Transcript Tallsystemer FRA A TIL Å

Tallsystemer
FRA A TIL Å
VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE
EMNER
1
2
3
4
5
6
Innledning til tallsystemer
Grunnleggende om tallsystemer
2.1 Tegn og symboler
2.2 Nullen er viktig
Tallsystemer som bruker posisjonsystemet
3.1 Titallsystemet
3.2 Totallsystemet
3.3 Femtallsystemet
Tallsystemer som ikke bruker posisjonsystemet
4.1 Romertall
Andre tallsystemer som er i daglig bruk
5.1 Tallsystemer i forbindelse med tid
5.2 Tallsystemer i forbindelse med måling
Tallsystemer fra historie
6.1 Det egyptiske tallsystemet
6.2 Det babylonske tallsystemet
6.3 Mayaindianernes tallsystem
Side
T-2
T-2
T-3
T-5
T-6
T-7
T-8
T - 11
T - 14
T - 15
T - 19
T - 19
T - 23
T - 25
T - 25
T - 27
T - 30
Matematikk FRA A TIL Å
Innledning
til
tallsyste
mer
1
INNLEDNING TIL TALLSYSTEMER
Vi har vent oss til å regne med et tallsystem som vi kaller for titallsystemet.
Det betyr at alle de tallene vi kan tenke oss er skrevet med med ti ulike
tallsymboler, nemlig tallene fra 0 til 9. De fleste tror at dette er det tallsystemet
vi kan, og at alle andre tallsystemer er vanskelig å lære seg. Der tar de aller
fleste feil.
Til daglig bruker vi mange ulike tallsystemer. De fleste av oss klarer å bruke
opp til 4-5 ulike tallsystemer samtidig – uten å blunke. Faktisk er det slik at det
til tider kan være et spørsmål om titallsystemet er det tallsystemet vi behersker
best. Kanskje er det slik at vi er bedre på andre tallsystemer!
Når vi snakker om tid, snakker vi nemlig både om 7-tallsystemet (1 uke = 7
dager), 12-tallsystemet (1 år = 12 måneder) og 60-tallsystemet (1 time = 60
minutter). Og hvor ofte bruker vi ikke klokka og kalenderen?
Tallsystemer handler om ulike måter å organisere tall og mengder på. Vi
trenger det til målinger og sammenligninger, utregninger og beregninger. Ulike
kulturer har utviklet ulike systemer. De eldste tallsystemene vi kjenner var
svært enkle, og veldig praktiske. Etter hvert som samfunnet utviklet seg og ble
mer og mer sammensatt og komplisert, ble det også behov for mer avanserte
tallsystemer og måter å regne på.
Dette kapitlet handler om tallsystemer fra flere verdenshjørner og fra mange
tidsepoker. Å kjenne til noen flere tallsystemer enn de vi bruker til daglig, vil
være med på å utvikle en større tallforståelse, samtidig som det jo også bidrar
til økt kunnskap, både om tallenes historie og nødvendigheten av å bruke tall
og symboler som uttrykk for enheter og mengder.
Grunnleggende
om
tallsyste
mer
2
GRUNNLEGGENDE OM TALLSYSTEMER
I dette kapitlet vil du støte på de vanlige tallsymbolene som vi er vant til å
bruke, og tegn som vi trenger en forklaring på for å forstå. Jeg bruker med vilje
to ord om noe som for mange kanskje betyr det samme: Tegn og symboler. Det
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 2
Matematikk FRA A TIL Å
er derfor grunn til å forklare hvorfor det er viktig å skille mellom disse to
ordene.
2.1
Tegn og
symboler
Tegn og symboler
Talltegn er i utgangspunktet bilder som skal fortelle deg hva de betyr. Til å
begynne med er det lett å forestille seg at folk telte ved hjelp av fingre. 1 finger
= 1 enhet.
Tenk deg at du skal vise en annen at du trenger 7 enheter av et eller annet, la
oss si 7 piler, fordi du skal ut på jakt. Da peker du på en pil og viser 7 fingre i
været, og den andre vil antagelig kunne forstå dette.
Men det blir jo etter hvert behov for å kommunisere tall og mengder skriftlig.
Vel, kanskje ikke skriftlig slik vi forstår det, papir og blyant var ikke funnet
opp ennå. Men kanskje å kunne fortelle til en som kommer senere at du har tatt
med deg 7 piler. Da trenger du å legge igjen en beskjed. Det kan jo for
eksempel være 7 pinner i en rekke, der pinnene i grunnen både kan bety 7
fingre og 7 piler.
Etter hvert utvikler dette seg videre. Tenk deg at du har tatt med deg 18 piler.
Det blir mange pinner, og man kan lett gå i surr. Det er her tegnene kommer
inn. Hvis en pinne skal bety 1 finger, så har vi jo 5 fingre på hver hånd. Så hvis
du lar en stein bety en hand (altså fem fingre), så trenger du bare å legge 3 stein
og 3 pinner. Dette vil da bety 18 pinner – altså 18 piler.
Hvis vi utvikler dette videre, kan vi tenke oss at det vil bli behov for å vise
adskillig høyere mengder. Når du kommer opp i 5-6 steiner, kan dette også bli
litt rotete. Så la oss innføre enda et tegn – et pilkogger der det er plass til 20
piler. Og vi kan la en tykk bit av en rot bety et kogger.
