Transcript 1 Exercices de raisonnement

PC
2014-2015
Mécanique des uides
Dynamique des fluides
1
Exercices de raisonnement
1.1
Tube de Pitot
La gure montre une tube de Pitot placé dans un écoulement d'air permanent et uniforme à la vitesse
−
constante →
v = v−
u→
x , loin en amont du tube. Deux trous sont percés dans le tube : le point A est appelé
prise de pression dynamique, le point B prise de pression statique. Une dérivation contenant du mercure
de masse volumique ρ constante relie les deux points.
Le niveau du mercure se stabilise avec une dénivellation h.
Figure 1 Tube de Pitot
1. Déterminer, en précisant les hypothèses faites, la norme v de la vitesse en fonction de ρ, g , h et ρ0 .
2. Pour mesurer la vitesse d'un avion par rapport à l'air, la prise dynamique du tube de Pitot est
xée à quelques centimètres le long du fuselage. Est-il légitime de considérer l'écoulement comme
parfait ?
Figure 2 Tube de Pitot sur un avion de ligne
1.2
Couche limite
−
Une plaque confondue avec le plan d'équation z = 0 est en translation avec une vitesse →
v =
−
→
Um cos ωt ux dans un uide incompressible de masse volumique µ et de viscosité cinématique ν supposé remplir tout l'espace.
Evaluer l'ordre de grandeur de l'épaisseur δ de la couche de uide entraînée par la plaque pour
f = 1000 Hz et ν = 1, 0.10−6 m2 .s−1 .
1.3
Mesure de viscosité
Comment mesurer la viscosité de la glycérine à l'aide d'une bille en acier de rayon r ?
On donne :
µglycerine = 0, 9.103 kg.m−3 ;
µacier = 8.103 kg.m−3 ;
ηglycerine = 0, 1 P l.
Comment choisir le rayon r et la hauteur h de chute ?
2
Exercices d'entraînement
2.4
Ecoulement de Couette cylindrique
On considère l'écoulement permanent d'un uide incompressible de masse volumique µ de viscosité η
compris entre deux cylindres coaxiaux de rayons R1 et R2 tournant autour de l'axe vertical Oz avec des
vitesses angulaires respectives Ω1 et Ω2 . On suppose qu'aucun gradient de pression n'est appliqué.
On se place en coordonnées cylindriques et on cherche à déterminer le champ de vitesses entre les
deux cylindres.
Par symétrie et en l'absence de gradient de pression axial, vz = 0. De plus, la symétrie cylindrique
−
impose →
v (r, z) et si l'on suppose que les cylindres sont susamment longs pour négliger les eets de
bords, on a
→
−
→ + v (r)−
→
v = vr (r)−
u
u
r
θ
θ
1. Montrer que vr = 0.
2. En utilisant l'équation de Navier-Stokes, montrer que
vθ2
r
=
1 ∂p
ρ ∂r
et
2
ν( ∂∂rv2θ +
1 ∂vθ
r ∂r
−
vθ
r2 )
=0
Comment interpréter la première équation ?
3. La seconde équation peut se réécrire
∂
3 ∂ ∂vθ
∂r (r ∂r ( r ))
=0
En déduire l'expression de vθ .
4.
Etude de cas particuliers
(a) si Ω1 = Ω2 , quelle est la forme de vθ ? Commenter.
(b) si R1 , R2 → ∞ avec R2 − R1 = d, quelle est la forme de l'écoulement ?
2.5
Pression dans le réseau sanguin
On veut étudier la circulation du sang, considéré comme un liquide incompressible de viscosité dynamique η et de masse volumique ρ, dans une artère assimilable à une conduite cylindrique d'axe Oz , de
longueur L et de rayon R.
On note ∆P = P (0) − P (L) > 0, la diérence de pression entre les extrémités de l'artère.
On néglige la pesanteur et on cherche en coordonnées cylindriques un champ de vitesses de la forme
→
−
→ et un champ de pression P (z). L'écoulement est supposé stationnaire.
v (M ) = v(r, z)−
u
z
−
1. Justier que →
v ne dépend pas de z .
2. Montrer que v(r) =
∆P
2
4ηL (R
− r2 ).
3. Etablir l'expression du débit volumique. En déduire un équivalent hydrodynamique de la loi d'Ohm.
Préciser l'expression de la résistance hydraulique.
4. On considère une artère de longueur L = 1 m et de rayon R = 0, 5 cm, traversée par un débit
volumique sanguin Dv = 80 cm3 .s−1 . Le sang a une viscosité dynamique η = 4.10−3 P l. La tension
"12-8" correspond à une diérence de pression maintenue par le c÷ur ∆Pcoeur = 12 − 8 = 4 cm de
mercure. Calculer ∆Partere et conclure.
