Th2 - Physique en PCSI

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PCSI
Physique
PCSI
a.
b.
c.
TD Thermo2 : ELEMENTS DE STATIQUE DES FLUIDES
Physique
En traduisant l’équilibre du densimètre, déterminer la relation entre ρ 0 , ρ1 ,V , v et n1 .
En déduire la valeur numérique du volume v .
Le densimètre est maintenant plongé dans du benzène. Il affleure à la graduation n2 = 28 . En déduire la densité
d du benzène par rapport à l’eau.
Données : ρ 0 = 1g.cm −3 ; ρ1 = 0,72g.cm −3 .
Applications directes du cours
1.
Equation Fondamentale de la Statique des Fluides.
a. Rappeler la définition d’un fluide homogène incompressible.
b. Etablir la loi fondamentale de la statique des fluides dans le champ de pesanteur reliant dP et dz , en prenant
l’axe Oz ascendant.
c. A la surface d’un océan, la pression vaut P0 = 1bar . Un plongeur descend 10 m sous la surface. Calculer la
pression ressentie par le plongeur à cette profondeur.
d. Au dessus de la surface de l’eau s’élève un rocher de 10 m . Calculer la pression en haut du rocher en supposant
que la température y est la même qu’à la surface de l’eau (T0 = 293K ) .
Données : ρ eau = 103 kg.m −3 ; M air = 29g.mol−1 ; R = 8,31J.K −1.mol−1 ; g = 10m.s −2 .
2.
On considère un objet hémisphérique de rayon R rempli d’air à la
pression P0 = 1bar et posé au fond d’un récipient rempli d’eau sur une
hauteur H ≫ R . L’eau est supposée homogène et incompressible de masse
volumique ρ eau = 103 kg.m −3 . L’origine de l’axe Oz ascendant est choisie
z
O
à la surface de l’eau où la pression vaut P0 .
a. Déterminer la résultante des forces pressantes exercées sur l’objet.
b. On suppose maintenant qu’une fine couche d’eau s’est glissée entre
l’objet et le fond du récipient. Déterminer la résultante des forces
pressantes exercées sur l’objet.
3.
6 : Retenue d’eau par un barrage.(**)
Un barrage doit permettre de réaliser une retenue d’eau sur une profondeur H et une
largeur L. La pression de l’air est P0, et la masse volumique de l’eau est constante et
vaut ρ0 .
1. Dans le cas d’un profil de barrage simple, déterminer la résultante F des efforts
exercés par l’eau sur le barrage.
x2
2. Le profil du barrage est modifié. Il correspond à une courbe d’équation z =
.
h
On notera x0 l’abscisse du point le plus haut de la courbe atteint par l’eau.
a. Donner l’expression de la composante horizontale Fx de la résultante des
efforts exercés par l’eau sur le barrage.
b. Donner l’expression de la composante verticale Fz de la résultante des efforts
exercés par l’eau sur le barrage.
H
7 : Hémisphères de Magdebourg.(**)
Soit une sphère constitué de deux hémisphères dits « de Magdebourg », en
contact suivant un cercle de rayon R . L’hémisphère inférieur, supposé fixe, est
relié à une pompe à vide destinée à rendre la pression intérieure très faible (par
rapport à la pression atmosphérique P0 ).
R
Un verre contenant un glaçon, de volume V et de masse volumique µ , est rempli à ras bord d’eau liquide de masse
1.
volumique µ0 .
2.
a.
b.
Exprimer en fonction des données le volume vi du glaçon immergé dans l’eau ainsi que le volume v du glaçon
lorsqu’il aura fondu.
Faut-il prévoir une éponge pour essuyer la table ? Que se passe-t-il si à la place de l’eau il y a du whisky ?
3.
Exprimer en fonction de P0 et R , la résultante des forces pressantes subies
par l’hémisphère supérieur.
En déduire la force qu’un opérateur doit exercer sur la poignée de
l’hémisphère supérieur dans le but de séparer les deux hémisphères.
Application numérique : Calculer cette force si P0 = 105 Pa et R = 5cm .
Poignée
P0
R
O
Pompe à
vide
8 : Levier hydraulique. (*)
4.
Un cylindre homogène, de masse volumique µ , de hauteur H et de section S , repose sur sa base au fond
On note respectivement ρ1 , ρ 2 , ρ 3 les masses volumiques de l’eau du mercure et de
l’alcool.
a. Un système de deux liquides non miscibles (eau, mercure) est en équilibre dans un
tube en U ouvert à l’air libre. Exprimer le rapport
b.
h1
h2
en fonction des masses
h1
volumiques ρ1 et ρ 2 . Commenter.
Un système de trois liquides non miscibles (eau, mercure, alcool) est en équilibre
dans un tube en U ouvert à l’air libre. Les hauteurs respectives d’eau et d’alcool
ainsi que la distance entre les niveaux de mercure sont indiqués sur la figure.
Exprimer ρ3 en fonction de ρ1 , ρ 2 , h1 , h2 et h3 .
Données : h1 = 0,8m ; h2 = 0,05m ; h3 = 0, 2m ; ρ1 = 103 kg.m −3 ; ρ 2 = 1,36.104 kg.m −3 .
h2
eau
mercure
eau
h1
alcool
h3
h2
mercure
d’un récipient initialement vide. On verse progressivement de l’eau, de masse volumique µ0 , dans le
récipient.
En supposant qu’une très fine pellicule d’eau s’infiltre sous le cylindre, déterminer à partir de quelle
hauteur d’eau versée hlim le cylindre va se soulever, en utilisant le théorème d’Archimède puis sans utiliser
le théorème d’Archimède.
9 : Flotteur. (*)
Un flotteur de forme cylindrique (hauteur h = 3cm , rayon R = 1cm , température 0°C) flotte à la surface d’une eau à 0°C.
On appelle a la hauteur du flotteur à l’air libre. On prendra µℓ = 103 kg.m −3 ; µ g = 920kg.m −3 .
1.
5.
Un densimètre, servant à mesurer la densité d’un liquide par rapport à l’eau, est
constitué d’un ballon sphérique de rayon R = 12 mm , lesté et surmonté d’un tube
2.
cylindrique de rayon r = 2 mm portant des graduations régulièrement espacées d’une
distance ℓ . La masse totale du densimètre est notée M . Plongé dans l’eau pure de
masse volumique ρ 0 , le densimètre affleure à l’équilibre à la graduation n = 0 située
3.
a
Déterminer puis calculer le rapport
en fonction des masses volumiques de l’eau µℓ et de la glace µ g .
h
Quelle force Fop doit exercer un opérateur verticalement pour maintenir ce flotteur à la lisière de la surface de l’eau ?
L’opérateur relâche le flotteur. Montrer que le flotteur effectuera des oscillations dont on déterminera la période. On
négligera les frottements.
à la base du tube. Plongé dans du dissolvant de masse volumique ρ1 , il affleure à la
graduation n1 = 80 . On note V le volume du ballon sphérique et v le volume délimité
par deux graduations consécutives.
TD Thermo2
1
2007-2008
TD Thermo2
2
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Physique
PCSI
5.
10 : Champs de pression. (**)
1.
Dans une atmosphère à gradient de température :
On peut considérer que dans une zone de l’atmosphère terrestre située entre la surface de la Terre et environ
10km d’altitude ( 0 < z < 10km ) , la température décroît avec l’altitude selon une loi affine : T = T0 (1 − az ) , et que le
Physique
Si l’aérostat évolue dans une atmosphère à gradient de température T = T0 (1 − az ) , P = P0 (1 − az ) avec α =
α
a.
Exprimer la masse volumique ρ ( z ) d’un gaz situé à l’altitude z en fonction de ρ0 , α , a et z .
b.
Quelle est l’altitude d’équilibre z 'max , appelée plafond, de l’aérostat ?
Mgg
aRT0
.
champ de pesanteur g reste uniforme. L’air atmosphérique est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29g.mol−1 .
L’indice zéro est relatif aux grandeurs au niveau de la mer ( z = 0 ) où T0 = 293K et P0 = 1atm .
Sachant qu’au sommet de l’Everest ( z1 = 8848m ) , la température est t1 = −40°C , calculer la constante a .
b.
En utilisant l’équation fondamentale de la statique des fluides, établir l’équation différentielle vérifiée par P ( z ) .
Introduire la constante H =
c.
2.
13 : Baromètre de Huyghens.(**)
a.
RT0
. En déduire l’expression de la pression P ( z ) en fonction de P0 , H , a et z puis
Mg
Cet appareil est constitué sur une cuve à mercure (A), où le mercure a une surface libre d’aire S0 , d’un tube barométrique
comportant un renflement (B) de section S1 surmonté d’un tube (C) plus fin, de section S2 .
Pour une valeur P0 de la pression atmosphérique, le mercure monte, à l’équilibre, jusqu’au niveau N1 dans B, celui-ci
étant surmonté de glycérine ( µ g ) jusqu’au niveau N 2 . Le mercure ( µ Hg ) dans la cuve correspond au niveau N 0 . On
suppose que le tube au-dessus de la glycérine est vide.
Exprimer P0 en fonction de N 0 , N1 , N 2 , µ g , µ Hg et g .
en fonction de P0 , T0 , H , a et T 
1.
Calculer la pression P1 au sommet de l'Everest.
La pression atmosphérique varie légèrement, et devient P = P0 + δP, ce qui correspond à une
variation δH de la pression exprimée en hauteur de mercure ( δ P = µ Hg gδ H ).
Dans une atmosphère isotherme avec champ de pesanteur variable :
Le champ de pesanteur terrestre varie avec l’altitude z selon la relation :
2
 R 
g ( z ) = g 0  T  , g 0 désignant le champ de pesanteur au niveau du sol et RT le rayon de la Terre.
 RT + z 
Considérons un modèle de l’atmosphère isotherme en équilibre, de température T0. L’air atmosphérique est supposé
isotherme en équilibre à la température T0 et est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M . L’indice zéro est
2.
3.
Exprimer δ P en fonction de δ N 0 , δ N1 , δ N 2 , µ g , µ Hg et g .
Quelle relation existe-t-il entre les δ N 0 , δ N1 , δ N 2 et les sections S0 , S1 , S2 ? En déduire
l’expression du rapport
δN
en fonction de S0 , S1 , S2 , µ g , µ Hg et g . Le calculer. Quel est
δH
l’intérêt de ce dispositif ?
A.N. : S0 = 50cm 2 ; S1 = 5cm 2 ; S2 = 0, 25cm 2 ; µ g = 1, 05g.cm −3 ; µ Hg = 13, 6g.cm −3 .
relatif aux grandeurs au niveau du sol ( z = 0 ) où P0 = 1atm .
En utilisant l’équation fondamentale de la statique des fluides, établir l’équation différentielle vérifiée par P ( z ) .
Introduire la constante H =
RT0
. En déduire l’expression de la pression P ( z ) en fonction de P0 , H , RT et z .
Mg0
14 : Influence de la compressibilité de l’eau sur le champ de pression.
On s’intéresse à la pression de l’eau à une profondeur assez élevée sous l’eau. Le champ de pesanteur g = 9,8m.s −2 est
supposé uniforme. On donne le coefficient de compressibilité isotherme de l’eau χT = 4, 4.10−10 Pa −1 . Sous P0 = 1bar , la
11 : Etude d’une montgolfière.(**)
masse volumique de l’eau est µ = 1, 00.103 kg.m −3 .
On considère une enveloppe de volume V0 constant, remplie d’air supposé parfait, à la température T ' . Ce ballon est ouvert
à sa partie inférieure, de façon à rester constamment en équilibre de pression avec l’air extérieur à la température T . On
note M 0 la masse totale de l’enveloppe, du dispositif de chauffage, de la nacelle est des passagers.
1.
2.
1.
Déterminer la relation qui lie les masses volumiques de l’air ρ à température et pression quelconque et ρ0 (masse
volumique de l’air dans les conditions normales P0 et T0 ).
2. Montrer que la relation liant T ' notamment à T et P pour que le ballon soit en équilibre du point de vue
PM
1 1
mécanique, à la pression P , s’écrit − = 0 0 .
T T ' PT0 ρ0V0
3. Quelle condition doit vérifier T ' pour que le ballon décolle ?
Données : V0 = 1200m3 ; M 0 = 400kg ; g = 9,8m.s −2 ; P = P0 = 105 Pa ; T = 290K ; T0 = 273K ; ρ0 = 1,3 kg.m -3 .
En supposant l’eau incompressible, calculer la pression P1 dans une fosse océanique de profondeur H = 10km .
On tient maintenant compte de la compressibilité de l’eau.
1 ∂µ
a. Montrer qu’à température constante, χT =
.
µ ∂P
b. En déduire l’expression de la masse volumique µ de l’eau en fonction de P0 , µ0 , χT et P .
c.
En utilisant l’équation fondamentale de la statique des fluides, établir l’équation différentielle vérifiée par P ( z ) .
d.
En déduire l’expression de la pression P ( z ) en fonction de P0 , µ0 , χT , g et z .
e.
Recalculer la pression P1 ' dans la fosse océanique de profondeur H = 10km .
12 : Altitude plafond d’un aérostat.
Un aérostat est constitué par une enveloppe de volume V , remplie d’hélium ( V ne peut dépasser la valeur maximale Vmax )
à laquelle est attachée une nacelle. L’ensemble enveloppe nacelle, accessoires et passagers a une masse M 0 . Il y a
constamment communication entre l’air atmosphérique et le gaz du ballon ce qui assure l’équilibre mécanique et
thermique entre les deux fluides.
1. Faire le bilan des forces appliquées à l’aérostat. Exprimer leur résultante R en fonction de g , V , M 0 , M air , M He et ρ He ( z ) .
3.
Quels sont les termes de cette expression qui varient lorsque l’altitude z augmente ? Expliquer pourquoi l’ascension
est la succession d’une phase à masse constante et d’une phase à volume constant.
À quelle condition, liant le volume initial V0 et la masse M 0 , le ballon pourra-t-il s’élever ?
4.
Si l’aérostat évolue dans une atmosphère isotherme (T0 ) , P ( z ) = P0 e H avec H =
2.
−z
RT0
.
Mg g
a.
Exprimer la masse volumique ρ ( z ) d’un gaz situé à l’altitude z en fonction de ρ0 , H et z .
b.
Quelle est l’altitude d’équilibre zmax , appelée plafond, de l’aérostat ?
TD Thermo 2
2007-2008
TD Thermo 2
4
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PCSI
Physique
Réponses et éléments de réponses :
1 : b. dP = − ρ ( M ) g ( M ) dz . c. P ( −10m ) = 2bar . d. P (10m ) = 0,999bar .
2R 2
2 : a. F = µπ R 2 ( H −
) g − P0π R 2 ez . b. F = − π R 3 µ g .
3
3
µV
µV
µV
3 : a. vi =
; v=
donc vi = v . b. vi , w =
>v.
µ0
µ0
µw
4 : a. ρ1 h1 = ρ 2 h2 ; b. ρ3 =
ρ1h1 − ρ 2 h2
h3 − h2
: ρ3 = 800kg.m −3 .

4π R3  ρ0
V
1
−2
3
: d = 0,880 .
=
 − 1 : v = 3,52.10 cm . c. d =
V + n2 v
3n1  ρ1

n2  ρ0

1 +  − 1
n1  ρ1

ρ0 gH  ρ0 gH  2 ρ0 gH  


e
.
2.
F
=
LH
P
+
e
et
F
=
−
L
Hh
P
+
e
.
6 : 1. F = LH  P0 +
x
x
x
z
z
 0
 0
2 
2 
3 



2
7 : 2. F = π R P0 ez ; 2. F = 785 N.
µ H ème
8 : 1. hlim =
2 méthode : P ( z = −hlim ) Sez + mg = 0 .
5 : a. V ρ 0 = (V + n1v ) ρ1 . b. v =
µ0
9 : 1.
µg
a
= 1−
h
µℓ
(
)
a
g
z+
; = 0, 087 . 2. Fop = µl π R 2 ag . 3. ɺɺ
( z − zéq ) = 0 . T0 = 2π h −g a .
h
h−a
1
T
1
 T ( z )  aH
H ( RT + z )
10 : 1.a. a = 2,31.10 −5 m −1 . 1.b. P ( z ) = P0 (1 − az ) aH = P0 
.
 . 1.c. P1 = 0,318atm . 2. P( z ) = P0 e
 T0 
PT
1
11 : 1. ρ = 0 ρ0 . 3. T ' >
= 399 K .
M 0 P0
1
P0T
−
T PT0 ρ0V0
−R z
−z

M
 M 0 M He
M 0 RT0
12 : 1. R =  M 0 − ρ He ( z ) V ( z )  air − 1  g . 3. V0 >
. 4.a. ρ ( z ) = ρ0 e H .
=


−
−
M
ρ
M
M
P
M
M
(
)
(
)
He


He ,0
air
He
air
He
0

4.b. zmax = H ln
PV
0 max ( M air − M He )
M 0 RT0
α −1
13 : 1. P0 = µ g g ( N 2 − N1 ) + µ Hg g ( N1 − N 0 )
14 : 1. P1 = 1001bar . 2. b. µ = µ0 e
TD Thermo 2
1


α −1 
M 0 RT0
1 
1
−


 .
a   PV
0 max ( M air − M He ) 



δN
1
δN
. 3.
,
= 7,8 .
=
δ H S 2 S2 µ g  S2  δ H
+ +
1 − 
S1 S0 µ Hg  S1 
. 5.a. ρ = ρ 0 (1 − az )
− χT ( P − P0 )
. d. P ( z ) = P0 +
5
1
χT
. 5.b. z 'max =
ln (1 − µ0 χT gz ) , P '1 = 1021bar .
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