For å vise at du har tatt med deg 34 piler legger du derfor en rot (20 piler), 2
steiner (5 + 5 piler) og 4 pinner.
Og slik kan dette systemet med tegn for mengder utvikle seg videre.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 3
Matematikk FRA A TIL Å
Etter hvert som behovene for større tall og mengder øker, dukker det opp et
behov for å skrive. Det kan jo for eksempel være begrenset hva du kan finne
rundt deg av steiner og pinner. Så la oss utvikle tegnene våre videre, til bilder.
En pinne kan være en strek, en stein kan bli en runding og et pilkogger kan bli
en avlang figur. For eksempel slik:
Pinne
Stein
Pilkogger
Alle disse tre tegnene er illustrasjoner. De forsøker å være bilder eller tegn som
kan forklare betydningen.
For å skrive 34 med disse symbolene kan vi tenke oss noe slikt:
Fire pinner,
2 steiner og
1 pilkogger
= 34 piler.
Og her har vi begynnelsen til et helt nytt – og hittil ukjent – tallsystem, basert
på talltegn.
Tallsymboler er noe annet. Her er det tallene som er viktig, ikke tingene. 4
er et slikt tallsymbol. Det forsøker ikke en gang å ligne på noe. Tvert imot – det
er viktig at symbolet blir så tydelig som mulig – så ulikt alt annet – et symbol
man ikke kan misforstå.
Hvis du ser på de 10 tallsymbolene vi bruker, vil du se at de hver for seg er helt
spesielle (Kanskje med unntak av 6 og 9). Men samtidig blir det litt
vanskeligere også. Alle må jo lære seg hva disse symbolene betyr. Hvis ikke
mister de meningen sin.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 4
Matematikk FRA A TIL Å
Ingen vil forstå dette tallet:




Fordi det er skrevet med symboler som vi ikke er enige om, og derfor helt
meningsløse for andre enn de som har lært hva akkurat disse symbolene betyr.
Derfor er for eksempel romertall vanskelig å forstå for noen. De vet rett og slett
ikke hva tegnene betyr, og kjenner ikke reglene for hvordan de skal brukes.
2.2
Nullen er viktig
De eldste tallsystemene trengte ikke noe tegn for null. Ser du på det
tallsystemet vi lagde med streker, rundinger og rektangler, vil du se at null er
unødvendig. Du kan godt skrive tegn for, tja – la oss si 25, uten å bruke null. I
vårt tallsystem ville det kunne blitt
Når det ikke står noen enere (streker) der, trenger vi ikke noe tegn for å vise
det.
Både babylonerne og mayaene brukte et tegn for null, men hos disse var ikke
dette et tall. Det var et tegn for ingenting.
Først da en europeisk matematiker på 1600-tallet fant opp det binære
tallsystemet (totallsystemet) dukket nullen opp som et tall. Og da
posisjonsystemet ble oppfunnet og tatt i bruk, fikk nullen en viktig betydning.
Faktisk gjør nullen og posisjonsystemet at vi kan skrive alle tall ved hjelp av
ganske få symboler.
Men nullen er altså viktig. Forsøk å skrive 100 uten å bruke null! Og hva blir
105 uten nullen?
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 5
Matematikk FRA A TIL Å
Tallsyste
mer som
bruker
posisjons
ystemet
3
TALLSYSTEMER SOM BRUKER
POSISJONSYSTEMET
Posisjonsystemet innebærer at tallenes plassering spiller en betydelig rolle når
vi skal forstå tallene. Et eksempel vil vise dette:
Bruker vi sifrene 4, 5 og 6 kan vi skrive mange tall. Tar vi for eksempel 3sifrede tall kan vi skrive hele 6 ulike tall med disse tre sifrene, nemlig 456, 465,
546, 564, 645 og 654. Velger vi ut sifret 4, vil du se at det har ulik verdi etter
hvilken plass (posisjon) det har. I 456 betyr 4-tallet 400, mens det betyr 40 i
tallet 645.
Posisjonssystemet er altså bygget opp etter hvilken plass sifrene har, og sifrene
skifter verdi etter hvilken plass det står på. Derfor kalles posisjonsystemet også
plassverdisystemet.
Vi snakker om enerplass, tierplass, hundrerplass o.s.v.
Dette er forklart i eget kapittel om posisjonsystemet.
At vi kaller posisjonene for enerplassen, tierplassen og hundrerplassen er
knyttet til titallsystemet. Når det gjelder andre tallsymbolsystemer vil
posisjonene få andre navn. Dette blir forklart under totallsystemet og
åttetallsystemet.
Kapitlet om posisjonsystemet tar utgangspunkt i det tallsystemet vi bruker –
titallsystemet. Men for bedre å forstå hvordan posisjonsystemet tilpasses
tallsystemene, skal vi her gå litt dypere inn i akkurat dette.
Den første posisjonen er alltid enerplassen.
Titallsystemet bruker 10 tallsymboler. Siden det ene av disse symbolene er 0
(null), har vi behov for en ny posisjon når vi skal skrive tallet 10. Da dukker
tierplassen opp. Samtidig er det nettopp derfor plassen heter tierplass. Vi
skriver et tall som betyr 10.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 6
Matematikk FRA A TIL Å
I totallsystemet mangler vi et symbol for 2. Derfor må vi bruke en ny posisjon
for å skrive tallet 2 ved hjelp av sifrene 1 og 0. Da er det naturlig at den nye
posisjonen kalles toerplassen.
