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B.T.S. T.P.I.L. \ Mécanique et Thermodynamique \ Dynamique des fluides parfaits \ Objectifs
DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
I.
DEBITS
1. Connaissances
a. Dans le diagramme suivant préciser les zones où le régime est permanent et transitoire.
b. Donner les unités des débit-masse et débit-volume. Préciser la relation qui lie les deux débits.
c. Dans quels cas le débit-masse est-il conservé ?
Dans quels cas le débit-volume est-il conservé ?
d. Quelle est la relation entre le débit-volume qV et la vitesse moyenne v d’un fluide en écoulement
dans une conduite de section S ? Préciser les unités.
2. Savoir-faire
N° 1 Débit d’une fontaine
On désire déterminer le débit d’une fontaine. Pour cela on prélève
une certaine masse d’eau : m = 850 g pendant une durée t = 5,2 s.
1. Calculer le débit-masse de la fontaine.
2. Sachant que la masse volumique de l’eau est
ρeau = 1 000 kg.m-3, calculer le débit-volume.
Exprimer ce débit-volume en L.min-1.
3. Sachant que le diamètre du tuyau cylindrique à travers
lequel l’eau s’écoule est d = 3 cm, calculer la vitesse
moyenne avec laquelle l’eau sort du tuyau.
N° 2 Ecoulement d’air dans une conduite
On étudie l’écoulement d’air dans une conduite
cylindrique où la section n’est pas constante.
On donne les diamètres de la conduite en A et B :
dA = 8 cm et dB = 4 cm.
On mesure la vitesse moyenne de l’air dans la conduite au
point B : vB = 12 m.s-1.
La masse volumique de l’air est ρair = 1,3 kg.m-3.
1
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1. Calculer le débit-volume de l’air dans la conduite au point B.
2. Peut-on considérer que l’écoulement est incompressible ?
En déduire la vitesse moyenne de l’air en A ?
3. Calculer le débit-masse de l’air. Exprimer le en kg.h-1
Activités
II.
ENERGIES MECANIQUES
1. Connaissances
a. Donner l’expression de l’énergie mécanique massique d’un fluide en écoulement.
Préciser le type d’énergie de chaque terme.
b. Quelle est l’unité de cette expression ?
Transformer là pour qu’elle s’exprime en termes de pression puis en termes de hauteur de fluide.
c. Pour quel type de fluide l’énergie mécanique massique est-elle conservée ?
d. Que se passe-t-il d’un point de vue énergétique lorsqu’un fluide visqueux s’écoule ?
Lorsqu’un fluide visqueux s’écoule dans une conduite horizontale de section constante, est-ce que
sa vitesse diminue au cours de l’écoulement ? Sinon quelle grandeur varie ?
e. Qu’est-ce que l’effet Venturi ?
f. Dans quelle situation observe-t-on le phénomène de cavitation ?
Quelle est la valeur minimale pour la pression d’un liquide ?
Pourquoi doit-on éviter le phénomène de cavitation ?
g. Ecrire le bilan énergétique dans un circuit hydraulique comportant une pompe.
h. Ecrire le bilan énergétique dans un circuit hydraulique comportant une turbine.
i. Quelle est la relation qui lie la puissance et le travail mécanique massique d’une pompe ou d’une
turbine ?
2. Savoir-faire
N° 3 Trompe à eau
Une trompe à eau est un appareil de laboratoire qui permet
d’abaisser la pression en dessous de la pression
atmosphérique Elle fonctionne avec l’effet Venturi.
d
On donne le rapport des diamètres : 1 = 5, la pression en
d2
1 : P1 = 5 bar et la vitesse en 1 : v1 = 1,26 m.s-1. On néglige
la différence de hauteur z1 – z2.
1. En appliquant la conservation du débit-volume,
déterminer la vitesse en 2 : v2.
2. En appliquant la conservation de l’énergie mécanique,
déterminer la pression en 2 : P2.
En déduire le vide partiel obtenu par ce dispositif
(pression relative de l’air en 2).
3. Peut-on espérer atteindre ce ″vide″ avec de l’eau à 20 °C ? à 40 °C ?
On donne la pression de vapeur saturante de l’eau à ces deux températures :
PVS(40 °C) = 7 374 Pa.
PVS(20 °C) = 2 338 Pa
2
1
1
2
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N° 4 Château d’eau
On considère un réservoir d’eau situé en
hauteur qui alimente un jet d’eau vertical
par une conduite de diamètre D = 10 cm.
