Transcript STP n! 2 : Gaz parfait de fermions

Master Physique
Physique Statistique : Sequence de Travail Personnel
2012-13
STP n 2 : Gaz parfait de fermions
1. Gaz parfait dégénéré d’électrons relativistes
On considère un gaz parfait dégénéré d’électrons relativistes con…nés dans un volume V .
1.1.1 - Ecrire la fonction de partition p d’un état électronique d’impulsion !
p.
Ecrire le grand potentiel J en fonction de . Rappeler les valeurs discrètes que prend !
p.
p
1.1.2 - En remplaçant la somme discrète sur les états par une intégrale dans l’espace des impulsions,
montrer que le grand potentiel du gaz s’écrit :
Z +1
V
p2 ln (1 + exp ( (
))) dp
J = kT (2s + 1) 3 4
h
0
où s est le spin de la particule.
1.1.3. - En utilisant une intégration par parties, montrer que :
Z +1
4
p3
V
d
J=
(2s + 1) 3
dp
3
h 0
dp exp ( (
)) + 1
En déduire la pression P du gaz.
1.2.1 - Calculer les probabilités pour qu’un état d’énergie
soit occupé ou vide.
Puis calculer le nombre moyen de particules. Que devient cette expression à T = 0 ?
1.2.2. - Dans le cas où T = 0, on dit que le gaz est totalement dégénéré. Le potentiel chimique est
alors donné par l’énergie du dernier état occupé ; c’est l’énergie ou niveau de Fermi noté "F .
La quantité de mouvement de ce dernier état occupé est pF (impulsion de Fermi).
Calculer pF en fonction de la densité N=V . Montrer que :
Z pF
d
4
V
p3 dp
J=
(2s + 1) 3
3
h 0
dp
Et calculer alors la pression “quantique” P0 du gaz dégénéré (pression à température nulle !).
1.3 - L’énergie " d’un électron relativiste est donnée par
"2 = p2 c2 + m2 c4
En posant x = p=mc montrer que, pour un gaz relativiste à T = 0, la pression devient :
P0 =
8 m4 c5
I(xF )
3 h3
où I(xF ) est une fonction de xF = pF =mc que l’on déterminera.
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2. Application : stabilité des "naines blanches".
La stabilité d’une étoile résulte de l’équilibre des forces gravitationnelles, qui ont tendance à provoquer
son e¤ondrement (le collapse gravitationnel), et de la pression thermique ou quantique de ses constituants (électrons, noyau ou neutrons). On se propose d’étudier l’équilbre des naines blanches dans le
cadre d’un modèle simple proposé par Subrahmanyan Chandrasekhar en 1930, à l’age de vingt ans, alors
qu’il était en bateau en route pour l’Angleterre pour y e¤ectuer ses études. Il a recu le prix Nobel en 1983
Cette étoile peut être considérée comme constituée d’un gaz d’électrons et d’un gaz de noyaux légers
(C, O). Nous prendrons dans la suite A = 15. Sa température centrale est estimée à T 107 K,
son rayon à R 5000 km et sa masse M est de l’ordre d’une masse solaire M = 1030 kg.
En supposant que l’étoile est de densité uniforme (ce qui est loin d’être le cas dans la réalité) l’énergie
potentielle de gravitation est donnée par :
3 M2
G
5 R
EG =
2.1 - Estimer la densité de l’étoile et comparer à celle de la matière condensée.
2.2 - Pour quanti…er l’e¤et des forces de gravitation nous allons introduire la notion de pression gravitationnelle PG . On imagine qu’un accroissement dR du rayon de l’étoile, provoque une variation dEG de
l’énergie gravitationnelle dé…nie par dEG = PG dV , calculer la pression PG ; Interprétez son signe.
2.3.1. - Calculer l’impulsion de Fermi pF . On prendra pour la densité d’électrons
Nelectrons Nprotons
Z Nnucleons
Z
ne =
=
= =
=
V
V
A
V
A
M
mnucleons
V
sachant que pour les noyaux considérés A=Z = 2, c-à-d.qu’il y a un électrons pour 2 nucleons
(mnucleons masse d’un proton masse d’un neutron).
Estimer xF .
2.3.2. - Calculer l’énergie de Fermi "F et comparer la à l’énergie themique kB T . Conclusion ?
2.4.1. - L’intégrale dé…nie dans l’exercice précédent vaut
q
q
x3F
3xF
3
I(xF ) =
1 + x2F + ln xF + 1 + x2F
4
8
8
Calculer I(xF ) dans le domaine ultra-relativiste (xF
1) ainsi que le premier terme correctif.
Montrer que la pression quantique du gaz d’électrons dans la naine blanche devient
!
m2 c2 8mp 2=3 1
9M 4=3 1
hc
P0 =
R4 h2 2=3 9M
R2
12 2=3 8mp
2.4.2. - Montrer que la naine blanche est à l’équilibre (P0 + PG = 0) si le rayon vaut
"
#1=2
M 2=3
M 1=3
R = R0
1
M0
M0
Avec M0 la masse de Chandrasekhar et R0 dé…nis par
M0 =
1
5hc
9G
3=2
9
8mp
2
;
R0 =
h
mc
1=3
9M0
8mp
1=3
2.4.3.
Tracer de manière qualitative R=R0 en fonction deM= M0 . Calculer M0 et R0 .
Que se passe-t-il pour les étoiles plus lourdes M0 ? Qu’en conclure pour notre soleil ?
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