Transcript Caractérisation des séries temporelles

Société congolaise d’économétrie
Mars 2014 – Papier SCE 2 –1
Jean – Paul K. Tsasa Vangu
Chercheur au Lareq
Web : www.lareq.com
Mail : [email protected]
CARACTERISATION DES SERIES TEMPORELLES
Etude de cas du PIB de la Rép. Dém. Congo de 1959 à 2013
Résumé
Dans ce papier introductif, nous avons considéré la série en fréquence annuelle, du PIB de la
RDC de 1959 à 2013, pour illustrer la démarche à suivre dans la caractérisation de la
dynamique d’une chronique. Dans le papier qui suivra, nous mobiliserons la série en fréquence
trimestrielle [1959:01 – 2013:04] pour illustrer la stratégie de caractérisation suggérée par
Kydland et Prescott (1982), en s’inspirant notamment de l’approche proposée plutôt par R.E.
Lucas [1972 ; 1976, critique économétrique de Lucas].
Mots–clé : Autocovariance, autocorrélation et autocorrélation partielle (fonctions)
Préambule
Une lecture préalable de ce papier et du papier précédent (cf. Papier SCE 1) est
recommandée afin de mieux comprendre ce que l’on fera par la suite tout au long de cette
série. En effet, dans les papiers qui suivront :
Papier 1
:
Initiation aux mathématiques des séries temporelles
Papier 2
:
Nous analyserons la dynamique des chroniques [fonction d’autocovariance,
fonction d’autocorrélation et fonction d’autocorrélation partielle] ; nous fournirons
la preuve du théorème de Donsker en recourant notamment à la notion de
mouvement brownien standard [processus de Wiener] et enfin, nous dériverons
la loi asymptotique du test de racine unité tel que suggéré par Dickey et Fuller en
nous basant sur les corollaires du théorème de Donsker.
Papier 3
:
Nous procéderons aux corrections paramétriques et non paramétriques de test de
racine unité DF.
Papier 4
:
Nous introduirons analytiquement et illustrerons sur machine, la stratégie de
Campbell-Perron dans le processus de stationnarisation des séries temporelles,
afin de corriger le biais causé par le choix automatique du paramètre de
troncature par les logiciels tels que Eviews, stata ou autres.
Papier 5
:
Nous prouverons de façon parcimonieuse, deux théorèmes : [1] le théorème de
décomposition de Wold, en nous basant sur le concept d’espace de Hilbert ; [2] le
théorème de représentation de Granger-Engle.
Nous montrerons que toute étude sur la modélisation VAR et sur la cointégration
repose implicitement sur ces deux théorèmes respectifs.
Papier 6
:
En considérant les résultats des papiers précédents, nous proposerons une
introduction analytique, avec illustration sur logiciel aux :
(i)
modèles AR et MA à changement de régimes markoviens
(ii)
modèles VAR, VAR cointégré, VARMA et VEC
(iii)
modèles VAR structurels bayésiens
(iv)
modèles
VAR
structurel
bayésien
à
changement
de
régimes
markoviens, suivant la stratégie de Sims, Waggoner et Zha.
Il sied de noter que l’objectif de ces différentes présentations est de fournir un cadre d’analyse
techniquement prescriptif, et donc nous ne visons pas l’exhaustivité au sens strict. In fine, nous
vous serons reconnaissant pour toute suggestion, remarque ou critique pouvant contribuer à
l’amélioration du cadre d’analyse en cause.
© Jean–Paul K. Tsasa Vangu
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Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Caractérisation des séries temporelles
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I. Introduction
Recourir aux mathématiques des séries temporelles pour caractériser la dynamique du PIB de la
République Démocratique du Congo (RDC) requiert naturellement une démarche prudentielle.
Dans ce papier nous tentons de jeter les premières bases devant nous permettre de procéder
ultérieurement à la modélisation [approche univariée, puis multivariée] du PIB de la RDC.
D’ores et déjà, il convient de remarquer que sur le plan historique, institutionnel et politique, la
RDC a connu depuis son accession à l’indépendance en 1960, différentes formes de régimes
politiques à
sa gouvernance.
Malheureusement, les changements intervenus
l’ont été
généralement par le biais de révoltes populaires [1959], de coup d’Etat [1964] ou tout
simplement de conflits armés [1996 – 2001].
Et comme l’on peut s’en rendre compte, ces chocs d’origine politique et institutionnelle ont
sérieusement affectés la sphère économique de la RDC, en engendrant notamment des
distorsions multiples et visibles sur l’allure de la production globale.
Graphique 1 : EvolutionPIB
du PIB réel en RDC
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000
60
65
70
75
80
85
90
95
00
05
10
Ainsi, appliquer les mathématiques des séries temporelles dans l’analyse du comportement
d’une telle chronique exige prudence et prise en compte de quelques précautions dans la
démarche méthodologique à mettre en œuvre.