Le niveau d’eau dans le réservoir est
maintenu constant à H = 20 m de
hauteur par rapport au sol et sa surface
libre est à la pression atmosphérique.
Le diamètre du jet est fixé par une buse
de diamètre d = D/2 située à h = 50 cm
de hauteur par rapport au sol.
1. En appliquant la conservation de
l’énergie mécanique, déterminer la hauteur avec laquelle le jet d’eau s’élève. On négligera les
frottements entre l’eau et l’air dans le jet.
2. En déduire la vitesse de l’eau à la sortie de la buse.
3. Calculer le débit-volume d’eau à la sortie de la buse.
4. Quelle est la vitesse de l’eau dans la conduite ?
5. Est-elle constante tout le long de la conduite ? Justifier votre réponse.
6. Dans quelle partie de la conduite la pression est-elle la plus élevée ?
Calculer cette pression. (1 point)
7. En vérité l’eau n’est pas un fluide parfait et le jet d’eau monte seulement jusqu’à une hauteur de
15 m par rapport au sol. On néglige toujours les frottements entre l’eau et l’air dans le jet.
Calculer le véritable débit-volume d’eau.
8. En déduire la puissance mécanique perdue par l’eau en s’écoulant dans la conduite.
N° 5 Siphon
Soit un siphon de diamètre d =10,0 mm alimenté par un
récipient rempli d'eau, de grande dimension par apport à d
et ouvert à l'atmosphère (Patm= 1,0 bar).
1. Calculer la vitesse moyenne du fluide en S puis le
débit-volume qv du siphonage. On donne H = 3,0 m.
2. Donner l'expression de la pression PM au point M en
fonction de h.
3. Représenter l'allure de la pression PM en fonction de h.
h peut-il prendre n'importe quelle valeur ?
N° 6 Pompe à essence
Le carburant distribué par une pompe à essence est stockée dans une citerne cylindrique vertical de
diamètre D = 10 m enterrée sous terre.
Une pompe située à l’extérieure de la cuve permet d’acheminer, à travers un tuyau de diamètre
d = 3 cm, l’essence de la cuve au réservoir de la voiture.
La différence de hauteur, entre l’embout du tuyau d’où sort l’essence et la surface libre de l’essence
dans la cuve, est h = 3,2 m.
Au-dessus du liquide, la pression est la pression atmosphérique Patm = 1,0 bar.
On donne la masse volumique de l’essence ρ = 750 kg.m-3.
3
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1. Faire un schéma de la pompe à essence en faisant apparaitre la citerne, la surface libre de
l’essence, la pompe, le tuyau et les différentes hauteurs.
2. On considère que le débit imposé par la pompe est constant. Un automobiliste met 1 minute et 40
secondes pour remplir son réservoir de 50 L.
En déduire le débit –volume.
3. En déduire la vitesse de l’eau à la sortie du tuyau.
4. Où est-il préconisé de placer les points A et B qui vont permettre d’appliquer le principe de
conservation de l’énergie mécanique ?
5. Peut-on considérer que zA est constant pendant le temps de remplissage du réservoir ?
6. En appliquant la conservation du débit-volume, comparer vA² et vB².
7. Appliquer le principe de conservation de l’énergie mécanique afin de déterminer le travail
mécanique massique w apportée par la pompe.
8. En déduire la puissance de la pompe.
N° 7 Barrage hydraulique
En vue de produire de l’électricité, un lac de retenue alimente en eau une turbine hydraulique au
moyen d’une conduite forcée de diamètre intérieur d = 1 m, qui débouche sur les aubes d’une turbine.
La surface libre de l’eau du lac est à 840 m d’altitude, tandis que le canal de fuite est située à 410 m
d’altitude.
1. Lors du fonctionnement d’un barrage hydraulique, plusieurs formes d’énergies interviennent :
cinétique de translation, potentielle de pesanteur, électrique et cinétique de rotation.
Faire apparaître ces différentes formes d’énergie sur le schéma joint.
2. En appliquant le principe de conservation de l’énergie mécanique, calculer la vitesse du jet d’eau à
la sortie de la conduite forcée avant qu’il entre en contact avec les aubes de la turbine.
3. En déduire le débit du jet d’eau à la sortie de la conduite.
4. Sachant qu’à la sortie de la turbine, la vitesse de l’eau est nulle, calculer la puissance mécanique P
reçue par la turbine.
5. Quelle est l’influence du diamètre du jet d sur la puissance P reçue par la turbine ?
De quels paramètres dépend l’énergie stockée dans le barrage ?
