Transcript 2.1.Signaux périodiques. Filtrage bis

SIGNAUX PÉRIODIQUES. FILTRAGE
I.
Système linéaire, fonction de transfert
1.
Définitions
Soit un système (circuit électrique, machine) donnant à une entrée ue(t), une réponse us(t) en sortie.
e (t)
u
→
Système
linéaire
s (t)
u
→
On limite notre étude aux systèmes linéaires, i.e. :
Si une entrée ue1(t) donne en sortie une réponse us1(t) et une entrée ue2(t) donne en sortie une réponse us2(t), alors une
entrée k1 ue1(t) + k2 ue2(t) avec k1 et k2 constantes, donnera en sortie la réponse k1us1(t)+k2us2(t).
2.
Signal d’entrée sinusoïdal
Soit un signal d’entrée sinusoïdal
u e ( t ) = U e cos(ωt + ϕe ) .
Une propriété remarquable d’un système linéaire, est de donner nécessairement en sortie un signal également sinusoïdal et
de même pulsation, qui s’écrit donc : u s ( t ) = U s cos(ωt + ϕs ) .
Prévoir la réponse en sortie consiste alors uniquement à chercher Us/Ue, rapport des amplitudes et ϕs-ϕe déphasage.
3.
Fonction de transfert
Introduisons les représentations complexes de ue(t) et us(t) :
u e ( t ) = U e exp( j(ωt + ϕe )) = U e exp( jωt ) avec U e = U e exp( jϕe ) amplitude complexe de ue(t)
u s ( t ) = U s exp( j(ωt + ϕs )) = U s exp( jωt ) avec U s = U s exp( jϕs ) amplitude complexe de us(t)
La fonction de transfert du système linéaire étudié est par définition :
H( jω) =
us (t)
u e (t)
=
Us
Ue
=
Us
exp( j[ϕs − ϕe ]) (ou plus simplement H(ω))
Ue
Fonction à valeur complexe de la pulsation ω
Pour connaître la réponse
u s ( t ) = U s cos(ωt + ϕs ) à un signal sinusoïdal u e ( t ) = U e cos(ωt + ϕe ) , il suffit de
connaître H à la pulsation ω :
* le module de H(ω) donne le rapport des amplitudes Us/Ue, appelé gain pour la pulsation ω,
* l’argument de H(ω) donne (ϕs-ϕe) appelé « avance de phase (ou déphasage) du signal de sortie sur le signal d’entrée »
pour la pulsation ω.
u s ( t ) = U s cos(ωt + ϕs ) = U s . H( jω) cos(ωt + ϕe + arg[H( jω)])
Remarque : on peut aussi considérer la fonction de transfert comme une fonction de la fréquence f (on a ω=2πf).
II.
Signal périodique non sinusoïdal
1.
Décomposition harmonique d’un signal périodique
Soit v(t) un signal, variant dans le temps, périodique, de période notée T.
f=1/T est la fréquence du signal v(t). C’est le nombre de période par unité de temps (aussi appelée fréquence
fondamentale)
ω=2πf=2π/T est la pulsation qu’aurait un signal sinusoïdal de période T (aussi appelée pulsation fondamentale).
v( t ) périodique de période T
T
période
1
f=
fréquence fondamentale
T
2π
pulsation fondamentale
ω = 2πf =
T
v(t)
T
t
Théorème de Fourier.
La fonction périodique de période T, v(t), peut s’écrire comme une somme (infinie) de fonctions sinusoïdales de période
Tk=T/k (k∈N*) (de fréquence fk= kf, de pulsation ωk=k.ω) : elle admet la décomposition harmonique dite « en série de
Fourier » suivante :
v( t ) = V0 +
+∞
∑v
= V0 +
k (t)
k =1
+∞
∑ [V
k
cos(kωt + ϕ k )]
Vk réel positif, ϕk ∈ ]-π;π]
k =1
Le mathématicien parle de « série de Fourier ».
D’un point de vue physique, il s’agit de la superposition de composantes sinusoïdales pures de la forme :
v k (t) = Vk cos(kωt + ϕ k ) composante (ou harmonique) de rang k : pulsation kω ; fréquence kf ; période
T
.
k
Vk est l’amplitude de la composante (de l’harmonique) de rang k (réel positif, de même dimension que v(t)).
V0 est la valeur moyenne de v(t), notée <v>, appelée composante continue de v(t).
V0 =< v >=
1 T
v( t )dt
T ∫0
Remarques :
