Transcript Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2014/2015 MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2014/2015
Programme des colles de la semaine 3 (13/10 – 18/10)
Rappel : Une connaissance imparfaite des résultats marqués hors-programme (HP) n’est pas sanctionnable. La connaissance de ces résultats et de leurs démonstrations permet néanmoins d’avoir une vision plus large et peut fournir des
idées pour résoudre un exercice. Tout résultat hors-programme utilisé lors de la résolution d’un exercice doit pouvoir
être redémontré à la demande du colleur. Suivant la situation, le colleur pourra ou non exiger cette démonstration.
I. Sommes (révisions semaine 2)
II. Rationnels et réels
1. De Q à R
• (HP) Rapide idée de la construction de Q par quotient de Z × Z∗ .
√
• Existence de nombres irrationnels : 2 (démonstration à revoir du chapitre 1)
• Notion de nombres incommensurables.
• Non existence systématique des bornes supérieures d’ensembles non vides majorés dans Q
• (HP) Idée de la construction de R par « ajout » de ces bornes supérieures. Nous avons vu en exercice comment
récupérer R en quotientant par une relation donnant le cas d’égalité des bornes supérieures dans R.
• Propriété fondamentale de R (admis comme axiome de la construction de R)
• Propriété d’Archimède
• Division euclidienne dans R
• Cas de la division par 1 : Partie entière et partie décimale. Caractérisations diverses de la partie entière. Propriétés de la partie entière (somme, produit...) Notation utilisée : ⌊x⌋ (partie entière) et {x} (partie décimale).
Partie entière par excès, notation ⌈x⌉.
• (HP) Caractérisation de l’incommensurabilité par l’algorithme d’Euclide. Exemple de l’incommensurabilité du
côté et de la diagonale d’un pentagone.
• Densité de Q dans R. Densité de R \ Q dans R.
2. Nombres réels
• Manipulation d’inégalités dans R (sommes, différences, produits...)
• Valeur absolue, partie positive, partie négative. Notations |x|, x+ , x−
• Positivité de x+ , x− . Expression de x et |x| à l’aide de x+ et x− .
• Inégalités triangulaires pour (·)+ , (·)− et | · |.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz numérique. Cas d’égalité
• (HP) Inégalité arithmético-géométrique. Deux démonstrations données :
∗ idée géométrique de la démonstration par concavité de ln, la notion de concavité restant à ce stade intuitive ;
∗ Démonstration de Cauchy par récurrence pour P(2n ) puis retour en arrière.
• Représentation décimale. Nombres décimaux. Approximation décimale à 10−n par défaut, par excès.
• Existence du développement décimal. Unicité du développement décimal propre. Démonstration faite en cours
d’informatique, pour toute base b > 2 (démonstration à revoir).
• (HP) Caractérisation des rationnels par leur développement décimal.
3. Intervalles
• Notion de convexité d’un sous-ensemble de Rn
• Définition d’un intervalle par convexité.
• Théorème : inventaire des intervalles de R
• Équivalence entre ce théorème et la propriété fondamentale.
• Intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts.
4. Introduction à la topologie
On se place ici exclusivement dans Rn , muni de sa distance euclidienne canonique.
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Notion de boule ouverte, boule fermée. Cas n = 1.
Notion de voisinage
Caractérisation des voisinages dans R
Sous-ensembles ouverts de Rn , sous-ensembles fermés
Les intervalles ouverts sont des ouverts de R, les intervalles fermés sont des fermés de R.
Union et intersection d’ouverts et fermés (finies ou infinies suivant les cas)
Contre-exemples pour les intersections infinies d’ouverts et unions infinies de fermés (à savoir redonner à la
demande)
5. Droite achevée réelle
• Définition, prolongement de la relation d’ordre.
• Règles calculatoires dans R
• Formes indéterminées
• Inventaire des intervalles de R.