Transcript Activité A

EXERCICES ET PROBLÈMES
Ch. 13 : Fonctions affines
. : Application
: Oral
? : Approfondissement
Fonctions affines
1
Indiquer si les fonctions proposées sont des
fonctions affines. Préciser alors les coefficients a et
b.
7! 3x
: x 7! 2x + 1
: x 7! 7
p
: x 7! 3x + 2
: x 7! x
: x 7! x + 2
1. f1 : x
2. f2
3. f3
4. f4
5. f5
6. f6
2
5
7
3
1. La fonction, notée f , qui, au temps passé,
associe le volume d’eau présent dans l’évier,
est-elle une fonction linéaire ? affine ? Justifier.
3
2 .
7!
2. Combien reste-t-il d’eau au bout de 2 minutes ? 8 minutes ? Traduire chaque résultat
en complétant : f (: : :) = : : :.
(a) Déterminer les images par f des nombres
6 ; 1 et 37 .
3. S’il reste 2 L d’eau, combien de minutes se
sont écoulées ? En combien de temps l’évier
se vide-t-il complétement ? Traduire chaque
résultat en complétant : f (: : :) = : : :.
1. Soit f la fonction affine telle que f : x
3x
1.
(b) Déterminer l’antécédent des nombres 8,
0 et 12.
2. Soit f la fonction affine telle que f : x
2
x 12 .
7
(a) Calculer f (7), f (
7
)
2
et f (
5
)
4
7!
.
(b) Déterminer l’antécédent des nombres
9 ; 23 et 0 par la fonction f .
3 . Soit f la fonction affine définie par f (x ) =
x 4. Recopier et compléter le tableau suivant :
3
2
x
f (x )
3
0
4
9
1
4
2
3
8
3
4 ? On étudie l’étanchéité d’un évier rempli d’eau.
Ci-dessous, on donne le volume d’eau présent dans
l’évier en fonction du temps.
5 ? Soit un ressort de longueur 10 cm quand aucun objet n’y est suspendu. On appelle élongation
du ressort la différence entre la longueru du ressort
auquel est attaché un objet de masse x , en kg, et la
longueur du ressort à vide. L’élongation du ressort
est proportionnelle à la valeur de la masse que l’on
y suspend.
On désigne par a le coefficient de proportionnalité.
1. (a) Supposons que a = 0;4 m.kg-1. Quelle
est la nature de la fonction f qui, à la
masse x , associe l’élongation du ressort.
(b) Quelle est l’élongation de ce ressort lorsqu’on suspend à son extrémité libre une
masse de 500 g ?
2. Exprimer la longueur totale du ressort en
fonction de la longueur à vide, de la masse
x de l’objet et du coefficient a.
9 ? Représenter les fonctions suivantes définies
par :
Représentation graphique
6
f (x ) =
4
(d4 )
g (x ) =
h (x ) =
(d1 )
2
7
2
7
2
7
2
x
2;
x + 1;
x
7
2
Que constate-t-on ?
10
4
2
0
2
?
4
4
C
2
( d2 )
2
( dg )
( d3 )
4
A
1. Lire le coefficient directeur et l’ordonnée à
l’origine de chacune des droites représentées
ci-contre.
2. La droite (d3 ) représente la fonction affine
f . Lire graphiquement l’image de 1 par f
et l’antécédent de 5 par f .
4
2
0
B
2
4
(df )
2
4
7 . Soit f la fonction affine définie par f (x ) =
2x + 1. Représenter la fonction f .
8 . Déterminer graphiquement les fonctions représentées ci-contre.
4
( dg )
1. Sachant que A(2; 0), B (0; 1;6) et
C (0; 2:5), déterminer graphiquement les
fonctions représentées ci-contre.
2. Comment semblent être les droites (df ) et
( dg ) ?
3. Calculer le périmètre et l’aire du triangle
ABC .
2
Accroissements
4
2
0
2
(dh )
( df )
4
2
(di )
4
11
Déterminer la fonction affine f telle que
f (1) = 9 et f (5) = 4.
12 . Déterminer la fonction affine f dont la droite
représentative a pour ordonnée
à l’origine 10 et
passe par le point E
9; 136 .
13 . Déterminer la fonction affine f telle que
f (1) = 9 et f (5) = 45.
14 ? Déterminer la fonction affine f dont la représentation graphique passe par les points A(3; 5) et
B ( 2; 5).
15
(b) Montrer que si Noémie a eu 10 de
moyenne à cet examen, alors y = 50
3
2
x.