a) On utilise aussi la décomposition équivalente :
+∞
v( t ) = V0 + ∑ [A k cos(kωt ) + B k sin (kωt )]
Ak et Bk réels
k =1
On admettra que les coefficients Ak et Bk se calculent par :
Ak =
2 T
2 T
v( t ) cos(kωt )dt et B k = ∫ v( t ) sin(kωt )dt
∫
T 0
T 0
Les coefficients Vk et ϕk se déduisent facilement de Ak et Bk et vice versa: (on rappelle cos[a+b]=cosa.cosb-sina.sinb)
Vk = A 2k + B 2k
;
cos ϕ k =
Ak
A 2k
+
B 2k
=
Ak
Vk
;
sin ϕ k = −
Bk
A 2k
+
B 2k
=−
Bk
Vk
;
tan ϕ k = −
Bk
Ak
b) Le terme correspondant à k=1, v1(t)= A 1 cos(ωt ) + B1 sin( ωt ) = V1 cos(ωt + ϕ1 ) ) est appelé fondamental (ou
composante fondamentale) du signal v(t). Il est sinusoïdal pur et sa période est égale à la période du signal étudié v(t).
c) Si v(t) est un signal sinusoïdal, seuls A1 et B1 (et V1) sont non nuls.
d) On peut aussi utiliser la décomposition suivante (cf Latispro) :
+∞
v( t ) = V0 + ∑ [Vk sin (kωt + Ψk )] Vk réel positif, Ψk ∈ ]-π;π]
k =1
Les arguments ϕk et ψk des deux décompositions sont reliés par : ϕ k = ψ k −
π
2
π
π
En effet sin( kωt + ψ k ) = cos( − kωt − ψ k ) = cos(kωt + ψ k − ) = cos(kωt + ϕ k )
2
2
2.
Spectre(s) d’une fonction périodique. Représentation spectrale
Le spectre d’amplitude d’une fonction périodique v(t) est la représentation graphique des coefficients Vk.
Le spectre de phase est la représentation graphique des coefficients ϕk.
Spectre « tout court » désigne en général le spectre en amplitude.
On trace pour chaque valeur de k (ou ce qui est équivalent, pour chaque valeur fk=kf de la fréquence ou pour chaque valeur
ωk=kω de la pulsation) un trait de longueur proportionnel à l’amplitude Vk.
Le spectre d’amplitude représente « le poids » de chaque harmonique dans le signal v(t).
L’axe des abscisses est un axe gradué en fréquence (ou en pulsation). Chaque fréquence fk, présente dans la décomposition
en série de Fourier de v(t), est affectée d’un segment parallèle à l’axe des ordonnées (d’abscisse fk donc), segment dont une
extrémité a pour ordonnée 0 et l’autre a pour ordonnée Vk, amplitude de la composante d’ordre k.
Il existe des appareils et des logiciels « analyseurs de Fourier » : lorsqu’on leur soumet un signal périodique v(t), ils en
donnent le spectre (on dit qu’ils en font l’analyse spectrale).
Dans Latispro, le spectre en amplitude s’appelle « série des modules » (S_module) : on y voit les valeurs des Vk
correspondant aux différentes fréquences fk présentes dans v(t).
Exemple : v(t)=2+3cos(200πt)+5sin(600πt)
3 composantes :
• composante continue : 0Hz
• composante 100Hz
• composante 300Hz
Ce signal n’a que 3 composantes. Ici la fréquence fondamentale est 100Hz, on a une composante continue d’amplitude 2V
et l’harmonique de rang 3, d’amplitude 5V.
Le graphe v(t) et le spectre de v(t) constituent deux représentations équivalentes du même signal « v », dites
représentation temporelle et représentation spectrale. Vous êtes plus familier avec la première, mais la seconde est
beaucoup plus « parlante » quand on est habitué. Pour un signal périodique « compliqué », le spectre est souvent plus
facile à interpréter que la représentation temporelle.
Par exemple, pour le son d’un instrument, la note correspond à la fréquence du fondamental. Ensuite, le timbre est lié à la
présence plus ou moins importante d’harmoniques supérieures, ce qui permet de distinguer une note donnée d’une flûte ou
d’une guitare par exemple.
