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Licence de Physique et Applications L3-PAPP
Mécanique des fluides
2013-14
Examen
Lundi 28 avril 2014
Durée: 3h. Sans documents. Calculettes autorisées.
Barème indicatif: I= 5, II= 9 et III= 6 points/20. Tous les résultats doivent être justifiés
par un raisonnement. Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat
numérique devra être donné avec une unité.
N.B.: Lorsqu’il est demandé d’exprimer par exemple f en fonction de a et b il faut comprendre
en fonction notamment de a et b. Autrement dit, selon les cas, d’autres grandeurs pourront
intervenir dans l’expression de f .
Notations et valeurs numériques: p0 = 105 Pa (pression atmosphérique), ρ = 103 kg/m3 (masse
volumique de l’eau), ρa ' ρ/800 (masse volumique de l’air) et g = 9, 8 m/s2 (accélération de la
pesanteur).
Z
I
−
→
→
−
U dS =
∇U dτ où S est une surface fermée entourant le volume ∆
On rappelle que
S
∆
→
− →
−
et que en coordonnées cylindriques: ∇. A =
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aϕ
∂Az
+
+
.
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
I- De l’eau dans le diesel
Le principal danger pour les moteurs diesel est la présence d’eau dans le carburant résultant du
raffinage. L’indication de remplissage d’un réservoir est proportionnelle à la pression mesurée
par une jauge placée au fond du réservoir. L’eau de masse volumique ρ plus élevée que celle du
diesel (ρd ) vient se loger au fond du réservoir faussant ainsi la mesure prise par la jauge (voir
figure). Le réservoir a une hauteur totale H et est ouvert sur l’air à la pression atmosphérique
p0 . Le volume du réservoir disponible pour recevoir du carburant est V . On suppose que l’eau
et le diesel sont des fluides incompressibles. Dans tout l’exercice les fluides sont à l’équilibre.
Données numériques: H = 250 mm, he = 18 mm (hauteur d’eau) et ρd = 846 kg/m3 .
1) Lorsque le réservoir est complètement rempli de diesel, déterminer la pression pm indiquée
par la jauge en fonction de la pression atmosphérique p0 , de ρd et de H.
2) Le réservoir contient maintenant de l’eau sur une hauteur he et du diesel sur une hauteur hd .
Dans ces conditions la jauge de pression indique que le réservoir est plein. Le volume de diesel
correspondant est noté Vi .
a) Déterminer en fonction de ρ, ρd , he et H la hauteur hd de diesel.
b) Calculer alors le taux de remplissage du réservoir T = 100hd /H.
3) a) Sachant que lors du remplissage du réservoir on mesure le volume de diesel injecté Vi ,
comment pourra-t-on savoir si de l’eau est présente dans le réservoir ?
b) En supposant que la section horizontale du réservoir est constante égale à Sm (section
moyenne), exprimer he en fonction de Vi /V , ρ/ρd et H.
II- Hélicoptère
On s’intéresse ici à quelques aspects du vol en hélicoptère. Un hélicoptère en vol est maintenu en
l’air grâce à la rotation de pales entraînées par un rotor: ceci permet de générer un écoulement
vertical descendant qu’on appelle jet et qui génère une force de pression équilibrant le poids. Ce
jet est représenté sur la figure IIa: il possède une symétrie cylindrique et son axe est la droite
Oz. On ne s’intéressera qu’à la partie du jet à l’intérieur de la surface S représentée en tirets
sur la figure IIa. Le centre du rotor est le point OR et l’aire balayée par les hélices est un disque
de surface A et de rayon R. Sur cette figure IIa sont également représentées quelques lignes de
courant orientées.
Dans tout le problème on supposera que l’air est un fluide incompressible et parfait de masse
volumique ρa . On négligera l’action de la pesanteur sur l’air et tous les écoulements étudiés ici
seront supposés stationnaires. Sauf cas contraire explicité, on utilisera les vitesses et pressions
moyennes dans les sections droites du jet 1 à 4. On utilisera les coordonnées cylindriques qui
seront notées (r, ϕ, z).
Données numériques: Qv = 1000 m3 /s, A = 50 m2 , h = 1 m, M = 1, 5 tonnes (masse de
l’hélicoptère à vide).
→
−
A) On cherche à déterminer la force de pression F s’opposant au poids de l’hélicoptère. On
suppose dans un premier temps que l’air dans le jet s’écoule uniquement vers le bas et que son
débit volumique est Qv . On supposera que v1 la vitesse au point 1 est négligeable devant toutes
les autres vitesses. On prendra la pression sur la surface S autour du jet égale à la pression
atmosphérique p0 : les pressions aux points 1 et 4 (voir figure IIa) sont donc p1 = p4 = p0 .
1) a) Enoncer le théorème de Bernoulli ainsi que les conditions requises pour son application.
b) Dans l’écoulement du jet, comment se traduit la conservation de la masse ?
2) a) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer p2 la pression au point 2 à l’aide de p0
et v2 .
b) De même exprimer p3 la pression au point 3 en fonction de p0 , v3 et v4 .
c) Que peut-on dire de v2 et v3 ? Exprimer alors p3 − p2 en fonction de v4 .