De ce fait, tout au long de ce papier et de deux autres qui suivront, nous présentons quelques
préalables techniques à prendre en compte à l’effet de modéliser plus ou moins correctement la
dynamique du PIB congolais. Dans ce papier [Papier SCE 2–1], nous fournissons une description
comportementale de la trajectoire du PIB de 1959 à 2013. Dans le papier qui suivra, [Papier
SCE 2–2], nous montrerons techniquement la période qu’il conviendrait de retenir afin de
s’assurer de l’obtention de bons estimés lorsqu’on utilise le PIB de la RDC comme argument
dans les modèles univariés ou multivariés. Et enfin, dans un dernier papier [Papier SCE 2–3]
dans le cadre de cette sous-série, nous nous focaliserons sur l’étude de la comptabilité de
chocs. En ce moment, nous passerons tour à tour au crible de l’analyse, la décomposition de
Beveridge–Nelson, l’objet du test de racine unité et le théorème de Donsker.
Descriptive du PIB de la RDC : Justifications et Diagnostic
Nous postulons qu’une analyse pro-mathématique et empirique de la dynamique du PIB de la
RDC devrait être réalisée à la lumière des faits historiques, institutionnels et politiques l’ayant
caractérisant1 ; e.g. il est important de noter que l’évolution du produit intérieur brut (PIB) de la
RDC a été sérieusement par les principaux chocs suivants (davantage négatifs, que positifs) :

En 1961, ruptures ou changements des structures, intervenus principalement à la suite
de l’instabilité ayant suivi l’accession du pays à l’indépendance (1960) ;

Entre 1968 et 1974, périodes caractérisées par la mutinerie de Kisangani (1967), la
Zaïrianisation (1974), le premier choc pétrolier (1974) ;

En

Entre 2001 et 2013, signature de l’accord global et inclusif mettant un terme à près de
1988, puis en 1994, troubles sociaux et épisode des pillages ;
dix ans de guerres de rébellion, civiles et d’agression (2001), élections (2006, 2011).
Ainsi, fort de ces préalables, on peut par exemple facilement identifier les arguments qui
expliqueraient au passage du temps, la décroissance du PIB par habitant en RDC entre 1959 et
2000, alors que l’un des faits stylisés énoncés par Nicholas Kaldor suggère que le PIB par
habitant devrait être croissant dans le long terme.
par habitant
enhabitant
logarithme
(1960 - (1960
2013)– 2013)
Graphique 2PIB
: Evolution
du PIB par
en logarithme
[En
annuelle]
[enfréquence
fréquence
annuelle]
6.4
6.0
5.6
5.2
4.8
4.4
4.0
1960
1
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
Pour s’en convaincre, le lecteur intéressé peut consulter Kabuya et Tsasa (2012a).
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2005
2010
Caractérisation des séries temporelles
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Par ailleurs, en régressant le PIB sur le temps, il se dégage une présence de ruptures dans la
structure de l’évolution de cet agrégat relevant sans nul doute des multiples chocs négatifs
enregistrés dès 1959. On constate également, que ces ruptures ne font que s’amplifier à
mesure que l’on considère les différents arguments qui interviennent dans l’explication du PIB.
Graphique 3 : Lecture de ruptures du PIB de la RDC
3,000
2,000
1,000
0
-1,000
-2,000
.000
-3,000
.025
.050
.075
.100
.125
.150
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
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N-Step Probability
Etant donné que la présence des ruptures
dans l’évolution
Recursive
Residuals d’une chronique affecte de manière
significative la qualité des estimateurs qui en découlent, d’aucuns proposent de minimiser ce
biais en introduisant une « dummy variable ». Dans le cadre de cette sous-série des papiers,
nous conjecturons que l’introduction de variables dummy ne résout pas totalement ce type de
problème puisqu’une chronique a intrinsèquement un historique que la variable indicatrice ne
peut capter. Toutefois, nous reviendrons sur cette discussion plus tard [analyse multivariée].
Par ailleurs, en plus des méthodes qui prennent en compte les ruptures [modèles avec seuil], il
apparait également indiqué de procéder à une étude par sous–périodes à l’effet de contourner la
contrainte imposée par la présence de ruptures. Et nous montrerons dans le papier qui suivra,
que la prise en compte de cette proposition est adéquate, notamment pour les modèles
économétriques destinés à fournir des prescriptions de politiques macroéconomiques.