Tenk deg at vi skal skrive tallet 5 i et femtallsystem. Femtallsystemet har bare
5 symboler, nemlig 0, 1, 2, 3 og 4. Så når vi skal skrive 5, trenger vi en ny
posisjon. Fordi vi skal skrive tallet 5, kaller vi posisjonen femmerplassen.
Men hva kalles så den neste plassen? Og den neste?
I titallsystemet kalles den hundrerplassen. Vi finner navnet på plassen med å
gange den sist kjente plassen (tierplassen) med antall symboler i tallsystemet. I
titallsystemet er det 10 symboler. 10  10 = 100 - altså: hundrerplassen. Neste
plass blir 10  100 = 1000 - altså: tusenplassen
I totallsystemet er den sist kjente plassen toerplassen, og vi har bare 2
symboler. 2  2 = 4 - altså: firerplassen. Neste posisjon blir 2  4 = 8 - altså:
åtterplassen.
For å finne ut posisjonene i andre tallsystemet bruker vi samme
fremgangsmåte:
Tallsystem
1
1
1
1
1
1
1
10
2
5
8
12 *)
20 *)
Posisjoner
3
10  10 100
2 2
4
5 5
25
8 8
64
12  12 144
20  20 400
2
10  1 10
2 1
2
5 1
5
8 1
8
12  1 12
20  1 20
10  100
2 4
5  25
8  64
12  144
20  400
4
1000
8
125
512
1728
8000
*) Skulle vi bruke et tolvtall- eller et tjuetallsystem, måtte vi innføre flere symboler.
3.1
Titallsystemet
Titallsystemet
Titallsystemet er bygget på 10 tallsymboler. De ti symbolene er
0
1
2
3
4
5
6
7
8
og
9
Når vi har behov for å skrive tall som er større enn 9, bruker vi 2 symboler,
nemlig 1 og 0.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 7
Matematikk FRA A TIL Å
Titallsystemet er nøye forklart i eget kapittel.
Vi er vant til å bruke titallsystemet, og barn blir ofte forvirret når vi snakker om
at 10 skrives med to siffer. Det er en tenkemåte som er uvant for dem.
For å forstå hvordan posisjonsystemet virker krever en viss utviklet evne til å
tenke teoretisk, selv om man rent praktisk faktisk bruker andre tallsystemer i
det daglige. Et eksempel på dette er totallsystemet, som vi bruker daglig og
som de fleste voksne og barn behersker ganske godt.
Totallsystemet
3.2
Totallsystemet
Totallsystemet er bygget på at vi bare har to tallsymboler, nemlig 0 og 1.
Uten å vite det bruker vi dette tallsystemet daglig, for eksempel når vi skal
finne skoene våre om morgenen. Til å sortere et par sko ut av en haug med sko
i gangen når du skal gå hjemmefra, trenger du nemlig bare de to tallverdiene 0
og 1:
Til å begynne med står du der med ingen sko, altså 0. Så finner du den ene
skoen, altså: 1. Men hva skjer når du har funnet sko nummer to? Da snakker du
ikke lenger om 2 sko, men om ett par.
Vel, i grunnen er ikke dette et fullstendig totallsystem, eksemplet med skoene
gir et sterkt forenklet bilde av hva totallsystemet handler om. Men bildet gir et
nyttig innblikk i hvordan slike tallsystemer er å forstå.
Så la oss ta en liten titt på det egentlige totallsystemet.
Vi har altså bare disse to sifrene: 0 og 1. Dermed vil vi få et stort problem
allerede når vi skal skrive verdien 2 med totallsystemet, for symbolet 2 finnes
jo ikke.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 8
Matematikk FRA A TIL Å
Det er her plassverdisystemet kommer inn. I titallsystemet oppstår denne
situasjonen når vi skal skrive tallet som kommer etter 9. Da oppretter vi en ny
posisjon og skriver 0 på enerplass og 1 på den nye plassen, som vi kaller
tierplassen.
I totallsystemet gjør vi det på samme måte, men altså allerede når vi kommer
til tallet som er større enn 1. Vi oppretter en toerplass:
I
titallsystemet
0
1
2
I totallsystemet
Toerplass Enereplass
0
1
1
0
Og nå har vi mulighet til å skrive tall til inn i dette systemet:
I
titallsystemet
0
1
2
3
I totallsystemet
Toerplass Enereplass
0
1
1
0
1
1
Men allerede når vi kommer til 4, oppstår et nytt problem. Begge posisjonene
er fylt opp med 1-tall, og det er jo det største tallet vi har i totallsystemet.
Altså må vi lage en ny posisjon, Firerplassen:
I
titallsystemet
0
1
2
3
4
Firerplass
1
I totallsystemet
Toerplass Enereplass
0
1
1
0
1
1
0
0
I totallsystemet skriver vi altså verdien 4 med sifrene 100. Det betyr 1 på
firerplassen, 0 på toerplassen og 0 på enerplassen.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 9
Matematikk FRA A TIL Å
Og nå kan vi fortsette en liten stund med å legge inn flere tall i denne tabellen:
I
titallsystemet
0
1
2
3
4
5
6
7
8
I totallsystemet
Firerplass Toerplass Enereplass
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Men når vi kommer til 8, oppstår problemet igjen, og det er behov for nok en
posisjon, åtterplassen.