Autre exemple, pour la lumière (onde électromagnétique), chaque couleur correspond à une fréquence, dont à une raie
dans le spectre.
Remarque :
Latispro (ou Synchronie) fournit aussi avec le menu « analyse de Fourier avancée » d’autres spectres :
• La série des cosinus (S_cosinus), diagramme où on voit les valeurs des coefficients Ak correspondant aux différentes
fréquences fk présentes dans v(t).
• La série des sinus (S_sinus), diagramme où on voit les valeurs des coefficients Bk correspondant aux différentes
fréquences fk présentes dans v(t).
• La série des arguments (S_arg), appelé spectre de phase, diagramme où on voit les valeurs des angles ψk (en degrés)
correspondant aux différentes fréquences fk présentes dans la décomposition de synchronie (1.d).
3.
Quelques propriétés des spectres
a)
Composante continue
Elle correspond à la raie de fréquence nulle (pas toujours bien visible car se superposant à l’axe des ordonnées). Elle
représente la valeur moyenne du signal.
Par exemple, si un signal électrique contient une raie à f=0, cela correspond à la présence d’un courant (ou d’une tension)
continu.
Toutes les autres raies correspondent à la partie alternative du signal.
b)
Fondamental
La raie de fréquence f=1/T correspond au fondamental. Elle joue un rôle particulier, c’est elle qui donne la période du
signal périodique étudié.
2.1.Signaux périodiques
4
c)
Harmoniques supérieures
Les raies de fréquence kf (k>1) sont les harmoniques supérieures.
Plus elles sont importantes (en quantité et en amplitude), plus le signal s’éloigne d’une sinusoïde « pure ».
On peut chiffrer l’écart entre le signal et la sinusoïde « pure » par le taux de distorsion harmonique
THD =
V22 + V32 + ... + Vk2 + ...
, rapport de la valeur efficace des harmoniques supérieures et celle du fondamental.
V12
d)
Une discontinuité correspond à la présence d’harmoniques de rang élevé.
La pente maximale de cos(kωt) est kω.
Ainsi, dans le spectre d’un signal présentant des discontinuités ou des fortes variations, on aura nécessairement des raies à
hautes fréquences (k≫1).
décomposition jusqu’au rang 25 du créneau impair.
v :=
4 sin( 2 π t ) 4 sin( 6 π t ) 4 sin( 10 π t ) 4 sin( 14 π t ) 4 sin( 18 π t )
+
+
+
+
π
3
π
5
π
7
π
9
π
4 sin( 22 π t ) 4 sin( 26 π t ) 4 sin( 30 π t ) 4 sin( 34 π t )
+
+
+
+
11
π
13
π
15
π
17
π
+
4 sin( 38 π t ) 4 sin( 42 π t ) 4 sin( 46 π t ) 4 sin( 50 π t )
+
+
+
19
π
21
π
23
π
25
π
Pour rendre compte des discontinuités d’un signal créneau, il faut théoriquement une infinité de composantes (pente infinie
dans la représentation temporelle).
e)
Signal modulé
v(t)= 3*(1+0.2*cos(200*Pi*t))*cos(2000*Pi*t) : porteuse 1000Hz ; signal modulant 100Hz.
2.1.Signaux périodiques
5
f)
Signal bruité
v(t)=cos(200*Pi*t)+0.1*cos(8000*Pi*t) : fondamentale 100Hz, « bruit » 4000Hz.
4.
Aspect énergétique
Pour une tension v(t) appliquée aux bornes d’une résistance, la puissance moyenne reçue s’écrit :
P=
2
< v 2 ( t ) > Veff
2
=
= R < i 2 ( t ) >= RI eff
.
R
R
Elle fait intervenir la moyenne quadratique de v(t), qui est égale, par définition, à sa valeur efficace.
Vous avez vérifié l’an dernier que le carré de la moyenne quadratique de la somme de deux signaux sinusoïdaux de
pulsations différentes est égal à la somme des carrés de chaque moyenne quadratique.
Ce résultat se généralise à la décomposition de Fourier car toutes les composantes ont des pulsations différentes.
2.1.Signaux périodiques
6
< v 2 ( t ) >= V02 +
+∞
∑
< v 2k ( t ) > = V02 +
k =1
+∞
 Vk2 
2