→
−
d) Représenter le vecteur F sur un schéma et exprimer sa composante F (on supposera que
les forces de pression s’appliquent sur toute la surface A).
3) Pour continuer à décrire le jet, on applique le principe fondamental de la dynamique (PFD)
au jet enclos dans le volume ∆ represésenté en tirets sur la figure IIa.
a) Exprimer la variation de quantité de mouvement du jet d~q/dt entre les points 1 et 4 en
fonction de ρ, A, C et v4 . Représenter d~q/dt sur un schéma.
b) Montrer que la résultante des forces de pression sur le jet au travers de S est nulle. Quelle
autre force agit sur le jet ?
c) En appliquant le PFD au jet, montrer que le facteur de réduction de la section du jet en
sortie de ∆, C = S4 /A est égal à 1/2.
4) a) Donner la relation entre v4 et v3 puis l’expression de v4 en fonction de Qv . Calculer v4 et
en déduire la valeur numérique de F .
b) Sachant que l’hélicoptère est immobile dans l’air, quelle est la masse mt qu’il transporte ?
5) On peut montrer que v2 s’exprime en fonction de la vitesse angulaire du rotor ω comme
v2 = 2Rω/3.
a) Exprimer et calculer le nombre de tours par seconde N du rotor.
b) Exprimer alors F en fonction du produit Aω. Commentez ce résultat.
B) On revient maintenant sur l’hypothèse que l’écoulement du jet est uniquement vertical.
En réalité, la rotation des pales provoque un tourbillon qui génère en régime permanent un
écoulement radial perpendiculaire à Oz. Dans une zone cylindrique d’axe Oz et de hauteur h
(voir figure IIb) on suppose que le champ de vitesse est de la forme:
→
−
−
→
−
v = vf (r) →
er + vϕ (r) −
e→
ϕ + vz (z) ez
avec vf ainsi que vϕ des fonctions de r et vz une fonction de z. On supposera que S4 est la
même qu’au A) soit S4 = A/2. On notera v30 et v40 les nouvelles vitesses aux points 3 et 4 (v2 est
inchangée). On choisira le centre du rotor OR comme origine du repère cylindrique (z(OR ) = 0).
−
1) Justifier succinctement la forme de →
v . Quel est le signe de v ?
z
2) a) En exploitant l’hypothèse d’incompressibilité de l’air, montrer que vf = 21 Br avec B une
constante. On suppose que B > 0.
b) Sachant que vz = −v2 en z = h/2, exprimer vz puis v30 (noter que l’expression de vz n’est
valable que pour |z| < h/2).
3) On fait à présent le bilan du débit.
a) Définissez Qf le débit radial d’air. Exprimer Qf en fonction de R (rayon des pales), h et
B. Que peut-on dire des débits entrant et sortant de la zone centrale du jet (voir figure IIb) ?
b) Etablir alors la relation entre Qf /Qv et B.
c) Exprimer v40 en fonction de Qf /Qv , v2 et C. En déduire v40 /v4
III- Tube de Pitot visqueux
Dans l’écoulement d’un liquide cylindrique et horizontal de rayon R, on considère un dispositif de
Pitot permettant de mesurer la vitesse de l’écoulement. On suppose que les tubes de Pitot sont de
petit diamètre et qu’ils perturbent peu l’écoulement. On suppose que le liquide est incompressible
−
−
et qu’il s’écoule en régime permanent avec la vitesse →
v =v→
ez . La masse volumique du liquide
est ρp et son coefficient de viscosité η. On note L la distance entre les points A et B représentés
sur la figure.
Données numériques: R = 10 cm, h = 5 cm, L = 50 cm, ρp = 0, 8 kg/l et η = 0, 1 Pa.s (cas du
pétrole).
1) Dans cette partie on néglige les effets de la viscosité.
a) Que valent vA et vB , normes de la vitesse en A et B ?
b) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer v en fonction de pA − pB
2) a) En régime permanent que peut-on dire du liquide qui remplit les tubes de Pitot ?
b) En déduire l’expression de pA − pB puis de v. Calculer alors numériquement v.
c) Exprimer puis calculer le nombre de Reynolds Re de cet écoulement. Commenter.
3) On prend maintenant en compte les effets de la viscosité dans l’écoulement de rayon R entre
A et B. On note vz la vitesse de l’écoulement sur l’axe Oz et on rappelle la loi de Poiseuille:
∆p =
8ηu
Qv
πt4
avec Qv = πR2 vz /2. La différence de hauteur de fluide dans les tubes au-dessus de A et B est
alors hm .
a) Que peut-on dire de la vitesse dans l’écoulement d’axe Oz ? Exprimer la vitesse moyenne
de l’écoulement vm en fonction de vz . Dans la suite on prendra vm = 2 m/s.
b) Que représentent t et u dans la loi de Poiseuille ?
c) Exprimer hm −h en fonction de ∆p et calculer l’erreur relative sur la mesure de h lorsqu’on
néglige la viscosité.
d) A votre avis faut-il également prendre en compte l’effet de la viscosité dans les tubes de
Pitot ? Pourquoi ?