3
3. Pour tout x compris entre 0 et 20, on définit
2
x.
la fonction f par f (x ) = 50
3
3
Représenter la fonction f dans un repère
d’unité 1 cm.
?
1. Dans un repère d’origine O, tracer les droites
(d1 ), (d2 ) et (d3 ) représentant les fonctions
affines f1 , f2 et f3 telles que :
— f1 (2) = 3 et le coefficient directeur de
(d1 ) est 23 .
— Le point A( 3; 2) appartient à (d2 ) et le
coefficient directeur de (d2 ) est 65 .
— f3 (4) = 1 et le coefficient directeur de
(d3 ) est 3.
4. Les notes données à l’examen sont des
nombres entiers compris entre 0 et 20. Utiliser le graphique pour répondre aux questions
suivantes.
(a) Si Noémie obtient 9 à l’épreuve A,
quelle note minimale doit elle obtenir à
l’épreuve B pour réussir son examen ?
2. Déterminer les expresions f1 (x ), de f2 (x ) et
de f3 (x ) en fonction de x .
(b) Si Noémie obtient 6 à l’épreuve B ,
quelle note minimale doit elle obtenir à
l’épreuve A pour réussir son examen ?
5. Pierre a également passé cet examen et souhaite obtenir au moins la mention « assez
bien », c’est-à-dire obtenir une moyenne supérieure ou égale à 12.
Problèmes
16 ? Gilbert se fait livrer 4 chaises et Claire 9.
Frais fixes de livraison inclus, Gilbert paie 90 e et
Claire 165 e.
(a) Peut-il utiliser la représentation graphique obtenue à la question 3 pour déterminer la note minimale qu’il doit avoir
à l’épreuve B sachant qu’il a eu 7 à
l’épreuve A ?
1. On considère la fonction f qui, au nombre de
chaises achetées, associe le montant à payer
en euros. Quelle est la nature de la fonction
f?
(b) Soient x la note que Pierre a obtenue à
l’épreuve A et g la fonction associant à
x la note qu’il doit obtenir à l’épreuve B
pour avoir 12 à l’examen. Exprimer g (x )
en fonction de x , puis répondre à la question précédente.
2. Donner f (4) et f (9).
3. Déterminer l’expression de f .
4. Céline se fait livrer 11 chaises du même modèle. Combien paiera-t-elle ?
17 ? Pour accéder à l’année supérieure, Noémie
doit obtenir au moins 1 à un examen comportant
deux épreuves A et B . Le coefficient de l’épreuve A
est 2, celui de l’épreuve B est 3.
1. (a) Noémie a obtenu 8 à l’épreuve A et 12 à
l’épreuve B . Noémie pourra-t-elle passer
dans la classe supérieure ?
18
?
L’unité choisie est le centimètre.
On considère un triangle ABC rectangle en A,
tel que : AB = 8 et AC = 6. Le point M est un
point du segment [AC ]. On pose AM = x .
C
(b) Noémie aurait-elle eu la même moyenne
si elle avait eu 12 à l’épreuve A et 8 à
l’épreuve B ?
2. On appelle x la note de Noémie à l’épreuve
A et y la note qu’elle a obtenue à l’épreuve
B.
(a) Exprimer en fonction de x et de y la
moyenne de Noémie à cet examen.
M
x
A
B
1. Donner un encadrement du nombre x .
2. Soit f la fonction qui, au nombre x , associe l’aire du triangle AMB . Exprimer f (x )
en fonction de x . Quelle est la nature de la
fonction f ?
Peut-on exprimer la distance AB en fonction du
coefficient directeur a et des abscisses des points A
et B seulement ?
3. Soit g la fonction qui, au nombre x , associe l’aire du triangle BMC . Exprimer g (x )
en fonction de x . Quelle est la nature de la
fonction g ?
Vu au brevet
4. Représenter graphiquement les fonctions f
et g dans un repère orthogonal en prenant
pour unité 1 cm sur l’axe des abscisses et
0;5 cm sur l’axe des ordonnées.
5. Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes.
(a) Quelle est l’aire du triangle AMB et celle
du triangle BMC pour x = 2 ?
(b) Pour quelle valeur de x l’aire du triangle
BMC est-elle égale à 15 cm2 ? Quelle est
alors l’aire du triangle AMB ?
(c) Pour quelles valeurs de x l’aire du triangle AMB est-elle supérieure à celle du
triangle BMC ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
6. Retrouver les résultats de la question 5 par
le calcul.
