Transcript Automatique ISMIN 1A P2016 – Examen – 5 mai 2014 1h30

Automatique ISMIN 1A P2016 – Examen – 5 mai 2014 1h30
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Le sujet comporte 1 exercice unique (4 pages).
Un certain nombre de résultats relatifs à la réponse indicielle d’un système du 2nd ordre sont
rappelés en annexe.
Note sur 20.
Exercice 1 :
Régulation d’un four
Un four électrique utilisé pour le traitement thermique d’objets est constitué d’une enceinte
adiabatique close chauffée par une résistance électrique alimentée par une tension v(t). Dix
objets peuvent être placés simultanément dans le four.
Le traitement thermique considéré consiste à maintenir les objets pendant 1 heure à une
température constante de 1200 °C. La régulation du four doit être prévue pour éviter de
dépasser 1400 °C, température au-delà de laquelle les objets sont détruits. Entre deux
cuissons, le temps correspondant au refroidissement du four et à la manutention des objets
(sortie des objets ayant subi le recuit thermique et chargement d’une nouvelle fournée) est de
24 minutes.
On donne l’équation différentielle (eq. 1) liant la température du four θ(t) et la tension
d’alimentation v(t) :
2000.
d 2ϑ (t) dϑ (t)
+
= 0,02.v(t)
dt 2
dt
(eq. 1)
1. Calculer la fonction de transfert T(p) du four en boucle ouverte. Que se passe-t-il si le
four est alimenté par une tension continue (i.e. réponse à un échelon de tension) ?
€
2. En admettant malgré tout que l’on puisse alimenter le four en boucle ouverte par un
échelon de tension d’amplitude 100 V, au bout de combien de temps une température de
1200 °C est-elle atteinte ?
Le four est placé dans une boucle d’asservissement (boucle fermée). La chaîne de retour est
constituée d’un capteur de température qui délivre une tension u(t). L’équation suivante
(eq. 2) décrit son fonctionnement :
2.
du(t)
+ u(t) = 5.10 −3.ϑ (t)
dt
(eq. 2)
Un gain K positif est également introduit dans la chaîne directe.
€
3. Faire
le schéma de la boucle d’asservissement et calculer sa fonction de transfert en
boucle fermée. Déterminer la condition de stabilité de ce système asservi (vous pourrez
utiliser le critère de Routh).
1
Rappels et compléments de cours utiles à la résolution de l’exercice :
•
On rappelle que pour simplifier l’étude d’un système en boucle fermé, on considère
généralement que son comportement peut être assimilé à celui d’un système du 2nd
ordre (même si la FTBF est d’ordre supérieur).
•
On donne également deux approximations couramment utilisées lors de l’étude du
comportement des systèmes du 2nd ordre :
o Estimation de la relation entre le temps de montée tm et la pulsation de
3
transition ωT : t m =
ωT
o Estimation de la relation entre le coefficient d’amortissement m et la marge de
M
phase MΘ (exprimée en degrés) : m = Θ
100
On pourra noter€que ces deux estimations permettent de retrouver un paramètre de la BF
(tm ou m) à partir d’un paramètre relatif à la BO (ωT ou MΘ).
€
4. On souhaite régler l’asservissement de telle sorte que la marge de phase soit égale à 45°
(critère usuel de stabilité). Quelle est alors la valeur du temps de montée du système en
boucle fermée ? (on pourra calculer de façon intermédiaire ωT).
5. Le but de l’asservissement est bien évidemment d’obtenir une température de 1200 °C
dans le four. Donner le signal de consigne de la BF (amplitude et unité) permettant
d’atteindre ce but. L’asservissement étant réglé pour obtenir une marge de phase de
45 °C, déterminer le coefficient d’amortissement du 2nd ordre équivalent. En déduire la
température maximale atteinte dans le four. Conclure.
6. On souhaite limiter le dépassement de température à 10%. Quel sera alors le temps de
montée en température du four. ? Combien d’objets peuvent-ils être traités en 24 heures ?
7. On souhaite modifier l’asservissement afin de porter la cadence de traitement à 100 objets
par jour. Quelle est la valeur du gain K permettant d’atteindre cette cadence ?
8. Quelle est alors la valeur de la marge de phase ? Rappeler la valeur de la marge de phase
permettant de limiter le dépassement de température à 10%. Quel type de correcteur peuton utiliser pour atteindre cet objectif ? Donner sa fonction de transfert et calculer ces
paramètres.
2
Réponse indicielle des systèmes linéaires du second ordre.
Pulsation de résonance
ω r = ω 0 1 − 2.m 2
Pulsation de coupure
ω c = ω 0 1 − 2.m 2 + 1+ (1 − 2.m 2 )
Facteur de résonance
€
1
M=
2m 1 − m 2
€
Facteur de qualité
Temps de montée
€
tm =
Temps de réponse à n% (m<0,7)
tr ≅
€
Temps de pic
t pic =
Pseudo-période
Tp =
€
Dépassement
π
ω 0 1 − m2
2π
ω 0 1 − m2
−π .m
D% = 100.e
€
€
3
.(π − arccos m)
ω 0 1 − m2
$ 100 '
1
.ln&
)
ω 0 .m % n (
€
Nombre d’oscillations complètes
1
1−m 2
2
m
D%
MdB
m
0,1
1,68
30
3,16
6,31
73
0,99
1,54
1,56
14
0,1
0,15
1,74
20
3,18
6,36
62
0,98
1,53
1,56
10,5
0,15
0,2
1,81
14
3,21
6,41
53
0,96
1,51
1,57
8,1
0,2
0,25
1,88
11
3,24
6,49
44
0,94
1,48
1,59
6,3
0,25
0,3
1,97
10,1
3,29
6,59
37
0,91
1,45
1,61
4,8
0,3
0,35
2,06
7,9
3,35
6,71
31
0,87
1,42
1,63
3,6
0,35
0,4
2,16
7,7
3,43
6,86
25
0,82
1,37
1,67
2,7
0,4
0,45
2,28
5,4
3,52
7,04
21
0,77
1,33
1,72
1,9
0,45
0,5
2,42
5,3
3,63
7,26
16
0,71
1,27
1,8
1,2
0,5
0,55
2,58
5,3
3,76
7,52
12,6
0,63
1,21
1,93
0,7
0,55
0,6
2,77
5,2
3,93
7,85
9,5
0,53
1,15
2,17
0,3
0,6
0,65
3
5
4,13
8,27
6,8
0,39
1,08
2,74
0,1
0,65
0,7
3,29
3
4,4
8,8
4,6
0,14
1,01
7,14
0
0,7
0,75
3,66
3,1
4,75
9,5
2,84
-
0,94
-
-
0,75
0,8
4,16
3,4
5,24
10,5
1,52
-
0,87
-
-
0,8
0,85
4,91
3,7
5,96
11,93
0,63
-
0,81
-
-
0,85
0,9
6,17
4
7,21
14,41
0,15
-
0,75
-
-
0,9
0,95
9,09
4,1
10,06
20,12
0,01
-
0,69
-
-
0,95
4