Totallsystemet ble oppfunnetrundt 1600-tallet, men det ble ikke særlig mye
brukt. Ikke før man på 1940-tallet begynte å utvikle datamaskiner. Fortsatt
brukes totallsystemet (det binære tallsystemet) i dataprogrammene.
Datamaskiner kan bare lese 1 og 0. Alle prosesser som skjer inne i en
datamaskin bruker det binære systemet. Det er derfor man stadig støter på
tallkombinasjoner som 32, 64, 128 og 256 i datasammenheng. Slike tall finner
man igjen i posisjonsystemet i totallsystemet. Posisjonsystemet vil nemlig ha
de samme tallene:
Posisjon
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Navn
Enerplassen
Toerplassen
Firerplassen
Åtterplassen
Sekstendeplassen
Trettitoerplassen
Sekstifirerplassen
Hundreogtjueåtterplassen
Tohundreogfemtisekserplassen
Femhundreogtolverplassen
Tusenogtjuefirerplassen
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 10
Matematikk FRA A TIL Å
3.3
Femtallsystemet
Femtallsystemet
Femtallsystemet bygger på fem tallsymboler, nemlig o, 1, 2, 3 og 4. For å
forstå dette tallsystemet, kan det hjelpe å tenke seg at vi bare kan telle med én
hånd.
Tenker man praktisk vil det kunne si at i stedet for tallet 5, som jo ikke finnes i
femtallsystemet, bruker vi en hånd i stedet. Altså blir tellingen:
0, 1, 2, 3, 4, 1h. Seks blir da 1h og 1.
Bruker vi posisjonsystemet trenger vi to posisjoner når vi kommer til tallet 5:
I
titallsystemet
0
1
2
3
4
5
I femtallsystemet
Femmerplass Enereplass
0
1
2
3
4
1
0
Og så kan vi telle oss videre:
I
titallsystemet
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I femtallsystemet
Femmerplass Enereplass
0
1
2
3
4
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
?
?
Men hva gjør vi når vi kommer til 10?
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 11
Matematikk FRA A TIL Å
Jo – 10 er jo 2 femmere…. Altså:
I
titallsystemet
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I femtallsystemet
Femmerplass Enereplass
0
1
2
3
4
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
2
0
Her ser vi at 10 er det samme som 2 femmere og 0 enere. 11 er 2 femmere og 1
ener, ikke sant? Og 15 er 3 femmere og 0 enere…
I
titallsystemet
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
I femtallsystemet
Femmerplass Enereplass
0
1
2
3
4
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
3
0
3
1
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 12
Matematikk FRA A TIL Å
Men hva når vi kommer til24, som er 4 femmere og 4 enere, og trenger det
neste tallet?
Og så kan vi telle oss videre:
I
titallsystemet
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
I femtallsystemet
Femmerplass Enereplass
4
1
4
2
4
3
4
4
?
?
Jo, da har vi altså det høyeste tallet både på enerplassen og femmerplassen.
Da må vi ha en plass til, nemlig 25-plassen. Og så kan vi fortsette:
I
titallsystemet
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
I femtallsystemet
Tjuefemmerplassen Femmerplass
4
4
4
4
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
Enereplass
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
Her ser vi at 30 i titallsystemet skrives som 100 i femtallsystemet. Det betyr 1
tjuefemmer 1 femmer og 0 enere.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 13
Matematikk FRA A TIL Å
Neste gang vi trenger en ny posisjon blir ved 25  5 = 125. Det vil si at når vi
trenger å skrive det tallet som i titallsystemet skrives 125, innfører vi i
femtallsystemet den fjerde posisjonen.
Da må vi ha en plass til, nemlig 25-plassen. Og så kan vi fortsette:
I
titallsyst.
121
122
123
124
125
126
127
I femtallsystemet
Hundreogtjuefemmere Tjuefemmere
4
4
4
4
1
0
1
0
1
0
Femmere Enere
4
1
4
2
4
3
4
4
0
0
0
1
0
2
Og så fortsetter vi å telle videre på enerplassen.
Vi innfører altså en ny kolonne, posisjon, når alle kjente posisjoner er fylt opp
til femtallsystemets høyeste tallsymbol, nemlig 4.
På samme måte kan man utvikle andre tallsystemer, for eksempel
tretallsystemet, åttetallsystemet o.s.v. Lager man et tallsystem med flere enn ti
symboler, må man i tillegg skape nye tallsymboler. Lager man for eksempel et
tolvtallsystem, mangler man jo symboler for 10 og 11.
Tallsystemer
som ikke
bruker
posisjonsystemet
4
TALLSYSTEMER SOM BRUKER ET
ANNET POSISJONSYSTEMET
Vi De fleste av de eldste tallsystemene kjente ikke til noe posisjonssystem. Det
systemet vi kjenner, og innføring av null som tall dukket som sagt opp i Europa
i middelalderen, altså for noen få hundre år siden. Før vårt posisjonssystem ble
utviklet var allerede et annet i bruk. Det var mindre funksjonelt, manglet
symbol for null og ble altså etter hvert erstattet av det systemet vi kjenner i dag.
