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PC
2014-2015
Optique
Interférences - Eléments de correction
1
Exercices de raisonnement
1.1
Flaque d'huile
Une goutte d'huile de vidange forme un l mince à la surface de l'eau éclairé par le Soleil. La lumière
rééchie fait apparaître des franges colorées.
Pour une longueur d'onde, il existe des interférences entre les ondes se rééchissant à l'interface airhuile et celles se rééchissant à l'interface huile-eau.
La diérence de marche est δ = 2ne. Les irisations sont dues aux
interférences en lumière blanche. Or
λ20
. Pour la lumière blanche, λ0 ≈ 600 nm
pour que des interférences soient visibles, on doit avoir δ < `∗ = ∆λ
et ∆λ ≈ 400 nm donc
`∗ ≈ 1 µm.
`∗
Ainsi, si e < 2n , les interférences sont visibles et l'on observe des irisations. On en déduit que e est
de l'ordre du micromètre.
2
Exercices d'entraînement
2.7
Détermination du pas d'un réseau, mesure d'une longueur d'onde
1. La formule fondamentale des réseaux montre que si l'on éclaire un réseau sous incidence i avec une
onde de longueur d'onde λ, les interférences sont constructives dans certaines directions θ telles
que :
a(sin θ − sin i) = kλ avec k ∈ Z
où a est la distance entre deux fentes.
Sous incidence normale, i = 0 donc
a sin θk = kλ avec k ∈ Z
On remarque que sous incidence normale, sin θ−k = − sin θk donc θ−k = −θk : sous incidence
normale, les angles correspondant aux ordres k et −k sont opposés : la gure d'interférences est
symétrique par rapport à la normale au réseau.
Les résultats expérimentaux montrent qu'en moyenne, on a bien θ−k = −θk : le réseau est bien
éclairé sous incidence normale.
Pour déterminer a, on a a =
kλ
sin θk .
Finalement, en prenant la moyenne des valeurs trouvées, on a
a = 1, 83 µm = 1, 83.10−3 mm ; ce qui correspond à 546 traits par mm.
2. On a λ1 = a sink θk avec k = ±2.
On trouve λ1 = 492 nm.
2.8
Capacité de stockage d'un CD
1. La formule fondamentale des réseaux montre que si l'on éclaire un réseau par réexion sous incidence
i avec une onde de longueur d'onde λ, les interférences sont constructives dans certaines directions
θ telles que :
a(sin θ + sin i) = pλ avec p ∈ Z
où a est la distance entre deux fentes. Le signe + est lié au fait que le réseau fonctionne par réexion.
Sous incidence normale, i = 0 donc
a sin θp = pλ avec p ∈ Z
Ainsi, à l'ordre p,
a=
pλ
sin θp
√
pλ
D 2 +`2
p
.
2. D'après la gure, on a tan θp = `Dp . Ainsi, a =
`p
On trouve
pour l'ordre 1, a = 1, 62.10−6 m ;
pour l'ordre 2, a = 1, 64.10−6 m.
Les deux mesures sont cohérentes, on a a = 1, 63.10−6 m.
Attention, `p et D sont du même ordre de grandeur ; on ne peut donc pas considérer
que θp est petit devant 1 et écrire sin θ ≈ tan θ.
3. La distance entre deux bits d'information est d = 0, 82 µm. Comme la longueur de la piste est de
L = 5 km, le nombre de bits stockés est N = Ld = 6, 1.109 . Un CD peut donc stocker N8 = 7, 6.108
octets.
La capacité du CD est donc 760 M o, l'ordre de grandeur est tout à fait correct.
Remarque :
2.9
Mesure de l'épaisseur d'une pièce transparente (d'après Mines Ponts MP
2013)
si on intercale sur le trajet No 2 une lame de verre, le chemin optique correspondant
augmente fortement et la diérence de marche peut alors dépasser la longueur de cohérence `∗ : la gure
d'interférences se brouille.
Si on veut rétablir des franges (|δ| < `∗ ), il faut alors augmenter l'autre chemin optique ; dans ce
cas, on ne doit surtout pas éloigner le miroir No 2 de sa position précédente, mais au contraire éloigner
le miroir No 1 (on ne peut pas rapprocher le miroir No 2 puisque on a placé la lame à son contact. . . ).
Il est toutefois possible de montrer dans ce cas qu'on ne peut jamais revenir à une teinte plate ; le
schéma envisagé ici est donc conforme à l'énoncé.
Remarque :
Figure 1 Mesure de l'épaisseur d'une lame de verre : calcul de la diérence de marche
1. On va comparer (gure 1) un rayon se rééchissant en I1 sur le miroir M1 et un autre rayon,
parallèle à ce dernier et se rééchissant en I2 sur le miroir M2 . Ces deux rayons sont choisis de sorte
que la réexion sur (M1 ) et la sortie de la lame à étudier se font au même point I1 .
On calculera δ = (SM )2 − (SM )1 , la source S et le point d'observation M étant à l'inni
Remarque : la formulation de l'énoncé (diérence de marche entre deux rayons ) n'a de sens
que si l'on calcule cette diérence de marche à l'inni, ce qui suppose connue dès cette question le
lieu d'observation (et de localisation en éclairage large) des franges.
Le chemin optique depuis la source jusqu'au plan de phase Πe est alors le même sur tous les rayons.
En particulier, on observe ici une première diérence de marche
δS→I1 = nH2 I1 − H2 I1 cos j
Comme j = i − r et H2 I1 = L/ cos r, on a δS→I1 =
Comme sin i = n sin r, on en déduit que
L
cos r
[n − cos i cos r − sin i sin r].
δS→I1 = nL cos r − L cos i
La diérence de marche suivante, à ajouter à celle-ci, amène les deux rayons dans le plan de phase
(Πi ), lorsque les rayons atteignent respectivement les points H1 et I10 .
Il s'agit du calcul classique de la diérence de marche pour une lame d'air d'épaisseur d, avec donc
δI1 →Πi = 2d cos i. Le rayon eectif sortant en passant par H1 est alors en phase avec celui qui
passerait par I10 .
À partir de ce dernier point, il sut d'ajouter une seconde diérence de marche δI10 →M qui est égale
à celle δS→I1 déjà calculée.
Finalement, δ = 2d cos i + 2L (n cos r − cos i) soit
δ = 2(d − L) cos i + 2nL cos r
; par identication avec l'énoncé, on a
A = d − L et B = nL
Comme on l'a déjà implicitement utilisé, les franges correspondant à la juxtaposition d'une lame
d'air et d'une lame de verre et sont localisées à l'intersection des rayons émergents, donc à l'inni
(ce qui est aussi le seul lieu où le calcul de la diérence de marche est simple).
2. Comme i << 1 et r << 1, on a δ = 2(d − L)(1 − i2 ) + 2nL(1 − r2 ).
De plus, sin i = n sin r soit au premier ordre, i = nr donc δ = 2(d − L)(1 −
AInsi,
2
2
n2 r 2
2 )
+ 2nL(1 −
r2
2 ).
δ = 2(d + (n − 1)L) − nr2 (nd − (n − 1)L)
L'énoncé parle de contact optique soit δ = 0 ; ce qui est impossible à réaliser. Il s'agit en fait d'une
teinte plate où la diérence de marche est alors constante mais non nulle.
Ainsi, la teinte plate correspond à δ indépendant de r donc à
nd = L(n − 1)
2.10
Epaisseur d'une lame de verre
1. Les interférences sont localisées à l'inni, on les observe en plaçant l'écran dans le plan focal image
d'une lentille convergente. Pour observer un maximum d'anneaux, on utilise un condenseur pour
faire converger la lumière sur les miroirs et ainsi avoir le maximum de valeurs de l'angle d'incidence
i.
2. Pour régler l'interféromètre au contact optique, il faut diminuer l'épaisseur de la lame d'air et donc
charioter le miroir mobile dans le sens qui fait diminuer le nombre d'anneaux et tel que les anneaux
rentrent.
3. (a) En intercalant une lame de verre, on augmente le chemin optique [SM ]1 . Pour compenser, il
faut donc le diminuer et déplacer M1 vers la lame de verre.
Pour retrouver le contact optique, on déplace M1 vers la lame de verre.
(b) Au centre de la gure d'interférences, en l'absence de lame de verre, la diérence de marche
est δ = 2e où e = SpM1 − SpM2 est l'épaisseur de la lame d'air équivalente.
En introduisant la lame de verre, on ajoute une diérence de marche supplémentaire δlame =
2(n0 − 1)e.
Lorsqu'on retrouve le contact optique, δt = δ + δlame = 0 et e = −d (on a rapproché M1 de la
séparatrice).
Ainsi, e = (n0d−1) .
On trouve e = 0, 095 mm. Pour l'incertitude, on suppose n0 connu sans incertitude. Ainsi,
∆e
∆d
e = d donc ∆e = 0, 010 mm.
Finalement,
e = 0, 095 ± 0, 010 mm
4. (a) On a p = =
dp
La frange achromatique vérie dλ
|λ0 = 0 soit
B
dn
2B
Or n = A + λ2 donc dλ = − λ3 , on a donc
δ
λ
2((n−1)e−d)
.
λ
dn
dλ |λ0 eλ0
− ((n0 − 1)e − d) = 0.
d = (n0 − 1 + 2 λB2 )e
0
On trouve e = 0, 091 mm.
Pour l'incertitude, on suppose n0 et B connus sans incertitude donc
0, 010 mm et
∆e
e
=
∆d
d
donc ∆e =
e = 0, 091 ± 0, 010 mm
nul |
(b) L'erreur relative est
. On trouve une erreur de 4% ; ce qui est inférieur
à l'incertitude de mesure mais non négligeable.
|eachromatique −eordre
eachromatique
Remarque : La lame de verre est assez souvent d'épaisseur variable. On observe alors des franges
d'égale épaisseur. Cette méthode est donc plutôt utilisée pour observer et quantier des défauts de
planéité.
2.11
Contrôle d'épaisseur d'un dépôt métallique (d'après Mines Ponts MP
2013)
Figure 2 Mesure interférentielle dans un coin d'air
1. Les interférences ont lieu entre un rayon incident se rééchissant sur la face supérieure (lame semirééchissante) du système (gure 2 à gauche) et un rayon se rééchissant sur le miroir.
Un des rayons est directement rééchi tandis que l'autre doit eectuer en plus le trajet IJI .
Si on néglige toute diérence de phase lors des réexions ou si elles se compensent, δ = (IJI) =
2e(x) = 2x tan . Si << 1, on a
δ2e(x) = 2x
L'interfrange sur les miroirs est i = = 1, 52.10−4 m.
Lors de l'observation sur l'écran (gure 2 à droite), il faut tenir compte du grandissement : x0 = γx
(on a ici choisi γ > 0).
0 0
Pour déterminer γ , on utilise la relation de Newtonγ = FfA0 = 11, 5.
λ
Ainsi, sur l'écran, l'interfrange mesuré est di = γi = γ 2
soit di = 1, 75.10−3 m.
2. Dans la partie où est situé le dépôt métallique, l'aller-et-retour se fait sur une épaisseur diminuée
de e donc la nouvelle diérence de marche est δD = δ − 2e.
En dehors de celui-ci, δ = 2x.
Si on suit une frange donnée, l'ordre est constant et donc la diérence de marche également :
δ = δD = pλ0 donc
λ
2
2xD − 2e = 2x
Au niveau des miroirs, il y a donc un décalage umiroir = xD − x soit
umiroir =
e
Sur le décran, le décalage u vérie
u = γumiroir =
Numériquement, e =
u
γ
γe
= 89, 8 nm.
On évalue un décalage d'une fraction d'interfrange donc une épaisseur d'une fraction de demilongueur d'onde : c'est l'ordre de grandeur des meilleurs mesures possibles par un dispositif interférométrique.
3. Dans un milieu d'indice n, les diérences de marche sont désormais
δ = 2nx et δD = 2nx0 − 2e
λ
: l'interfrange diminue.
Ainsi, i = 2n
e
D'autre part, umiroir = n
: le décrochage diminue également : la gure d'interférences subit une
1
homothétie de rapport n .
4. En reprenant les résultats précédents avec → 0 > , on en déduit que di et u diminuent dans la
même proportion : la gure d'interférences subit une homothétie de rapport /0 .