Cependant pour cette dernière alternative, la segmentation de la période en sous-périodes pose
généralement un problème fondamental quant à l’applicabilité des méthodes économétriques. Il
s’agit du fait que le nombre d’observations à considérer diminue en fonction de la subdivision
temporelle effectuée, car chaque sous–période ne devrait contenir qu’une partie de la chronique
originelle. Naturellement, cela rendrait le traitement économétrique moins pertinent dans le cas
où le nombre d’observations correspondant à une sous–période serait excessivement réduit.
Par exemple, considérer en l’occurrence, la sous période 2001 – 2011 dans l’évolution du PIB
congolais revient à ne disposer que de 11 observations ! Ce qui empêche non seulement, une
application aisée des méthodes économétriques 2 , mais aussi une mise en œuvre efficace et
proactive d’une politique économique de court terme. En vue de lever cette contrainte, nous
proposons une approche de désagrégation de chroniques dont la qualité comportementale
comparativement à la série originelle, sera appréciée à l’aide des fonctions d’autocovariance,
d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle.
Avant l’article de Granger et Newbold (1974), il était courant d’utiliser des séries brutes pour
procéder à l’analyse économétrique. Ainsi, dans ce cas, si l’on considérait en logarithme, le PIB
réel (LPIB) et le PIB par habitant (LPIBH) de la RDC en fréquence annuelle entre 1959 et 2013,
on établirait les résultats suivants.
Tableau 1 : Volatilité absolue et Normalité
Volatilité absolue
[en %]
Normalité
Prob(Jarque-Bera)
Moyenne
Nombre
d’observations
LPIB
20.41
0.0871
8.7929
55
LPIBH
61.64
0.07124
5.2982
55
Par exemple, il ressort de ce tableau que le PIB par habitant en RDC est plus instable que le PIB
réel. Nous verrons par la suite que cette conclusion est erronée.
Graphique
4 : Fonction
d’autocorrélation
du PIB
la RDC
Fonction
d'autocorrélation
du PIB
réelréel
de de
la RDC
[Données
fréquence
annuelle]
[Donnéesenen
fréquence
annuelle]
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
5
2
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Etant donné que les méthodes appliquées sont généralement paramétriques, l’échantillon des
données adéquat doit avoir un nombre suffisamment élevé d’observations (18 à 30 observations
pour les méthodes élémentaires et 88 pour les méthodes les plus exigeantes).
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Jean – Paul K. Tsasa
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La fonction d'autocorrélation mesure le degré de liaison croisée d'une chronique par elle-même.
Par construction, puisqu’une chronique est une suite de variables aléatoires, ainsi une fonction
d'autocorrélation est une corrélation statistique entre les variables aléatoires en deux points
différents dans le temps. A ce titre, la fonction d’autocorrélation constitue un indicateur
d’analyse de la dépendance sérielle en fonction de la distance dans le temps. Et par conséquent,
d’une part, elle peut être exploitée pour évaluer la distance temporelle nécessaire rendant les
différentes observations effectivement décorrélées, et d’autre part elle peut être utilisée pour
identifier les régularités répétées dans une chronique. Dans le papier qui suivra, consacré
notamment à l'analyse de la cyclicité, nous nous rendrons compte que la fonction
d'autocorrélation est une mesure appropriée de la persistance d’une série chronologique.
Soient un processus stochastique tel que
à-dire une chronique telle que
avec
;
et une série observée c’estoù
la fonction d’autocorrélation s’écrit :
; et où :
est la fonction d’autocovariance théorique. Pour générer le graphique 4, il suffit de considérer
l’équivalent empirique des relations
et
En parallèle, la fonction d'autocorrélation partielle émerge également comme un outil statistique
jouant un rôle important dans la caractérisation de la dynamique d'une chronique. Elle cherche
à déterminer la mesure du décalage dans un modèle autorégressif – moyenne mobile. Pour le
cas du PIB réel de la RDC, elle se présente comme suit.
Fonction
d'autocorrélation
partielle
du PIB
réel
dede
lalaRDC
Graphique
5 : Fonction
d’autocorrélation
partielle
du PIB
réel
RDC
[Données
en
fréquence
annuelle]
[Données en
fréquence
annuelle]
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Formellement, le coefficient d’autocorrélation partielle noté
mesure la relation entre
après avoir purgé les liens transitant par les variables intermédiaires
et
. . .,
Autrement, c’est un coefficient de corrélation linéaire théorique entre :
et
avec
tel que pour estimer les coefficients
passées jusqu’à
on régresse
sur ses valeurs
:
De même, en dupliquant la même stratégie que précédemment, on parvient à générer les
fonctions d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle du PIB par habitant.
