Transcript Correction du TD 1 : Schémas-Blocs

IUT GEII Brest
2ieme année
Année 2014-2015
IUT GEII Brest
2ieme année
Question 1.4.
Correction du TD 1 : Schémas-Blocs
Exercice 1: Modélisation statique d'un moteur.
Année 2014-2015
La variation de vitesse ∆Ω est donnée par :
(5)
∆Ω = Ω2 − Ω1
= KU2 + b − (KU1 + b)
(6)
= K(U2 − U1 ) = k∆U
(7)
où ∆U représente la variation de tension. Nous obtenons alors
∆U
50
3
∆Ω
Ω (rad.s-1 )
300
Exercice 2: Identication de la zone linéaire
200
Question 2.1.
La zone linéaire correspond à l'intervalle [200 300] mm.
Question 2.2.
Dans cette zone, le gain est approximativement égal à
100
K=
∆S
≈3
∆E
(8)
En utilisant le résultat précédent et le fait que la courbe est approximativement
égal à 400mm lorsque E=300mm, nous trouvons le schéma suivant
Question 2.3.
0
0
2
4
6
8
10 12
U (V)
14
16
18
20
500
Figure 1 Évolution de la vitesse en fonction de la tension d'induit.
La courbe montre que la relation entre la tension et la vitesse est donnée par
une fonction ane
Ω = f (U ) = KU + b
(1)
E
Question 1.1.
où K correspond à la pente et donc au gain statique. Pour déterminer K et b, nous utilisons
deux points de la courbe. Comme f (2) = 0 rad/s et f (20) = 300 rad/s, nous obtenons après
calculs :
50
K =
(2)
3
100
b = −
(3)
3
Question 1.2. Nous trouvons alors que :
Question 1.3.
50
100
Ω= U−
(4)
3
3
L'équation précédente peut être représentée par le schéma-bloc suivant :
100
3
U
50
3
−
+
Ω
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3
−
+
S
A partir du schéma-bloc précédent, nous trouvons S = 3 × 100 − 500 =
−200mm. Ce résultat ne correspond pas aux mesures données dans la Figure 1.2. Ce résultat
n'est pas surprenant car l'entrée E = 100mm est située à l ?extérieure de la zone linéaire.
Question 2.4.
Exercice 3: Modélisation d'un capteur de position angulaire.
Comme nous avons une relation linéaire entre l'angle de rotation et la résistance et comme V = 0V si l'angle Θ = 0o , l'angle et la tension sont liés par la relation :
Question 3.1.
(9)
V = f (θ) = Kθ
Pour identier K , nous allons utiliser le fait que f (θm ) = E , c-a-d :
E = Kθm ⇒ K =
E
θm
En utilisant (9) dans (10), nous obtenons nalement l'expression de V suivante :
E
V = f (θ) =
θ
θm
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(10)
(11)
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2ieme année
Question 3.2.
Année 2014-2015
Le gain statique correspond à la pente de la fonction V = f (θ) c-a-d :
K=
Question 3.3.
E
θm
(12)
Le gain statique s'exprimant en V /rad, l'application numérique donne :
K=
E
(rad)
θm
180E
=
(o)
π × θm
= 4.58V.rad−1
(13)
Exercice 4: Modélisation dynamique d'une variation de température
Question 4.1.
La loi de variation de la température est décrite par l'équation :
P (t) = C
dT (t) (T (t) − Ta )
+
dt
Rth
(14)
Les conditions initiales (CIs) ne sont pas nulles ici. Nous allons donc opérer le changement de
variable :
θ(t) = T (t) − Ta
(15)
La dérivée de θ(t) par rapport à t est donnée par :
dθ(t)
dθ(t)
dT (t)
dT (t)
=
×
=
dt
dT (t)
dt
dt
(16)
En opérant le changement de variable, nous obtenons donc :
P (t) = C
dθ(t)
1
+
θ(t)
dt
Rth
(17)
Notons P (p) = L[P (t)] et θ(p) = L[θ(t)] les transformées de Laplace de P (t) et θ(t). En utilisant la propriété de linéarité de la transformée de Laplace ainsi que la règle sur la dérivation,
nous obtenons :
1
θ(p)
Rth
P (p) = Cpθ(p) +
θ(p) ⇒
=
(18)
Rth
P (p)
1 + CRth p
Nous obtenons donc un système de premier ordre avec :
un gain statique : K = Rth
une constante de temps : τ = CRth
Question 4.2. Comme θ(t) = T (t) − Ta , nous obtenons dans le domaine de Laplace : T (p) =
θ(p)+ Tpa . Le schéma-bloc de la modélisation dynamique du système est représentée ci-dessous.
Ta
p
P (p)
Rth
1+CRth p
θ(p)
+
+
T (p)
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