Activités
4
s
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III.
VIDANGE D’UN RESERVOIR
1. Connaissances
a. Quelle est l’expression de la vitesse d’un objet qui tombe en chute libre d’une hauteur h ?
Quelle est l’expression de la vitesse d’un liquide qui sort d’un réservoir où la surface libre est
placée à une hauteur h par rapport à l’orifice du réservoir ?
Conclusion ?
b. Pourquoi le débit-volume réel de vidange est-il inférieur à q v = s 2g.z ?
c. Qu’est-ce que le coefficient de débit ?
De quel paramètre dépend-il ?
2. Savoir-faire
N° 8 Vidange d’un réservoir
L
On dispose d’un réservoir cubique dont les dimensions sont les
suivantes L = 2 m, l = 2 m et H = 2 m. Celui-ci est rempli d’eau
jusqu’à une hauteur h = 1,5 m. Un orifice circulaire de diamètre
d = 1 cm situé au fond du réservoir permet d’évacuer l’eau qu’il
contient. On donne le coefficient de débit de l’orifice C = 0,6.
l
1. Quel doit être le débit d’une pompe qui alimente le réservoir
afin de maintenir la hauteur d’eau h constante dans le réservoir
lorsque l’eau s’écoule par l’orifice ?
2. On arrête la pompe. Calculer la durée pour que le réservoir se
vide de la moitié de son volume, puis la durée pour qu’il se
vide de l’autre moitié.
S 2
On donne la relation du temps de vidange : t =
H− z .
sC g
(
H
)
N° 9 Clepsydre
Une clepsydre est un chronomètre antique d’origine égyptienne. Le repérage
du niveau d’eau qui s’écoule par le fond d’un récipient permet de mesurer
une durée.
On désire déterminer la forme du récipient qui permet d’avoir une variation
linéaire de la hauteur de la surface libre en fonction du temps.
1. Montrer que ceci est réalisé si les parois du récipient suivent l’équation en coordonnées polaires
z = r4 avec z l’altitude et r le rayon du récipient.
2. Quel doit être le diamètre de l’orifice circulaire du fond du récipient pour qu’une différence de
hauteur de la surface libre de 1 mm corresponde à 1 s ?
On donne le coefficient de débit de l’orifice C = 0,6.
3. Quel doit être le volume du liquide nécessaire pour que la durée maximum mesurable par ce
chronomètre soit de 15 mn ?
Activités
s 5
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IV.
MESURE DE DEBITS
1. Connaissances
a. Pourquoi appelle-t-on le tube de Venturi et le diaphragme des organes déprimogénes ?
b. Quelle est la grandeur qui varie dans un rotamétre lorsque le débit varie ?
En déduire la forme du tube d’un rotamétre.
c. Un tube de Pitot permet de mesurer la vitesse d’écoulement d’un fluide dans une conduite.
Peut-on à partir de cette mesure calculer le débit-volume d’écoulement du fluide ? Pourquoi ?
Sinon dans quelle condition est-ce possible ?
2. Savoir-faire
N° 10 Tube de Venturi
Dans le tube de Venturi représenté ci-dessous, l'eau s'écoule de bas en haut; la dénivellation du
mercure du manomètre différentiel est h = zD – zC = 36 cm ; le diamètre du tube en A est dA = 30 cm,
et en B il est dB = 15 cm. On fera l’hypothèse d’un fluide parfait en écoulement incompressible. On
note H = zB – zA.
On donne les masses volumique de l'eau ρeau = 1000 kg.m-3 et celle mercure ρHg = 13 600 kg.m-3, et
l’accélération de pesanteur g = 9,8 m.s-2.
z
B
zB
H
zA
zD
A
D
h = 36 cm
zC
C
1.
Montrer que la différence des pressions entre les points A et B peut s’exprimer ainsi :
PA - PB = ρ.g ( H - h ) + ρHg .g.h
2.
Montrer que la vitesse en B peut s’exprimer ainsi : v B =
3.
4.
Calculer la vitesse d'écoulement du liquide au point B.
En déduire le débit-volume du liquide.
6
2g.h ( ρHg − ρ )
.
1 − β4
ρ
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N° 11 Rotamètre
Un rotamètre est gradué pour un liquide de 0,4 à 4 m3.h-1 sur une hauteur de 20 cm.
Au niveau de la graduation correspondant à 4 m3.h-1, le diamètre du tube est dT2 = 50 mm.
Le diamètre du flotteur est dF = 30 mm.