19 ? Voici une partie de la représentation graphique d’une fonction affine f passant par les points
M et N .
A(24; 44)
N (12; 38)
M
1. Déterminer l’image de 0 par la fonction f .
2. Déterminer l’antécédent de 0 par la fonction
f.
20 ?
Soit f une fonction affine définie par
f (x ) = ax + b où a et b sont des nombres quelconques. Soit (d ) la droite représentative de f
dans un repère d’unité 1 cm et soient A(xA ; yA ) et
B (xB ; yB ) deux points de (d ) tels que xB > xA .
21
?
Amérique du Nord 2008
Première partie : Un club de squash propose
trois tarifs à ses adhèrents :
— Tarif A : 8 e par séance.
— Tarif B : achat d’une carte privilège à 40 e
pour l’année donnant droit à un tarif réduit
de 5 e par séance.
— Tarif C : achat d’une carte confort à 160 e
valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle.
Mélissa, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs.
1. (a) Compléter le tableau :
Nombre de séances
10 18 25
Dépense totale avec le tarif A
Dépense totale avec le tarif B
Dépense totale avec le tarif C
(b) Quel est le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire 10 séances ?
2. On appelle x le nombre de séances.
(a) Exprimer, en fonction de x , la dépense
totale f (x ) lorsque Mélissa fait x séances
avec le tarif A.
(b) Exprimer, en fonction de x , la dépense
totale g (x ) lorsque Mélissa fait x séances
avec le tarif B.
(c) Exprimer, en fonction de x , la dépense
totale h(x ) lorsque Mélissa fait x séances
avec le tarif C.
3. (a) Résoudre l’inéquation 5x + 40 6 8x .
(b) Expliquer, en rédigeant votre réponse, à
quoi correspondent les nombres entiers
qui sont solutions de cette inéquation.
Deuxième partie :
1. Sur une feuille de papier millimétrée, placée
verticalement, tracer un repère orthogonal
en plaçant l’origine O en bas à gauche et
en prenant comme unités : 0,5 cm pour une
séance sur l’axe des abscisses et 1 cm pour
10 e sur l’axe des ordonnées.
2. Représenter, dans ce repère, les trois fonctions f , g et h, pour x compris entre 0 et
30.
3. (a) Vérifier, par lecture graphique le résultat
de la question 1. b. de la première partie ;
on fera apparaître sur le dessin les tracés
nécessaires.
2. Démontrer que RH =
5
3
x et SH =
4
3
x.
3. Exprimer, en fonction de x , le périmètre du
triangle RSH .
(b) Déterminer, par lecture graphique, le
nombre de séances à partir duquel le tarif
C devient avantageux.
4. Démontrer que le périmètre du trapèze
(c) Mélissa souhaite ne pas dépasser 130 e
pour cette activité ; déterminer par lecture graphique, le tarif qu’elle doit choisir
si elle veut faire le plus de séances possibles ; on fera apparaître sur le dessin les
tracés nécessaires.
Partie C : On considère les fonctions affines f et g
telles que :
Troisième partie : L’amie de Mélissa avait prévu de
faire du squash une fois par semaine et avait choisi
le tarif C ; elle n’a pu se libérer pour ce sport qu’une
semaine sur deux.
A-t-elle fait le bon choix ?
On rappelle qu’une année comporte 52 semaines.
2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement f et g dans un repère
orthonormé
— origine du repère en bas à gauche de la
feuille de papier millimétré ;
— unité le cm.
22
? Amérique du Sud - 2007
L’unité de longueur est le cm, la figure est réa-
lisée à l’échelle
1
2
. Ne pas reproduire la figure.
S
H
M
Partie A : Soit (S ) un cercle de diamètre [RM ]
avec RM = 10. Soit T un point de (C ) tel que
RT = 6.
1. Démontrer que RMT est un triangle rectangle.
2. Démontrer que T M = 8.
Partie B : Soit S un point de [RT ] et H le point
de [RM ] tel que (SH )==(T M ).
On pose RS = x .
1. Donner un encadrement de x .
f
:
x
7 ! 4x
et
g:x
4
3
x.
7 ! 24
4
3
x:
1. Calculer f (0); f (6); g (0) et g (6).
3. (a) Déterminer par le calcul la valeur de x
pour laquelle f (x ) = g (x ).
(b) Retrouver cette valeur sur le graphique ;
faire apparaître les pointillés nécessaires.
4. Que représente la solution de l’équation
f (x ) = g (x ) pour la partie B de ce problème ?
T
R
ST MH est égal à : 24