Jeg tenker på romertallene.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 14
Matematikk FRA A TIL Å
4.1
Romertall
Romertall
Romertall stammer fra det gamle romerriket, som gikk under noen hundre år
etter Kristus. Det var et tallsystem bygget opp på symboler, nemlig bokstaver,
og som til en viss grad var basert på en blanding av femtall og titallsystem, og
som bruker en form for posisjoner, om enn i en noe annen form enn det
systemet vi kjenner. Jeg skal komme tilbake til denne formen for
posisjonsystem. La oss først se på hvilke symboler dette tallsystemet er bygget
opp med:
Våre tall
1
5
10
50
Romertall
I
V
X
L
Våre tall
100
500
1000
Romertall
C
D
M
Dette er de tallsymbolene de brukte, og de kunne skrive alle tall med dette
systemet. Nå skal det sies at det jo begrenser seg oppover, siden den høyeste
enheten er M, altså 1000.
For å skrive 2, brukte de ganske enkelt to enere, altså II. 3 ble III.
Men så hadde de en regel som innebar at de aldri skrev 4 enere. For å skrive 4,
brukte de IV, altså en ener og en femmer. Når eneren kom foran femmeren,
betydde det 1 mindre enn 5, altså 4.
For å skrive 6, 7 og 8, brukte de femmeren og det nødvendige antall enere. Det
ble altså VI, VII og VIII. Når de skulle skrive 9 skrev de 1 mindre enn 10, med
andre ord IX.
Her følger en oversikt over alle tallene fra 1 til 20.
1
2
3
4
5
=
=
=
=
=
I
II
III
IV
V
6
7
8
9
10
= VI
= VII
= VII
= IX
= X
11
12
13
14
15
= XI
= XII
= XIII
= XIV
= XV
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
16
17
18
19
20
=
=
=
=
=
XVI
XVII
XVII
XIX
XX
T- 15
Matematikk FRA A TIL Å
Symbolenes innbyrdes plassering har stor betydning. Sammenlign tallene 11 og
14. De skrives XI og XIV. Det er I-en som er interessant. Plassert etter et annet
tegn betyr den 1 mer (XI = 10 + 1). Mens den betyr en mindre når den står
foran et annet tegn (IV = 5 – 1). Men når den kommer mellom to tegn hører
den alltid til det siste tegnet. Derfor skrives 14 = XIV, altså 10 + 4). Det samme
forholdet gjør seg gjeldende mellom X og C, altså 10 og 100: XC = 90 mens
CX = 110. Regelen er at når et tegn med mindre verdi står foran et annet tegn
betyr det 1 mindre. Står det minste tegnet etter betyr det 1 mer.
I tillegg er det slik at de største tallsymbolene alltid kommer først. Skal du
skrive 22 begynner du med de to tierne: 22 = XXII.
Dette betyr at symbolenes plassering er viktig, og det er derfor
romertallsystemet er en form for posisjonssystem.
Noen talleksempler viser begge disse reglene:
47
69
666
1998
2001
2012
=
=
=
=
=
=
XLVII
LXIX
DCLXVI
MCMXCVIII
MMI
MMXII
betyr
betyr
betyr
betyr
betyr
betyr
XL + VII
LX + IX
DC + LX + VI
MCM + XC + VIII
MM + I
MM + XII
=
=
=
=
=
=
40 + 7
60 + 9
600 + 60 + 6
1900 + 90 + 8
2000 + 1
2000 + 12
Du ser at MCM, som betyr 1900 er satt sammen av M og CM (1000 og 900),
C-en hører altså til den siste M-en, akkurat som I-en i tallet 14 hører til V og
ikke X.
Skal vi regne med romertall må vi holde tunga rett i munnen. Enkle plusstykker
går vel greit:
II + VI =
Vi ser at dette betyr 2 + 6 = Svaret blir 8, altså VIII.
Med litt større tall, vil det være klokt å summere romertall ved hjelp av flere
trinn:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 16
Matematikk FRA A TIL Å
Før vi ser på noen eksempler er det lurt å repetere de tre reglene:
1. Aldri mer enn 3 like tegn etter hverandre dersom det kan skrives på en
annen måte.
2. Et mindre tall plassert foran et større tall betyr det største tallet minus den
minste.
3. Et tall skrives med den største verdien først.
Så la oss se på et plusstykke:
Eksempel 1: Trinn a
XIV + XXVII =
Vi begynner med å dele opp tallene, slik at vi ser hvilke tegn som hører
sammen
Eksempel 1: Trinn b
Det første tallet:
XIV
= X + IV
Det andre tallet
XXVII
= XX + VII
Så legger vi sammen de to gruppene, men vi må huske på hva kombinasjonene
betyr:
Eksempel 1: Trinn c
X-gruppene: X + XX
= XXX
IV-gruppene: IV + VII
= IVVII
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 17
Matematikk FRA A TIL Å
Nå er det klokt å tenke på verdiene:
X-gruppa
XXX
betyr 30
Y-gruppa
IV VII
betyr 4 + 7 =
11
Eksempel 1: Trinn d
X-gruppen + IV-gruppen:
XXX + IVVII
= XXX + XI
Her ser vi at vi får 4 X-er etter hverandre.
Eksempel 1: Trinn e
XXXIVVII
=
XXXXI
Så må vi se på reglene. Her trenger vi regel 1. XXXX skal bety 40. Men 40 kan
vi skrive som 50 – 10, altså gjør vi det.
