Transcript sannsynlighetsregningen i poker

POKER – sannsynlighetsregning i praksis.
Side 1
POKER – sannsynlighetsregning i praksis.
Når du spiller poker, får du først inngitt 5 kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Visse
kort-kombinasjoner er mer verdt enn andre. Verdien av en kombinasjon avhenger av hvor
sannsynlig det er å få den. Jeg vil nå anvende regler fra sannsynlighetsregning for å finne
sannsynligheten for å få inngitt de enkelte kombinasjonene.
Først vil jeg slå fast at det eksisterer
⎛ 52 ⎞
⎜ ⎟ = 2598960
⎝5⎠
ulike kombinasjoner av 5 kort (ikke tilbakelegging, uordnet rekkefølge). Dette gjelder
uavhengig av hvor de andre kortene befinner seg (i kortstokken, eller hos andre spillere).
En Straight Flush består av 5 kort i samme sort, der valørene følger etter hverandre. For
eksempel A-K-Q-J-10 i samme sort. Siden det er 4 sorter (spar, hjerter, ruter, kløver), er det i
alt 4 slike straight flush-kombinasjoner med ess på topp. Men du kan ha 10 ulike kort på topp
fordi den laveste kombinasjonen er 5-4-3-2-A. Altså er det
10 ⋅ 4 = 40
ulike straight flush-kombinasjoner. Sannsynligheten for å få inngitt en straight flush er altså
40
≈ 0.0000154 .
2598960
En Flush består av 5 kort i samme sort. Siden det er 13 kort i hver sort, fins det
⎛13 ⎞
⎜ ⎟ = 1287
⎝5⎠
ulike flush-kombinasjoner i hver sort. Og med 4 sorter blir det
4 ⋅ 1287 = 5148
ulike flush-kombinasjoner. Trekker vi fra de 40 straight flush-kombinasjonene, står vi igjen
med 5108 ”vanlige” flush-kombinasjoner. Sannsynligheten for å få inngitt en flush (unntatt
straight flush) er altså
5108
≈ 0.00197 .
2598960
En Straight består av 5 kort der valørene følger etter hverandre (uansett sort), for eksempel
A-K-Q-J-10. Kombinasjonen kan inneholde 4 ulike ess, 4 ulike konger osv., slik at du i alt
har
45 = 1024
ulike straight-kombinasjoner med ess på topp. Men du kan ha 9 ulike kort på topp fordi den
laveste kombinasjonen er 5-4-3-2-A. Altså er det
10 ⋅ 1024 = 10240
ulike straight -kombinasjoner. Vi trekker fra de 40 straight flush-kombinasjonene, og får
10 200 ”vanlige” straight-kombinasjoner. Sannsynligheten for å få inngitt en straight (unntatt
straight flush) er altså
10200
≈ 0.00392 .
2598960
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.
POKER – sannsynlighetsregning i praksis.
Side 2
Fire like består av 4 kort med samme valør (for eksempel 4 ess), og et likegyldig 5. kort. Med
13 valører, og 48 likegyldige 5.kort, blir det
13 ⋅ 48 = 624
ulike kombinasjoner med fire like. Sannsynligheten for å få inngitt fire like er altså
624
≈ 0.00024 .
2598960
Et Hus består av 3 kort i samme valør pluss 2 like kort i en annen valør, for eksempel A-A-AK-K. For hver valør fins det
⎛ 4⎞
⎜ ⎟=4
⎝ 3⎠
ulike kombinasjoner av de tre like kortene. Med 13 valører blir det
13 ⋅ 4 = 52
ulike kombinasjoner av de tre like kortene.
Nå er det 12 valører igjen for de to like kortene. Altså fins det
⎛ 4⎞
12 ⋅ ⎜ ⎟ = 72
⎝ 2⎠
ulike kombinasjoner av 2 like kort i kombinasjon med de tre like. Til sammen gir dette
52 ⋅ 72 = 3744
ulike hus-kombinasjoner. Sannsynligheten for å få inngitt hus er altså
3744
≈ 0.00144 .
2598960
3 like består av 3 kort i samme valør pluss 2 andre kort som ikke danner et par, for eksempel
A-A-A-K-Q. Som før fins det
13 ⋅ 4 = 52
ulike kombinasjoner av de tre like kortene. Deretter kan det 4. kortet velges blant 48 kort, og
det 5. kortet kan velges blant 44 kort (det 5. kortet kan ikke ha samme valør som det 4.). Men
nå må vi dele på 2! for ikke å telle alle kombinasjonene av 4. og 5. kort dobbelt. Til sammen
gir dette
48 ⋅ 44
52 ⋅
= 54912
2!
ulike kombinasjoner med 3 like. Sannsynligheten for å få inngitt 3 like er altså
54912
≈ 0.0211 .
2598960
Ett par består av 2 kort i samme valør, pluss tre kort i hver sin annen valør. Tilsvarende
resonnement som ovenfor gir at antall kombinasjoner med ett par blir
⎛ 4 ⎞ 48 ⋅ 44 ⋅ 40
13 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅
= 1098240 .