 = V0 +
2


k =1 
∑
∑ [V ]
+∞
2
eff , k
k =1
Le carré de la valeur efficace d’un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses composantes.
5.
Décomposition de Fourier des signaux non périodiques
Pour un signal physique non périodique, la somme devient une intégrale, dite de Fourier, portant sur toutes les pulsations.
v( t ) =
1
+∞
∫ g(ω) exp( jωt)dt .
2π −∞
La fonction g(ω) est la transformée de Fourier du signal v(t). Son graphe est le spectre (continu) du signal v(t).
III.
Filtrage linéaire d’un signal périodique
La fonction de transfert (complexe) H(ω) ou encore H(f) d’un système (filtre) linéaire, caractérise l’action du filtre sur un
signal sinusoïdal pur de fréquence f donnée.
Pour un signal sinusoïdal pur de fréquence f u e ( t ) = U e cos(2.π.ft + ϕ e ) , on a vu :
avec U s = H (f ) .U e et ϕ s = ϕ e + arg[H(f )]
u s ( t ) = U s cos(2.π.ft + ϕ s )
1.
Principe de superposition pour un filtre linéaire
a)
Réponse du filtre à un signal somme de deux signaux sinusoïdaux purs de
fréquences f’ et f’’
Le filtre étant linéaire, d’après le théorème de superposition, la réponse à la somme des deux signaux sinusoïdaux purs de
fréquences f’ et f’’, est la somme des réponses à chacun d’eux :
Si u e ( t ) = U e ' cos(2.π.f ' t + ϕe ') + U e ' ' cos(2.π.f ' '.t + ϕe ' ')
Alors u s ( t ) = U s ' cos(2.π.f ' t + ϕs ') + U s ' ' cos(2.π.f ' '.t + ϕs ' ')
avec
Us ' = H (f ' ) .U e ' et ϕs ' = ϕe '+ arg[H (f ' )]
Us ' ' = H (f ' ' ) .U e ' ' et ϕs ' ' = ϕe ' '+ arg[H (f ' ' )]
On doit appliquer la fonction H à chacune des fréquences présentes dans le signal d’entrée.
2.1.Signaux périodiques
7
b)
Réponse du filtre à un signal périodique quelconque
D’après le théorème de Fourier, un signal ue(t) périodique, de période T se décompose selon :
u e (t) =
+∞
∑u
ek ( t )
= U e0 +
k =0
+∞
∑ (U
ek
cos(2πkft + ϕ ek )) avec f =
k =1
1
T
fréquence du fondamental
Le filtre étant linéaire, toujours d’après le théorème de superposition, la réponse du filtre à un signal périodique, somme de
signaux sinusoïdaux purs, est la somme des réponses à chacun d’eux :
u s (t ) =
+∞
∑
u sk ( t ) = U s 0 +
+∞
∑ (U
sk
cos(2πkft + ϕ sk )) avec
k =1
0
U sk = H(kf ) .U ek et ϕ sk = ϕ ek + arg[H(kf )] pour k ≥ 1
et U s 0 = H(0).U e0
Remarque : Ue0 et Us0 ne sont pas des amplitudes, ils sont algébriques, ils peuvent être négatifs, contrairement aux
coefficients Uek et Usk avec k ≥ 1, qui, par convention sont positifs et appelés amplitudes.
Pour déterminer la réponse d’un filtre à un signal périodique, il faut donc :
•
Décomposer le signal d’entrée en série de Fourier
•
Examiner la réponse du filtre à chaque composante kf à l’aide de la fonction de transfert (appliquée à kf).
•
Faire la synthèse du signal de sortie en sommant les différentes réponses.
u e ( t )= Ue 0 +
∑ u ek ( t )
k =1
6
474
8
U e 0