Eksempel 1: Trinn e
XXXXIII
=
XLI
Vi ser at svaret blir XLI, altså 41. Vi kan jo kontrollere om det stemmer:
XIV + XXVII = 14 + 27 = 41
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 18
Matematikk FRA A TIL Å
Med litt trening trenger vi ikke denne detaljerte fremgangsmåten. Likevel kan
vi gjennom dette eksemplet ane at det er lett å gå seg vill, selv om det er få
regler (eller kanskje nettopp derfor?).
5
ANDRE TALLSYSTEMER SOM ER I
DAGLIG BRUK
Det er flere andre tallsystemer som er i daglig bruk, også hos oss som vanligvis
bruker titallsystemet. Mange tallsystemer henger igjen fra gamle dager, da vi
regnet med lengdemål som alen, mengder som favn, snes og tylft. Vi snakker
fortsatt om en favn med ved, selv om dette i våre dager delvis erstattes med
hektoliter og kilo. Favner er også mye brukt som mål på dybde til sjøs. I
byggebransjen er det vanlig å oppgi mål i tommer.
Andre
tallsystem
som er i
daglig
bruk
Slike måleenheter skal vi komme tilbake til. Først skal vi se på tallsystemer
som vi alle sammen bruker daglig, flere ganger på dagen. Jeg snakker om
enheter for tid. Både når det gjelder klokke og kalender bruker vi enheter som
er hentet fra andre tallsystemer.
5.1
Tallsystemer forbindelse med tid
60-tallsystemet
For å lage et slags system i dette, begynner jeg med de minste enhetene først og
går videre til større og større enheter.
De minste enhetene vi bruker om tid er sekunder. Det er 60 sekunder i ett
minutt. Her bruker vi altså 60-tallsystemet. Tabellen nedenfor viser hvordan vi
veksler over fra sekunder til minutter:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 19
Sekstitallsystemet
Matematikk FRA A TIL Å
Minutt
1
1
1
Sekund
56
57
58
59
0
1
2
Vi er vant til å gå over til minutter når vi kommer over 59 sekunder. Det er
fordi 60 sekunder = 1 minutt. Og når vi har innført minutter, vet vi at det går 60
minutter på hver time. Altså bruker vi fortsatt 60-tallsystemet.
Time
1
1
1
Tjuefiretallsystemet
Minutt
59
59
59
59
0
0
0
Sekund
56
57
58
59
0
1
2
24-tallsystemet
Men så gjør vi noe pussig. Vi forlater 60-tallsystemet. Når vi har talt oss opp til
23 timer 59 minutter og 59 sekunder, bruker vi dager eller døgn. Det er nemlig
24 timer i et døgn. Altså går vi over fra 60-tallsystemet til 24-tallsystemet.
Døgn
1
1
1
Time
23
23
23
23
0
0
0
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
Minutt
59
59
59
59
0
0
0
Sekund
56
57
58
59
0
1
2
T- 20
Matematikk FRA A TIL Å
7-tallsystemet
Pussighetene stopper ikke der. Fra nå av bruker vi et nytt tallsystem for hver
nye tidsenhet vi bruker. Vi regner jo dager i uker, ikke sant? Da går vi over til
7-tallsystemet:
Uke
1
1
1
Døgn
6
6
6
6
0
0
0
Time
23
23
23
23
0
0
0
Minutt
59
59
59
59
0
0
0
sjutallsystemet
Sekund
56
57
58
59
0
1
2
4-tallsystemet
Deretter blir det hele mindre oversiktelig. Den neste tidsenheten vår er jo
måneder. Men det er jo ikke noe fast antall uker i en måned. Ikke er det noe
fast antall dager i en måned heller.
Firetallsystemet
Vel, når vi skal regne med slike tidsenheter, er det vanlig å regne med 4 uker i
en måned. Bankene gjør for eksempel det. Det betyr at vi bruker 4-tallsystemet.
Måned
1
1
1
Uke
3
3
3
3
0
0
0
Døgn
6
6
6
6
0
0
0
Time
23
23
23
23
0
0
0
Minutt
59
59
59
59
0
0
0
Sekund
56
57
58
59
0
1
2
12-tallsystemet
Når vi skal videre i bruken av tidsenheter, snakker vi om år. Og siden det er 12
måneder i et år, bruker vi altså 12-tallsystemet.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 21
Tolvtallsystemet
Matematikk FRA A TIL Å
År
1
1
1
Måned
11
11
11
11
0
0
0
Uke
3
3
3
3
0
0
0
Døgn
6
6
6
6
0
0
0
Time
23
23
23
23
0
0
0
Minutt
59
59
59
59
0
0
0
Sekund
56
57
58
59
0
1
2
Når det gjelder de største enhetene, dager, uker, måneder og år, bruker vi ofte
en mer nøyaktig regnemåte. Vi regner ofte direkte fra dager til år. Det er 365
dager i året, og ofte bruker vi dette for å få et mer nøyaktig regnestykke.
År
1
1
1
Døgn
364
364
364
364
0
0
0
Time
23
23
23
23
0
0
0
Minutt
59
59
59
59
0
0
0
Sekund
56
57
58
59
0
1
2
Men helt nøyaktig blir ikke disse tidsangivelsene. I tidsberegninger over et
døgn vet vi jo at månedene har ulikt antall dager, og i tillegg har årene også litt
ulikt antall dager. Hvert fjerde år er jo skuddår, som har 366 dager. Når vi
regner med dager, måneder og år bruker vi derfor å regne med 30 dager i
måneden, eller 360 dager i året.
