Transcript Correction du devoir n°7 de physique

Correction du devoir n°7 de physique-chimie
Exercice n°1 : Découverte d’une exo planète habitable
Première partie : cette étude se fera dans un référentiel, considéré comme
galiléen, lié au centre de la planète C.
1. Étude de la gravitation à la surface de la planète C.
1.1.
Représenter sur un schéma la force de gravitation F exercée par la planète C
de masse MC et de rayon RC sur un objet A de masse m situé à l’altitude h.
MC
Planète C
m
RC
1.2.
Objet A
F
h
n
Donner l’expression littérale de cette force en fonction de MC, m, RC, h et
de la constante de gravitation universelle G.
m.MC
F= G
2
 RC  h 
F
.
m
En déduire l’expression littérale de la valeur g0 du champ de gravitation à la
surface de la planète C en fonction de M C, RC et de la constante de gravitation
universelle G.
G.MC
MC
F
g=
= G
à la surface de la planète h = 0 m donc : g0 =
2
RC2
m
 RC  h 
1.3.
La valeur g du champ de gravitation est définie par la relation : g =
2. Vitesse d’un satellite de la planète C
2.1. Montrer, à partir de la 2e loi de Kepler, que si le satellite a une trajectoire circulaire
alors sa vitesse est constante.
D’après la deuxième loi de Kepler (loi des aires), le rayon vecteur CA (reliant les
centres de A et C) balaye des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux.
L’orbite de A étant circulaire, on en déduit que le mouvement est uniforme.
2.2. Déterminer l’expression de la valeur V 1 de la vitesse de l’objet A de masse m
satellisé sur une orbite circulaire à l’attitude h.
Dans le référentiel galiléen lié au centre de la planète C, la deuxième loi de Newton
F
appliquée à l’objet A donne : F  m.a
donc
a
m
V²
De plus, le mouvement de A étant circulaire, on a également a  1
Rc  h
On obtient donc
V²
F
 1
m Rc  h
et ceci aboutit donc à
V1 
G.M c .( Rc  h)

( Rc  h)²
G.M c
Rc  h
2.3. L’énergie mécanique du satellite est constante. Expliquer
2 méthodes d’explication :
a) L’énergie cinétique est constante car la vitesse et la masse du satellite le sont
également. L’énergie potentielle de pesanteur est également constante car la distance
entre le satellite et la planète l’est également. Par conséquent, l’énergie mécanique est
constante puisque la somme de ces deux énergies.
b) Le satellite est soumis uniquement à la force F constamment perpendiculaire à la
trajectoire de A donc ne travaillant pas. En conséquence, la variation d’énergie
mécanique est nécessairement nulle.
3. On appelle vitesse de libération la valeur minimale de la vitesse que doit posséder
un objet A situé à la surface d’une planète pour quitter le champ de gravitation de
celle-ci. Pour la planète C, cette vitesse V2 a pour expression V2 = 2.g 0 .RC .
Cette vitesse de libération V2 est en relation directe avec l’existence d’une
atmosphère à la surface d’une planète : à une température donnée, si la vitesse de
libération est trop faible, les molécules de gaz s’échappent facilement et l’existence
d’une atmosphère à la surface de la planète est impossible.
Si l’on suppose que la planète C et la Terre sont soumises à des conditions de
température très voisines, l’existence d’une atmosphère sur la planète C
est-elle possible ?
Déterminons la valeur de V2 :
V2 =
2.g 0 .RC  2  22  9,6.10 6  2,1.10 4 m.s 1  21 km.s 1 .
Cette vitesse est supérieure à celle de la Terre ayant des conditions de températures
similaires. L’atmosphère existant sur Terre, elle peut aussi exister sur la planète C.
Donnée : Vitesse de libération pour la Terre : 11,2 km.s-1
Deuxième partie : cette étude se fera dans un référentiel, considéré comme
galiléen, lié au centre de l’étoile E.
L’étoile E possède trois planètes actuellement identifiées : Gliese b notée B, Gliese c
notée C et Gliese d notée D.
On considère que ces trois planètes se déplacent sur des orbites pratiquement
circulaires.
Le tableau ci-dessous regroupe quelques caractéristiques de ces planètes.
Période (jours)
Rayon trajectoire (U.A.)
B
C
D
Tb = 5,366
Tc =12,93
Td = 84,4
rb = ?
rc = 7,27.10 –2
rd = 2,54.10 –1
1. La vitesse V d’une planète en mouvement circulaire uniforme autour de son étoile
GM
est donnée par la relation V =
, r désignant le rayon de la trajectoire.
r
Donner la signification de la lettre M intervenant dans cette relation.
M est la masse de l’étoile E par analogie avec la formule en 2.2. de la 1ere partie
2. Rayon de la trajectoire de la planète B
2.1. Énoncer la troisième loi de Kepler, relative à la période de révolution de la
planète autour de son étoile.
Troisième loi de Kepler : le carré de la période de révolution T de la planète autour de
son étoile est proportionnel au cube du rayon r de sa trajectoire :
T² = k  r3 où k est la constante de proportionnalité.
Remarque : cette expression n’est valable que dans le cas d’un mouvement circulaire. Si la
trajectoire est une ellipse, on a T² = ka3 où a est le demi-grand axe.
2.2. Calculer la valeur de la constante de proportionnalité intervenant dans cette loi
en utilisant les données du tableau précédent. On utilisera le jour pour unité de
temps et l’unité astronomique pour unité de distance.
Pour tout corps en orbite autour de l’étoile E, la constante de proportionnalité k a la même valeur.
T2
Utilisons les données relatives à la planète C pour la déterminer : k = c3 avec TC en jour et rC en
rc
12,932
= 4,35.105 jour2.(U.A)–3.
2 3
(7,27.10 )
Avec la planète D, on obtient la même valeur.
U.A, il vient : k =
2.3. Calculer, en unité astronomique, le rayon de la trajectoire de la planète B.
T ²
T ²
Tb2
3
donc il vient rb  b
soit rb  3 b = 4,05  10–2 U.A.
3
k
k
rb
Remarque : comme la planète B a la période de révolution la plus petite, il est normal que le
rayon de sa trajectoire soit également le plus petit.
On a : k =
Exercice n°2 : Décollage de la fusée
On utilise un modèle simplifié du décollage : on suppose que le système {fusée + gaz} est
isolé.
1. En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t = 0 s et
t = 1 s, montrer que :
m
v f   g .v g
mf
Quelle est la conséquence de l’éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
Le système {fusée + gaz} étant supposé isolé, la quantité de mouvement pS du système
S se conserve au cours du temps. Entre les dates t = 0 et t = 1 s on a donc :
pS (t  0 s)  pS (t  1 s)
Initialement le système est immobile (on considère que les gaz n’ont pas encore eu le
temps d’être éjectés de la fusée) donc pS (t  0 s)  0 d’où 0  pf  pg ,
soit 0  mf  v f  mg  v g
donc finalement : v f  
mg
 vg
mf
Lors du décollage, les gaz sont éjectés vers le bas. La relation précédente montre que
la fusée est alors propulsée vers le haut. Il s’agit d’un exemple de mode de propulsion
par réaction.
2. Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est
négligeable au bout d’une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse
de la fusée à cet instant.
Entre les dates t = 0 et t = 1 s, la variation de masse |m| de la fusée est due à l’éjection
de gaz qui a lieu avec un débit D.
La masse mg des gaz éjectés s’écrit mg = D.t
Donc |m| = D.t.
3
3
3
Pour t = 1 s on a : |m| = 2,910 1 = 2,910 kg  310 kg = 3 t.
m
2,9

En exprimant les masses en tonnes, calculons :
= 3,7103 = 0,37%
2
mfi 7,8  10
La variation de masse |Δm| de la fusée au bout d’une seconde après le décollage est
inférieure à 1 % de la masse initiale mfi de la fusée : elle est donc négligeable.
On considère que la masse mf de la fusée n’a pas varié une seconde après le décollage.
Calculons alors la valeur de la vitesse de la fusée :
m
m
En projetant la relation v f   g  v g selon un axe vertical il vient : v f  g  v g
mf
mf
1
En laissant les masses en tonnes et la vitesse en km.s , il vient :
vf 
2,9
 4,0 = 1,5102 km.s1 = 15 m.s1.
2
7,8  10
Exercice n°3 : Synthèse d’une phéromone
1ere partie : Etude cinétique de la réaction
1) Donner la formule semi-développée du 3-méthylbutan-1-ol
2) Quel est le rôle joué par l’acide sulfurique ? Justifier votre réponse
L’acide sulfurique joue le rôle de catalyseur car il est ajouté dans le système mais
n’apparait pas dans l’équation, donc ne sera pas consommé dans le bilan de la
réaction.
3) Quel est l’intérêt de plonger l’ampoule dans un bain d’eau glacée avant chaque mesure
d’avancement ?
Ceci permet de stopper la transformation dans l’ampoule en attendant de faire la
mesure. La mesure correspond donc à la date à laquelle l’ampoule est plongée dans
l’eau glacée.
4) Déterminer la valeur de l’avancement final xf ainsi que la date à partir de laquelle le
système atteint son état final.
D’après la courbe, on observe que xf = 60 mmol et cette valeur est obtenue à la date t =
250 min
5) Rappeler la définition du temps de demi-réaction t1/2 puis déterminer graphiquement sa
valeur approchée
Le temps de demi-réaction est la date à laquelle l’avancement x a atteint la moitié de sa
valeur finale. On obtient donc, dans cette situation, t1/2 = 70 min quand x = 30 mmol.
6) Sur la courbe ci-dessous, tracer l’allure de la courbe x = f(t) que l’on obtiendrait en
plaçant les ampoules dans une enceinte de température supérieure à 80 °C.
Dans une enceinte de température plus grande, la réaction irait plus vite mais l’état final
ne changerait pas. On obtient donc la courbe en rouge ci-dessous :
2e partie : Cinétique relativiste
On imagine que la réaction précédente est réalisée dans la navette spatiale s’éloignant
à une vitesse de v = 0,80.c de la Terre où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
2.1. Indiquer les deux référentiels étudiés ici.
Les deux référentiels étudiés ici sont l’engin spatial et le référentiel terrestre.
2.2. Quel est celui dans lequel on mesure la durée propre tp du temps de demi-réaction ?
Expliquer
La durée propre est mesurée dans le référentiel où les deux évènements définissant le
début et la fin de la mesure de la durée ont lieu au même endroit.
Dans notre situation, c’est donc l’engin spatial dans lequel le début et la ½ réaction ont
lieu au même endroit qui est le référentiel mesurant la durée propre.
2.3. Quel est le nombre suffisant d’horloge(s) qu’il faut utiliser pour mesurer la durée tp ?
Il suffit donc d’une seule horloge H car elle reste à côté de la réaction.
2
2.4. Sachant que 1  1  v , calculer ,
2
2

1

2
 1
2
v
c2
donc
On obtient alors
c
1

2
 1
(0, 80.c )2
 1 0, 802
2
c

et
2 
1
1 0, 802
1
= 1,7
1 0, 802
2.5. En déduire la durée mesurée tm dans le deuxième référentiel à l’aide de la relation
suivante de la relativité restreinte tm = .tp
Δtm = γ.ΔtP = 1,7×70=1,2.102 min
2.6. Comparer tm et tp. Commenter.
Δtm > ΔtP.
La vitesse du vaisseau spatial est très élevée et proche de celle de la lumière, elle
entraîne une dilatation des durées pour un observateur situé dans le référentiel lié à la
Terre.