3
−3
Données : masse volumique du mercure µHg = 13, 8.10 kg.m
.
5. A cause d'un dépôt de cholestérol, le rayon de l'artère présente une diminution relative de 5%.
Quelle sera la variation relative de pression correspondante sachant que l'organisme a besoin d'un
débit sanguin constant ?
2.6
Ecoulement de l'eau dans une poudre de café
Pour comprendre comment s'écoule l'eau dans la poudre de café, nous allons adopter un modèle
très simplié dans lesquels l'eau sera considérée comme un uide visqueux newtonien de viscosité η =
0, 8.10−3 SI constante. Un premier modèle, appelé modèle T , consiste à considérer que la poudre de café
forme un réseau triangulaire de cylindres tangents et identiques de rayon R. L'eau peut alors s'écouler
dans l'espace laissé libre entre les cylindres.
Figure 3 Réseau triangulaire
Il est dicile d'utiliser cette géométrie ; c'est pourquoi nous allons utiliser un second modèle, qui
est équivalent d'un point de vue géométrique. Il s'agit du modèle C , dans lequel l'écoulement se fait à
l'intérieur de tubes capillaires de rayon Rt disposés sur un réseau carré de côté D.
Figure 4 Réseaux de capillaires
Ces deux réseaux poreux sont équivalents s'ils présentent le même nombre de tubes par unité de
volume et que
le volume libre du milieu est le même. Ces deux conditions se réécrivent
√
3− π
2
Rt = π 2 R2 soit Rt ≈ 0, 23 R
√
D2 = 3R2 soit D ≈ 1, 3 R
L'objectif est d'évaluer le débit d'eau à travers un volume donné du réseau de capillaires C.
On note e la longueur d'un capillaire et n le nombre de capillaires par unité de surface.
1. On s'intéresse à l'écoulement du liquide dans un tube capillaire sous la diérence de pression ∆P .
Quelle est la forme du champ de vitesse ?
2. On suppose Re << 1. En déduire le prol de vitesse v(r) dans un capillaire.
3. Exprimer qtot le débit volumique d'eau de la cafetière en fonction de η , ∆P , Rt , n, S et e. En
déduire la vitesse débitante et l'expression de la résistance hydraulique.
4. Sous l'eet d'une diérence de pression de 15 bar, la durée nécessaire au remplissage d'une tasse de
café de 10 cm3 est de l'ordre de 10 secondes. Le café ore une surface perpendiculaire à l'écoulement
d'aire S = 10 cm2 pour une épaisseur à traverser e = 1 cm. En déduire l'ordre de grandeur de R(on
se contentera de donner une estimation de la puissance de 10 de la valeur numérique). Commenter.
2.7
Ecoulement d'une couche mince sur un plan incliné
De l'eau de masse volumique µ et de viscosité η s'écoule sur une épaisseur e constante sur un plan
→ la perpendiculaire ascendante au plan incliné
incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale. On note −
u
y
et −
u→
x la ligne de plus grande pente descendante. L'écoulement est stationnaire, incompressible. On cherche
un champ de vitesse sous la forme :
→
−
v = vx (x, y)−
u→
x
Figure 5 Ecoulement d'une couche de uide sur un plan incliné.
1. Montrer que vx ne dépend pas de x.
2. Montrer que
→
−
→ −−→
∂2v −
0 = η ∂y
2 ux − grad P
3. En projetant cette équation sur Oy , montrer que p(x, y) = p0 − µgy cos α + µge cos α.
4. Montrer que
d2 vx
dy 2
α
= − g sin
ν .
5. Quelle est la condition aux limites en y = 0 ? Justier qu'en x = e, la condition aux limites s'écrive
dvx
dy (y = e) = 0. En déduire vx (y).
6. En déduire l'expression du débit volumique pour une largeur L.
7. L'épaisseur de la couche varie désormais avec x et t. On suppose que cette variation est susamment
lente pour pouvoir utiliser les résultats précédents. Montrer que
∂e
∂t
2
= − ge
sin α ∂e
ν
∂x
En déduire l'évolution de la bosse représentée sur la gure 6.
Figure 6 Variation d'épaisseur de la couche mince.
2.8
Vidange d'un récipient et régime transitoire
L'expérience est eectuée à la pression atmosphérique P0 . On remplit un récipient de section horizontale S avec de l'eau, assimilée à un uide parfait de masse volumique ρ.
1. Initialement, on perce simplement un trou de section s << S et le récipient est rempli jusqu'à une
hauteur h.
(a) En précisant les approximations faites, déterminer la vitesse de l'eau à la sortie du récipient.