Hvordan man regner med tidsenhetene er nærmere omtalt i et
eget kapittel om tid.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 22
Matematikk FRA A TIL Å
Lengde- og breddegrader
Når det gjelder vanlig kartinndeling brukes også 60-tallsystemet. Jorda er delt
inn i et nett på 360 lengdegrader og 360 breddegradergrader. Breddegrader er
de vannrette linjene som er parallelle med ekvator. Ekvator har posisjonen 00.
Lengdegrader går rundt jorda gjennom syd- og nordpolen. Den lengdegraden
som har posisjonen 00 går gjennom en liten by utenfor London som heter
Greenwich. Derfor er den lengdegraden ofte kalt Greenwich-meridianen. Hver
grad er igjen delt inn i 60 minutter, og hvert minutt er delt inn i 60 sekunder,
akkurat som på klokka. Men her betyr minutter og sekunder lengdemål og ikke
tid.
Du finner en nærmere forklaring på lengde- og breddegrader
i et eget kapittel om kart.
5.2
Tallsystemer i forbindelse med måling
Lengdemål
Mange lengdemål har kroppen som utgangspunkt. Både ordene favn, alen,
tomme og fot er hentet fra slike mål. I de fleste tilfeller der slike måleenheter
brukes i dag, gjøres de om til meter og centimeter.
Hvilken kroppsdel
som er
utgangspunktet
Omregnet til cm
Omregn
Favn
et til
Alen
andre
Fot
mål
Tomme
Favn
Fra fingerspiss
til fingerspiss
med begge
armene utstrakt
1,88 m
1
3
6
72
Alen
Fot
Underarmen Foten fra
– fra albuen tå til hæl.
til
fingerspiss
62,8 cm
31,4 cm
1/3
1/18
1
1/2
2
1
24
12
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
Tomme
Tommelen
2,6 cm
1/72
1/24
1/12
1
T- 23
Tallsystemer
i forbindelse
med
måling
Matematikk FRA A TIL Å
Uttrykk til sjøs
Nautisk mil
1 nautisk mil er like lang som ett breddeminutt, nærmere bestemt 1852 meter.
Denne måleenheten brukes i dag til sjøs, men også i luften og i forbindelse med
meteorologi.
Kabellengde
En kabellengde er også en måleenhet som brukes til sjøs. Det går 10
kabellengder på en nautisk mil. Det betyr at en kabellengde er 185,2 meter.
En favn
Favn brukes i flere betydninger. Både som lengdemål og som volum. Til sjøs
brukes enheten som lengdemål. Vanligst om dybder. En favn i den
sammenhengen tilsvarer ca. 1,88 meter.
Knop
Knop er en enhet for fart. En knop er den hastigheten du trenger for å kjøre 1
nautisk mil på 1 time. Tidligere brukte man en line til å måle fart. Linen hadde
knuter (knoper) i nøyaktig avstand fra hverandre, og den ble lagt ut i den farten
båten holdt. Man målte farten ved å telle hvor mange knuter som ble sluppet ut
i løpet av et halvt minutt.
Sjømil
En sjømil er 4 nautiske mil, eller omtrent 7408 meter. Mange blander sammen
sjømil og nautiske mil. Da kan det være greit å huske at en nautisk mil ofte ble
kalt en kvartmil, altså ¼ sjømil.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 24
Matematikk FRA A TIL Å
6
TALLSYSTEMER FRA HISTORIEN
Menneskene har hatt bruk for å regne med verdier og mengder i tusener av år.
Til å begynne med antagelig muntlig, men etter hvert også skriftlig. Og med
behovet for å gjøre regning og telling skriftlig, kom behovet for tallsymboler. I
de første historiske tall- og regnesystemene ble tallsymbolene illustrasjoner på
verdiene. Etter hvert utviklet disse seg ofte til mer abstrakte symboler.
Tallsyste
mer fra
historien
De fleste læreverk i matematikk for mellomtrinnet viser noen slike historiske
tall- og regnesystemer. Her presenteres de vanligste, nemlig tall- og
regnesystemene fra det gamle Egypt, fra Mesopotamia og fra Mayaindianerne.
6.1
Det egyptiske tallsystemet
I det gamle Egypt brukte de en form for skrift som kalles hieroglyfer. Det var i
stor grad bygget på bilder som kan minne om piktogrammer, altså tegn som de
fleste kunne forstå betydningen av. I vår tid brukes ofte piktogrammer på
plakater som alle forstår betydningen av uten at det er behov for skrifttegn.
Trafikkskilt er eksempler på dette.
Egypterne brukte også slike tegn eller bilder når de skrev tall. Selv om
betydningen ikke er like klare for oss i dag, var tallsymbolene i det egyptiske
tallsystemet enkle å forstå i sin samtid.
De egyptiske tallsymbolene så slik ut.
1
10
100
1000
10000
100000
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
1 mill.
10 mill.
T- 25
Det
egyptiske
tallsyste
met
Matematikk FRA A TIL Å
Egypternes tallsystem var ikke et plassverdisystem slik vi bruker. Om de skrev
elller
spilte i grunnen ingen rolle. Tallet betød uansett 1 ener
og 1 tier, altså 11.