1. Calculer le diamètre dT1 du tube au niveau de la graduation 0,4.
2. Dans l’hypothèse où le tube est conique, en déduire l’angle au sommet du cône.
N° 12 Sonde de Pitot
Une sonde de Pitot est placé au centre d’une conduite rectiligne de diamètre interne d = 20 cm
parcourue par de l’air. Il est relié à un manomètre en U non inversé utilisant comme liquide de l’eau.
On mesure une différence de niveau d’eau h = 97 mm.
On donne la masse volumique de l’eau ρeau = 1 000 kg.m-3 et celle de l’air ρair = 1,3 kg.m-3.
1. Calculer la vitesse d’écoulement de l’air à l’endroit où est située la sonde en considérant qu’il
s’agit d’un écoulement incompressible.
2. L’hypothèse d’un écoulement incompressible est-elle justifiée ?
3. En considérant que la vitesse d’écoulement est constante sur une section de la conduite, calculer le
débit-masse de l’air.
Cours
V.
QUANTITE DE MOUVEMENT
1. Connaissances
r
a. Enoncer le théorème d’Euler. A quoi correspond ∑ F ?
b. Appliquer le théorème d’Euler afin d’exprimer la force exercée par un jet d’eau sur l’aube d’une
turbine.
c. Appliquer le théorème d’Euler afin d’exprimer la poussée d’une fusée.
2. Savoir-faire
N° 13
Barrage hydraulique
En vue de produire de l’électricité, un barrage alimente en
eau une turbine hydraulique au moyen d’une conduite
forcée de diamètre intérieur d1 = 1,2 m. Celle-ci est
séparée en six jets de diamètre d2 = 0,49 m qui débouche
sur les aubes d’une turbine. Le plan d’eau retenu par le
barrage est à 840 m d’altitude, tandis que la sortie de la
turbine est à 410 m.
1. Calculer la vitesse et le débit-volume du jet d’eau à la sortie des jets avant qu’il entre en contact
avec les aubes de la turbine. On considère qu’il n’y a pas de contraction de débit : C = 100%.
2. Quel est le débit-volume total d’eau qui s’écoule ?
Quelle est la vitesse dans la conduite forcée ?
3. Sachant qu’à la sortie de la turbine, la vitesse de l’eau est nulle,
calculer la puissance PF reçue par la turbine.
4. Faire apparaitre les six forces qui agissent sur la turbine.
Donner l’expression d’une force exercée par un jet d’eau sur une
aube de la turbine. Calculer sa norme.
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5. On donne le rayon de la turbine R = 90 cm (distance entre l’axe ∆ de rotation et les aubes de la
turbine).
Calculer la somme des moments M∆ exercés sur la turbine.
6. La turbine tourne en régime permanent à 400 tr.min-1.
Calculer la puissance mécanique PM fournie par la turbine.
N° 14
Turboréacteurs
Un airbus A380 possède quatre turboréacteurs.
Lorsqu’il atteint l’altitude de 10 700 m, sa vitesse de croisière est de 1 080 km/h.
On assimile l’air à un gaz parfait (Mair = 29 g.mol-1) et on considère que la température de l’air varie
avec l’altitude selon le modèle suivant, T = T0 – a.z
avec a = 6,5.10-3 K.m-1.
On donne T0 = 288 K et P0 = 101 300 Pa, la température et la pression de l’air au niveau de la mer.
1. Calculer la température l’air à 10 700 m.
2. A partir de l’équation d’état du gaz parfait, montrer que l’on peut exprimer la masse volumique
P.M
.
ainsi : ρ =
R.T
3. A partir de la relation fondamentale de la statique des fluides, montrer que la pression varie en
M.g
 T − a.z  a.R
fonction de l’altitude selon l’expression suivante : P = P0  0
 .
 T0 
4. En déduire la pression puis la masse volumique de l’air à 10 700 m d’altitude.
On donne la constante du gaz parfait : R = 8,31 J.mol-1.K-1.
5. Faire apparaître la vitesse d’éjection des gaz de combustion par rapport à l’avion sur le schéma du
turboréacteur. On donne la norme de cette vitesse : v = 965 m.s-1.
6. En appliquant le théorème d’Euler, déterminer l’expression de la norme de la poussée d’un
turboréacteur. Faire apparaître cette poussée sur le schéma.
On donne le débit-masse d’air aspiré par le turboréacteur : qm = 81 kg.s-1. Calculer cette norme.
7. Calculer la puissance fournie par les quatre turboréacteurs à l’avion.
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