(b) En déduire le temps nécessaire pour que le récipient se vide complètement.
2. On remplit à nouveau le récipient jusqu'à une hauteur h. On ajoute à l'ouverture un tuyau horizontal
de même section s que l'ouverture précédente.
(a) Montrer que le champ de vitesse est uniforme dans le tuyau horizontal.
Figure 7 Vidange d'un récipient
Figure 8 Vidange d'un récipient à l'aide d'un tube
(b) En intégrant l'équation d'Euler le long d'une ligne de courant, montrer que la vitesse v dans
le tuyau vérie l'équation diérentielle :
1 2
L dv
dt + 2 v = gh
(c) L'intégration de l'équation précédente en considérant h comme constante conduit à
v(t) = v` th
√
2v` t
L
avec v` = 2gh.
Evaluer la durée du régime transitoire. Commenter la valeur de v` .
(d) Lorsque que le tuyau est trop n, les résultats précédents sont faux. Interpréter qualitativement.
Evaluer l'ordre de grandeur du rayon critique Rc tel que si R < Rc , les résultats précédents
sont faux.
2.9
Ecoulement de l'eau d'un canal au-dessus d'un obstacle
L'eau d'un canal est en écoulement permanent dans le plan vertical Oxz . Le canal est supposé rectiligne
dans la direction Ox, de fond horizontal en z = 0 et de section droite rectangulaire de largeur l constante
selon Oy . Le fond du canal présente une bosse dont le prol est modélisé par sa hauteur e(x). La hauteur
maximale em est en x = xm et l'obstacle se situe entre les abscisses xa et xb .
Figure 9 Ecoulement de l'eau dans un canal
On note h(x) la hauteur de l'eau mesurée au-dessus de la bosse et z(x) = h(x) + e(x), l'altitude de la
surface libre de l'eau en contact avec l'atmosphère de pression uniforme P0 .
−
L'eau est assimilée à un uide parfait incompressible de masse volumique ρ. On note →
v (x) la vitesse
supposée uniforme et parallèle à Ox dans toute section droite.
1. Montrer que
1 dv
2
v dx (v
√
de
− gh) + g dx
=0
2. Le régime d'écoulement est tel que v < gh (régime dit uvial). Montrer que dans ces conditions,
v(x) passe par un extremum pour x = xm et préciser la nature de cet extremum. Que se passe-t-il
pour h(x) et pour z(x) = e(x) + h(x) ?
3. Représenter l'allure de la surface de la canal lors du franchissement de l'obstacle entre les abscisses
xa et xb .
√
4. Expliquer ce que l'on observerait dans le cas v > gh (régime torrentiel).
5. Que pensez-vous de l'hypothèse uide parfait ?
2.10
Tube de Venturi
Monté sur une canalisation cylindrique de section S1 , le dispositif suivant comporte successivement
un premier tube tronconique dénommé convergent suivi d'un tube cylindrique de section S2 appelé col
puis d'un second tube tronconique assez long appelé divergent avant de retrouver la section initiale S1 .
Figure 10 Tube de venturi
Au niveau des sections 1 et 2 sont insérés deux tubes de faibles diamètres δ reliés à un manomètre
rempli de mercure de masse volumique µHg . Ces prises de pression sont disposées en A, à D21 avant le
début du convergent et en B , à D21 après la n du convergent.
On note ∆h la dénivellation entre les deux interfaces uide/mercure en régime stationnaire.
1. Expliquer le principe de fonctionnement d'un tel dispositif. Justier la dimension et la localisation
des prises de pression.
2. Relier la dénivellation ∆h à la diérence de pression ∆P entre les points A et B . En déduire
l'expression du débit volumique en fonction de ∆h.
3. Comment évolue la précision de ce dispositif avec β =
S2
S1
?
4. Pour une centrale hydroélectrique, on donne
diamètre de la conduite en amont D1 = 600 mm ;
pression amont P1 = 5, 0 bars ;
masse volumique du uide µf = 1, 0.103 kg.m−3 ;
diamètre du col D2 = 350 mm ;
dénivellé ∆h = 21, 0 cm de mercure ;
µHg = 1, 35.104 kg.m−3 ;
g = 9, 81 m.s−2 .
En déduire le débit volumique théorique.
∆(∆h)
5. La précision relative sur la mesure de ∆h est ∆h
1 % où ∆hmax est la dénivellation mesurée pour
max
le débit maximal autorisé. En déduire qualitativement l'ordre de grandeur de la plage d'utilisation
de ce tube de Venturi.
6. Calculer les vitesses ve et vs du uide et les pressions Pe et Ps au niveau des sections d'entrée et
de sortie du divergent.