Systemet bygget ganske enkelt på å skrive så mange tegn man trengte, et slags
tellesystem. 2 ble skrevet som 2 enere:
De hadde likevel et slags orden på dette når det ble mange like tegn. I stedet for
å skrive:
(9)
…skrev de:
De hadde ikke noe tegn for 0 (null). Det trengte de da heller ikke. Hvis de
skulle skrive et tall der vi er vant til å bruke 0, for eksempel 204, trengte de
bare to hundrere og 4 enere, slik:
Så la de sammen verdien av de tegnene som ble skrevet:
100 + 100 + 4 = 204. Et slikt system kalles et additivt system.
Når vi ser på hvilke tallverdier egypterne brukte, ser vi at det er et titallsystem.
For hver gang de har bruk for 10 like tegn, bruker de heller et nytt tegn.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 26
Matematikk FRA A TIL Å
Overført til våre tall, ser vi at for hver gang tallverdien øker med en null hadde
de et nytt tegn.
Det er både morsomt og lærerikt å leke med å skrive egyptiske tall. Enda
morsommere er det å addere to egyptiske tall. Da legger man bare sammen alle
like tegn. Dersom antall like tegn i svaret overstiger 9, veksler man inn i en
høyere verdi:
+
6.2
=
=
Det babylonske tallsystemet
Babylonerne hadde ikke flere enn 2 tegn. Et tegn for 1 og et tegn for 10.
1
10
Ved hjelp av disse to tegnene kunne de skrive ganske store tall, men systemet
var ganske uoversiktelig.
Babylonerne brukte et 60-tall system. Det vil si at de kunne telle opp til 59, og
så begynte de på nytt igjen. Siden de ikke hadde noe tegn for null, kunne det i
noen tilfeller være vanskelig å vite hva tallene egentlig betydde.
La oss se på det litt grundigere.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 27
Det
mesopotamiske
tallsystemet
Matematikk FRA A TIL Å
Her er de babylonske tallene fra 1 til 20.
Våre tall
Babylonske
Våre tall
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
Babylonske
Når babylonerne kom til 60, begynte de på nytt igjen, men 60 hadde en annen
posisjon:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 28
Matematikk FRA A TIL Å
Slik så det ut:
Våre tall
Babylonske
58
59
60
61
62
Hvis du sammenligner tallet 1 med tallet 60, ser du at det kan være vanskelig,
og litt forvirrende å vite hvilket tall som menes.
For å skrive litt større tall med babylonernes tallsystem, må vi først ”oversette”
tallet til 60-tallsystemet. Her er et par eksempler:
Våre
tall
Skrevet i 60tallsystemet
109
60 + 40 + 9
232
60 + 60 + 60 + 50 + 2
Babylonske tall
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 29
Matematikk FRA A TIL Å
Mayaindianernes
tallsystem
6.3
Mayaindianernes tallsystem
Mayaindianerne utviklet et enkelt 20-tallsystem. De hadde med andre ord en ny
posisjon først når de kom til tallet 20.
Men i tillegg brukte de et veldig enkelt 5-tallsystem for tallene under 20.
De første tallsymbolene hos mayaindianerne var:
Våre tall
Mayaindianernes tall
1
2
3
4
Når de kom til tallet 5, brukte de en vannrett strek
Våre tall
Mayaindianernes tall
1
2
3
4
5
Tallet 6 skrev de som 1 femmer og 1 ener:
Våre tall
Mayaindianernes tall
1
2
3
4
5
6
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 30
Matematikk FRA A TIL Å
Og deretter fortsatte de å legge til enere og femere helt til de kom til 19.
Våre tall
Mayaindianernes tall
14
15
16
17
18
19
Når de kom til 20, brukte de en ny posisjon, omtrent som vi gjør når vi kommer
til 10. Men det er en viktig forskjell: Mayaenes skrev tallene, altså posisjonene
under hverandre.
Tallet 20 ble altså en ener, men i en ny etasje:
Våre tall
Mayaindianernes tall
20
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 31
Matematikk FRA A TIL Å
Men dette ble jo egentlig ganske likt 1! Vel – mayaene var blant de første som
innførte et symbol for null, nemlig
enerplassen, slik:
Våre tall
. Dermed kunne de skrive null på
Mayaindianernes tall
20
Og så kunne de bare fortsette tallrekken sin:
Våre tall
Mayaindianernes tall
20
21
22
25
27
For å skrive større tall med mayaindianernes tallsystem, må vi altså «oversette»
våre tall til et 20-tallsystem, der 20 er 1 prikk, 40 er 2 prikker, 60 er 3 prikker.
Da blir 100 en strek (5 20-ere). På neste side ser du noen eksempler på hvordan
tallene skrives om, først til 20-tallsystemet, og deretter overført til mayaenes
tallsystem:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 32
Matematikk FRA A TIL Å
Våre tall
20-tallsystemet
163
163 = 160 + 3
160 = 20  8
Mayaindianernes tall
160
3
216
216 = 200 + 16
200 = 20  10
16 = 15 + 1
200
16
473
473 = 400 + 70 + 3
400 = 20  20
70 = 60 + 10
73 = 60 + 13
400
60
13
Det krever litt trening å tenke i 20-tallsystemet, og enda litt trening å tenke
posisjonene over hverandre og ikke ved siden av hverandre slik vi er vant til.
Men det er morsomt når man får det til.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
T- 33