Graphique 6 : Dynamique du PIB par habitant de la RDC
Fonction d'autocorrélation partielle du PIB par habitant de la RDC
[Données en fréquence annuelle]
Fonction d'autocorrélation du PIB par habitant de la RDC
[Données en fréquence annuelle]
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.0
0.2
-0.2
0.0
-0.4
-0.2
-0.6
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
5
10
15
20
25
30
35
40
Les autocovariances jusqu’à l’ordre 10 sont résumées dans le tableau suivant.
ordre
20
Tableau 2 : Autocovariance du PIB et du PIB par habitant de la RDC
[Données en fréquence annuelle]
Fonction d’autocovariance
LPIB réel
LPIB par habitant
1
0.349
0.040
2
0.306
0.038
3
0.260
0.036
4
0.218
0.034
5
0.178
0.033
6
0.134
0.031
7
0.087
0.028
8
0.043
0.026
9
0.005
0.023
10
-0.024
0.021
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45
50
55
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Considérant les données des tableaux 1 et 2, on parvient à générer les autocorrélations du PIB
réel et du PIB par habitant jusqu’à l’ordre 10 et par ailleurs, leurs autocorrélations partielles.
Tableau 3 : Autocorrélation et Autocorrélation partiel du PIB et du PIB par habitant
[Données en fréquence annuelle]
Fonction d’autocorrélation
Fonction d’autocorrélation partielle
ordre
LPIB réel
LPIB par habitant
LPIB réel
LPIB par habitant
1
0.918
0.962
0.918
0.962
2
0.806
0.918
-0.227
-0.111
3
0.685
0.866
-0.099
-0.116
4
0.573
0.826
0.012
0.140
5
0.469
0.782
-0.047
-0.083
6
0.352
0.735
-0.169
-0.095
7
0.228
0.682
-0.113
-0.066
8
0.114
0.622
-0.003
-0.121
9
0.013
0.563
-0.039
-0.003
10
-0.062
0.510
0.027
0.029
Il ressort de cette analyse que le PIB par habitant possède une mémoire plus longue que le PIB
réel. Nous verrons par la suite que cette conclusion, qu’on retrouve implicitement dans plusieurs
études économétriques utilisant le PIB de la RDC comme argument, est également erronée.
Dans le papier qui suit, nous considérons la série en fréquence trimestrielle, du PIB de la RDC
de 1959 à 2013, à l’effet de procéder à l’illustration de la stratégie suggérée par Kydland et
Prescott pour caractériser la dynamique d’une chronique. En effet, comme nous le verrons,
cette démarche nous permettra de poser les jalons de principes devant gouverner la
modélisation du PIB de la RDC.
Mars 2014
Québec, Montréal
Bibliographie sommaire

AIGNER
Martin
et
Günter
M.
ZIEGLER,
1998,
Raisonnements
ième
Démonstrations Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2
Divins :
Quelques
édition Springer, Berlin,
270p.
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Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
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Annexes
BASE DES DONNEES
Tableau A1 : PIB réel et PIB par habitant de la RDC (1959 – 2013)
En fréquence annuelle
LPIB
LPIBH
1959
8.90
6.24
1960
8.91
6.22
1961
8.98
6.26
1962
8.68
5.93
1963
8.70
5.93
LPIB
LPIBH
1964
8.73
5.92
1965
8.79
5.96
1966
8.92
6.05
1967
8.86
5.96
1968
8.74
5.81
LPIB
LPIBH
1969
8.82
5.86
1970
8.92
5.93
1971
8.98
5.96
1972
8.98
5.93
1973
9.07
5.98
LPIB
LPIBH
1974
9.09
5.98
1975
9.03
5.88
1976
8.97
5.79
1977
8.92
5.71
1978
8.85
5.61
LPIB
LPIBH
1979
8.85
5.58
1980
8.85
5.55
1981
8.88
5.55
1982
8.87
5.51
1983
8.89
5.49
LPIB
LPIBH
1984
8.94
5.51
1985
8.95
5.49
1986
8.99
5.50
1987
9.02
5.50
1988
9.03
5.47
LPIB
LPIBH
1989
9.01
5.42
1990
8.94
5.32
1991
8.85
5.20
1992
8.74
5.06
1993
8.60
4.88
LPIB
LPIBH
1994
8.56
4.80
1995
8.57
4.78
1996
8.56
4.74
1997
8.50
4.65
1998
8.48
4.60
LPIB
LPIBH
1999
8.44
4.52
2000
8.37
4.41
2001
8.35
4.37
2002
8.38
4.37
2003
8.44
4.40
LPIB
LPIBH
2004
8.50
4.44
2005
8.58
4.49
2006
8.63
4.51
2007
8.69
4.54
2008
8.75
4.57
LPIB
LPIBH
2009
8.78
4.57
2010
8.85
4.61
2011
8.91
4.65
2012
8.99
4.69
2013
9.06
4.73
Note : LPIB = PIB réel ; LPIBH = PIB par habitant
Source : WDI, Banque mondiale 2014
24
Caractérisation des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa