Transcript Cours mécanique des fluides

MG Medici
Mécanique des fluides
SV1
INTRODUCTION
à la
MECANIQUE des FLUIDES
MG MEDICI
LMD- Sciences de la Vie 1ère année
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Mécanique des fluides
SV1
Bibliographie :
Ouvrages :
- H. BROCH Cours de Physique « mécanique des fluides »
- ALONSO M., FINN E. (1970), "Physique générale", éd. Renouveau Pédagogique, Montréal
- BOUYSSY A., DAVIER M., GATTY B. (1987), "Physique pour les sciences de la vie" (t. 1
et 2), collection "Dia", Belin, Paris
- GUINIER A. (1980), "La structure de la matière", éd. Hachette-CNRS, Paris, collection
"Liaisons Scientifiques"
- LUMBROSO H. (1994), "Problèmes résolus de mécanique des fluides", Dunod, Paris
- G. DEVORE et R. ANNEQUIN (1963) « Cours de Physique » Unités et mesures statique
des fluide éd ; Vuibert
Ressources internet :
http://membres.multimania.fr/montagreg/montages/M%2002%20TENSION%20SUPERFICI
ELLE.pdf
http://www2.ulg.ac.be/sciences/pedagogique/dossierpds2001/physique.pdf
http://www.funsci.com/fun3_fr/coll/coll.htm#3
Pour s’amuser :
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/jurin2.html
http://www.wikidebrouillard.org/index.php/Tension_superficielle
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Chapitre I Statique des fluides
IIIIIIIVV-
Introduction : qu’est ce qu’un fluide ?
Pression dans un fluide
Principe fondamental de la statique des fluides
Pression sur les parois
Osmose
Chapitre II Tension superficielle- Capillarité
IIIIIIIVV-
Notion de tension superficielle
Loi de Laplace
Angle de raccordement
Ascension Capillaire-Loi de Jurin
Conséquences-Applications
Chapitre III Dynamique des Fluides parfaits
IIIIIIIVVVI-
Quelques définitions
Conservation du débit
Equation de Bernoulli
Conséquences et Applications
Limite d’application : variation brusque de section
Extension au cas des gaz
Chapitre IV Dynamique des fluides réels-viscosité
IIIIII-
Notion de viscosité
Loi de Poiseuille
Régime laminaire- Régime turbulent
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Chapitre I Statique des fluides
Ce sont des situations dans lesquelles il n’y a pas de mouvement relatif entre les particules de fluide :
Fluide au repos/ accélération nulle, équilibre.
Pas de contraintes liées aux frottements entre particules. On considèrera les forces de pression, les forces
liées à la pesanteur, les forces interfaciales.
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I- Introduction- Solide Liquide gaz
Une approche corpusculaire et simplifiée de la
matière permet de voir celle-ci comme un
empilement de particules élémentaires : atomes,
molécules. La manière dont ces entités élémentaires
sont regroupées va définir l’état de la matière, solide,
liquide, gazeux ou plasma.
L’état solide = interaction fortes
(entité
molécule atomes), c’est un réseau rigide
donc : pas de diffusion et de déformation.
I-1
I-2
L’état fluide
Interactions moins fortes, les entités peuvent se mouvoir les unes par rapport aux autres. Il y a une
possibilité de diffusion. il la particularité de prendre la forme de leur contenant.
L’état liquide = Les entités se déplacent les unes par rapport aux autres mais restent liées, elles sont
déformable mais peu compressibles
L’état gazeux = Les entités sont libre de se déplacer, vont occuper tout l’espace disponible, elles sont
déformable et compressibles
Voir Gaz parfaits : On considère qu’il n’y a aucune réactivité (ou interaction)entre les entités , en
découle la loi des gaz parfaits ( PV=nRT)
Il n’existe pas de surface libre avec les gaz contrairement aux liquides
L’état plasma : C’est « tout simplement » un gaz ionisé, les entités ont perdus un ou plusieurs électrons.
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=>Diagramme des phases de l’eau
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II- Pression dans un fluide
II-1 Introduction
L’agitation moléculaire va être responsable de l’existence d’une pression dans un fluide.
Mise en évidence d’une force de pression :
La force de pression est dirigée du liquide vers l’air (représentée ici par
une flèche). De manière générale
dA représente un élément infinitésimal de A
dX et dY sont des éléments de longueur
d2S représente un élément de surface il est égal a la multiplication de
dX et de dY
II-2 Définition :
Soit dS un élément de surface et df une force élémentaire qui s’exerce
sur dS de (1) vers (2).On peut décomposer df en deux
vecteur (composante): un normal (dfn ) et l’autre tangentiel (dft ). Si
dft existe elle sera responsable d’un mouvement, elle n’existe qu’en
dynamique.
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Pression en un point d’un fluide
Dfn =P n dS ou n est le vecteur normal et p est le scalaire.
Dfn dépend de dS (plus dS grand plus Dfn grand)
On veut montrer que P est indépendant de la surface S
Pour cela on considère un cylindre avec une section droite
en dSA et une section inclinée avec un angle α dSB .

y
x
On va regarder les forces qui s’exercent sur le cylindre : Les forces qui s’exercent latéralement
(flèches noires) n’ont aucune composante sur l’axe O,x.
Pour dSA => PA.dSA = dfA
Pour dSB => on a une force ayant une composante sur l’axe O,x et O,y on vas donc projeter le vecteur
sur l’axe et utiliser les propriétés mathématiques pour définir la longueur du vecteur.
Rappel mathématiques : deux angles correspondant sont égaux. Et réviser les règles de trigonométrie.
(^^’ désolée …) on cherche donc comment exprimer la projection du vecteur sur l’axe des abscisses. On
connaît dfB et l’angle alpha on utilise donc les règles de trigonométrie. Ici cos α = le coté rouge sue l’on
cherche / dfB .
Donc dSB => - dSB sin α PB = dfB (explique image ci dessus)
Si le cylindre est au repos, la somme des forces qui s’exercent dessus est égale à 0.
Donc -dSB sin α PB + PA.dSA = 0
dSB.sin α = dSA
dSA.PA – dSA.PB = 0
Donc PA = PB
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III-Principe fondamental de la statique des fluides
III-1 Forme globale :

Dans ce cas on introduit l’existence de
la force de pesanteur, on prend un cylindre fictif dont
l’axe fait un angle avec la verticale dS.
Soient dS = Surface d’une section
l = Longueur
dV= l x dS (dV = volume élémentaire)
Forces qui s’appliquent sur le cylindre : poids et forces de pression.
On considère les projections sur l’axe du cylindre : Le poids P = -m.g.cosα
P = -ρ.dV.g.cosα
La force de pression qui s’exerce sur la surface latérale (flèches grises), n’ont pas de composantes sur
l’axe O,x. En A on a : -PA.dS ; En B on a : PB.dS. Le cylindre est au repos, donc la somme des forces est
égale à 0. Donc –ρ.dV.g.cosα – PA.dS + PB.dS = 0
-ρ.l.dS.g.cosα – PA.dS + PB.dS = 0
dS (-ρ.l.g.cosα – PA + PB) = 0
soit dS = 0
soit => -ρ.l.g.cosα – PA + PB = 0
-ρ.l.g.cosα = PA – PB
comme l.cosα = h (hauteur entre B et A)
Théorème de Pascal :
PB - PA = r gh
APPLICATION :
On cherche la pression à 10 mètre en dessous de la surface de l’eau :
PB – PA = ρ.g.h
PB = PA + ρ.g.h
PB = PA + 103.10.10 comme PA est à la surface de l’eau donc c’est P0.
Calculer la pression d’un disque de rayon 1mètre et de masse 100Kg.
P = F/S = (m.g)/(πR2) = (100.10)/(π.12) = 318 Pa
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La différence de pression entre 2 points quelconques d’un fluide en équilibre est égale au poids d’un
cylindre de fluide de section unité et ayant pour hauteur la dénivellation entre les 2 points.
III-2 Forme différentielle :
dp
= -r g
dz
z z
On prend un pavé, de coté dx,dy,dz.
On regarde les forces qui s’exercent sur chaque
face, Fx et Fx’ s’annulent 2 à 2 et Fy et Fy’
également (attention sur O ; z il faut considérer
la pesanteur).
z
y
x
xx
y
y
Conditions initiales : PB – PA ne dépend que de
la hauteur séparant A et B et PB > PA.
D’après ces conditions, dans l’équation PB –
PA = ρ.g.h, on a : ρ et g sont des constantes (en
simplifiant).
Dans la réalité la masse volumique (ρ) n’est
pas une constante, c’est pourquoi on utilise les
différentielles.
On projette sur l’axe O, z : Fz = Pz.dx.dy
sachant que dx.dy = dS
F’z = -P’z.dx.dy
P = -m.g = -ρ.dV.g or dV = dx.dy.dz
P = -ρ.dx.dy.dz.g
Dans le pavé on a la somme des forces (Fz, F’z et P) est égale à 0.
Pz.dx.dy – P’z.dx.dy – ρ.dx.dy.dz.g = 0
(dx.dy)(Pz – P’z – ρ.dz.g) = 0
Soit (dx.dy) = 0 soit (Pz – P’z – ρ.dz.g) = 0
P’z – Pz = - ρ.dz.g
(P’z – Pz)/dz = - ρ.g
or P’z - Pz = dP
Donc : dP/dz = - ρ.g
III-3 Transmission des pressions:
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Les fluides transmettent les pression (ex :si on applique une force f= ps sur le petit piston on récupère une
force F = PS plus grande à la sortie du grand piston mais la pression est la même.
Notions d’unités et d’ordre de grandeur :
Le Pascal : SI
Equation aux dimensions : [P]= [F]/[S]=MLT-2/L2=ML-1T-2
1Pascal=1kg.m-1s-2=1N.m-2
Les autres unités couramment utilisé:
1atm=1.013. 105 Pa = 76 cmHg
1 bar=105 Pa
[F]=MLT-2
ρPresse hydrostatique
Ce sont deux cylindres verticaux formant deux
vases communiquant, deux plateaux (P1 et P2)
mobiles et sans frottement reposant sur S1 et S2.
Si on place une masse M2 sur P2 alors
F2
=dPS2 => il y a donc un accroissement de
pression car dP = F2/S2 = (M2g)/S2. Cet
accroissement est transmit dans le fluide pour
retrouver l’équilibre, s’appliquant sur le P1 en
F1 tel que :
dP = F2/S2 = F1/S1
F1 = S1/S2.F2 << F1 si S1 << S2
Si on veut rétablir un équilibre on va appliquer sur le piston P2 une force F2=dpS2.
.
Surface libre d’un liquide
On suppose que la surface libre du liquide n’est pas horizontale.
A et B dans le liquide PA-PB=ρgh
Avec PA=P0
PB=P0
P0-P0=ρgh
0=ρgh
p diffèrent de 0 et h diffèrent de 0 donc h=0
Donc la surface libre est horizontale.
Surface de séparation de 2 liquides non miscibles :
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On suppose que la surface de séparation de 2 liquides non miscible n’est pas horizontale.
 A et B dans le liquide 1 PB-PA=ρ1gh
1
 A et B dans le liquide 2 PB-PA=ρ2gh
2
1=2
ρ1gh=ρ2gh
ρ1gh-ρ2gh=0
(ρ1-ρ2)gh=0
Soit ρ1-ρ2=0 ρ1=ρ2
Le liquide est le même
h=0-> la surface de pression est horizontale
Vases communicants
Vases communicantes tube en U contenant 2 liquides non miscibles
Branche de gauche :
PB=PA+ pression liée au poids de la colonne de liquide (masse volumique ρ1)
Entre A et B
PB=PA+ρ1gh1
PB=ρA+ρ1gh1
Branche de droite :
PB’=PC+ pression liée au poids du liquide de masse volumique ρ2 entre B’
et C
PB’=Pc +ρ2gh2
PC=P0=PA
=P0+ρ2gh2
PB=PB’ car B et B’ dans le même plan horizontale meme liquide
1=2
P0+ρ1gh1=P0+ρ2gh2
ρ1h1=p2h2
Siphon :
2 cuves séparées par une hauteur h.
1tube relie les 2 cuves attention le tube est remplie de liquide
Branche gauche
PC=P0
Branche droite :
PA’=PB+ pression liée au poids de liquide entre A’ et B
PA’=PB+ρgh
PA’=PA car A et A’ dans un même plan horizontale et même liquide
Et PA=P0
P0=PB+ρgh
On a PC=P0=PB car C et B même plan horizontale même liquide
P0=P0+ρgh
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Pgh=0
Ce n’est pas possible -> le liquide va s’écouler de C vers A dans le sens d’une diminution de h
C
B
h
A’
A
Paradoxe hydrostatique :
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Pression atmosphérique
Expérience de Toricelli
Baromètre de Toricelli
=> mesure de la pression atmosphérique
Une cuve remplie de mercure
On remplit un tube dans cette cuve, on le bascule à la verticale en
faisant attention de ne pas faire entrer de l’air
(Que le tube soit vertical ou incliné la hauteur h est la même)
La pression=agitation moléculaire
Vide au-dessus du point C
PC=0
PB=PC+ρHggh
PB=ρHggh
PB=PA=P0
P0=ρHggh
PHg=13.6*103kg/m3
Si on prend de l’eau
P0=ρeaugh
ρHg-h=ρeau heau
heau=ρHg/ρeau.h
1.013*105Pa=760mm de mercure
heau=13.6*103/103*0.76 =environ 10m
IV Pression sur les parois :
Cas des liquides
Si on remplit un ballon avec de l’eau, et qu’on le perce l’eau s’échappe
perpendiculairement aux parois.
Exemple : force exercée sur une paroi plane :
h
df
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On découpe le barrage en « bandelette »
D’épaisseur dz et de longueur l
df=p(z)ds
ds=surface de la bandelette
=l.dz
p(z) est constante en tout point de la bandelette
p(z)=P0+pg(h-z)
df=(p0+pgh(h-z))l.dz
Tous les df sont colinéaires
Pour avoir la résultante on les ajoute
Fint=0∫h df
Le barrage subit aussi une force Fext (opposée à Fint) liée à la pression atmosphérique
Fext=P0.Stot
Cas des gaz
Dans un volume pas trop grand on négliger ρgh car ρ est très petit devant la pression su gaz.
On a la même pression P dans tout le volume considéré.
Poussée d’Archimède
On a un parallépipède fictif dans un fluide
Face ABHG et CDEF :
Les forces de pression F’ avec flèche et F
avec flèche ont même norme mais
opposées -> elles s’annulent
Idem pour les faces ADEH et BCFG
Sur la face ABCD (pression P1) force de
pression dirigée vers le bas
F1=P1S1=P1a.c (voir figure)
Face EFGH (pression P2)
Force de pression dirigée vers le haut
F2=P2S2=P2.a.c
P2>P1
Fleche vers bas et droite face intérieure
La résultante des forces est dirigée vers le haut
Et F=F2-F1
=(P2-P1)a.c
=ρ.g.b.a.c
b.a.c=V=volume du parallepipede
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F=ρgh
Le parallepipede subit de la part du fluide qui l’entoure une force de bas en haut, qui est egale au poids
du volume déplacé.
Si on remplace le parallepipede par un objet de même volume la force est identique.
Le solide est immerge dans plusieurs fluides non miscibles.
Théorème d’Archimède : Les forces de pression qu’exerce un système de
fluide en équilibre sur un solide immergé admettent comme résultante une
force de bas en haut appelée poussée d’Archimède, égale et opposée au
poids du fluide déplacé.
La poussée d’Archimède est donc verticale, dirigée vers le haut et sont
support passe par le centre de gravité C des fluides déplacés (centre de
poussée) qui n’est pas forcément le même que celui du solide (solide
inhomogène ou fluide non miscibles). .
A=A1+A2+A3
=ρ1gV1+ρ2gV2+p3gV3
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G
C
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Exemple
Navire :
C=
Centre
de
poussé=point
d’application de la poussé
D’Archimède
G=centre de gravité
En cas de roulis existence
d’un couple entre A et P
qui tend à ramener le
bateau dans sa position
d’équilibre
F
G
C
P
Vérification du théorème d’Archimède
exp1 : équilibre entre la tare et le solide de volume V
exp2 : on plonge le solide dans un liquide : Le plateau de gauche remonte pour refaire l’équilibre. On
ajoute (à gauche) un volume V de liquide.
Mesure de masse volumique :
exp1 : Ptare=M1g+ρsolVg
exp2 : Ptare=M2g
exp3 : Ptare=M3g+ρsolVg-ρliqVg
ρsolVg=poids du solide
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1=2 M1g+ρsolVg=M2g
1=3 M1g+ρsolVg=M3g+ρsolVg+pliqVg
1=2 ρsolV=M2-M1
4
ρliqV=M3-M1
5
4/5 ρsol/ρliq=M2-M1/M3-M1
1kg de plume ou 1kg de plomb. Lequel arrivera le plus vite au sol ?
1kg plume Pplume Aplume
1kg plomb Pplomb Aplomb
Pplume=Pplomb
Aplume>Aplomb
ΣF=Ma Fplume<fplomb
 Le plomb arrivera le premier.
Iceberg
Calcul du volume immergé connaissant la masse volumique de l’eau et celle de la glace.
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Proportion de volume immergé
L’iceberg est à l’équilibre donc A=P
P=pglaceVtot
A=ρeauVimmg+ρairVemmerge.g
ρair<<ρeau
ρglaceVtotg=ρeauVimmg
Vimm/Vtot=ρglace/ρeau=917/1000=0.917
Vimm=91.7%Vtot
Pglace=917kg/m3
Peau=1000kg/m3
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V Osmose
V-1-Introduction
V-2-Pression osmotique :
Evaluation de la pression osmotique :
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Loi de Van’hoff :
La pression osmotique d’une solution diluée est égale à la pression d’un gaz composé de la substance
dissoute qui occuperait le même volume à la même température :
dans la solution.
Osmose inverse :
La dialyse
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montée de la sève d'érable par osmose.
On prendra T= 290 K; masse volumique de la sève : sève = 103 kg m-3.
La concentration du sucre dans une sève normale , assimilée à une solution aqueuse, est environ C=10
g/L.
Calculer la pression osmotique de la sève par rapport à l'eau du sol autour des racines.
La pression osmotique peut-elle expliquer la montée de la sève dans les grands arbres ( hauteur
supérieure à 20 m) ?
Dessalement de l’eau de mer
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Chapitre II Tension Superficielle- Capillarité
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I-
Notion de tension superficielle
Le savon : famille des surfactants ou détergents
Energie de surface :
Description de la force de tension superficielle
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Notion de cohésion du liquide
S
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II-
Loi de Laplace
 1
1 

p   

 R1 R2 
A la traversée d’une surface de séparation entre 2 fluides, la pression subit un accroissement de pression
de la face convexe vers la face concave égale à la tension superficielle de l’interface multipliée par la
courbure moyenne.
Applications :
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Bulles de savon
PA  PC 
4
R
Expérience des 2 bulles en contacte.
Les 2 bulles étant isolée dans quelle bulle se trouve la pression la
plus grande ?
que se passe-t-il ?
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III- Angle de raccordement –Phases en contact
goutte d’huile à la surface de l’eau.
(Texte de Pierre Gilles De Gennes sur la mesure de la taille d’une molécule d’huile :
http://www.ac-grenoble.fr/webcurie/pedagogie/physique/tp/franklin/pggennes3.html)
Mouillage
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IV- Ascension (ou dépression) capillaire

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Loi de Jurin :
1ère méthode : par la loi de Laplace
2nde méthode : par l’équilibre des forces
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V- Conséquences et Applications
Manip amusantes :
http://www.wikidebrouillard.org/index.php/Tension_superficielle
http://www.imaginascience.com/pratique/experiences-demonstrations/choix-experience-scientifiqueamusante.php?choix=tension-superficielle
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Montée de la sève dans les arbres
.
Pression atmosphérique :
hatm 
Ascension capillaire :
hcapillarit é 
Pression osmotique :. .
hatm 
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Dessins japonais
effet Marangoni, qui est également à l’origine des
beaux motifs dans l’ancien art japonais du
Suminagashi
(http://www5e.biglobe.ne.jp/%7Ekuroda/room3e.htm) (”encre flottante”).
propulsion savonneuse
http://www.wikidebrouillard.org/index.php/Propulser_un_bateau_avec_du_savon_%3F
d
D
D/2

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Rôle du surfactant pulmonaire
Aiguille (ou trombone) sur l’eau
http://www.wikidebrouillard.org/index.php/Trombone_qui_flotte
Le gerris
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Mesures de tension superficielles
Traction sur une lame immergée
Par arrachement
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/jurin2.html
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Montée dans un capillaire
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/jurin.html
Par mesure sur le dièdre
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Minimisation de surface :
Quelle est pour un volume donné la surface fermée l’englobant :
.
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Le fil de coton sépare le film de savon en deux parties. Le fil est détendu. Si l’on perce un côté du
film savon, le fil de coton se tend. Pourquoi?
déplacement du polystyrène (du poivre) :
http://www.wikidebrouillard.org/index.php/Poivre_dans_l%27eau
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Chapitre III- Dynamique des fluides parfaits
Nous allons à présent étudier les fluides lorsqu’ils sont en mouvement. Dans ce chapitre nous allons
nous limiter aux fluides parfait c’est à dire aux fluides qui ont une viscosité nulle. Cela veut aussi
dire qu’aucune force de frottement n’existe au sein de ce fluide en mouvement.
Nous considèrerons aussi que ce fluide est incompressible. Nous étudierons le régime permanent
(stationnaire).
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I. Quelques définitions
fluide parfait :
Régime stationnaire (ou régime permanent) :
Fluide incompressible :
Ligne de courant :
Tube de courant :
Filet de courant :
Débit-masse :
Débit-volume :
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II. Conservation du débit
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III. Equation de Bernoulli
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IV. Conséquences et applications
IV-1 Orientation de l’ouverture du tube
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Analyse dimensionnelle :
IV-2 Tube de Pitot
z
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Anémomètre à tube de Pitot :
IV-3 Effet Venturi
h
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Trompe à eau
Vaporisateurs
Phénomène de sténose vasculaire
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Aérodynamique
.
Balle et entonnoir :
.
Expérience 1 :
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Expérience 2 :
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V. Limite d’application variation brusque de section.
Rétrécissement dans une conduite :
VI. Extension aux cas des gaz
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Chapitre IV- Dynamique des fluides réelsViscosité
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I. Notion de viscosité
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II. Loi de Poiseuille
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x
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III. Régime laminaire régime turbulent
R 
vd

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