3!
⎝ 2⎠
Sannsynligheten for å få inngitt ett par er altså
1098240
≈ 0.423 .
2598960
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.
Side 3
POKER – sannsynlighetsregning i praksis.
To par består av 2 like kort i en valør, pluss to like kort i en annen valør, pluss ett kort i en
tredje valør. Tilsvarende resonnement som ovenfor gir at det fins
⎛ 4⎞
13 ⋅ ⎜ ⎟ = 78
⎝ 2⎠
kombinasjoner av det første paret,
⎛ 4⎞
12 ⋅ ⎜ ⎟ = 72
⎝ 2⎠
kombinasjoner av det andre paret, og deretter 44 mulige 5.kort. Antall kombinasjoner med to
par blir da
78 ⋅ 72
⋅ 44 = 123552 .
2!
(Vi må dele på 2! for ikke å telle hver par-kombinasjon dobbelt). Sannsynligheten for å få
inngitt to par er altså
123552
≈ 0.0521 .
2598960
Ovenfor har jeg konsekvent benyttet at ”sannsynlighet” er ”antall gunstige kombinasjoner delt
på antall mulige kombinasjoner”. Noen ganger er det lettere å resonnere annerledes. Jeg vil
vise et alternativt resonnement for å finne sannsynligheten for å få inngitt ett par.
Anta at kortene gis ett for ett, og at jeg først får et par og deretter tre kort i ulike valører.
Sannsynlighetene for hvert kort blir:
1.kort: Likegyldig, sannsynlighet 1.
2.kort: Samme valør som 1.kort, sannsynlighet
3
.
51
48
.
50
44
4.kort: Annen valør enn før, sannsynlighet
.
49
40
5.kort: Annen valør enn før, sannsynlighet
.
48
Men jeg trenger ikke å få paret som 1. og 2. kort. Jeg kan få paret i
⎛5⎞
⎜ ⎟ = 10
⎝ 2⎠
ulike posisjoner. Sannsynligheten for å få et par er derfor
⎛ 5⎞
3 48 44 40
= 0.423
⎜ ⎟ ⋅1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⎝ 2 ⎠ 51 50 49 48
som før.
3.kort: Annen valør enn før, sannsynlighet
Klarer du å finne noen av de andre sannsynlighetene med denne metoden?
Nå fins det mange varianter av poker. Men i de fleste (i alle fall som jeg kjenner til) har du
anledning til å bytte ut et fritt valgt antall kort med nye. Og da har du problemet: Hva skal du
satse på? Et lite eksempel: Du har fått inngitt 4 spar, bl.a. esset, samt hjerter ess. Skal du kaste
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.
POKER – sannsynlighetsregning i praksis.
Side 4
hjerter ess og satse på å trekke en spar (slik at du får flush), eller skal du beholde de to essene,
kaste de tre andre kortene, og håpe å utvide til tre (eller fire!) ess, eller to par, eller hus?
Anta at du kaster hjerter ess og trekker et nytt kort. Siden du har 4 spar, er det 9 spar igjen i
kortstokken. Videre er det 47 kort igjen i kortstokken (det betyr ingen ting at noen av dem
befinner seg hos andre spillere). Sannsynligheten for å trekke en spar er da
9
≈ 0.19 .
47
Anta at du beholder essene og kaster 3 kort. Når du nå trekker 3 nye kort, kan du få
⎛ 47 ⎞
⎜ ⎟ = 16215
⎝3⎠
ulike kombinasjoner. De gjenværende kortene kan deles inn i 2 ess og 45 ”ikke-ess”. Antall
kombinasjoner av 3 kort som inneholder ett ess og to ”ikke-ess” blir da
⎛ 2 ⎞ ⎛ 45 ⎞
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 1980 ,
⎝1⎠ ⎝ 2 ⎠
slik at sannsynligheten for å trekke et 3. ess er
1980
≈ 0.12 .
16215
Men her er det inkludert en mulighet for å få hus. (Kan du finne sannsynligheten for å få hus?
Det kan skje ved å trekke ett ess pluss et par, eller tre like ”ikke-ess”. Ta hensyn til de kortene
som du har kastet!).
Beregningene ovenfor skjer gjerne lettere med den alternative metoden. Sannsynligheten for
2
. Sannsynligheten for at de to neste deretter blir
at det første kortet du trekker er et ess, er
47
45 44
”ikke-ess”, er
⋅ . Men esset kan trekkes som 1., 2. eller 3. kort. Sannsynligheten for å
46 45
trekke ett ess er da
2 45 44
3⋅ ⋅ ⋅
≈ 0.12
47 46 45
som før. Tilnærmet kan vi sette de to siste brøkene lik 1, og får da en sannsynlighet på ca.
6
6 1
≈
= ,
47 48 8
et anslag som er bra nok ved kortbordet.
Resonnementene ovenfor gir et lite innblikk i ett aspekt ved pokerspillet. Men beregningene
må korrigeres og suppleres med psykologisk innsikt. Ikke skyld på sannsynlighetsregningen
dersom du spiller bort studielånet!
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2011.