u e1 ( t )
u e 2 ( t )

...
u ek ( t )

...
→
H ( 0)
U s0 

u s1 ( t ) 
u s 2 ( t )


u sk ( t ) 


124
3
→
H (f )
f)
H( 2
→
H( kf) →
u s ( t )= Us 0 +
∑ u sk ( t )
k =1
Pour obtenir graphiquement le spectre en amplitude du signal de sortie, on superpose le spectre du signal d’entrée au tracé
du graphe de
H(f ) . On multiplie ensuite la hauteur de chaque raie du signal d’entrée de fréquence fk par la valeur de
H(f k ) à la même fréquence.
2.1.Signaux périodiques
8
|H|=1,4
|H|=1,2
1,5
Ue4
1
|H|=0,3
Ue1
Spectre de ue(t) et graphe de |H(f)|
Ue2
Ue0
0
f1
f2=2f1
f4=4f1
fréquence
Us1 =Ue1.1,2
Us0= Ue0
Us2 =Ue2.1,4
Spectre de us(t)
Us4 =Ue4.0,3
0
f1
f4=4f1
f2=2f1
2.
fréquence
Exemples de filtres linéaires
a)
Filtre passe-bas du premier ordre
R
C
e(t)
H=
H de la forme
1
1 + jX
avec
X=
vC
ω
= RCω
ωc
dB
0
1 lnx
-20dB
2.1.Signaux périodiques
9
b)
Filtre passe-haut du premier ordre
R
L
ue
H
de la forme
H=
us
jX
avec X=ω/ωc=ωL/R
1 + jX
dB
0
1
lnx
-20dB
c)
Filtre passe-bande du second ordre
R
C
e
R
H se met sous la forme
H=
C
v3
H0
(forme canonique)
 ω ω0 
1 + jQ − 
 ω0 ω 
log(ω0.10)
log(ω0/10)
GdB
ϕ
logω0
0
logω
π/2
0
logω0
-20
−π/2
d)
2.1.Signaux périodiques
Filtre passe-bas du deuxième ordre
10
logω
i1
L
uL
ue
i3
C
i2
us
R
La fonction de transfert est de la forme :
1
H=
1 − (ω / ω 0 ) 2 + jQ 0 ω / ω 0
3.
Comportement dérivateur ou intégrateur
* intégrateur : H de la forme
H=
1
jωτ
Passe bas en HF, passe bande en HF
* dérivateur : H de la forme
H = jωτ
Passe haut en BF, passe bande en BF
IV.
Détection du caractère non linéaire d’un système
Pour un système linéaire, les raies du spectre du signal d’entrée se retrouvent dans le signal de sortie.
Éventuellement, une raie (fréquence fp) peut être :
•
« coupée » si |H (fp) |=0 pour cette fréquence
•
atténuée si |H (fp) |<1 pour cette fréquence
•
amplifiée si |H (fp) |>1 pour cette fréquence
Mais si le système est linéaire, il n’y aura jamais apparition de nouvelles fréquences dans le spectre du signal de sortie.
L’apparition de nouvelles fréquences ne peut se produire que pour un système non linéaire‼
Ainsi, l’apparition de nouvelles fréquences permet de détecter le caractère non-linéaire du système.
2.1.Signaux périodiques
11