anta at dette vill e ha
ove rrasket de tre enge lske herrer som satt i si ne studerkamre og tegnet
knuter med sirlig skrift og stø hånd bortimot 100 år tidlige re.
Knute på tråden?
La oss gå tilbake til knuteteoriens grunnleggende problem, ne mlig å
konstruere begreper som gjør oss i stand til å skille forskjellige knuter
fra hverandre og å identifi sere knuter som i sitt vese n er like, men som
i sitt utseende kan virke nokså forskjellige. Tross i store anstrengelser
gjennom mange tiår har man i dag fortsatt ingen fullgod løsning på
probl emet. Det kommer stadige forbedringer av de metoder og begreper som finnes, og mange har trodd, ell er kanskje håpet; at nå har de
funnet løsningen. Men så viser det seg, og det har det faktisk gjort
hver eneste gang; at det finn es kompliserte knuter som i henhold til
de n nye teorien skulle være like av natur, men som fa ktisk ikke er det.
Og så er man like langt. Kanskj e er det nettopp det som gjør teorien så
attraktiv for matematikere?
La oss trekke en parallell til et annet område av matematikken,
nemlig tallteori. Den berømte matematikeren Fermat presenterte på
1600-tallet et tallteoret isk resultat. Matematikere formulerer dette resultatet slik i dagens språkdrakt: «Det finnes ingen heltallige, ikketrivie lle løsninger av likningen XII+yll=Z" når n e r større enn ell er lik
3.» Hvis n=2 vet vi at vi har løsninger, disse ble funn et allerede av
Pyth agoras for flere tusen år siden, og er pensum i grunnskole n (f.eks.
3 2+42=5 2). For n større enn ell er lik 3 skrev Fermat i et brev at han
hadde et bevis for at det ikke finn es løsninger, men at margen dessverre var for liten til å skri ve det ut. Problem et, eller skal vi kanskj e si
lykken, var at Fermat ikke skrev det opp noe annet sted heller, og at
han sann sy nligvis ikke hadde noe ordentlig bevis. Det kan inge n vi te
sikkert i dag. Men slike påstander er perfekte til å erle opp folk med
matematisk legn ing. Og i de mer enn 300 årene som har gått siden
Billedkullstlleren 8 • 97 5
Fermat skrev sine notater i margen har mang en matematiker si ttet og
klødd seg i hodet og forbannet den gamle mester. Problemet ble endelig løst i 1993, men forut for det , er mye matematikk blitt til som et
resultat av dette ene, og på mange måter uvesentlige problemet. Det
som skj er når matematikere intenst prøver å løse et problem er at det
dukker opp mange andre problemstillinger i prosessen. Og f3r man
ikke til det ene, så får man nøye seg med det andre. All den stun d
matematikk er en aksiomatisk vitenskap, dvs. at man starter med et
konstruert system av gru nn setninger, så er det mulig, ja til og med
kon strukti vt, 11 ho lde på på de nn e måten. Man er ikke, som i
naturvitenskapene eller sosialvitenskapene, avhengig av å skulle fo rsøke å forstå den naturen ell er de menneskelige relasjonene som vi
observerer. Matematikken er således i sitt vesen mer skapende enn
beskrivende.
Tegninger
Tilbake til knutene. Den første vanskeligheten vi møter på når vi skal
beskrive og tegne dem er det fakt um at knuter er romlige legemer. Det
er kun en knute, nemlig uknuten, som kan tegnes inn i et plan uten å
ødelegge noe vesentlig struktur. Al le andre knuter vi l når de proj iseres
inn i et plan skjære seg selv, noe de i følge vår defini sjon aven knute
ikke har lov til. Når vi skal tegne en knute (som er det samme som å
projisere knuten inn i et plan) må vi ha et avklart forhold til hva vi gjør
der hvor knuten krysser seg selv. Problemet løses ved at vi rett og slett
markerer hvilken del som gå r over og hvilken del som går under, slik
figuren viser. Når vi har tegnet en knute pli denne mliten kan vi pli en
enkel måte beskrive hva vi kan gjøre med en knute uten at knutens
vesen forandre r seg. Denne måten å tenke på er typisk for matem at ikere. Vi ønsker å definere en verd i for knuten pli en slik måte at knuter
som av vesen er like, har sa mm e verdi. Dette gjør vi ved å dele opp
overgangen mellom to former aven knute so m i vesen er like i si mple
transformasjoner (bety r transformasjoner som ikke kan deles opp ytterlige re). Dernest viser vi at en knutes verdi ikke fora nd rer seg ved de
si mple transformasjonene og så har vi bevist at den gitte verdien er et
utmerket klass ifiseringsverktøy. To knuter som av vesen er like vil pli
denne måten ha samme verdi. Det vi imidlertid ikke har uttalt oss noe
om, er hvorvidt to knuter som av vesen er forskjellige kan ha samme
verdi. Disse to plistandene betyr overhodet ikke det samme. Faktisk er
det sånn med all e kj ente knuteverdier at det finnes vesens- ulike knuter
med samme verd i og ingen av dem kan derfor brukes so m perfekte
klassifikasjonsstørre lser.
Vi skal ikke gå inn på detalj ene i de forskj ellige knuteverdiene, det
forutsetter mer matematikkbakgrunn enn den va nli ge leser antas å ha.
Vi skal heller se pli noen andre sider ved knuteteo ri.
Surrea lisme
La oss studere knutene, ikke ved å fokusere på knutene i seg selv, men
derimot ved å se på den delen av rommet som ikke er knute. Dette
trenger en litt nærm ere fork laring. Vi tenker oss at vi først støper en
knute inn i en voksklump. Deretter, pli en ell er annen mlite (matematikere er veldig li te opptatt av slike praktiske detaljer) fjerner vi selve
knuten og vi sitter igjen med en voksklump med et tynt , tunnelformet
hulrom . Dette rommet er et typisk topologisk objekt og det fi nnes en
mengde matematisk teori for li studere det. Vårt spørsmål blir det samme
6
Billedkunstneren B • 97
som tidligere, om vi kan finne noen matematisk begrep eller verdier
knyttet til kompl ementet til en knute, som er slik at det skiller me ll om
vesensforskjellige knuter, og som er like på knuter som er av samme
natur. Det matematisk sett interessante med denne angrepsmåten er at
vi studerer et objekt (knuten), ikke ved å studere objek tet direkte, men
ved å studere det som er igjen når vi fje rner objektet. Dette er en
favor itteknikk fo r mange matematikere.
En annen metode som har vært benyttet for å få kunnskap om knutenes vese n er å se på knutene, ikke som tynne snorer, men som brede
bånd. Disse båndene slynger seg rundt og rundt, samtidig som de vrir
seg rundt seg selv, o mtrent som en meterlang bå ndspaghetti med
samm enlimte ende r. Nå kan det opptre underlige fenomener. Noe n
blind har kun en side. Vi kaller slike blind for M6bius-bll nd , oppkalt
etler en matematiker med det ve lklingende navnet M6bius. M6biusbånd kan vi lage hjemme på kjøkkenbenken. Ta en lang papirstrimmel,
vri den ene enden en halv gang rundt og lim sammen endene. Du har
nå laget et M6biusbånd, en flate med kun en side! Hvis du plasserer
blyanten på ett sted og trekker en strek rundt hele båndet, vil du etter
en runde passere p~ undersiden av utgangspunktet. Fortsetter du en
runde til kommer du ti lbake på den siden der du startet. Virkelig surrealistisk blir dette når man forsøker å rull e båndet på langs for å lage
et langt, rundt rør. Dette lar seg ikke gjøre i praksis med et M6biusblind.
Praktiske vanskeligheter stopper imidlertid ikke en matematiker. Vi
kan nemlig alltid tenke oss at vi får det til. Og konsekvense n av at vi
skulle ha flltt det til ? Da har vi laget en naske (kalt Kl eins naske) med
den høyst spes iell e egenskapen al den bare har en side. Innsiden og
utsiden er ett. Slike fl asker er ikke noe å helle vann eller et annet fl ytende medium på. Ta til slutt M6biusbllndet og klipp det i to biter langs
midtlinj a og prøv li fork lare resultatet!
Nok en gang tilbake til knutene. Vi kan ikke snakke om knuter uten
ogs~ å snakke om lenker. Mens en knute består aven enkelt lu kket
kurve vil en lenke være satt sammen av flere lukkede kurver. Det enkleste eksemplet på en lenke er to uknuter som er hektet sammen, men
vi kan lage lenker som er mye mer kompliserte.
Norrønt
La meg til slutt nevne et noe kuriøst eksempel pli en knute. Fra norrøn
mytologi kjen ner vi til Yggdrasil, livets hellige tre. Yggdrasil er en
kjempestor ev iggrønn ask, hvis topp strekker seg inn i hir:nm elen og
hvis gre ner brer seg ut over all verde n. Dette treet har i en del myto logisk litteratur fått et utseende som en svært kompleks, nærmest frakt al
knute. Fraktal betyr i denne sammenheng at knuten har et mø nster
som gjentar seg i stad ig fl ere og flere kopier og som tilsvarende blir
mindre og mindre i utstrekning. Yggd rasil har en sli k form. Treets
stamme deler seg i to grener som igjen deler seg i to gre ner, som igjen
deler seg i to grener, osv. De to grenene filtrer seg inn i hverandre på
nøyakti g sa mme mlite hele tiden og vi får en slags uende lig knute hvor
vi ikke kan se enden. Men når vi forstørrer opp et utsnitt av treet flir vi
nøya ktig det samme bildet som før vi forstørret. Denn e form fo r
uendelighetsknute er ikke en knute i vanlig forstand, men hører likevel, på grunn av sin spes ielle form , hj emme i denne artikkelen.
Arne B. Sletsjøe (f. 1960) er dr. scient. og førsteamanuensis ved matematisk
institutt, Universitetet i Oslo. Han arbeider innen fagfettet ikke·kommutativ
algebraisk geometri.